Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi non decimali
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Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi non decimali
Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi di misure non decimali Misurare una grandezza significa, dopo aver prefissato una unità di misura, calcolare quante volte tale unità è contenuta nella grandezza in esame. Il numero che esprime il rapporto fra una certa grandezza e l’unità si dice misura. Il nostro sistema di misura è il Sistema Metrico Decimale. Metrico perché ha come unità fondamentale il metro. Decimale perché i multipli e i sottomultipli del metro si ottengono da questo moltiplicando e dividendo per 10, 100, 1000,… In tale sistema oltre all’unità di misura fondamentale, il metro, si considerano anche le unità di superficie, di volume, di capacità e di peso che sono rispettivamente: il metro quadrato, il metro cubo, il litro e il grammo. Accanto alle unità fondamentali sono da considerare le unità secondarie, ovvero i multipli e i sottomultipli di queste grandezze. Misure di lunghezza L’unità di misura delle lunghezze è il metro (m). Decametro Ettometro Chilometro Miriametro (dam) (hm) (km) (Mm) Decimetro Centimetro Millimetro (dm) (cm) (mm) Multipli del metro = 10 m = 100 m = 10 dam = 1000 m = 100 dam = 10 hm = 10.000 m = 1000 dam = 100 hm = 10 km Sottomultipli del metro = 0,1 m = 0,01 m = 0,1 dm = 0,001 m = 0,01 dm = 0,1 cm Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura, espressa mediante una certa unità, alla stessa misura, espressa nell’unità immediatamente seguente, bisogna moltiplicare o dividere per 10. In generale: date le unità di misura scritte in ordine decrescente, per passare dalla misura, espressa in una unità, alla misura espressa in una unità maggiore o minore di quella, si sposta , a sinistra o a destra rispettivamente, la virgola di tanti posti quanti sono gli spazi che separano le due unità nella serie decrescente delle unità: Mm Km hm dam m dm cm mm Esempio 31,7 m = 317 dm = 3170 cm = 3,17 dam = 0,317 hm = 0,0317 km = 0,00317 Mm PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 1 Misure di superficie L’unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m2). (dam2) Decametro quadrato Ettometro quadrato (hm2) Chilometro quadrato (km2) Miriametro quadrato (Mm2) Decimetro quadrato (dm2) Centimetro quadrato (cm2) Millimetro quadrato (mm2) Multipli del metro quadrato = 100 m2 = 10.000 m2 = 100 dam2 = 1.000.000 m2 = 10.000 dam2 = 100 hm2 = 100.000.000 m2 = 1.000.000 dam2 Sottomultipli del metro quadrato = 0,01 m2 = 0,0001 m2 = 0,1 dm2 = 0,000001 m2 = 0,0001 dm2 = 0,01 cm2 Il fattore di conversione è 100, cioè per passare da una misura ad un’altra si applica la stessa regola indicata per le misure di lunghezza. In questo caso bisogna spostare la virgola di un numero di posti doppio. In generale: date le unità di misura scritte in ordine decrescente, per passare dalla misura, espressa in una unità, alla misura espressa in una unità maggiore o minore di quella, si sposta, a sinistra o a destra rispettivamente, la virgola il doppio di tanti posti quanti sono gli spazi che separano le due unità nella serie decrescente delle unità: Mm2 Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Esempio 31,7 m2 = 3170 dm2 = 317000 cm2 = 0,317 dam2 Misure agrarie L’unità di misura agraria è l’ara (a), cioè un quadrato di lato un decametro. Ettaro (ha) Centiara (ca) Multipli dell’ara = 100 a = 10.000 m2 Sottomultipli dell’ara = 1 m2 Il fattore di conversione è 100. Esempio 7234 a = 72,34 ha PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 2 Misure di volume L’unità di misura di volume è il metro cubo (m3), cioè il cubo avente lo spigolo di un metro. Multipli del metro cubo = 1000 m3 = 1.000.000 m3 = 1000 dam3 = 109 m3 = 106 dam3 = 103 hm3 = 1000 km3 Sottomultipli del metro cubo = 0,001 m = 0,000001 m3 = 0,001 dm3 = 0,000001 dm3 = 0,001 cm3 Decametro cubo (dam3) Ettometro cubo (hm3) Chilometro cubo (km3) Miriametro cubo (Mm3) Decimetro cubo (dm3) Centimetro cubo (cm3) Millimetro cubo (mm3) Il fattore di conversione è 1000, cioè per passare da una misura ad un’altra si applica la stessa regola indicata per le misure di lunghezza. In questo caso bisogna spostare la virgola di un numero di posti triplo. Mm3 Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Esempio 31,7 m3 = 31700 dm3 = 0,0317 dam3 Misure di capacità L’unità di misura di capacità è il litro (l), che è la capacità di un dm3, cioè un cubo avente lo spigolo di un dm. Decalitro (dal) Ettolitro (hl) Decilitro (dl) Centilitro (cl) Multipli del litro = 10 l = 100 l = 10 dal Sottomultipli del litro = 0,1 l = 0,01 l = 0,1 dl Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura ad un’altra si ripete esattamente quanto detto per le misure di lunghezza. hl dal l dl cl Esempio 31,7 l = 3,17 dal = 0,317 hl PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 3 Misure di peso L’unità principale di misura dei pesi è il grammo (g), che è il peso di un cm3 di acqua distillata a 4° C, cioè il peso dell’acqua distillata contenuta in un cubo avente lo spigolo di un cm. Decagrammo Ettogrammo Chilogrammo Miriagrammo Quintale Tonnellata (dag) (hg) (kg) (Mg) (q) (t) Decigrammo Centigrammo Milligrammo (dg) (cg) (mg) Multipli del grammo = 10 g = 100 g = 10 dag = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 kg = 100 hg = 1000 dag = 10 Mg = 100 kg = 1000 hg = 10 q = 100 Mg = 1000 kg Sottomultipli del grammo = 0,1 g = 0,01 g = 0,1 dg = 0,001 g = 0,01 dg = 0,1 cg Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura ad un’altra si procede come visto per le misure di lunghezza. t q Mg kg hg dag g dg cg mg Peso specifico Il peso specifico di un corpo è il peso dell’unità di volume di una sostanza. Esprime quindi quanti grammi pesa un cm3 della sostanza di cui è fatto il corpo, o quanti chilogrammi pesa un dm3 oppure quante tonnellate pesa un m3. Ad esempio il peso specifico dell’argento è 10,5. Si intende dire che: 1 cm3 di argento ha un peso di 10,5 g 1 dm3 di argento ha un peso di 10,5 kg 1 m3 di argento ha un peso di 10,5 t Il peso specifico ps di un corpo si ottiene dividendo il suo peso P espresso in g per il suo volume V espresso in cm3 o il suo peso in kg per il suo volume in dm3 oppure il suo peso in t per il suo volume in m3. 𝒑𝒔 = PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 𝑷 𝑽 → 𝑃 = 𝑝𝑠 ∙ 𝑉 4 → 𝑉= 𝑃 𝑝𝑠 Tavola dei pesi specifici di alcuni corpi Esempio Calcolare il peso P di 22,5 mm3 di oro. L’oro ha peso specifico ps = 19,3. Trasformiamo i mm3 in cm3. 22,5 𝑚𝑚3 = 0,0225𝑐𝑚3 𝑃 = 𝑝𝑠 ∙ 𝑉 → 𝑃 = 19,3 ∙ 0,0225 = 0,4275 𝑔 PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 5 Sistemi di misura non decimali I sistemi non decimali sono caratterizzati dal fatto che il rapporto fra l’unità di misura e i suoi sottomultipli o i suoi multipli non è 10 o un multiplo di 10, come nei sistemi decimali, ma un numero diverso da dieci, e neppure costante, che si chiama modulo del numero non decimale. In molti paesi di lingua inglese si fa uso di sistemi non decimali. In Italia l’uso di essi è rimasto solo per le misure del tempo e degli angoli. Misura del tempo L’unità fondamentale per la misura del tempo è il giorno solare, definito come il tempo impiegato, dalla terra per compiere una rotazione completa intorno al proprio asse. Non tutti i mesi sono composti dallo stesso numero di giorni. Per ragioni commerciali si è convenuto di considerare tutti i mesi di 30 giorni; di conseguenza l’anno commerciale è di 360 giorni anche se l’anno si compone di 365 giorni, 5 ore, 48 minuti e 46 secondi. Nello specchietto che segue vengono riportate le unità di misura, i multipli e i sottomultipli con i relativi fattori di conversione Anno commerciale Mese commerciale giorno (g) ora (h) Minuto primo (m) Minuto secondo (s) = 360 giorni = 30 giorni = 1/24 di giorno = 1/60 di ora = 1/60 di minuto primo Misura degli angoli L’unità di misura degli angoli è il grado, definito come la novantesima parte dell’angolo retto o la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. Il fattore di conversione che ricorre in tale sistema è 60, da cui il nome sistema sessagesimale. Del grado si considerano solo i sottomultipli: il primo sessagesimale, pari a 1/60 di grado, e il secondo sessagesimale, pari a 1/60 di primo. Grado (°) Primo (‘) Secondo (“) PROF. GIUSEPPE FRASSANITO = 1/90 di angolo retto = 1/60 di grado = 1/60 di primo 6 Misure inglesi In Inghilterra sono ancora in uso sistemi di misura non decimali. Presentiamo i più importanti di essi perché si possono incontrare in taluni settori del mondo della tecnica e del commercio. Misure di lunghezza miglio terrestre yard (yd) piede (ft) Pollice (inch) = 1760 yarde = 1609,344 m unità fondamentale = 0,9144 m = 1/3 yarda = 30,48 cm = 1/36 di yarda = 2,54 cm Misure di superficie unità fondamentale = 0,8361 m2 = 1/9 di sq. yd = 929,03 cm2 = 1/1296 di sq. yd = 6,4516 cm2 yard quadrata (sq. yd) piede quadrato (sq. ft) Pollice quadrato (sq. in) Misure di volume unità fondamentale = 0,7645 m3 = 1/27 di cu. yd = 28,32 cm3 = 1/46656 di cu. yd = 16,387 cm3 yard cubica (cu. yd) piede cubica (cu. ft) Pollice cubico (cu. in) Misure di capacità gallone quarto pinta gill unità fondamentale = 4,55 l = ¼ di gallone = 1,1375 l = 1/8 di gallone = 0,569 l = 1/32 di gallone = 0,142 l Misure di peso ton. cwt. libbra oncia = 20 cwt. = 10,17 q = 112 libbre = 50,848 kg unità fondamentale = 0,454 kg = 1/16 di libbra = 28,35 g Sistema monetario Sterlina (Lst) Scellino (sc) PROF. GIUSEPPE FRASSANITO unità fondamentale = 1/20 di sterlina 7 Pence (p) Farthing (far) = 1/12 di scellino = 1/4 di pence Trasformazioni e operazioni con le misure non decimali Si dice che una misura non decimale è in forma normale, quando i numeri delle singole unità non superano i fattori di conversione fra le stesse e quelle immediatamente superiori. Ad esempio la misura non decimale 5h 27m 18s è in forma normale perché 18 è minore di 60, che è il fattore di conversione tra minuto secondo e minuto primo; 27 non supera 60, fattore di conversione tra primo e ora; 5 è minore di 24, fattore di conversione tra ora e giorno. La misura non decimale 29h 85m 94s non è invece in forma normale. Riduzione a forma normale Esempio Ridurre a forma normale la misura non decimale 1g 23h 137m 78s. Ragionamento: dividendo 78s per 60 otteniamo 1m con resto 18s. Sommando il minuto ottenuto ai 137m si ottengono 138m. Dividendo 138m per 60 otteniamo 2h con resto 18m. Sommiamo le 2h alle 23h ottenendo 25h che sono un giorno con il resto di un’ora. Il numero dei giorni così diventa 2. Otteniamo, così, la misura in forma normale di 2g1h18m18s. Procedimento numerico: 1𝑔 23ℎ 137𝑚 78𝑠 1𝑔 23ℎ 137𝑚 (1𝑚 + 18𝑠 ) 1𝑔 23ℎ (137𝑚 + 1𝑚 )18𝑠 1𝑔 23ℎ 138𝑚 18𝑠 1𝑔 23ℎ (2ℎ + 18𝑚 )18𝑠 1𝑔 (23ℎ + 2ℎ )18𝑚 18𝑠 1𝑔 25ℎ 18𝑚 18𝑠 1𝑔 (1𝑔 + 1ℎ )18𝑚 18𝑠 (1𝑔 + 1𝑔 )1ℎ 137𝑚 78𝑠 2𝑔 1ℎ 18𝑚 18𝑠 PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 8 Riduzione di una misura non decimale all’unità di ordine inferiore e superiore Esempio Ridurre la misura non decimale 2h 20m 13s in minuti secondi e in ore. 2ℎ 20𝑚 13𝑠 = 2 ∙ 3600 + 20 ∙ 60 + 13 = 8413𝑠 2ℎ 20𝑚 13𝑠 = 2 + 20 13 7200 + 1200 + 13 8413 ℎ + = =( ) 60 3600 3600 3600 Riduzione a misura non decimale di una misura di unità di un dato ordine Ridurre in misura non decimale, la misura di un angolo di 215.138 secondi. Dividendo 215.138 per 60 si ottiene 3585 come quoziente e 38 come resto. Il resto rappresenta i secondi del numero non decimale. Dividendo ulteriormente 3585 per 60 si ottiene 59 come quoziente, che sono i gradi, e 45 come resto che sono i primi. Pertanto si ha: 215.138" = 59° 45′ 38" Riduzione di una misura non decimale in misura decimale Qualche volta, soprattutto in problemi di meccanica, si ha la necessità di esprimere una misura non decimale con una decimale. Ad esempio vogliamo calcolare la velocità media di un corpo che compie 180 km in 2h37m16s. Sappiamo che la velocità di un corpo è data dallo spazio diviso il tempo. Pertanto per fare tale rapporto è necessario trasformare la misura non decimale del tempo in una decimale 2ℎ 37𝑚 16𝑠 = 2 + 37 16 + = 2,621 60 3600 La velocità del corpo sarà: 𝑣= PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 180 𝑘𝑚 = 68,676𝑘𝑚/ℎ 2,621ℎ 9 Operazioni elementari con le misure non decimali a) Addizione Date due o più misure non decimali, per addizionarle, si incolonnano e si addizionano le unità dello stesso ordine. Il numero non decimale ottenuto si trasforma in forma normale se non lo è. Esempio 3g 21h 35m 44s + 7g 16h 51m 18s = _________________ 10g 37h 86m 62s forma non normale g h m s 11 14 27 2 forma normale b) Sottrazione Date due misure non decimali, per trovare la loro differenza, si incolonna il sottraendo sotto il minuendo e si sottrae da ogni numero delle unità del minuendo il numero corrispondente del sottraendo eventualmente prendendo a prestito una unità immediatamente superiore. Esempio 97° 73’ 88” 41° 33’ 49” = ____________ 56° 40’ 39” c) Moltiplicazione di un numero non decimale per un numero intero Si moltiplica il numero intero per i numeri delle singole unità della misura non decimale. Il numero non decimale ottenuto si trasforma in forma normale se non lo è. Esempio 5g 13h 37m 12s x 7 = _________________ 35g 91h 259m 84s 38g 23h 20m 24s PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 10 forma non normale forma normale Per moltiplicare due misure non decimali bisogna convertire le due misure all’unità inferiore, moltiplicare i due numeri ottenuti e riconvertire il prodotto nella forma normale della misura non decimale. d) Moltiplicazione di un numero non decimale per un numero intero Si dividono i numeri delle unità della misura non decimale per il numero intero, cominciando dall’unità maggiore, tenendo presente che i resti della divisione, moltiplicati per i relativi fattori di conversione, vanno sommati ai numeri delle unità inferiori. Esempio 7g ____6g___ 13h 47m 56s : ________6___________ 1g 6h 17m 59s 1X24 = 24h__ 37h __36h___ 1X60 = _60m__ 107m __102m__ 5X60 = _300s_ 356s ___354s___ 2s Talvolta occorre conoscere il rapporto tra due angoli o fra due intervalli di tempo espresso in forma non decimale. Per fare ciò è opportuno convertire i numeri all’unità inferiore ed eseguire la divisione con l’approssimazione desiderata ottenendo un numero razionale. Esempio Determinare il rapporto tra gli angoli 67° 17’ 58” e 12° 24’ 35” . Convertiamo all’unità inferiore: 67° 17’ 58” = (67x3600 + 17x60 + 58)” = 242278” 12° 24’ 35” = (12x3600 + 24x60 + 35)” = 44675”. PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 11 Facciamo quindi la divisione fra i numeri trovati: 242278 : 44675 = 5,423… Bibliografia: C. Bettella – A. Marri Corso di Matematica vol. 1 PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 12