Teorema di Pitagora

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Teorema di Pitagora

Teorema di Pitagora. Triangolo isoscele. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1
Problemi sul teorema di Pitagora applicato al triangolo isoscele. Completi di soluzione guidata.
Triangle Problems involving Pythagoras Theorem. (Geometry)
1. Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 5 cm e la base misura 8 cm. Calcola il
perimetro e l’area del triangolo.
soluzione
2. Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 13 cm e il perimetro di 36 cm. Calcola la
misura dell’altezza relativa alla base e l’area del triangolo.
soluzione
3. Un triangolo isoscele ha la base di 12 cm e i lati obliqui di 10 cm. Calcola il perimetro e
l’area del triangolo.
soluzione
4. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo isoscele la cui base misura 12 cm e l’altezza 8
cm.
soluzione
5. Calcola l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 32 cm e il lato obliquo di 12,5
cm.
soluzione
6. Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro lungo 112 cm ed è uguale agli 8/3
della base.
soluzione
7. Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base lunga 80 cm e l’altezza
pari ai 15/16 della base.
soluzione
8. Un triangolo isoscele ha la base di 6 cm e l’altezza è i 2/3 della base. Calcola il perimetro e
l’area del triangolo.
soluzione
9. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo isoscele che ha la base e l’altezza lunghe
rispettivamente 12 dm e 3,2 dm.
soluzione
10. Un triangolo isoscele la somma della base e di un lato obliquo è 8 m mentre la loro
differenza misura 2 m. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
soluzione
11. In un triangolo isoscele il rapporto tra la base e la sua altezza è 3/2 e la somma di queste due
misure è 30 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
soluzione
12. Un triangolo isoscele ha la base di 30 cm e il lato obliquo è i 13/10 della base. Calcola il
perimetro e l’area del triangolo.
soluzione
13. Un triangolo isoscele ha la base di 28 cm e l’altezza è i 12/7 della base. Calcola il perimetro
e l’area del triangolo.
soluzione
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14. Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base, pari ai 5/6 dell’altezza
ad essa relativa, lunga 40 cm.
soluzione
15. Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 196 cm e la base di 48 cm.
soluzione
16. In un triangolo isoscele la base misura 27 cm e l’altezza è i 2/3 della base. Calcola la misura
dell’area del triangolo.
soluzione
17. Il perimetro di un triangolo isoscele misura 32 cm. Calcolate l'area del triangolo sapendo che
la base misura 1,2 dm.
soluzione
Soluzioni
Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 5 cm e la base
misura 8 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
Dati e relazioni
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒
b = 8 cm
l = BC = AC = 5 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area
L’altezza relativa alla base divide un triangolo isoscele in due triangoli rettangoli congruenti
(𝐶𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 e 𝐴𝐻 ≅ 𝐻𝐵). I triangoli rettangoli AHC e CHB hanno l’altezza in comune, l’altro
cateto congruente e l’angolo compreso retto.
𝑏 2
2
√
ℎ = 𝑙 −( )
2
8 2
2
√
ℎ = 5 − ( ) = √25 − 16 = √9 = 3 𝑐𝑚
2
𝐴=
𝑏∙ℎ 8∙3
=
= 4 ∙ 3 = 12 𝑐𝑚2
2
2
Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 13 cm
e il perimetro di 36 cm. Calcola la misura dell’altezza
relativa alla base e l’area del triangolo.
Dati e relazioni
2p = 36 cm
l = BC = AC = 13 cm
Richieste
1. altezza rel. base;
2. Area
𝑏 = 2𝑝 − 2 ∙ 𝑙 = 36 − 2 ∙ 13 = 36 − 26 = 10 𝑐𝑚
𝑏 2
2
√
ℎ = 𝑙 −( )
2
10 2
2
√
ℎ = 13 − ( ) = √169 − 25 = √144 = 12 𝑐𝑚
2
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 10 ∙ 12
=
= 10 ∙ 6 = 60 𝑐𝑚2
2
2
Un triangolo isoscele ha la base di 12 cm e i lati obliqui di 10 cm.
Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
Dati e relazioni
b = AB = 12 cm
l = BC = AC = 10 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝑏 2
ℎ = √𝑙 2 − ( )
2
12 2
ℎ = √102 − ( ) = √100 − 36 = √64 = 8 𝑐𝑚
2
2𝑝 = 𝑏 + 2 ∙ 𝑙 = 12 ∓ 2 ∙ 10 = 12 + 20 = 32 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 12 ∙ 8
=
= 12 ∙ 4 = 48 𝑐𝑚2
2
2
Calcola l’area e il perimetro di un triangolo isoscele la cui base misura
12 cm e l’altezza 8 cm.
Dati e relazioni
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒
b = AB = 12 cm
h = CH = 8 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝑏 2
𝑙 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = √( ) + ℎ2
2
𝑙 = √(
12 2
) + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 𝑐𝑚
2
2𝑝 = 𝑏 + 2 ∙ 𝑙 = 12 + 2 ∙ 10 = 12 + 20 = 32 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 12 ∙ 8
=
= 12 ∙ 4 = 48 𝑐𝑚2
2
2
Calcola l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 32 cm e il
lato obliquo di 12,5 cm.
Dati e relazioni
2p = 32 cm
l = BC = AC = 12,5 cm
Richiesta
Area
𝑏 = 2𝑝 − 2 ∙ 𝑙 = 32 − 2 ∙ 12,5 = 32 − 25 = 7 𝑐𝑚
𝑏 2
2
√
ℎ = 𝑙 −( )
2
7 2
ℎ = √12,52 − ( ) = √156,25 − 12,25 = √144 = 12 𝑐𝑚
2
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 7 ∙ 12
=
= 7 ∙ 6 = 42 𝑐𝑚2
2
2
Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro lungo 112
cm ed è uguale agli 8/3 della base.
Dati e relazioni
2p = 112 cm
8
2p = b
3
Richiesta
Area
8
3
𝑏 = 2𝑝: = 112 ∙ = 14 ∙ 3 = 42 𝑐𝑚
3
8
2𝑝 − 𝑏 112 − 42 70
𝑙=
=
=
= 35 𝑐𝑚
2
2
2
𝑏 2
ℎ = √𝑙 2 − ( )
2
42 2
ℎ = √352 − ( ) = √1225 − 441 = √784 = 28 𝑐𝑚
2
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 42 ∙ 28
=
= 42 ∙ 14 = 588 𝑐𝑚2
2
2
Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base
lunga 80 cm e l’altezza pari ai 15/16 della base.
ℎ=
Dati e relazioni
b = 80 cm
15
h=
b
16
Richiesta
1. 2p;
2. Area
15
15
∙𝑏 =
∙ 80 = 15 ∙ 5 = 75 𝑐𝑚
16
16
𝑏 2
80 2
2
√
√
𝑙 = ( ) + ℎ = ( ) + 752 = √1600 + 5625 = √7225 = 85 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 2 ∙ 𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 85 + 80 = 250 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 80 ∙ 75
=
= 40 ∙ 75 = 3000 𝑐𝑚2
2
2
Un triangolo isoscele ha la base di 6 cm e l’altezza è i 2/3 della base.
Dati e relazioni
b = 6 cm
2
h= b
3
Richiesta
1. 2p;
2. Area
2
2
ℎ = 𝑏 = ∙ 6 = 2 ∙ 2 = 4 𝑐𝑚
3
3
𝑏 2
6 2
𝑙 = √( ) + ℎ2 = √( ) + 4 = √9 + 16 = √25 = 5 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 5 + 4 = 10 + 4 = 14 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏∙ℎ 6∙4
=
= 3 ∙ 4 = 12 𝑐𝑚2
2
2
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo isoscele che ha la base
e l’altezza lunghe rispettivamente 12 dm e 3,2 dm.
Dati e relazioni
b = 12 dm
h = 3,2 dm
Richiesta
1. 2p;
2. Area
𝑏 2
12 2
2
√
√
𝑙 = ( ) + ℎ = ( ) + 3,2 = √36 + 10,24 = √46,24 = 6,8 𝑑𝑚
2
2
2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 6,8 + 12 = 13,6 + 12 = 25,6 𝑑𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 12 ∙ 3,2
=
= 6 ∙ 3,2 = 19,2 𝑑𝑚2
2
2
Un triangolo isoscele la somma della base e di un lato obliquo è 8 m
mentre la loro differenza misura 2 m. Calcola il perimetro e l’area del
triangolo.
Dati e relazioni
b + l = 13 cm
b − l = 3 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area
(𝑏 + 𝑙) + (𝑏 − 𝑙) 13 + 3 16
=
=
= 8 𝑐𝑚
2
2
2
(𝑏 + 𝑙) − (𝑏 − 𝑙) 13 − 3 10
𝑏=
=
=
= 5 𝑐𝑚
2
2
2
𝑏=
𝑏 2
8 2
ℎ = √𝑙 2 − ( ) √52 − ( ) = √25 − 16 = √9 = 3 𝑐𝑚
2
2
𝐴=
𝑏∙ℎ 8∙3
=
= 4 ∙ 3 = 12 𝑐𝑚2
2
2
In un triangolo isoscele il rapporto tra la base e la sua altezza è 3/2 e
la somma di queste due misure è 30 cm. Calcola il perimetro e l’area
del triangolo.
Dati e relazioni
𝑏 + ℎ = 30 𝑐𝑚
3
b= h
2
Richieste
1. 2p;
2. Area
3 2 5
+ =
2 2 2
5
2
ℎ = 30: = 30 ∙ = 6 ∙ 2 = 12 𝑐𝑚
2
5
𝑏 = (𝑏 + ℎ) − ℎ = 30 − 12 = 18 𝑐𝑚
𝑏 2
18 2
𝑙 = √( ) + ℎ2 = √( ) + 12 = √81 + 144 = √225 = 15 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 15 + 18 = 30 + 18 = 48 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 18 ∙ 12
=
= 18 ∙ 6 = 108 𝑐𝑚2
2
2
Un triangolo isoscele ha la base di 30 cm e il lato obliquo è i 13/10
della base. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
𝑙=
Dati e relazioni
𝑏 = 30 𝑐𝑚
13
l=
b
10
Richieste
1. 2p;
2. Area
13
∙ 30 = 13 ∙ 3 = 39 𝑐𝑚
10
𝑏 2
30 2
ℎ = √𝑙 2 − ( ) = √392 − ( ) = √1521 − 225 = √1296 = 36 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 39 + 30 = 78 + 30 = 108 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 30 ∙ 36
=
= 15 ∙ 36 = 540 𝑐𝑚2
2
2
Un triangolo isoscele ha la base di 28 cm e l’altezza è i 12/7 della base.
ℎ=
Dati e relazioni
𝑏 = 28 𝑐𝑚
12
h=
b
7
Richieste
1. 2p;
2. Area
12
12
∙𝑏 =
∙ 28 = 12 ∙ 4 = 48 𝑐𝑚
7
7
𝑏 2
28 2
𝑙 = √ℎ2 + ( ) = √482 + ( ) = √2304 + 196 = √2500 = 50 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 50 + 28 = 100 + 28 = 128 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 28 ∙ 48
=
= 14 ∙ 48 = 672 𝑐𝑚2
2
2
Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base,
pari ai 5/6 dell’altezza a essa relativa, lunga 40 cm.
Dati e relazioni
𝑏 = 40 cm
5
h= b
6
Richieste
1. 2p;
2. Area
6
6
ℎ = 𝑏 = ∙ 40 = 6 ∙ 8 = 48 𝑐𝑚
5
5
𝑏 2
40 2
2
√
√
𝑙 = ( ) + ℎ = ( ) + 482 = √400 + 2304 = √2704 = 52 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 52 + 40 = 144 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 40 ∙ 48
=
= 20 ∙ 48 = 960 𝑐𝑚2
2
2
Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 196
cm e la base di 48 cm.
𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 =
Dati e relazioni
𝑏 = 48 cm
2p = 196 cm
Richiesta
Area
2𝑝 − 𝑏 196 − 48 148
=
=
= 74 𝑐𝑚
2
2
2
𝑏 2
48 2
ℎ = √𝑙 2 − ( ) = √742 − ( ) = √5476 − 576 = √4900 = 70 𝑐𝑚
2
2
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 48 ∙ 70
=
= 24 ∙ 70 = 1680 𝑐𝑚2
2
2
In un triangolo isoscele la base misura 27 cm e l’altezza è i 2/3 della
base. Calcola la misura dell’area del triangolo.
Dati e relazioni
𝑏 = 27 cm
2
h= b
3
Richieste
1. 2p;
2. Area
2
2
ℎ = 𝑏 = ∙ 27 = 2 ∙ 9 = 18 𝑐𝑚
3
3
𝑏ℎ 27 ∙ 18
𝐴=
=
= 27 ∙ 9 = 243 𝑐𝑚2
2
2
𝑏 2
27 2
𝑙 = √ℎ2 + ( ) = √182 + ( ) = √324 + 182,25 = √506,25 = 22,5 𝑐𝑚
2
2
2𝑝 = 𝑏 + 2𝑙 = 27 + 2 ∙ 22,5 = 27 + 45 = 72 𝑐𝑚
Il perimetro di un triangolo isoscele misura 32 cm. Calcolate l'area del
triangolo sapendo che la base misura 1,2 dm.
Dati e relazioni
2𝑝 = 32 𝑐𝑚
b = AB = 1,2 dm
Richieste
1. 2p;
2. Area
C
1,2 𝑑𝑚 = 12 𝑐𝑚
𝑙=
2𝑝 − 𝑏 32 − 12 20
=
=
= 10 𝑐𝑚
2
2
2
K
𝑏 2
12 2
2
2
√
√
ℎ = 𝑙 − ( ) = 10 − ( ) = √100 − 36 = √64 = 8 𝑐𝑚
2
2
𝐴=
A
H
B
𝑏 ∙ ℎ 12 ∙ 8
=
= 6 ∙ 8 = 48 𝑐𝑚2
2
2
Keywords
Geometria, Geometria piana, teorema di Pitagora, Pitagora, Equivalenza, Misura delle aree, Area, Superficie,
Triangolo, Triangolo isoscele, Triangolo rettangolo, Triangoli, Problemi di geometria con soluzioni
Geometry, Pythagoras, Pythagoras’s theorem, Area, Area Measurement, Triangle, Triangles, triangle
equilateral, triangle isosceles, triangle scalene, Geometry Problems with Solutions
Geometría, Área, Superficie, Perímetro y áreas de figures planes, triángulos, triángulo, equilátero, isósceles,
escaleno, Área figures planes
Géométrie, Pythagore, Théorème de Pythagore, Aire, Triangle, Isocèle, équilatéral, scalène, Superficie, Aires
et périmètres
Geometrie, Umfang, Fläche, Triangel, Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck,
stumpfwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras, Pythagoras, Dreiecksgeometrie, Satz, Mathematik
Teorema de Pitàgores
Stelling van Pythagoras
Pisagor teoremi
Πυθαγόρειο θεώρημα
Den pythagoræiske læresætning
Teorema de Pitágoras
Pythagoras’ læresetning
Pythagoras sats
Pythagoraan lause
Теорема Піфагора
Pythagorova věta
Twierdzenie Pitagorasa
Teorema lui Pitagora
‫مبرهنة فيثاغورس‬
勾股定理
ピタゴラスの定理

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