La Conjoint Analysis

Transcript

Metodi Statistici Avanzati per le Imprese – Arboretti Giancristofaro R., Bonnini S.
1
La funzione di utilità del
consumatore
Utilità: valore che indica il livello di
soddisfazione che un consumatore ottiene da
un certo bene o da un paniere di beni con
date caratteristiche
Funzione di utilità: funzione che assegna un
livello di utilità ad ogni bene o paniere di beni
U = f(X)
U = livello di utilità
X = caratteristiche del bene o del paniere di
beni
2
La funzione di utilità del
consumatore
Come misurare il livello di soddisfazione del
consumatore?
Quali caratteristiche del bene influiscono in
modo rilevante sull’utilità?
Qual è la forma della relazione funzionale U =
f(X)?
E’ possibile conoscere la funzione di utilità prima
3
che un bene venga introdotto nel mercato?
Quesito fondamentale:
Come si formano le scelte del consumatore e
come possono essere previste?
?
4
Strategie aziendali interessate:
-Segmentazione del mercato (a priori/a
posteriori);
-Decisioni relative al prodotto;
-Analisi competitiva;
-Decisioni sul prezzo;
-Decisioni su promozione e distribuzione
5
Obiettivo: comprendere come soddisfare al
meglio le esigenze del cliente
Metodo: definire un modello (quantitativo)
che permetta di sapere
- Quale prodotto il cliente preferisce tra
tanti prodotti possibili
- Quali caratteristiche del prodotto
determinano questa scelta
6
Modello quantitativo
Descrizione di un fenomeno osservabile
e misurabile mediante relazioni
quantitative
(equazioni)
che
esprimano
la
dipendenza
del
fenomeno da altre variabili
X1 X2 … Xk
Y = f(X1,X2,…, Xk )
7
Come costruire il modello?
Il
consumatore sceglie tra
alternativi in base all’utilità
prodotti
L’utilità dipende dalle caratteristiche dei
prodotti
I prodotti possibili derivano da come si
manifestano congiuntamente le diverse
caratteristiche
8
Terminologia di base
Fattori o attributi: caratteristiche del
prodotto/servizio in esame. Sono le variabili
che il ricercatore controlla in un
esperimento di Conjoint Analysis per
misurare l’effetto sull’utilità del
consumatore.
Livelli: sono le diverse modalità con cui si
manifestano gli attributi.
Profilo o combinazione o stimolo: è una
specifica combinazione dei livelli degli9
attributi
Terminologia di base
Assegnando un livello a ciascun attributo si
ottiene un prodotto possibile (profilo)
LIVELLI
colore
ATTRIBUTI
bianco
nero
bianco
nero
dimensione singola singola doppia doppia
PROFILI ⇒
Il numero di profili possibili dipende dal numero
di livelli e di attributi
10
Come misurare l’utilità?
Intervista a un campione di potenziali
clienti
9 Modello additivo: l’utilità di un possibile
prodotto per un rispondente è data
dalla somma delle utilità dei livelli di
ciascun attributo da cui il prodotto è
composto
9 Le preferenze espresse dal cliente non
riguardano i singoli livelli degli attributi
9
11
Come capire i desideri dei clienti?
9
Chiedere qual è il livello preferito per ogni
attributo non è efficace perché i clienti
preferiscono:
9
9
9
9
9
Marche note piuttosto che sconosciute
Prezzi bassi piuttosto che alti
Prestazioni più elevate possibile
Ecc.
Nella realtà esistono trade-off nelle scelte
di acquisto di cui bisogna tener conto ⇒ è
importante conoscere l’ordine di importanza
degli attributi
12
Natura decompositiva del metodo
9
9
9
I rispondenti esprimono valutazioni sui
profili mentre le preferenze sui singoli
attributi e livelli sono implicite e vengono
stimate (metodo full-profile)
Conjoint Analysis metrica: i rispondenti
valutano ciascun profilo con un voto ⇒
metodo rating
Conjoint Analysis non metrica: i
rispondenti ordinano i profili sottoposti al
loro giudizio in base alla preferenza ⇒
metodo ranking
13
Esempio 1:
Nuovo modello di automobile:
Alimentazione: benzina (b) o diesel (d)
Cilindrata: 1100, 1300 o 1500
Numero profili possibili: P = 3 × 2 = 6
Il rispondente fornisce il seguente ordine di
preferenza:
b 1.3
b 1.1
d 1.5
b 1.5
d 1.3
d 1.1
1
2
3
4
5
6
14
Esempio 1:
Traformando i ranghi in punteggi crescenti
di utilità secondo la formula Utilità = 6 Rango:
alimentazione
Media
b
d
1.1
4
0
2.0
cilindrat
1.3
5
1
3.0
a
1.5
2
3
2.5
Media
3.7
1.3
15
Esempio 2:
Nuovo tipo di panettone:
Canditi: si o no
Prezzo: € 3, € 4 o € 5,
Numero profili possibili: P = 3 × 2 = 6
Il rispondente fornisce il seguente ordine di
preferenza:
Canditi
Prezzo
si
€3
si
€4
no
€3
si
€5
no
€4
no
€5
rango
1
2
3
4
5
6
16
Esempio 2:
Calcolando Utilità = 6 - Rango:
canditi
si
no
€3
5
3
prezzo
€4
4
1
€5
2
0
Media
3.7
1.3
Media
4.0
2.5
1.0
Quanto al massimo il cliente è disposto a pagare in più per i canditi?
La variazione di € 1 corrisponde ad una variazione di utilità di 1.5,
Quindi il cliente è disposto a pagare € (1 / 1.5) × (3.7 – 1.3) = € 1.6
17
Il part-worth model
-Le
utilità parziali riferite ai singoli livelli degli attributi sono
denominate part-worth.
-Abbinando
modello additivo e analisi di regressione è possibile
stimare la funzione di utilità individuale di ogni rispondente:
Modello:Y p = ∑ k ∑ l wkl D pkl + ε p
Yp = utilità del prodotto p
wkl = utilità parziale riferita al livello l dell’attributo k
Dpkl = variabile dummy che assume valore 1 se il livello l
dell’attributo k è presente nel profilo p e valore 0 altrimenti
ep = errore casuale
18
Esempio
Attributo
Livello
1:
alimentazione
1: benzina
2: diesel
2: cilindrata
1: 1100
2: 1300
3: 1500
Profilo 1: benzina, 1100
Y1 = w11 ⋅1 + w12 ⋅ 0 + w21 ⋅1 + w22 ⋅ 0 + w23 ⋅ 0 + ε1 = w11 + w21 + ε1
Profilo 2: benzina, 1300
Y2 = w11 ⋅1 + w12 ⋅ 0 + w21 ⋅ 0 + w22 ⋅1 + w23 ⋅ 0 + ε 2 = w11 + w22 + ε 2
…
19
Modelli alternativi
Modello misto con interazioni tra gli attributi:
Yp = ∑k ∑l wkl Dpkl + ∑k ∑s ≠k ∑l ∑m wkl, smDpkl Dpsm + ε p
Vector linear model :
Y p = γ 0 + ∑ k γ k X pk + ε p
Xkp = livello del fattore k nel prodotto p (variabile continua)
(
)
* 2
Ideal point model:
Y p = δ 0 + ∑ k δ k X pk − X pk + ε p
X*kp = livello ideale del fattore k nel prodotto p
20
Le interazioni tra attributi nel
modello misto
alimentazione
cilindrata
Media
b
d
1.1
4
0
2.0
1.3
5
1
3.0
1.5
2
3
2.5
Media
3.7
1.3
Da cilindrata 1100 a cilindrata 1300: variazione utilità = + 1
Da benzina a diesel: variazione utilità = - 2.4
Da benzina 1100 a diesel 1300: variaz. utilità = - 3 ≠ +1-2.4 = -1.4
21
Effetti principali ed effetti di
interazione
Nell’esempio osservato la variazione di utilità complessiva
cambiando contemporaneamente il livello di due
attributi è diversa dalla somma algebrica delle
variazioni di utilità imputabili ai singoli attributi! Î
INTERAZIONE
Effetto principale di un attributo Î cambiamento nella
risposta media dovuto ad un cambiamento di livello
dell’attributo Î wkl
Interazione tra attributi Î effetto combinato di due o più
attributi = cambiamento nella risposta media dovuto al
cambiamento contemporaneo nel livello di due o più
attributi Î wkl,sm
22
Grafico degli effetti principali
Main Effects Plot - Data Means for Y
Main Effects Plot - Data Means for Y
3.0
2.5
Y
Y
3.5
2.5
1.5
2.0
benzina
diesel
alimentazion
1100
1300
1500
cilindrata
23
Grafico degli effetti di interazione
Interaction Plot - Data Means for Y
alimentazion
benzina
diesel
5
Mean
4
3
2
1
0
1100
1300
1500
cilindrata
Spezzate non parallele ⇒ presenza di interazione
24
Modello part-worth additivo in forma
matriciale
Riprendendo l’esempio dell’automobile…
 Y1 
1 0
Y 
1 0
2
 

Y3 
1 0
  = 
Y4 
0 1
Y5 
0 1
 

0 1
Y6 
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
 ε1 

w


0
11
ε 
2


1  w12   
 ⋅  w  + ε 3 
 
0
21

 ε 4 
0  w22   
ε5
 

w


1  23 
ε
 6 
Y = Dw + ε
25
Stima dei parametri: la
multicollinearità
La stima del vettore dei parametri w con il metodo dei
minimi quadrati è data da:
 wˆ1 
 wˆ 
 2
−1
ˆ =  wˆ 3  = DT D DT Y
w
 
 wˆ 4 
 wˆ 5 
Ma (DTD)-1 non può essere calcolata a causa della
multicollinearità delle variabili dummy incluse nella
matrice D, cioè al fatto che ogni colonna della matrice
può essere espressa come combinazione lineare delle
altre.
( )
26
Rimedio alla multicollinearità
Rispecificare il modello aggiungendo il termine costante ed
eliminando una variabile dummy (un livello) per ogni
attributo
 Y1 
1 0 1
Y 
1 0 0
2
 

Y3 
1 0 0
=
 

Y
 4
0 1 1
Y5 
0 1 0
 

0 1 0
Y6 
0
1
0
0
1
0
0
 ε1 

w


0
11
 
 w  ε 2 
1  12 
 ⋅  w  + ε 3 
 
0
21

 ε 4 
0  w22   
ε5
 

w


1  23 
ε 6 
27
Modello rispecificato…
 Y1 
1
Y 
1
2
 

Y3 
1
=
 

Y
4
 
1
Y5 
1
 

Y
1
 6 
1 1 0
 ε1 

1 0 1
 
 β 0  ε 2 
1 0 0 
 ε 
β
11

 +  3
0 1 0 ⋅ 
 β 21  ε 4 

0 0 1 
  β 22  ε 5 
 
0 0 0
ε 6 
Y = D 0β + ε
28
Interpretazione e stima dei
parametri
Il modello rispecificato in forma non matriciale diventa:
Y p = β 0 + ∑ k ∑l β kl D0 pkl + ε p
b0 = utilità associata al profilo corrispondente ai livelli esclusi
dal modello chiamato anche baseline
bkl = variazione di utilità, rispetto al profilo base o baseline,
che si ottiene portando l’attributo k a livello l
La stima ai minimi quadrati dei parametri di regressione è
data da
(
βˆ = D0T D0
)−1 D0T Y
29
Esempio 1
Abbiamo eliminato dal modello le dummy
D12 : alimentazione diesel; D23 : cilindrata 1500
Il vettore Y è dato da: [4 5 2 0 1 3]T
Le stime ai minimi quadrati dei parametri del modello sono:
βˆ0 = 1.33 βˆ11 = 2.33 βˆ21 = −0.5 βˆ22 = 0.5
Baseline: “auto diesel 1.500”; utilità stimata: 1.33.
LIVELLO
PART WORTH
benzina
1100
1300
2.33
-0.5
0.5
30
Il numero di parametri del
problema
Stiamo indagando su K attributi
Numero di livelli di ciascun attributo: L1, L2,…, LK
Numero di profili (prodotti) possibili: P = L1 × L2 × … × LK
Numero di parametri del modello additivo:
Q = L1 + L2 + … + LK
Numero di parametri del modello rispecificato:
Q ' = Q - K + 1 = L1 + L2 + … + LK - K +1
Se il numero di livelli è uguale per ogni attributo ed è pari
ad L:
31
P = LK
Q=K×L
Q ' = K × (L - 1)
Analisi individuali e aggregate
Analisi individuale: stimo modello predittivo per ogni
rispondente
⇓
Possibile segmentazione a posteriori aggregando
consumatori con funzioni di utilità simili
Analisi aggregata: stimo modello predittivo per gruppo
⇓
Presuppone una stratificazione a priori in cui formare
gruppi omogenei di consumatori, per ciascuno dei quali
verrà stimato un modello
32
Stima dei parametri nell’analisi
aggregata
N = numero di rispondenti
Y = vettore con P × N valori, utilità degli N rispondenti per i P
prodotti osservati
D = matrice delle variabili dummy con P × N righe e K colonne
w = vettore delle K utilità parziali da stimare
In pratica vengono “impilati” i vettori delle risposte degli N
intervistati, “impilate” le N matrici dummy che descrivono i
profili e così anche i vettori degli errori del modello.
Le procedure di stima per il resto sono le stesse dell’analisi
individuale
33
Importanza relativa degli
attributi
Indicatore di importanza espresso in percentuale.
Concetto: quanto più la modifica dei livelli di un attributo
influisce sull’utilità tanto maggiore è l’importanza di quel
fattore
Importanza relativa dell’attributo k:
(
)
(
)
l
l
IRk =
×100


∑ k max(βˆkl )− min (βˆkl )
l
 l

max βˆkl − min βˆkl
34
Esempio 1
βˆ11 = 2.33
βˆ21 = −0.5
βˆ22 = 0.5
ATTRIBUTO
RANGE
UTILITA’
PARZIALI
Alimentazion
e
2.33 – 0 = 2.33
Cilindrata
0.5 – (- 0.5) = 1 1.00/3.33 ×100 =
30.03
Totale
3.33
IMPORTANZA
RELATIVA (%)
2.33/3.33×100 = 69.97
100
35
Quale modello? Quanti profili?
MODELLO
VANTAGGI
SVANTAGGI
Additivo
Semplice da costruire
e interpretare
Non considera le
interazioni
Misto
Interazioni ⇒ più
informativo
Necessarie più
osservazioni
Le osservazioni in un esperimento di Conjoint Analysis:
N replicazioni dell’esperimento ⇒ N soggetti intervistati
P prove sperimentali ⇒ P profili considerati
Numero di osservazioni = N × P
Se P aumenta cresce il numero di osservazioni ma si complica
l’intervista: 4 attributi su 3 livelli ciascuno ⇒ P = 34 = 81 profili
!
E’ utile ricorrere a tecniche di “Design Of Experiments”
36
Design Of Experiments (DOE)
DOE = insieme di tecniche statistiche e sperimentali finalizzate a
comprendere l’effetto su una variabile dipendente (risposta)
di una o più variabili indipendenti (fattori o trattamenti)
Ogni fattore è caratterizzato da un campo di variazione noto e
discreto all’interno di un insieme di livelli
Obiettivo: definire criteri che permettano di utilizzare un numero
minimo di osservazioni sperimentali per conoscere l’effetto
dei fattori sulla risposta
37
Piani fattoriali
Piano fattoriale = insieme delle prove
sperimentali determinate dalle
combinazioni dei livelli dei fattori
Piano fattoriale LK = piano fattoriale che
include K fattori con L livelli ciascuno
(es. piano fattoriale 2K, 3K, ecc.)
Piano fattoriale completo: include tutte
le combinazioni possibili dei livelli ⇒
permette di stimare le interazioni ma
include molte prove
Piano fattoriale frazionato: include un sottinsieme (una
frazione) delle combinazioni possibili dei livelli ⇒ permette
di stimare solo gli effetti principali perché gli effetti delle
interazioni sono “confusi” con gli effetti principali.
La risposta per le combinazioni dei livelli escluse dal piano
può essere stimata
38
DOE e Conjoint Analysis
Risposta = giudizio del rispondente (utilità)
Fattori = attributi
Piano fattoriale = insieme dei profili considerati nell’intervista
Quanti e quali profili presentare al rispondente per stimare gli
effetti in modo appropriato minimizzando il numero di stimoli
(profili) presentati? → DOE
Come determinare un piano frazionato?
Manualmente per piani 2K e 3K. Tramite software per piani più
complessi.
39
Esempio di codifica per un piano
23
Prodotto: libreria
Codifica fattore
A
B
C
Descrizone fattore
Colore
Dimension
e
Anta
-1
Bianco
Singola
No
+1
Nero
Doppia
Si
Livello
40
Frazione a metà di un piano 2K
Fattori
Profilo
A
B
Interazioni
C AB AC BC
1
bianca – singola - senza anta
-1 -1 -1 +1 +1 +1
2
bianca – singola - con anta
-1 -1 +1 +1
3
bianca – doppia - senza anta
4
-1
-1
-1 +1 -1
-1 +1
-1
bianca – doppia - con anta
-1 +1 +1
-1
-1 +1
5
nera – singola - senza anta
+1 -1 -1
-1
-1 +1
6
nera – singola - con anta
+1 -1 +1
-1 +1
7
nera – doppia - senza anta
+1 +1 -1 +1
8
nera – doppia - con anta
+1 +1 +1 +1 +1 +1
-1
-1
-1
Schema di confondimento: A=BC, B=AC, C=AB
Criterio: scelgo i profili 2,3,5 e 8 in cui il livello di un’interazione (es. AB)
41
coincide col livello del fattore il cui effetto è confuso con l’interazione (es.
C)
Le Fasi Operative della Conjoint Analysis
1.Individuazione degli attributi e dei livelli di interesse
2.Definizione dei profili di prodotto (combinazioni o stimoli)
da sottoporre al giudizio degli intervistati → piano
sperimentale
3.Scelta di un campione di valutatori
4.Somministrazione dei profili di prodotto ai rispondenti
5.Stima delle utilità parziali ovvero degli effetti principali ed
eventualmente delle interazioni per ogni rispondente
6.Stima dell’importanza relativa di ciascun attributo/fattore;
7.Valutazione dell’utilità totale associata a profili virtuali, non
considerati inizialmente nel piano di rilevazione.
8.Ripetizione dei punti 5, 6 e 7 per ogni gruppo di
rispondenti dopo aver stratificato (segmentato) il
campione (analisi aggregata)
42
Esempio Applicativo della
Conjoint Analysis metrica - 1
Nell’esempio applicativo che segue vengono utilizzati come dati di
partenza i giudizi di valutazione provenienti da una ricerca svolta da
Green, Tull e Album (1988) riguardante un attrezzo meccanico da
lanciare sul mercato, idonea sostituire i pneumatici dell’automobile.
I fattori, con i rispettivi livelli, sono i seguenti:
1) MARCHIO, con modalità Sears, Goodyear, Goodrich.
2) VITA MEDIA DELL’ ATTREZZO, espressa mediante la variabile
PERCORRENZA, con modalità : 30000Km, 40000 Km, 50000
Km.
3) PREZZO, in euro,con modalità : 50 , 60, 70.
4) COLORE, con modalità : bianco e nero
43
Esempio Applicativo della Conjoint
Analysis metrica - 2
Sono stati sottoposti a giudizio, su un campione di potenziali clienti, 18
profili di prodotto, in forma di cartellini, corrispondenti alle combinazioni di
un piano frazionato ortogonale uguale ad 1/3 del piano fattoriale
completo, che presenta tutte le possibili versioni di prodotto pari a 54 (ossia:
3 X 3 X 3 X 2 = 54).
Essendo K = 4 e ΣLk – K +1 =11 – 4 +1 = 8, si deduce che saranno
necessarie almeno 8 combinazioni di livelli dei fattori per stimare 8
coefficienti
Tale schema assume come trascurabili gli effetti di interazione e fornisce
il piano fattoriale più efficiente. Le 18 combinazioni selezionate sono quindi
più che sufficienti a stimare gli effetti principali dei fattori.
Ciascun intervistato ha assegnato un punteggio di valutazione ai 18 profili
su una scala 0-10
(0 = disinteresse completo per il profilo proposto; 10 = interesse massimo)
44
45
Variabili indicatrici
Classi
Z1
Z2
Z3
Sears
1
0
0
Goodyear
0
1
Goodrich
0
0
della marca
Z1
Z2
Z3
50 euro
1
0
0
0
60 euro
0
1
0
1
70 euro
0
0
1
Z1
Z2
Classi
Classi
della marca
Classi
Z1
Z2
Z3
50000 km
1
0
0
Bianco
1
0
40000 km
0
1
0
Nero
0
1
30000 km
0
0
1
della marca
della marca
46
N°
combinazione
Nella tabella sono riportati i
18 stimoli sperimentali descritti
precedentemente con codifica
binaria disgiuntiva completa dei
livelli dei vari fattori, assieme ai
punteggi
di
valutazione
assegnati a detti stimoli dal
rispondente.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Livelli dei fattori espressi in
codifica binaria disgiuntiva
completa.
100
100
100
010
010
010
001
001
001
100
100
100
010
010
010
001
001
001
001
010
100
001
010
100
001
010
100
001
010
100
001
010
100
001
010
100
100
010
001
010
001
100
001
100
010
001
100
010
100
010
0010
010
001
100
10
10
01
01
10
10
10
01
10
01
10
10
10
01
10
10
10
01
Punteggi assegnati
da un rispondente
5,2
7,3
5,7
4,8
7,2
9,3
0,8
3,2
6,4
2,2
8,1
8,3
6,3
7,4
7,3
2,2
4,3
5,7
47
N°
combinazione
Elenco
delle
combinazioni
sperimentali,
matrice
delle
variabili
indicatrici dei livelli dei fattori
espressi in codifica binaria,
con soppressione dell’ultima
colonna, e vettore dei
punteggi di valutazione.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Livelli dei fattori espressi in
codifica binaria disgiuntiva.
10
10
10
01
01
01
00
00
00
10
10
10
01
01
01
00
00
00
00
01
10
00
01
10
00
01
10
00
01
10
00
01
10
00
01
10
10
01
00
01
00
10
00
10
01
00
10
01
10
01
00
01
00
10
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Punteggi assegnati
da un rispondente
5,2
7,3
5,7
4,8
7,2
9,3
0,8
3,2
6,4
2,2
8,1
8,3
6,3
7,4
7,3
2,2
4,3
5,7
48
Nella seguente tabella
sono riportati, per un generico
rispondente, i valori dei
parametri evidenziati nella
formula
precedente,
e
trasformati, ossia traslati di
una quantità uguale alla
costante a; pertanto in tabella
sono riportati i valori bi-a,
corrispondenti agli effetti in
valore assoluto delle varie
categorie di attributi
Attributi e
modalità
Coefficienti di
utilità parziale
Marca
Sears
Goodyear
Goodrich
2,37
3,28
0,00
Percorrenza
50000 km
40000 km
30000 km
3,53
2,67
0,00
Prezzo
50 euro
60 euro
70 euro
1,72
1,48
0,00
Colore
Bianco
Nero
1,23
0,00
Utilità
Utilità parziali stimate per le modalità
modalità di
quattro attributi di un prodotto, per un
rispondente
49
Utilità Parziale
4
3,28
3
2
2,37
1
0
0
Sears
Goodyear
Goodrich
MARCA
50
Importanza relativa dei fattori
Utilità
ATTRIBUTI
Utilità
parziale
più parziale più
grande
piccola
(1)
(2)
Differenza delle Somme
delle Importanza
utilità
differenze
relativa
(3) = (1) - (2)
(4)
(5) = (3)/ (4)
Marca
3,28
0
3,28
9,76
0,336
Percorrenza
3,53
0
3.53
9,76
0,362
Prezzo
1,72
0
1,72
9,76
0,176
Colore
1,23
0
1,23
9,76
0,126
Dalla tabella si osserva che i fattori di maggiore differenziazione del
prodotto sono, rispettivamente, la vita media (espressa in miglia di Km di
percorrenza della vettura) e la marca; il fattore meno importante risulta il
colore.
51

La Conjoint Analysis

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