Il primo teorema di Euclide afferma che in ogni triangolo rettangolo

Classe terza
I teoremi di Euclide
( a cura della prof. Destradis Carmelisa)
Il primo e il secondo teorema di Euclide si applicano al triangolo rettangolo.
Consideriamo un triangolo rettangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa.
Innanzitutto AB è l’ipotenusa
AC e BC sono i cateti
CH è l’altezza relativa all’ipotenusa
AH e HB sono le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
Si formano due triangoli simili ABC e AHB, avendo gli angoli congruenti.
Pertanto è possibile scrivere le seguenti proporzioni:
AB : AC = AC : AH
AB : BC = BC : BH
Il primo teorema di Euclide afferma che in ogni triangolo rettangolo
ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del
cateto stesso sull’ipotenusa.
Tale definizione è molto utile nella risoluzione dei problemi, anche se non è
propriamente geometrica, come la seguente:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è
equivalente al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione del
cateto sull’ipotenusa.
Per aiutarti puoi esprimere il primo teorema di Euclide così:
ipotenusa : cateto = cateto : proiezione del cateto sull’ipotenusa
Dalla proporzione AB : AC = AC : AH si possono ricavare
AB
AC
AH
Dalla proporzione AB : BC = BC : BH si possono ricavare
AB
BC
BH
Inoltre se conosco i due cateti o un cateto e l’ipotenusa posso applicare il
TEOREMA DI PITAGORA
AB
BC
AC
Esercizi sul primo teorema di Euclide
( Ci si riferisce ad un triangolo rettangolo ABC con ipotenusa AB e cateti AC,BC e
l’altezza relativa all’ipotenusa CH)
1. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e un cateto misurano rispettivamente 64
cm e 36 cm. Determina la lunghezza della proiezione del cateto
sull’ipotenusa.
2. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 80 cm e la proiezione del cateto
20 cm. Determina la lunghezza del cateto.
3. In un triangolo rettangolo un cateto misura 18 cm e la sua proiezione
sull’ipotenusa 12 cm . Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
Completa la seguente tabella : le misure sono in centimetri ( il procedimento va
scritto sul quaderno e puoi approssimare alle unità)
4)
AB
72
5)
6)
125
7)
126
8)
280
9)
AC
96
40
HB
14
224
20
90
320
AH
45
48
10)
11)
BC
48
36
192
Se riesci, risolvi gli esercizi da solo, altrimenti ……. leggi qui di seguito.
Ricordati: Se sai a memoria i teoremi e le regole o se li ripeti ogni volta a voce alta
da solo, anche leggendoli, ti sarà più facile applicarli
Risoluzione
1) Occorre ricordarsi la proporzione risolutiva :
AB : AC = AC : AH
Poiché AB è l’ipotenusa e AC è il cateto , indicando con x la proiezione, si
deve risolvere una proporzione continua di cui non si conosce il terzo
proporzionale e pertanto
AB : AC = AC : AH
64 : 36 = 36: x da cui x = …..
2) La proporzione risolvente è quella dell’esercizio n°1 , ma questa volta il
termine mancante è il cateto, che indicheremo con x
AB : AC = AC : AH
80 : x = x : 20 da cui x = …..
3) Applicando sempre il 1^ teorema di Euclide che dice:….( ripetilo sempre ogni
volta!) si ha :
AB : AC = AC : AH
x : 18 = 18 : 12 da cui x =…….
Per gli esercizi seguenti la proporzione è la stessa , ma le cose possono
complicarsi ( !!!!!) perché occorre utilizzare anche il teorema di Pitagora e
qualche piccolo calcolo.
Innanzitutto occorre sempre ripetere i teoremi studiati, senza stancarsi
ma con la certezza che sapendoli a memoria è più facile applicarli
Per gli esercizi dal n° 4 alla fine occorre applicare :
4)
A. Teorema di Pitagora per trovare il cateto AC
B . 1^ teorema di Euclide per trovare AH
C. BH = AB – AH
5)
A. Teorema di Pitagora per trovare AB
B. 1^ teorema di Euclide per trovare AH
C. HB per differenza tra AB e AH
6)
A. 1^ teorema di Euclide per trovare AC
B. Teorema di Pitagora per trovare BC
C. HB per differenza tra AB e AH
7)
A. 1^ teorema di Euclide per trovare BC
B. Teorema di Pitagora per trovare il cateto AC
C. AH = AB - …..
8) A. Teorema di Pitagora per trovare BC
E poi come il 4
9) come il 5
10) A. AB con il 1^ t. di Euclide
B. BC con il t. di Pitagora e poi come il 4
11) come il n° 8.