Little - UniNa STiDuE

Teorema di Little
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Teorema di Little
Questo teorema è estremamente generale, cioè vale in ipotesi poco restrittive, e proprio per
questo risulta molto spesso di aiuto nell’analisi dei sistemi a coda, e più in generale dei sistemi
che gestiscono traffico.
λin
-
λout
N
T
-
-
Figura 10: Grandezze d’interesse per il teorema di Little.
Consideriamo un sistema qualsiasi in cui arrivano e partono clienti con lo stesso tasso medio,
λin = λout = λ, come mostrato in Fig.10. Il teorema di Little mette in relazione il numero medio
di clienti che si trovano nel sistema, N , con il loro tempo medio di permanenza nel sistema, T .
Queste due grandezze risultano proporzionali fra loro attraverso il tasso di arrivi/partenze, cioè
N = λT
3.1
Dimostrazione
Per dimostrare il teorema passeremo attraverso l’uso di medie temporali. Facciamo riferimento
alla Fig.11, dove è mostrata una possibile evoluzione del sistema, e sono evidenziate le quantità
d’interesse per il teorema, e cioè, gli istanti, ti , in cui i clienti arrivano al sistema, quelli, ti ,
in cui lo lasciano, e i tempi di permanenza dei clienti nel sistema, Ti = ti − ti . Date queste
informazioni, è immediato costruire poi le funzioni A(t) e D(t) che contano, rispettivamente,
gli arrivi al sistema e le partenze dal sistema. Evidentemente, il numero di clienti che si trova
istante per istante nel sistema sarà N (t) = A(t) − D(t). Ad esempio, nel generico istante τ
mostrato in figura, saranno arrivati A(τ ) = 3 clienti, ne saranno partiti D(τ ) = 2 e si troverà
ancora nel sistema N (τ ) = 1 cliente.
Consideriamo adesso la media temporale di N (t) nell’intervallo (0,τ )
1 τ
N (t)dt
(2)
< N (t) >(0,τ ) =
τ 0
dove con < · >T si è indicata appunto l’operazione di media temporale sull’intervallo T . Dalla
figura è chiaro che l’area tratteggiata, corrispondente all’integrale d’interesse, si può anche vedere
come l’unione di tre rettangoli di altezza unitaria e base, rispettivamente, T1 , T2 e τ − t3 < T3 .
Quindi, l’integrale è maggiore della somma dei tempi di permanenza dei D(τ ) clienti che sono
entrati e già usciti dal sistema, T1 + T2 , e minore della somma dei tempi di permanenza di tutti
gli A(τ ) clienti che sono entrati, T1 + T2 + T3 . Generalizzando l’osservazione, possiamo scrivere
D(τ )
A(τ )
1 τ
1
1 Ti ≤
N (t)dt ≤
Ti
τ
τ 0
τ
i=1
a.a. 2007-2008
i=1
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A(t), D(t)
6
3
2
1
T3
T2
-
-
T1
-
t1
t2
t3
t1
t2
τ
t3
t
Figura 11: Bilancio fra arrivi, partenze e presenze nel sistema.
Concentriamo l’attenzione sul primo termine. Dividendo e moltiplicando per D(τ ) otteniamo
due fattori, il primo dei quali D(τ )/τ è il numero di partenze in un certo intervallo diviso la
durata dell’intervallo stesso, cioè il numero medio di partenze per unità di tempo, che corrisponde
al tasso medio di partenze nell’intervallo (0,τ ). Naturalmente, al divergere di τ questo termine
1 D(τ )
diventa semplicemente il tasso medio di partenze < λout >. Il secondo fattore D(τ
i=1 Ti è
)
anche’esso una media temporale, infatti è il valor medio del tempo di permanenza nel sistema
dei clienti che sono entrati e usciti dal sistema nell’intervallo di riferimento. Al limite per
τ → ∞ questo fattore diventa semplicemente il tempo medio di permanenza nel sistema < T >.
Operando in maniera simile per il terzo termine della catena di maggiorazioni, con A(τ ) al posto
di D(τ ), e passando al limite, otteniamo infine
< λout >< T >
≤
<N >
≤
< λin >< T >
Per cui, essendo λin = λout , risulta necessariamente N = λT .
La dimostrazione riguarda dunque medie temporali. Tuttavia, quando i processi considerati
sono ergodici, cioè le medie temporali coincidono con quelle statistiche, ipotesi che noi assumeremo sempre verificata, l’uguaglianza è da intendersi anche per le medie statistiche.
Vale la pena di spendere un attimo a discutere le ipotesi del teorema. Anzitutto, un sistema
in cui i tassi degli arrivi e delle partenze coincidono è semplicemente un sistema che non crea o
distrugge traffico ed in cui i clienti non si accumulano indefinitamente. D’altra parte, se i clienti
si accumulassero in coda senza limiti, avremmo a che fare con un sistema instabile, che non
raggiunge mai una condizione di regime, cosa che lo rende poco interessante per le applicazioni.
Si noti, poi, che nell’esempio usato per la dimostrazione i clienti lasciano il sistema nello stesso
ordine in cui sono entrati (disciplina FIFO). Questa tuttavia non è un’ipotesi del teorema, e si
può facilmente modificare la dimostrazione per considerare discipline di servizio generiche.
3.2
Tasso di occupazione del server in una coda G/G/1
Grazie al teorema di Little possiamo subito ricavare un risultato molto utile, calcolare cioè, per
una coda G/G/1 stabile, il tasso di occupazione del server vale a dire la probabilità di trovare
il server occupato oppure, per l’ergodicità del sistema, la frazione di tempo durante la quale
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il server è occupato. Usare il modello G/G/1 significa non fare alcuna ipotesi sul processo di
arrivi o sui tempi di servizio, se non quella usuale che il tasso d’arrivi λ sia minore di quello di
servizio μ, che garantisce la stabilità. Il sistema considerato ha un solo server e sezione d’attesa
illimitata, infiniti clienti potenziali e disciplina di servizio FIFO (ipotesi in realtà non necessaria).
λ -
λ -
μ
λ -
NS
TS
-
Figura 12: Teorema di Little applicato al server di una coda G/G/1.
Una coda G/G/1 è rappresentata simbolicamente in Fig.12 dove, oltre al tasso di arrivi e
di partenze, si è evidenziato il tasso di transizioni dalla sezione d’attesa a quella di servizio
che, ovviamente per un sistema stabile, coincide con gli altri due. Possiamo allora concentrare
l’attenzione sul sistema “sezione di servizio”, per il quale certamente vale il teorema di Little, e
quindi
NS = λTS = λE[X] = λ/μ
avendo battezzato NS e TS il numero medio di clienti presenti in tale sistema ed il loro tempo
medio di permanenza, e avendo riconosciuto che quest’ultimo coincide con il tempo medio di
servizio E[X].
D’altra parte, per la definizione di media statistica, abbiamo
n Pr[n clienti in servizio] = Pr[1 cliente in servizio] = pbusy
NS =
n
dove pbusy è appunto il tasso di occupazione del server, e quindi in definitiva
pbusy = λ/μ
Il tasso di occupazione del server è cosı̀ rilevante per le code che ha un suo simbolo, ρ. Per
alcune code, come vedremo presto, le prestazioni sono completamente determinate da questo
solo parametro. Naturalmente, ρ ≥ 0 e, per code stabili, ρ < 1.
E’ interessante osservare fin da ora, mettendosi nell’ottica del progettista, che non è ovvio
quale sia un “buon” valore di ρ. In effetti dipende dal punto di vista: al cliente conviene che
il server sia poco occupato (ρ 1), in modo da trovare il sistema mediamente poco affollato e
ridurre i tempi di attesa; al contrario, al fornitore del servizio conviene che il server sia quasi
sempre occupato (1 − ρ 1), per massimizzare il rendimento a fronte degli investimenti effettuati. Si presenta quindi il solito problema di trovare un compromesso fra costi e qualità del
servizio, che può essere risolto solo in presenza di informazioni aggiuntive.
Si lascia al lettore dimostrare che in una coda G/G/N il tasso medio di occupazione del
generico server è λ/N μ.
a.a. 2007-2008
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