Teorie di gauge

• Trasformazione di gauge globale e locale
• Derivata covariante e Lagrangiana della QED
• SU(2) e campi
( )
p di Yang‐Mills
g
• Modello di Glashow‐Weinberg‐Salam
• Rottura spontanea di una simmetria discreta e di una continua
• Teorema di Goldstone
• Meccanismo di Higgs
• Massa dei bosoni di gauge e angolo di Weinberg
• Massa dei fermioni
0
Teorie di Gauge
y Invarianza di gauge globale:
Ψ( x ) → Ψ '( x ) =eiQΛ ⋅ Ψ( x )
Conservazione della carica Q
y Facciamo
F i
una trasformazione
t f
i
nella
ll quale
l il parametro
t
Λ sia una funzione dello spazio‐tempo:
Λ = Λ( x )
Ψ( x ) → Ψ '(( x ) =eiqqΛ( x ) ⋅ Ψ( x )
Ψ( x ) → Ψ '( x ) =e− iqΛ( x ) ⋅ Ψ( x )
y Lagrangiana di Dirac di una particella libera:
L = i Ψγ μ ∂ μ Ψ − mΨΨ
1
Invarianza di gauge locale
L = i Ψγ μ ∂ μ Ψ − mΨΨ
y La Lagrangiana di Dirac non è invariante per una
trasformazione di gauge locale.
y termine di massa:
mΨΨ = mΨ( x ) ⋅ e − iqq Λ ( x ) ⋅ eiqq Λ ( x )Ψ( x ) = mΨΨ
OK
y termine cinetico:
(
)
∂ μ Ψ → ∂ μ Ψ ' = ∂ μ eiq Λ ( x ) ⋅ Ψ( x ) =
= eiq Λ ( x ) ⋅ ∂ μ Ψ( x ) + iq ⋅ eiq Λ ( x )Ψ( x ) ⋅ ∂ μ Λ( x )
∂μΨ ≠ ∂μΨ '
viola
i l l’invarianza
l’i
i
di gauge llocale
l
2
Derivata covariante
y Per conservare l’invarianza si introduce la derivata
covariante: Dμ ≡ ∂ μ + iqAμ ( x )
(sostituzione minimale)
y Aμ è un campo vettoriale (il campo del fotone) che, attraverso la trasformazione di gauge, si trasforma
come:
A μ ( x ) → A μ ( x ) − ∂ μ Λ( x )
y La derivata covariante è invariante per una
trasformazione
f
i
di di gauge:
Dμ Ψ → Dμ Ψ ' = eiq Λ ( x )Dμ Ψ
3
Verifica dell’invarianza della Der. Cov.
(
)
Dμ Ψ = ∂ μ + iqAμ ( x ) Ψ(x) →
(∂
μ
)
+ iqAμ ( x ) − iq∂ μ Λ( x ) e iqΛ( x )Ψ(x)=
= e iqΛ( x )∂ μ Ψ((x)) + iq
q∂ μ Λ( x ) ⋅ e iqΛ( x )Ψ((x)) +
+ iqAμ ( x ) ⋅ e iqΛ( x )Ψ(x) − iq∂ μ Λ( x ) ⋅ e iqΛ( x )Ψ(x) =
(
)
= e iqΛ ( x ) ∂ μ + iqAμ ( x ) Ψ(x) = eiqΛ( x )Dμ Ψ( x )
4
Lagrangiana della QED
L = i Ψγ μ Dμ Ψ − mΨΨ
y Questa è invariante per una trasf. di gauge locale.
L = i Ψγ
μ
(∂
μ
)
+ iqAμ Ψ − mΨΨ =
= i Ψγ μ ∂ μ Ψ − mΨΨ − qAμ Ψγ μ Ψ = Lfree − J μ Aμ
y Per completezza occorre aggiungere alla
termine di
int. e.m.
⎛ J μ = q Ψγ μ Ψ : ⎞
⎜
⎟
corrente
e.m.
⎝
⎠
Lagrangiana il termine cinetico di Aμ :
Lfree (fotone
f t
) = −
1
Fμν F μμν
4
⎡⎣ Fμν = ∂ μ Aν − ∂ν Aμ ⎤⎦
y N.B. se il fotone avesse massa, bisognerebbe aggiungere alla
Lagrangiana un termine del tipo:
d l
1 2
mγ Aμ Aμ
2
il quale romperebbe l’invarianza di gauge locale.
g g
(
Aμ Aμ → Aμ − ∂ μ Λ
)(A
μ
)
− ∂ μ Λ ≠ Aμ Aμ
5
Simmetria SU(2) e campi di Yang‐Mills
y Consideriamo un doppietto di SU(2):
⎛ Ψ1 ⎞
Ψ≡⎜
⎟
⎝ Ψ2 ⎠
Ψ1 e Ψ 2 sono due spinori di Dirac
y La Lagrangiana
L L
i
sii può
ò scrivere
i
come: L = i Ψγ μ ∂ μ Ψ − mΨΨ
Ψ ≡ ( Ψ1 Ψ 2 )
y Richiediamo che la Lagrangiana sia invariante per una
trasformazione di gauge locale (infinitesima):
G
G
g Λ( x ) ⋅ I ⎤⎦ Ψ( x )
Ψ( x ) → ⎡⎣1 − ig
G
I = ( I1 , I2 , I3
)
sono gli operatori di isospin
⎡⎣ I i , I j ⎤⎦ = ε1 jk Ik
6
Derivata covariante dei campi di Y‐M
y Introduciamo la derivata covariante:
G G
Dμ ≡ ∂ μ + igI ⋅ Wμ ( x )
(g=costante di accoppiamento)
y I campi
I i vettoriali
tt i li Wμ sii trasformano
t f
come:
G
G
G
G
G
Wμ ( x ) → Wμ ( x ) − ∂ μ Λ( x ) + gΛ( x ) × Wμ ( x )
y Il termine cinetico dei Wμμ è:
Lfree (W )
G μν
1 G
= − Wμν ⋅ W
4
G
G
G
G
G
⎡Wμν = ∂ μWν − ∂νWμ − gWμ × Wν ⎤
⎣
⎦
Self-coupling dei bosoni di gauge
y N.B. anche qui i bosoni devono avere massa nulla.
7
Modello di Glashow‐Weinberg‐Salam
y Nel modello le particelle sono classificate come: ⎛ν e ⎞
⎜ −⎟
⎝ e ⎠L
Doppietto di
isospin debole
;
e
−
R
;
⎛u ⎞
⎜ ⎟
⎝ d ' ⎠L
; uR
;
d'R
y Glashow introdusse
Gl h i t d
anche
h l’ipercarica
l’i
i debole:
d b l
I
⎛
⎜
1
⎜ν e 2
⎜ − 1
⎜ eL 2
⎜ e−
0
⎜ R
⎜ uL 12
⎜
1
⎜ d 'L 2
⎜
⎜ uR 0
⎜
⎝ d 'R 0
-
-
I3
Q
1
2
0
1
2
-1
1
0
-1
1
2
2
3
1
2
-
2
3
0
0
1
3
-
1
3
Y ⎞
⎟
-1
⎟
⎟
-1
1
⎟
⎟
-2
⎟
1
⎟
3
⎟
1
⎟
3
⎟
4
⎟
3
⎟
2
3
⎠
Q I3 +
Q=I
1
Y
2
• Il doppietto di isospin debole può essere ruotato
nello spazio SU(2)L e la Lagrangiana deve essere
invariante.
• Anche trasformazioni della simmetria U(1)Y
devono lasciare la Lagrangiana invariante.
Gruppo di simmetria del modello:
SU(2)L ⊗ U(1)Y
8
Lagrangiana del modello GWS
y La Lagrangiana libera del modello si scrive come:
Lfree = i Ψ Lγ μ ∂ μ Ψ L + i Ψ Rγ μ ∂ μ Ψ R
y Facciamo
F i
una trasformazione
t f
i
di di gauge locale infinitesima
l l i fi it i
SU(2)L
G
G
⎡
Ψ L ( x ) → ⎣1 − ig Λ( x ) ⋅ I ⎤⎦ Ψ L ( x )
Ψ R(x) → Ψ R(x)
G
Λ( x ) : vettore nello spazio
dell'isospin debole
U(1)Y
g'
⎡
⎤
λ(x) ⋅ Y ⎥ Ψ L (x)
Ψ L ( x ) → ⎢1 − i
2
⎣
⎦
g'
⎡
⎤
Ψ R ( x ) → ⎢1 − i
λ(x) ⋅ Y ⎥ Ψ R(x)
2
⎣
⎦
y Occorre introdurre
d
l d
la derivata
covariante: G G
g'
Dμ ≡ ∂ μ + igI
g ⋅ Wμ ( x ) + i
Y ⋅ Bμ
2
9
Lagrangiana del modello GWS
G G
g'
Dμ ≡ ∂ μ + igI ⋅ Wμ ( x ) + i
Y ⋅ Bμ
2
y I bosoni vettore devono trasformarsi nel modo seguente:
SU(2)L
G
G
G
G
G
Wμ → Wμ + ∂ μ Λ( x ) + g Λ( x ) × Wμ
U(1)Y
G
G
Wμ → Wμ
Bμ → Bμ
Bμ → Bμ + ∂ μ λ ( x )
G
(
W
, B)
free
y Termine cinetico dei bosoni vettore: L
y Lagrangiana completa: G G
g'
⎡
⎤
Y ⋅ Bμ ⎥ Ψ L + Ψ Rγ μ
L = Ψ Lγ ⎢ i ∂ μ − gI ⋅ Wμ ( x ) −
2
⎣
⎦
μ
G μν 1
1 G
= − Wμν ⋅ W − Bμν ⋅ B μν
4
4
G
g'
⎡
⎤
⎢⎣ i ∂ μ − 2 Y ⋅ Bμ ⎥⎦ Ψ R + Lfree (W , B)
N.B. non ci sono termini di massa per i bosoni di gauge perché
rompono la simmetria di gauge locale
N.N.B. non c'e' mΨΨ perche' ΨΨ = Ψ R Ψ L + Ψ L Ψ R
10
Lagrangiana λφ4
y Lagrangiana di un campo scalare: ∂ μ∂ ϕ + m ϕ = 0
μ
2
L=
1
∂ μϕ
2
(
)(
)
∂ μϕ −
1 2 2
mϕ
2
(particelle di spin 0
[eq. del moto] e massa m)
y Consideriamo ora:
1
L=
∂ μϕ
2
(
)(
1
1
∂ ϕ − μ 2ϕ 2 − λϕ
λ 4
2
4
μ
)
μ e λ sono costanti,
con μ 2 < 0 ; λ > 0
N.B. se μ 2 <0 , allora - 12 μ 2ϕ 2 non puo' essere il termine di massa.
y Osservazione: la Lagrangiana ha simmetria di riflessione (φ→-φ).
N.B.
N
B Il calcolo
l l delle
d ll ampiezze
i
di scattering
tt i con lla tecnica
t
i dei
d i diagrammi
di
i di
Feynman è un metodo perturbativo dove i campi sono trattati come fluttuazioni
intorno ad uno stato di minima energia: lo stato fondamentale (il vuoto, φ=0).
Nel caso presente φ=0 non è lo stato fondamentale.
11
Rottura spontanea di una simmetria discreta
y Consideriamo la Lagrangiana come un termine cinetico
T =
meno un termine di energia potenziale V pari a: V (ϕ ) =
1 2 2 1
μ ϕ + λϕ 4
2
4
y I minimi corrispondo a:
V
−v
1
∂ χ
2 μ
(
) ( ∂ χ ) − λv
μ
) (∂ ϕ )
;
μ2
v= −
λ
μ
∂V
= ϕ μ 2 + λϕ
ϕ2 = 0
∂ϕ
(
)
ϕ = ±v
N.B. μ 2 > 0
ϕ (x) = v + χ (x)
ϕ
L=
(
ϕ = 0;
Scegliamo il minimo φ=v come
stato fondamentale ed
introduciamo il campo χ(x)
+v
1
∂ ϕ
2 μ
2
χ 2 − λv χ 3 −
termine di massa
1
1
λχ 4 + λv 4
4
4
self-interaction è una costante
mχ = 2λv 2 =
−2 μ 2
N.B. Si poteva anche scegliere
di sviluppare φ(x) intorno a -v
Sebbene la Lagrangiana abbia una simmetria per riflessione, lo stato fondamentale
non ha questa simmetria, e quando ne scegliamo uno rompiamo la simmetria.
Questa è la rottura spontanea di simmetria
12
Rottura spontanea di una simmetria continua
y Campo scalare complesso:
(
1
∂ ϕ
2 μ 1
(
)
2
+
1
2
(ϕ1 + iϕ2 )
) ( ∂ ϕ ) − μ ϕ ϕ − λ (ϕ ϕ )
∗
μ
1
∂ ϕ
2 μ 2
)
L = ∂ μϕ
L=
ϕ =
(
2
∗
2
−
(
1 2 2
1
μ ϕ1 + ϕ22 + λ ϕ12 + ϕ22
2
4
(
)
(
2
1 2 2
1
μ ϕ1 + ϕ22 − λ ϕ12 + ϕ22
2
4
y La Lagrangiana è invariante per U(1):
V (ϕ1 , ϕ2 ) =
∗
)
(
)
2
ϕ → ϕ ' = e iα ϕ
V (ϕ1, ϕ2 )
)
2
y La condizione di minimo si ha sul cerchio:
ϕ +ϕ = v
2
1
2
2
2
;
μ2
v= −
λ
ϕ2
ϕ1
y Scegliamo come minimo intorno al quale fare lo sv. pert. ϕ1 = v ; ϕ2 = 0
ϕ1( x ) = v + χ1( x )
ϕ2 ( x ) = χ2 ( x )
ϕ (x) =
1
2
(v + χ1( x)
+ iχ2 ( x ))
13
Teorema di Goldstone
y Dopo la scelta del minimo, la Lagrangiana diventa:
⎡1
⎤ ⎡1
L = ⎢ ∂ μ χ1 ∂ μ χ1 − λv 2 χ12 ⎥ + ⎢ ∂ μ χ 2 ∂ μ χ 2
⎣2
⎦ ⎣2
1
⎡
⎤
− ⎢ λv χ13 + χ1 χ22 + λ χ14 + χ 24 + 2 χ12 χ 22 ⎥ +
4
⎣
⎦
)(
(
)
(
)
)(
(
(
)
)⎤⎥⎦ −
1
λv 4
4
mχ1 = 2λv 2 =
−2 μ 2 > 0
mχ2 = 0
y Il terzo termine rappresenta le self‐interaction: χ1
χ1
χ1
χ2
χ1
χ2
χ1
χ1
χ1
χ1
χ2
χ2
χ2
χ2
χ1
χ1
χ2
χ2
y Il secondo termine rappresenta un campo scalare con massa nulla
(
(bosone
di Goldstone))
y Potete “muovervi” lungo i minimi senza “sprecare” energia.
Teorema di Goldstone: la rottura spontanea
p
di una simmetria
continua genera uno (o più) bosoni scalari a massa nulla.
14
Il meccanismo di Higgs
y Il meccanismo di Higgs corrisponde alla rottura spontanea della
simmetria di una Lagrangiana che è invariante per una trasformazione
di gauge locale. l l Teorema di Goldstone + bosoni di gauge
y Consideriamo la Lagrangiana λφ4 con la derivata covariante:
(
) (∂
L = ∂ μ − iqA
i Aμ ϕ
∗
μ
+ iiqA
A
μ
) ϕ − μ ϕ ϕ − λ (ϕ ϕ )
2
∗
∗
2
−
1
Fμν F μν
4
ϕ =
1
2
(ϕ1 + iϕ2 )
la quale è invariante per la trasformazione di gauge U(1):
ϕ(x ) → ϕ '(x ) =eiqΛ( x ) ⋅ ϕ(x )
y S
Se μ
2<0
0 bi
bisogna sviluppare
il
il campo φ intorno
i t
add un minimo
i i
diverso
di
da
d
φ=0, ad esempio:
ϕ1( x ) = v + χ1( x )
ϕ2 ( x ) = χ2 ( x )
ϕ( x ) =
1
2
(v + χ1 + i χ2 )
15
Il meccanismo di Higgs
y La Lagrangiana diventa:
⎡1
⎤ ⎡1
⎤
L = ⎢ ∂ μ χ1 ∂ μ χ1 − λv 2 χ12 ⎥ + ⎢ ∂ μ χ2 ∂ μ χ2 ⎥ +
⎣2
⎦ ⎣2
⎦
1
1
+ q2v 2 Aμ Aν − qvAμ ∂ μ χ2 + Fμν F μν + termini di interazione
2
4
(
)(
)
(
)(
)
y Analizziamo la Lagrangiana:
- campo scalare χ1 con massa mχ1 = 2λv 2
- bosone di Goldstone χ2 privo di massa
- il b
bosone di gauge A μ ha
h acquistato
i t t un ttermine
i
di massa mA = qv
y Tuttaviail termine A μ ∂ μ χ2 , che sembrerebbe permettere al bosone
Aμ di trasformarsi in χ2 mentre si propaga,
propaga getta dei dubbi su questa
interpretazione
Aμ
χ2
spin 1
spin 0
16
Gradi di libertà della Lagrangiana
y Prima della rottura spontanea della simmetria:
y 2 campi
ca p sca
scalari
a reali
ea φ1 e φ2,
y 2 stati di elicità di Aμ (spin 1, massa zero)
→ 4 gradi di libertà .
y Dopo la rottura spontanea della simmetria:
y 2 campi scalari reali χ1 e χ2,
y 3 stati di elicità di Aμ (spin 1, massa diversa da zero)
1 massa diversa da zero)
→ 5 gradi di libertà .
NON VA BENE.
Per trovare la via d’uscita a questo problema, occorre ricordarsi che è
sempre possibile fare una trasformazione di gauge locale
17
Trasformazione di gauge locale
y Cambiamo la parametrizzazione di φ(x) utilizzando il “modulo” e la “fase”:
ϕ(x) =
1
2
⎡⎣v + H( x )⎤⎦ e
i
θ (x)
v
H( x ) e θ ( x ) sono campi reali
y Facciamo una trasformazione di gauge in modo da eliminare il campo θ(x):
ϕ '(( x ) = e iq Λ ( x )ϕ ( x )
⇒ ⎡⎣v + H '( x )⎤⎦ e
i
θ '( x )
v
= e iq Λ ( x ) ⎡⎣v + H( x )⎤⎦ e
y Se scegliamo: Λ( x ) = −
1
θ (x)
qv
i
θ (x)
v
H '(( x ) = H( x )
θ '( x ) = θ ( x ) + qv ⋅ Λ( x )
θ '( x ) = 0
(gauge unitaria)
y Il bosone di Goldstone connette i vari stati di vuoto che sono degeneri in
energia. Con la trasformazione di gauge abbiamo “tolto” questo grado di libertà
p φ è diventato reale.
non voluto ed il campo
Con la nuova parametrizzazione il campo θ non dovrebbe apparire esplicitamente nella Lagrangiana.
18
Verifica dei gradi di libertà della Lagrangiana
y Nella nuova gauge unitaria si ha: ϕ '( x ) =
⎡1
L = ⎢ ∂μH
⎣2
1
2
⎡⎣v + H( x )⎤⎦ ;
A 'μ ( x ) = Aμ ( x ) +
1
∂ θ (x)
qv μ
1
⎤ 1
− λv 2H 2 ⎥ + q 2v 2 Aμ Aν + q 2 Aμ Aν H 2
2
⎦ 2
1
1
1
+ q 2vAμ Aν H − λvH 3 − λ H 4 − Fμν F μν + λv 4
4
4
4
(
)
2
y L non dipende da θ come ci aspettavamo: il bosone di Goldstone è scomparso. È stato
È
“mangiato” dal bosone di gauge che è ingrassato ed
ha acquistato massa.
y La Lagrangiana descrive ora un bosone scalare H (Higgs) ed un bosone
di gauge vettoriale Aμ, di massa rispettivamente:
mH = 2λv 2
mA = qv
y Gli altri termini della Lagrangiana descrivono le interazioni tra i campi e le self‐interaction
N.B. questo è il meccanismo di Higgs Abeliano, cioè valido per un gruppo di simmetria commutativo.
19
Meccanismo di Higgs e campi di Y‐M
y Studiamo la rottura spontanea della simmetria per il gruppo (non abeliano) SU(2)xU(1). Partiamo dalla Lagrangiana seguente e studiamo SU(2):
(
L = ∂ μϕ
⎛ϕa ⎞
1 ⎛ ϕ1 + iϕ2 ⎞
=
⎟
⎜
⎟
ϕ
+
i
ϕ
ϕ
2
4⎠
⎝ 3
⎝ b⎠
) ( ∂ ϕ ) − μ ϕ ϕ − λ (ϕ ϕ )
+
μ
2
+
+
2
ϕ =⎜
y La Lagrangiana
a ag a g a a èè invariante
va a te pe
per una
u a ttrasformazione
as o a o e g
globale
oba e d
di SU(2):
SU( ):
ϕ ( x ) → ϕ '( x ) = e
G G
i Λ⋅ I
ϕ(x)
y Affinché lo sia anche per una trasformazione locale occorre introdurre
la derivata covariante:
G
G
ϕ ( x ) → ϕ '( x ) = ⎣⎡1 + i Λ( x ) ⋅ I ⎦⎤ ϕ ( x )
G G
Dμ ≡ ∂ μ + igI ⋅ Wμ ( x )
G
G
G
G
G
Wμ ( x ) → Wμ ( x ) − ∂ μ Λ( x ) + gΛ( x ) × Wμ ( x )
20
Meccanismo di Higgs e campi di Y‐M
y La Lagrangiana si può scrivere come:
G G
L = ∂ μϕ + igI ⋅ Wμϕ
(
)(
+
(
G G
∂ μϕ + igI ⋅ Wμϕ − μ 2ϕ +ϕ − λ ϕ +ϕ
)
(
)
2
)
G μν
1 G
− Wμν ⋅ W
4
y Consideriamo il caso μ2<0 e λ>0. Il minimo del potenziale si ha per:
μ2
v2
ϕϕ =−
=
2λ
2
⎛ ϕa ⎞
1 2
v2
+
∗
∗
∗
∗
2
2
2
ϕ ϕ = (ϕa ϕb ) ⎜ ⎟ = ϕaϕa + ϕbϕb = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 ) =
2
2
⎝ ϕb ⎠
+
y Scegliamo un minimo rompendo la simmetria
dello stato fondamentale:
y Lo stato di vuoto che abbiamo scelto è:
ϕ0 =
ϕ1 = ϕ2 = ϕ4 = 0 ;
ϕ3 = v 2
1 ⎛0⎞
⎜ ⎟
2 ⎝v ⎠
y Facciamo lo sviluppo perturbativo intorno a questo stato,
scegliendo una gauge opportuna in modo da avere: N.B. in questo modo tre campi scalari sono stati eliminati
dalla trasformazione di gauge lasciando un solo campo: H(x)
ϕ(x ) =
⎞
1 ⎛0
⎜
⎟
2 ⎝ v + H(x ) ⎠
21
Meccanismo di Higgs e campi di Y‐M
y Possiamo riscrivere la Lagrangiana in termini del campo di Higgs H:
⎡1
L = ⎢ ∂ μH
⎣2
(
)
2
⎤ g2v 2 ⎡ 1
− λv H ⎥ +
Wμ
⎢
⎣
8
⎦
2
( ) ( ) ( )
2
2
+ Wμ2
2
2
+ Wμ3 ⎤
⎦⎥
G
+ termini di ordine superiore + termine cinetico per i W
y Questa Lagrangiana descrive un campo di Higgs scalare di massa: mH = 2λv 2 =
( −2μ ) = ????
2
GeV
e tre bosoni di gauge massivi di massa:
mW =
1
gv
2
y I tre bosoni di gauge si sono “mangiati” i tre campi di Goldstone acquistando massa.
Occorre estendere questi concetti all’intera simmetria SU(2)xU(1)
22
SU(2)L x U(1)Y e campo di Higgs
y Lagrangiana elettrodebole invariante per trasformazione di gauge:
G G
g'
⎡
⎤
L = Ψ Lγ ⎢ i ∂ μ − gI ⋅ Wμ ( x ) −
Y ⋅ Bμ ⎥ Ψ L + Ψ Rγ μ
2
⎣
⎦
μ
G
g'
⎡
⎤
⎢⎣ i ∂ μ − 2 Y ⋅ Bμ ⎥⎦ Ψ R + Lfree (W , B)
y Introduciamo nella Lagrangiana quattro campi scalari reali φi: (
L = Dμϕ
) ( D ϕ ) − μ ϕ ϕ − λ (ϕ ϕ )
+
μ
2
+
+
2
G G
g'
Y ⋅ Bμ
Dμ ≡ ∂ μ + igI ⋅ Wμ ( x ) + i
2
y Siamo interessati al caso in cui μ
μ2<0 e λ>0.
y Seguiamo Weinberg ed arrangiamo i quattro campi φi in un doppietto di
isospin debole con ipercarica debole Y=1:
⎛ϕ + ⎞
1 ⎛ ϕ1 + iϕ2 ⎞
ϕ = ⎜ 0⎟ =
⎜
⎟
i
+
ϕ
ϕ
2
ϕ
4⎠
⎝ 3
⎝ ⎠
ϕ + ha carica elettrica Q=1
e ϕ 0 ha Q=0
y Scegliamo il minimo del potenziale tale che
ϕ0 =
1 ⎛0⎞
⎜ ⎟
2 ⎝v ⎠
e sviluppiamo
φ(x) intorno a questo punto. Con una scelta opportuna della gauge si ha:
⎞
1 ⎛0
ϕ(x ) =
⎜
⎟
2 ⎝ v + H(x ) ⎠
23
SU(2)L x U(1)Y e campo di Higgs
y La Lagrangiana diventa:
v2
⎤ g2v 2
1
1μ
2
2μ
⎡⎣Wμ W + Wμ W ⎦⎤ +
gWμ3 − g ' Bμ gW
g
g 3μ − g ' B μ
− λv H ⎥ +
8
8
⎦
G
+ termini di ordine superiore + termine cinetico per i W ed il B
⎡1
L = ⎢ ∂ μH
⎣2
(
)
2
2
(
2
)(
)
y Da qui si vede che i campi Wμ1 e Wμ2 hanno un termine di massa
1
mW = gv
“convenzionale” mentre
i campi Wμ3 e Bμ sono mescolati.
2
y Dobbiamo ruotare questi due campi in modo tale che il termine di massa sia diagonale nei nuovi due campi Aμ e Zμ : ⎛ g2
− gg ' ⎞ ⎛W 3 μ ⎞
v2
3
Wμ Bμ ⎜
⎟
2 ⎟⎜ μ
8
−
gg
'
g
'
B
⎝
⎠⎝
⎠
(
(
)
v2 2
g Wμ3
8
Aμ
( )
2
g 'W
(
=
3
μ
2
− 2gg 'Wμ B + g ' Bμ
3
μ
+ gBμ
g2 + g '2
)
mA = 0
)
Matrice di massa. Va diagonalizzata.
g
Uno dei due autovalori è zero.
v2
=
⋅ gWμ3 − g ' Bμ
8
(
Zμ
gW
(
=
3
μ
)
2
(
+ 0 ⋅ g 'Wμ3 + gBμ
− g ' Bμ
g2 + g '2
)
mZ =
)
2
1
v g2 + g '2
2
24
Massa dei bosoni e angolo di Weinberg
y Introduciamo l’angolo di Weinberg definito come:
g'
= tan θW
g
;
g
2
2
g + g'
= cos θW
g'
;
2
2
g + g'
= sin θW
Aμ = cos θW Bμ + sin θWWμ3
Z μ = − sin θW Bμ + cos θWWμ3
y Ricordando che:
mW =
1
gv e
2
mZ =
1
v g2 + g '2
2
mW
= cos θW
mZ
y La rottura spontanea della simmetria SU(2)LxU(1)Y ha dato origine al seguente spettro di masse: 1 bosone di Higgs, mH = 2λv 2 =
−2 μ 2
1
gv
2
mW
1 bosone neutro Z, mZ =
cos θW
2 bosoni carichi W± , mW =
1 bosone neutro a massa nulla (fotone)
1 ⎞ ⎛0⎞
⎛
N.B. Qϕ0 = ⎜ I3 + Y ⎟ ⎜ ⎟ = 0
2 ⎠ ⎝v ⎠
⎝
La carica del minimo scelto è
nulla, quindi la simmetria
U(1)em non è rotta ed il fotone
rimane a massa nulla
25
Massa dei bosoni di gauge
g2
G
=
8mW2
2
y Dall’analisi del decadimento del μ si ricava la relazione:
y Dato che
1
mW = gv
2
v =
1
(G 2 )
y Il valore di aspettazione del vuoto dipende solo dalla costante di Fermi:
v =
1
(G 2 )
=
(
1
2 ⋅ 1.17 ⋅ 10
−5
GeV
−2
)
y Come vedremo vale la relazione: g ⋅ sinθW =e
1
2
⎛ πα ⎞
1
mW = ⎜
⎟
⎝ G 2 ⎠ sin θW
sin2 θW ≈ 0.23
≈ 246 GeV
⎡
e2 ⎤
⎢α =
⎥
4π ⎦
⎣
sin θW deve essere determinato sperimentalmente.
La prima misura fu fatta con il deep inelastic
scattering dei neutrini negli anni ’70.
⇒
mW ≈ 80 GeV ; mZ ≈ 90 GeV
N.B. La massa del bosone di Higgs non è prevista dal Modello Standard perché
dipende dal parametro incognito λ che compare nel potenziale V(φ).
26
Massa dei fermioni
y Il termine di massa dei fermioni ‐mee non può essere messo esplicita‐
mente nella Lagrangiana perché rompe la simmetria SU(2)LxU(1)Y :
1
⎡1
⎤
-mee = -me ⎢ 1 − γ 5 + 1 + γ 5 ⎥ e=-m ( eReL + eLeR )
2
⎣2
⎦
(
)
(
)
y Ricordiamo che:
H (I= 12 , Y=1)
⎞
⎛ν e ⎞
1
−
e
(I=
, Y=-1)
L
e
2
⎟
⎜
⎟
R
1
1
−
-1
1
⎟
⎝ e ⎠L
2
2
⎟
1
1
eR (I=0 , Y=-2)
-1
2
2
⎟
⎟ il bosone di Higgs ha i numeri quantici giusti per accoppiarsi a eL e eR.
0
0
-2
2
⎠
y Aggiungiamo alla Lagrangiana il termine (alla “Yukawa”) invariante
per trasformazioni di gauge:
p
g g
I
⎛
⎜
⎜ν e
⎜ −
⎜ eL
⎜ e−
⎝ R
I3
Y
L = − ge ⎡⎣ Lϕ eR + eRϕ L ⎤⎦
(ν
e
e
−
L
)
⎛ϕ + ⎞ −
+ −
− 0 −
⎜⎜ 0 ⎟⎟ e R= ν eϕ e R + e Lϕ e R
⎝ϕ ⎠
(
)
dove
⎛ν e ⎞
L = ⎜ −⎟
⎝ e ⎠L
⎛ϕ + ⎞
; ϕ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ϕ ⎠
ge = costante di accoppiamento
27
Massa dei fermioni
y Dopo
D
l tt
la rottura
spontanea
t
di simmetria, i
ti ϕ =
la Lagrangiana diventa
L =−
me =
ge ⋅ v
2
gev
2
⎡⎣eR eL + eLeR ⎤⎦ −
termine di massa
⎛m ⎞
L = −meee − ⎜ e ⎟ eeH
⎝ v ⎠
ge
2
1 ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟
2 ⎝v + H ⎠
⎡⎣eR eL + eL eR ⎤⎦ H
accoppiamento
pp
dell’elettrone
con il bosone di Higgs
N.B. La costante di accoppiamento è
proporzionale alla massa del fermione
y Per generare
g
le masse dei q
quark di tipo
p “up” si
p
introduce il doppietto
pp
di
Higgs coniugato:
0
1 ⎛ ϕ ⎞
ϕ = iσ 2ϕ =
⎜
⎟
2 ⎜⎝ −ϕ − ⎟⎠
∗
⇒
1 ⎛v + H ⎞
⎜
⎟
2⎝ 0 ⎠
L = − gd Lqϕ dR − gu LqϕuR + hermitiano coniugato
⎛m ⎞
⎛m ⎞
L = −md dd − muuu − ⎜ d ⎟ ddH − ⎜ u ⎟ uuH
⎝ v ⎠
⎝ v ⎠
⎛u ⎞
Lq = ⎜ ⎟
⎝ d ⎠L
28
Lagrangiana elettrodebole completa
y Lagrangiana elettrodebole invariante per trasformazione di gauge:
G G
g'
⎡
⎤
L = Ψ Lγ ⎢ i ∂ μ − gI ⋅ Wμ ( x ) −
Y ⋅ Bμ ⎥ Ψ L + Ψ Rγ μ
2
⎣
⎦
μ
G
g'
⎡
⎤
⎢⎣ i ∂ μ − 2 Y ⋅ Bμ ⎥⎦ Ψ R + Lfree (W , B)
y Aggiungiamo alla Lagrangiana quattro campi scalari reali φi per dare massa ai bosoni di gauge tramite il meccanismo della rottura spontanea
della simmetria. (
L = Dμϕ
) ( D ϕ ) − μ ϕ ϕ − λ (ϕ ϕ )
+
μ
2
+
+
2
y Aggiungiamo alla Lagrangiana un
un’interazione
interazione tra i fermioni ed il campo
φ per dare massa ai fermioni:
L = − ge ⎡⎣ Lϕ eR + eRϕ L ⎤⎦
L = − gd Lqϕ dR − gu Lqϕ uR + herm.
h
con.
Che cosa è questo campo φ? BOH! 29