Costruzioni idrauliche

Costruzioni idrauliche
Luciano Pirri - 1998
4 ottobre 2015
Indice
1 Idrodinamica
1.1 Viscosità, o attrito interno . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Liquido perfetto e reale . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Il moto dei ‡uidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Moto vario . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Moto permanente . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Portata - Legge di continuità . . . . . . . . . . . .
1.5 Teorema di Bernoulli per liquidi ideali . . . . . . .
1.6 Rappresentazione gra…ca del teorema di Bernoulli .
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3
4
5
5
5
5
5
6
7
2 Correnti in moto uniforme
2.1 Equazione del moto in una condotta . . . . .
2.2 Equazione del moto in un canale . . . . . . .
2.3 Perdite di carico continue . . . . . . . . . . .
2.4 Condotte in pressione in tubi circolari . . . .
2.5 Perdite di carico continue nei circuiti termici
2.6 Canali in condotte circolari . . . . . . . . . .
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7
7
7
8
8
9
10
3 Corsi d’acqua naturali - Sistemazioni
3.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Suddivisione del corso di un torrente
3.3 Rimboschimento . . . . . . . . . . .
3.4 Sistemazione delle pendici montane .
3.5 Sistemazioni degli alvei . . . . . . . .
3.6 Briglie o traverse . . . . . . . . . . .
montane
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11
4 Canali
4.1 Correnti lente veloci e rapide . . . .
4.2 Sezioni idrauliche nel moto uniforme
4.3 Veri…ca . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Progetto . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Trapezia isoscele . . . . . . .
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23
6 Calcolo della sezione del collettore
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Criteri di scelta . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Ricerca della velocità massima . . . . . . .
6.2.3 Ricerca della portata massima . . . . . . .
6.3 Sezione ovoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Canale di minima resistenza - sezione semicircolare
6.4.1 Relazioni disponibili . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Uso della formula di Bazin . . . . . . . . .
6.4.3 Uso della formula di Strickler . . . . . . . .
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39
40
41
4.5
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.5
Tavola
Sezioni di minima resistenza .
Circolare . . . . . . . . . . .
Semicircolare . . . . . . . . .
Trapezia isoscele . . . . . . .
sinottica per esercizi . . . . .
5 Smaltimento delle acque
5.1 Introduzione . . . . . . . . .
5.2 Il bacino idrogra…co . . . .
5.3 Tempo di corrivazione . . .
5.4 Linea segnalatrice di pioggia
5.5 Portata di progetto . . . . .
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7 Esempio di progetto di un canale
7.1 Pro…lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Indagini idrologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Tempo di corrivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Linea segnalatrice di pioggia . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Coe¢ ciente udometrico . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Portata di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Progetto della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Forma e dimensioni e natura dell’alveo della sezione .
7.3.2 Prima soluzione - Altezza assegnata . . . . . . . . . .
7.3.3 Seconda soluzione - snellezza assegnata . . . . . . . .
7.3.4 Terza soluzione - Velocità assegnata . . . . . . . . . .
7.3.5 Quarta soluzione. Sezione di minima resistenza per
assegnato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Scelta della sezione da adottare . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Dimensionamento del salto di fondo . . . . . . . . . . . . . .
8 Sintesi matematica per la sezione trapezia
42
8.1 Gli strumenti di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2 Le formule disponibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.3 Prima soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
8.4
8.5
8.6
1
Seconda soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Terza soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quarta soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
45
Idrodinamica
1.1
Viscosità, o attrito interno
La viscosità è al misura dell’attrito interno dei ‡uidi. L’aumento della viscosità
provoca un aumento della di¢ coltà con cui il ‡uido scorre all’interno di un
condotto. Un ‡uido perfetto ha viscosità nulla.
Consideriamo due elementi piani e paralleli di ‡uido di super…cie A e distanti
tra loro di y, il primo elemento ha velocità V ed il secondo ha velocità V + V .
Per mantenere il movimento è necessario applicare una forza che aumenta con
l’aumentare dell’estensione della super…cie A, con l’aumentare della di¤erenza
di velocità tra gli strati V e con l’attrito interno del ‡uido rappresentato
dalla viscosità . La forza diminuisce con l’aumentare della distanza tra le
super…ci y: In altri termini la forza aumenta con l’aumentare della rapidità
con cui varia le velocità con la profondità. Questa rapidità è rappresentata dal
gradiente V = y.
F = A
V
y
Da questa ricaviamo la de…nizione di viscosità
=
F
A
y
V
le dimensioni sono
=
Ns
N m
= 2 = Pa
m2 m= s
m
s=
kg
ms
è anche usata come unità il poise
poise = 0:1 kg m
1
s
1
La viscosità varia molto con la temperatura, ad esempio per l’aria
(t) = 9:807
1:72 10
6
(1 + 3:3 10
3
3
t + 7 10
6 2
t ) Pa
s
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Viscosità dell’aria
10
120
5
Esempio 1 a t = 25 C si ha (25) = 9:807
1: 833 10 5 Pa s
140
160
180
200
e temperatura
1:72 10
6
(1 + 3:3 10
3
t + 7 10
Spesso è utile considerare la viscosità cinematica, detta così perché contiene
soltanto unità di misura della cinematica
=
1.2
=
kg m3
m2
=
m s kg
s
Liquido perfetto e reale
Un liquido perfetto è un liquido ideale (che non esiste in realtà) che è privo di
viscosità e incomprimibile.
Chiariamo meglio i limiti della schematizzazione di un ‡uido reale con uno
ideale (cioè privo di viscosità).
Mettiamo in equilibrio verticale una moneta su un tavolo. Se la investiamo
con un getto d’acqua questa cade sempre sia se consideriamo l’acqua un ‡uido
perfetto (o ideale) sia se la consideriamo un ‡uido reale. Le cose cambiano
se poniamo la moneta in equilibrio verticale sul fondo di un bicchiere colmo
d’acqua. Se l’acqua è ferma la moneta rimane sicuramente in piedi. Le cose
cambiano se l’acqua è in movimento. In questo caso l’acqua reale fa cadere
sicuramente la moneta mentre l’acqua ideale la lascerebbe in piedi. Osserviamo
ancora che un tornado se fosse provocato dal movimento d’aria perfetta (o ideale)
non provocherebbe nessun danno alle cose, anzi non sposterebbe neanche una
foglia e inoltre non avrebbe mai …ne (inoltre non potrebbe mai iniziare).
4
t
6 2
t )
t=25
=
Vediamo di capire la …sica del fenomeno.
Un ‡uido perfetto è privo di viscosità, cioè privo di attrito e per questo
non è in grado di esercitare alcuna forza su un ostacolo immerso in esso, anche
se in movimento (paradosso di D’Alambert). Per il secondo principio della
dinamica F = ma ad una forza nulla corrisponde la quiete o il moto rettilineo
uniforme, quindi se il ‡uido perfetto è in movimento rimane in movimento senza
necessità di applicare nessuna forza e quindi nessuna potenza. Questo è vero
solo se l’ostacolo è completamente immerso mentre non è più vero se l’ostacolo
è investito da un getto di ‡uido in quanto in questo caso nasce una forza dovuta
alla variazione della quantità di moto mv dovuta alla variazione del vettore
velocità. Questo è il caso delle macchine idrauliche dove un getto d’acqua investe
delle pareti (ad esempio le pale di una turbina) e le sposta sia se consideriamo
l’acqua reale sia se la consideriamo ideale. In questo caso, infatti, le pareti (le
pale della turbina) non sono immerse ma investite dal getto d’acqua.
1.3
Il moto dei ‡uidi
Il moto di una corrente liquida di un ‡uido a densità costante (cioè incomprimibile) è caratterizzato dai valori che assumono nei vari punti della corrente la
pressione P e la velocità V .
1.3.1
Moto vario
E’il caso più generale e si ha quando P e V variano da punto a punto e nello
stesso punto al passare del tempo.
1.3.2
Moto permanente
Si ha quando P e V sono diversi da punto a punto ma nello stesso punto hanno
sempre lo stesso valore. Ad esempio il moto dell’acqua in un canale o un …ume.
Se consideriamo due sezioni diverse in esse transita la stessa portata d’acqua
(equazione di continuità) ma la velocità e la pressione sono diverse tra le due
sezioni e rimangono le stesse al passare del tempo (corrente stazionaria)
1.3.3
Moto uniforme
E’un caso particolare del moto permanente. P e V non cambiano lungo la traiettoria della particella liquida, pur potendo cambiare da traiettoria a traiettoria..
E’il caso di canali o tubazioni a sezione costante.
1.4
Portata - Legge di continuità
La legge della continuità è una forma della legge più generale delle legge di
conservazione della massa. In un condotto indeformabile la massa che entra in
una sezione è uguale a quella che esce nell’altra
1 V1 A1
=
5
2 V2 A2
se il ‡uido è incomprimibile la sua densità rimane costante e quindi l’espressione si sempli…ca nella
V1 A1 = V2 A2
nella quale è descritto il semplice fatto …sico che se diminuisce la sezione
aumenta la velocita e viceversa.
1.5
Teorema di Bernoulli per liquidi ideali
Si tratta dell’applicazione del teorema di conservazione dell’energia meccanica
ad una corrente stazionaria di un ‡uido perfetto (o ideale) con densità costante
(incomprimibile).
In un sistema isolato la variazione dell’energia meccanica è pari al lavoro
delle forze esterne applicate.
Le forze esterne applicate sono dovute alle pressioni agenti agli estremi del
condotto e la somma dei lavori svolti è
W = F1 s1
F2 s2 = p1 A1 s1
p2 A2 s2 [ J]
l’energia meccanica è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
del volume di ‡uido interessato e quindi la sua variazione vale
E=
1
m1 v12 + m1 gh1
2
1
m2 v22 + m2 gh2
2
[ J]
uguagliando le precedenti otteniamo
E
1
2
m1 v1 + m1 gh1
2
1
m2 v22 + m2 gh2
2
= W
= p1 A1 s1
p2 A2 s2
Le masse possono essere espresse in funzione della densità
m1 = A1 s1 ; m2 = A2 s2
che sostituite nella equazione precedente fornisce
1
A2 s2 v22 + A2 s2 gh2
2
1
A1 s1 v12 + A1 s1 gh1
2
= p1 A1 s1
Data l’incomprimibilità del ‡uido i volumi sono uguali, cioè
V = A1 s1 = A2 s2
e sempli…cando la precedente si ottiene
1 2
v + gh2
2 2
1 2
v + gh1
2 1
6
= p1
p2
J
m3
p2 A2 s2
che può essere riscritta nel seguente modo:
1 2
1 2
v + gh2 + p2 =
v + gh2 + p2 = cost
2 2
2 2
e rappresenta l’equazione di Bernoulli.
1.6
(1)
Rappresentazione gra…ca del teorema di Bernoulli
Nelle applicazioni tecniche si usa riscrivere l’equazione di Bernoulli 1 in una
forma di¤erente che consente una utile rappresentazione gra…ca. Sostituendo la
de…nizione di peso volumico l’equazione Bernoulli diventa
H=
J= m3
J
Nm
=
=
= m
N= m3
N
N
p
v2
+ +h
2g
(2)
in cui tutti i termini hanno le dimensioni di una altezza. Il carico totale H
…sicamente rappresenta l’energia posseduta dal peso di 1 N, quindi l’energia del
generico peso Fp vale E = Fp H [ J].
2
Correnti in moto uniforme
2.1
Equazione del moto in una condotta
Applichiamo il teorema di Bernoulli tra due sezioni di una condotta:
z1 +
p1
+
v12
2g
z2 +
p2
+
v22
2g
=Y
Nel moto uniforme la velocità è costante quindi v1 = v2 e sempli…cando
rimane
z1 +
p1
p2
z2 +
=
1
2
=Y
Indicando con L la lunghezza della condotta si ottiene la pendenza piezometrica
J = Y =L
2.2
Equazione del moto in un canale
Nei canali l’altezza del livello dell’acqua è costante quindi nel fondo si ha p1 = p2
e allora rimane
z1
z2 =
1
2
=Y
In un tratto lungo L la pendenza piezometrica vale
7
Y
2
= 1
= sin
L
L
dove
è l’inclinazione del canale. La pendenza geometrica del canale i
(pendenza motrice)
J=
z2
= tan
L
ma per piccoli valori di si ha tan ' sin quindi la pendenza piezometrica
è uguale alla pendenza del fondo
i=
z1
J =i
2.3
Perdite di carico continue
Le perdite di carico sono date in generale dalla relazione
J=
V2
8g R
(3)
dove è un coe¢ ciente adimensionale d’attrito che dipende dalla scabrezza
della condotta ed R è una dimensione lineare caratteristica della condotta data
dal rapporto tra l’area della sezione bagnata ed il contorno bagnato.
R = A=C
2.4
Condotte in pressione in tubi circolari
In questo caso
D2 1
D
=
4
D
4
e quindi dall’equazione di continuità ricaviamo
R=
V
=
J
=
Q
4Q
=
A
D2
4Q
8g
D2
2
4
8
=
D
g
2
Q2
D5
che spesso viene scritta nella forma
Q2
D5
e allora il una condotta lunga L si ha una perdita di carico data dalla formula
di Darcy (1854)
J=
8
Q2
L
D5
E’ importante osservare che le perdite di carico cambiano con la quinta
potenza del diametro, quindi piccole variazioni di D provocano grandi variazioni
di Y:
I valori di sono di origine sperimentale e dipendono dalla scabrezza del
tubo, dal suo diametro e dalla velocità dell’acqua. Per questo sono state proposte numerose formule empiriche che forniscono in funzione del diametro per
assegnati campi di velocità e diametro.
Y =
2.5
Perdite di carico continue nei circuiti termici
Il valore di
da usare nelle tubazioni negli impianti termici è normalmente
fornito in tabelle dei costruttori delle tubazioni. In via orientativa si possono
usare le seguenti espressioni ottenute interpolando dati sperimentali con acqua
a T = 80 C circolante in tubi UNI 3824 (acciaio gas), UNI 7069 (acciaio) ed in
tubazioni di rame e plastica.
C’è da prestare molta attenzione alle unità di misura adottate, perché sono
quelle usate nella tecnica degli impianti e quindi da non confondere con quelle
del S.I. alle quali è sempre possibile ricondursi.
2O
e non m
J = perdite distribuite mmH
m
m del S.I.
D = diametro interno in mm (non in m)
l
m3
Q = portata d’acqua in kg
h ' h (non s )
V = velocità media dell’acqua in m= s
=
394:37
Q1:783
;
D4:748
Q =
3:4995
10
J
2
D = 3:5213
J 0:561
;
D2:663
Q0:376
J 0:211
V = 0:35386
Q
D2
Esempio 2 Calcolare il diametro di una tubazione che deve convogliare una
portata Q = 280 kg= h di acqua con una velocità V = 0:37 m= s
Soluzione.
q
D=
0:35386 VQ
= 16: 364 mm
V =0:37;Q=280
occorre quindi un diametro interno corrispondente ad un tubo gas
da 1=20 . La perdita di carico è di
h
i
Q1:783
J = 394:37 D
= 15: 69 mmH2 O= m
4:748
D=16:364;Q=280
9
2.6
Canali in condotte circolari
Nel caso di canali nella formula delle perdite di carico 3 si usa porre
=
8g
1=2
e si ottiene
V =
1=2
(Ri)
Nelle sezioni chiuse di qualsiasi forma la portata massima si raggiunge con
il tubo parzialmente riempito.
3
Corsi d’acqua naturali - Sistemazioni montane
3.1
Generalità
Una parte dell’acqua che cade sotto forma di pioggia o di neve e non viene
assorbita dal terreno, scorre alla super…cie di questo, si raccoglie nelle valli e
forma i corsi d’acqua naturali che sboccano nel mare o nei laghi. Nel primo tratto questi corsi d’acqua, hanno comportamento irregolare (carattere torrentizio)
dovuto alla instabilità dell’alveo ed alle improvvise variazioni della massa d’acqua. Man mano che poi si allontanano dalle sorgenti, il letto del …ume si viene
regolarizzando e le rapide alterazioni della portata diventano meno frequenti.
Questi due diversi stadi, a cui corrispondono quelle caratteristiche che differenziano i …umi dai torrenti, richiedono opere di difesa e provvedimenti diversi.
3.2
Suddivisione del corso di un torrente
In questo paragrafo tratteremo di tutti quei corsi d’acqua a carattere torrentizio,
cioè dei veri e propri torrenti, o dei piccoli tratti dell’alto corso dei …umi, aventi
lo stesso comportamento dei torrenti.
In essi distingueremo:
1. il bacino di raccolta, formato da tutte le rami…cazioni che scendono a
ventaglio dai monti, e si uniscono poi per dare origine alla così detta asta
del torrente. Le acque scorrono su terreni brulli con forti velocità e nella
loro rapida corsa scalzano e sconnettono il terreno trascinando verso valle
ciottoli e massi rocciosi
2. il canale di scolo, nel quale le acque vengono raccolte, incassate fra le
falde rocciose delle montagne; a causa della diminuita velocità e della
consistenza delle sponde, in questo tratto non si riscontrano erosioni.
3. il cono di deiezione, che si forma nel tratto dove il torrente sbocca nella
sottostante vallata. L’alveo si allarga e quindi la velocità diminuisce. Le
parti solide trasportate dall’acqua si depositano sul fondo.
10
Le opere da attuare in difesa del territorio sono regolate dalla legge 24 dicembre 1928, N. 3134 e dal R. D. modi…cativo 24 luglio 1930, N. 1145, e si possono
così raggruppare:
1. Rimboschimento;
2. Sistemazione dei torrenti e delle pendici montane.
3.3
Rimboschimento
I boschi creano uno strato protettivo sul terreno; i grossi alberi, con i loro rami
e le loro foglie, spezzano la violenza delle piogge, ne ritardano la caduta, e ne
suddividono il cammino in …li piccolissimi: le radici con le loro rami…cazioni
rassodano la consistenza del terreno sottostante.
Nelle regioni coperte da boschi l’acqua piovana discende lentamente seguendo
quasi per intero le falde della montagna, e si incanala nelle depressioni del terreno
quasi senza smuoverlo, formando tranquilli ruscelli. Dove invece mancano i
boschi, l’acqua, non trattenuta da ostacoli, scende a valle velocemente, sconnette
il terreno e scava solchi qua e là che successivamente si ampli…cano, mutando le
pendici in una vasta rovina.
3.4
Sistemazione delle pendici montane
La sistemazione delle pendici montane, ossia delle falde delle montagne, lungo
le quali scorre’ l’acqua che si riversa poi a valle nelle depressioni del terreno,
consistono: eliminazione delle zone depresse e delle falde irregolari, mediante
colmate;
1. eliminazione delle zone depresse e delle falde irregolari mediante riempimento
2. correzione dei forti declivi, mediante muretti a secco, graticci.
3.5
Sistemazioni degli alvei
Le difese contro l’azione dei torrenti, si possono suddividere: in quelle aventi
carattere locale, tendenti a proteggere le sponde ed il letto del corso d’acqua
ed in quelle di carattere radicale, tendenti a correggere l’intera giacitura del
torrente regolandone le piene, la velocità e l’energia cinetica della massa d’acqua,
attenuando così l’erosione del terreno e il trasporto dei materiali.
Fra le locali, tendenti a salvaguardare le sponde ricordiamo le opere di
salvaripa, fra quelle di carattere generale ricordiamo le briglie o traverse.
3.6
Briglie o traverse
Per ridurre la velocità dell’acqua è necessario ridurre la pendenza dell’alveo. Le
briglie servono a questo. Si usa lo stesso accorgimento che si adotta quando
11
si vuole sostituire una rampa a forte pendenza con una gradonata. Le alzate
sono appunto le briglie mentre le pedate, cioè il nuovo fondo dell’alveo, viene
realizzato dal materiale trasportato dall’acqua che decanta per la diminuita
velocità. L’energia cinetica dell’acqua viene in parte trasformata in energia
interna e quindi essa si scalda un pò ed una parte provoca l’erosione a valle del
nuovo fondo dell’alveo. A poco a poco il letto del torrente assumerà un nuovo
pro…lo, che avrà una pendenza minore di quello primitivo.
Le briglie si costruiscono in: legname, preferibilmente verde e capace di
vegetare ancora; pietrame a secco attraverso al quale l’acqua in un primo tempo
…ltra, abbandonando a monte le materie solide.
Briglia in pietra a secco
Oggi vengono sempre più spesso realizzate in calcestruzzo semplice o armato
con un discutibile impatto ambientale.
4
4.1
Canali
Correnti lente veloci e rapide
Consideriamo una sezione rettangolare o una sezione trapezoidale molto larga,
ad esempio con la larghezza media superiore a sei volte l’altezza. L’energia trasportata dall’unità di peso ( NJ = Nmm = m) dalla corrente è data
dall’equazione di Bernoulli (carico idraulico)
H =z+
p
+
V2
2g
La velocità della corrente è V = Q=A e riferendoci ad una striscia larga un
metro A = h 1 diventa V = Q=h. Riferendo le quote al fondo del canale si ha
z = 0 inoltre l’altezza del canale è h = p= e quindi
H=
p
+
V2
Q2
=h+
2g
2gh2
12
Quindi a parità di portata Q si possono avere in…niti valori della profondità h e quindi in…niti valori dell’energia trasportata H. Vediamo nella …gura
l’andamento di H(h) per la portata unitaria.
H(h) 5
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Energia della corrente H a varie altezze h per Q = 1 m3 = s
Osserviamo che si ha un minimo che si può facilmente trovare annullando la
derivata
dH
d
=
dh
dh
h+
Q2
2gh2
=
gh3 Q2
=1
gh3
Q2
=0
gh3
che ha come unica soluzione reale l’altezza critica
hc =
Q2
g
1=3
Esempio 3 Se la portata per un metro di larghezza vale Q = 5 m3 = s l’altezza
1=3
1=3
critica vale hc = Q2 =g
= 52 =9:81
= 1: 37 m. Quindi se la profondità
del canale è maggiore di 1:37 m si ha una corrente lenta, se minore una corrente
veloce.
Le correnti rapide si distinguono dalle correnti veloci, per il fatto che la
parte superiore di esse è aerata. Ciò tuttavia non modi…ca il comportamento
della corrente; agli e¤etti dei calcoli indicati in seguito, una corrente rapida, può
essere trattata come una corrente veloce.
All’altezza critica corrisponde una pendenza critica.
13
h
ic =
g
2
In condizioni medie ' 50 e quindi ic = g= 2 ' 10=502 = 0:00 4 = 0:4% .
Come indicazione di larga massima quindi possiamo a¤ermare che si ha debole
pendenza (alveo tranquillo) per i < 0:4% ed forte pendenza (alveo torrentizio)
nel caso opposto. Nel caso di alvei molto lisci dalla formula di Bazin fornisce
= 0 e = 87 e quindi per avere alveo tranquillo occorre una pendenza minore
di ic = g= 2 ' 10=872 = 0:1 3%. Se invece l’alveo è molto scabro = 2:3 e
= 24:6 è ancora debole la pendenza del ic = g= 2 ' 10=24:62 = 1: 65%.
Frequentemente gli alvei tranquilli si constatano …no a valori della pendenze
dell’1:4%, quelli torrentizi …no al 3 o 4%. Per valori superiori si entra nel campo
delle correnti rapide.
Tra i vari tipi di corrente si hanno notevoli di¤erenze di comportamento, tra
le quali ricordiamo
1. Se diminuisce la portata le correnti lente si innalzano, quelle veloci si
abbassano.
2. A parità di portata e di carico speci…co, vi è la possibilità di avere una
corrente lenta e una corrente veloce: lo stabilirsi dell’una o dell’altra,
dipende dalla pendenza dell’alveo e dalle condizioni di monte e di valle.
Questo si vede chiaramente dal gra…co precedente. Ad esempio per H =
1
1 m si possono avere le due altezze risolvendo la h + (2 9:81
h2 ) = 1 la cui
soluzione è fh = 0: 263 mg ; fh = 0: 943 mg :
3. Se in una qualunque sezione si ha una perturbazione, se la corrente è
veloce nessuna modi…ca viene a ripercuotersi nella zona a monte. Una
vena stramazzante risente della chiamata allo sbocco solo se è lenta. In
questo in prossimità dello sbalzo aumenta la velocità e diminuisce l’altezza.
Se è veloce prosegue nella caduta nella sua con…gurazione originale.
4. Una corrente lenta, viene avvertita della presenza dell’ostacolo dalle onde
che si propagano verso monte e può quindi modi…care il proprio andamento
ed investire l’ostacolo con minore violenza.
5. La conoscenza della sola velocità non è su¢ ciente a stabilire se una corrente è lenta o veloce
6. In curva le correnti veloci hanno una sopraelevazione verso l’esterno circa
doppia delle correnti lente e la resistenza è sempre superiore a quella di
un analogo tratto rettilineo
4.2
Sezioni idrauliche nel moto uniforme
La prima relazione disponibile è di tipo geometrico e dipende dalla forma e dalle
dimensioni della sezione. Si tratta del raggio idraulico
14
R = A=C
La seconda relazione è di tipo strutturale. Si tratta del parametro d’attrito
che tiene conto oltre che della geometria della sezione, attraverso R, anche della
natura del fondo attraverso un coe¢ ciente di scabrezza.
Il parametro d’attrito è stato de…nito da molti sperimentatori in forme spesso
equivalenti. Tra le più usate ricordiamo
=
87
1+ R
=
1=2
100
1 + mR
= cR1=6 ;
;
Bazin(1897)
(4)
Kutter
(5)
Strickler(1923)
(6)
1=2
;
I coe¢ cienti di scabrezza. ; m; n sono raccolti in tabelle di origine sperimentale. La scelta della formula da adottare deve essere e¤ettuata cercando in
quale delle tabelle è meglio descritta la situazione in esame.
Ci sono poi due relazioni di carattere idraulico.
Q = AV
V =
p
Ri;
(7)
Chezy(1775)
(8)
dalle quali si ricava
p
Q = A Ri
(9)
E’importante osservare che tutte le espressioni di forniscono valori che aumentano con l’aumentare del raggio idraulico R. Questo signi…ca che la velocità
V e quindi la portata Q aumentano con l’aumentare di R. Inoltre ricordando
che R = A=C per una data area A la migliore forma per una sezione è quella
che presenta il minimo contorno bagnato.
Mettiamo in evidenza le grandezze coinvolte riscrivendo l’ultima equazione
nella forma
Q(A; C; i) = (
A
)
C
A
A
i
C
1=2
Come si vede la portata Q dipende dalle tre variabili A; C ed i; quindi in
totale abbiamo quattro variabili, cioè Q; A; C; i (consideriamo costante il coef…ciente di scabrezza, cioè assegnata la natura delle sponde). Dalla precedente,
una volta scelta la forma della funzione , …ssati tre valori si può ricavare il
quarto.
Osserviamo che se adottiamo la formula di Bazin si ottiene
15
87
Q(A; C; i) =
1=2
A
A
i
C
1=2
1 + = (A=C)
Si vede immediatamente che non è risolubile direttamente rispetto ad A o
C ovvero rispetto ad R. Per questo nel caso di progetto, in cui si ricercano i
parametri della sezione, occorre risolverla numericamente per tentativi. Analogo
risultato si ottiene con l’espressione 5 di Kutter. Le espressioni di Kutter e Bazin
4 sono quindi più indicate nei calcoli di veri…ca in cui si ricerca la portata Q di
un canale esistente di cui è noto A; C ed i.
Usando l’espressione monomia di Strickler 6 si ottiene
Q(A; C; i) = c
A
C
1=6
A
A
i
C
1=2
=c
A1=6 A1=2 1=2
A5=3 1=2
A
i
=
c
i
C 1=6 C 1=2
C 2=3
(10)
Questa espressione è possibile risolverla direttamente per qualunque variabile
quindi è la più idonea sia in fase di veri…ca che in quella di progetto.
4.3
Veri…ca
E’assegnata la geometria della sezione, cioè C ed A, e la pendenza i dell’alveo
e si ricerca la portata Q (e la velocità V ) della corrente. In questo caso la
soluzione è molto semplice qualunque sia l’espressione di adottata.
Esempio 4 Calcolare la portata Q e la velocità dell’acqua V in un canale a
sezione trapezia isoscele che ha pendenza i = 32 cm= km. Il pelo libero è largo
B = 6:72 m, il fondo b = 2:4 m e le sponde hanno inclinazione h=s = k = 2 Le
pareti sono della classe 1 di Kutter cui corrisponde un coe¢ ciente di scabrezza
m = 0:12 m0:5 .
Soluzione Dalla geometria del canale è facile ricavare A e C:
s
h
l
A
C
R
=
=
=
=
=
=
(B b)=2 = (6:72 2:4)=2 = 2:16 m
s k = 2:16 2 = 4:32 m Altezza
p
p
(s2 + h2 ) = 2:162 + 4:322 = 4:83 m Sponda
h(B + b)=2 = 4:32(6:72 + 2:4)=2 = 19:70 m2 Area bagnata
b + 2l = 2:4 + 2 4:83 = 12:06 m Perimetro bagnato
A=C = 19:70=12:06 = 1:634 m Raggio idraulico
Ora possiamo trovare direttamente l’incognita cercata.
Kutter
velocità
portata
c = 100=(1 + mR 1=2 ) = 100=(1 + 0:12 1:634 1=2 ) = 91:417
1=2
1=2
V = c (Ri)
= 91:417 (1:634 0:00032)
= 2:09 m= s
3
Q = AV = 19:70 2:09 = 41:172 m = s
16
[
p
m= s]
4.4
Progetto
La prima cosa da fare è la scelta della sezione. Spesso la scelta non è libera e si
sceglie tra alcune forme ricorrenti tra le quali la più di¤usa è la sezione trapezia
isoscele.
4.4.1
Trapezia isoscele
Il trapezio è un quadrilatero, quindi occorrono almeno tre parametri indipendenti (es. ; b; h), di cui almeno uno lineare, per de…nirne compiutamente la
forma. Occorre ora …ssarne due (es.
e b) o stabilire una relazione tra di essi
(es. minima resistenza) e poi ricavare il terzo (es. h).
Quando si vogliono evitare canali eccessivamente profondi (è il caso più frequente) si sceglie e la relazione bm = wh che è rapporto w tra la larghezza
media del canale e l’altezza. La scelta va fatta in base all’esperienza. A titolo
indicativo per A > 0:5 m2 si assume1 3 < w < 5 con valori crescenti con A.
4.4.2
Sezioni di minima resistenza
Come già detto la sezione di minima resistenza è quella che, a parità di area A,
rende minimo il contorno bagnato C.
4.4.3
Circolare
Dalla geometria sappiamo che la super…cie che a parità di area ha il minor
perimetro è quella circolare, quindi per un tubo circolare a bocca piena il raggio
2
A
= 2 rr = 2r cioè è pari alla metà del raggio geometrico.
idraulico vale R = C
4.4.4
Semicircolare
Se consideriamo il tubo riempito a metà il raggio idraulico è ancora R = r=2,
infatti dimezza sia l’area sia la circonferenza quindi la sezione idraulicamente
più conveniente è la semicircolare.
1 Colombo,
Manuale dell’Ingegnere
17
4.4.5
Trapezia isoscele
R
R
L
α
h
c
b
B
Sezioni ottime 1)
= 60 C 2) …ssato
peggiore della 1
Se si …ssa, come spesso accade, l’inclinazione delle sponde allora si trova
che il trapezio di minima resistenza è circoscritto alla circonferenza di raggio h.
Con semplici osservazioni geometriche si trova la lunghezza della sponda L, la
base del canale b ed in…ne si ottiene che il raggio idraulico R è la meta della
profondità.
h=
p
A
sin
2 cos
1=2
;
L = B=2;
R = h=2;
b = B(1
cos ):
(11)
y
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
10
20
30
y=
ph
A
40
=
q
18
sin
2 cos
50
60
70
80
Come si vede dalla …gura precedente l’altezza del canale è funzione dell’angolo di inclinazione delle sponde e raggiunge il massimo assoluto quando = 60
e si ottiene
"
1=2
h
=
A
b
= B(1
1=2
sin
2 cos
#
= 0: 759 8A1=2
=60
cos 60 ) = B=2
La sezione rettangolare è un caso particolare della sezione trapezia in cui
= 90 . Le formule precedenti si sempli…cano nelle
h = b=2;
4.5
b=B
Tavola sinottica per esercizi
= cR1=6
= 100=(1 + mR 0:5 )
= 87=(1 + R 0:5 )
Q = AV
1=2
V = (Ri)
R = A=C
Manning
Kutter
Bazin
Portata
Chézy
Raggio idraulico
q = Q=bm
hc = (q 2 =g)1=3
0:5
Vc = (ghc )
2
ic = g=
A = y(b + h= tan )
C = b + 2h= sin
b = 2h tan
l = h= sin
R=
2
s = h= tan
J=
Q2
D5
=
5.1
=
1
2
A sin
2 cos
1=2
Minima res.
bm = wh
wr = 4 + 0:075A
Acquedotti - condotte forzate
Y
L
Ghisa
Acciaio
Eternit
Approssimate
5
h
2
portata unitaria
alt. critica
vel. critica
pend. critica
Area
Contorno bagnato
V =
Q
A
= 1:2732 DQ2 =
16JD
2
= g ' 10000 N= m3
Nuovi
0:04 2
=
1:64
+
10 3
N
D
0:0 162
10 3
N = 1:46 +
D
0:0 38
10 3
N = 1:26 + D
N = 0:002
0:5
D=
Q2
J
1=5
p = (Y
z)
Limiti
V < 2 m= s
V < 4 m= s
V < 4:4 m= s
5 D 40 cm
Q=
0:5
N = pQ W
Usati
=
2 N
U
U = 1:5 N
U = 1:25 N
U =2 N
Smaltimento delle acque
Introduzione
Nella legge n 319/1976 una rete di fognatura è de…nita ”a sistema misto quando
raccoglie nella stessa canalizzazione sia le acque di tempo asciutto, che quelle
di pioggia, ed a sistema separato se le acque re‡ue vengono raccolte in una
apposita rete distinta da quella delle acque super…ciali”.
Non esistono criteri univoci per de…nire in assoluto quale dei due sistemi sia
il migliore. In linea di principio il più economico è il sistema misto in quanto
19
JD 5
la portata delle acque piovane è sicuramente molto maggiore della portata delle
acque nere e quindi non è necessario nessun sovradimensionamento delle sezioni.
Il sistema misto ha però alcuni svantaggi di cui occorre tener conto.
1. La rete è in comunicazione con l’atmosfera e rappresenta un ottimo ambiente per lo sviluppo di colonie di roditori (ratti di fogna) che possono
rappresentare un serio problema igienico.
2. L’elevata diluizione delle acque rende necessario separare, attraverso uno
s…oratore, le acque nere da inviare nel depuratore.
3. Spesso la velocità dell’acqua è molto bassa con il rischio di incrostazioni.
Per i canali di piccole e medie dimensioni si adottano sezioni circolari. Per
grandi canali si preferiscono sezioni ovoidali o di altro tipo che consentono una
buona velocità dei liquidi anche in caso di basse portate. Le dimensioni minime
dei tubi devono essere di
= 300 mm nel caso di fogne miste o bianche e
di
= 200 mm nel caso di sole fogne nere. La velocità massima può anche
raggiungere e superare i 3 m= s mentre la velocità minima, almeno una volta
al giorno, deve essere superiore a 0:6 m= s per consentire il lavaggio. Se questo
non è possibile naturalmente occorre provvedere con dei pozzetti appositi che
automaticamente provvedono al lavaggio attraverso un sistema a sifone. In
questi pozzetti viene ricavato un serbatoio d’acqua alimentato dall’acquedotto
che si svuota automaticamente quando l’acqua raggiunge il livello prestabilito.
La progettazione è molto complessa e coinvolge competenze speci…che dell’ingegnere idraulico. Illustreremo il criterio di progettazione di una fogna bianca
per un bacino di piccole dimensioni, cioè 30 o 40 ettari svolgendo un esempio di
calcolo.
5.2
Il bacino idrogra…co
Il bacino viene individuato sulla carta geogra…ca a curve di livello a scala 1 :
10 000 oppure 1 : 5000 (IGM).
Il bacino idrogra…co sotteso da una sezione è de…nito come la porzione di
super…cie terrestre che alimenta il de‡usso del corso d’acqua (asta principale)
sfociante alla sezione di chiusura del bacino stesso. Il contorno (spartiacque watersheds) del bacino super…ciale non necessariamente coincide con lo spartiacque sotterraneo (o di falda). Inoltre la forma del bacino può cambiare nel
tempo. Il bacino viene poi diviso in sottobacini in modo che ognuno alimenti una
fogna. In modo del tutto analogo a quanto si fa nella progettazione stradale,
si realizza il pro…lo del percorso scelto individuando le pendenze necessarie o
realizzabili nei vari tratti. Ogni tratto è individuato da un pozzetto iniziale e
…nale.
Il sottobacino d’esempio raccoglie l’acqua che cade su di esso ma nella sezione
di chiusura della fogna passa l’acqua raccolta dai precedenti rami a monte. In
totale viene raccolta l’acqua da una super…cie somma del sottobacino in esame
e di quelli a monte. Nella sezione di chiusura dell’intero bacino si considera
evidentemente l’intera super…cie che ne nostro esempio è S = 20 ha.
20
5.3
Tempo di corrivazione
Dal momento in cui inizia a piovere l’acqua inizia il suo viaggio verso la fogna.
Quella che cade sui tetti deve scolare attraverso i discendenti e poi raggiungere
la fogna privata dell’edi…cio e in…ne la fogna comune. Quella che cade sul terreno e che non viene assorbita, raggiunge a rivoli le caditoie e poi i fognoli ed
in…ne la sezione di chiusura. Inoltre quella che cade più lontano dalla sezione
di chiusura deve ovviamente percorre una distanza maggiore. Quindi la portata aumenta continuamente e raggiunge il valore massimo dopo che è passato il
tempo necessario perché anche la goccia più lontana abbia raggiunto la sezione
di chiusura. Questo tempo viene detto tempo di corrivazione (o di concentramento). Ovviamente è di incerta determinazione e molti autori lo mettono in
relazione con la dimensione del bacino, con la lunghezza dell’asta principale e
della quota media sul livello del mare, con la natura del terreno, ecc.
Per bacini di piccole dimensioni nei quali la maggior parte del percorso l’acqua lo fa all’interno della fogna si può procedere in maniera iterativa. Si ipotizza
una velocità media per l’acqua nell’intero percorso e quindi si calcola il tempo
di percorrenza di primo tentativo. Si progetta la fogna e poi si fa una seconda
stima della velocità e quindi del tempo di corrivazione. In genere il procedimento è rapidamente convergente ed è sicuramente consigliabile se si usa il calcolo
automatico.
Normalmente gli scrosci più intensi durano 5 o 6 minuti e raramente superano
i 10 o 15 minuti. Con questa avvertenza possiamo usare la seguente espressione
ricavata dall’esperienza
p
Tc = 1:4 S
p
dove S è in m2 e Tc in s. Otteniamo quindi Tc = 1:4 20 104 = 626: 1 s
ovvero 626: 1=60 = 10: 435 minuti oppure 626: 1=3600 = 0: 174 h
5.4
Linea segnalatrice di pioggia
Per stimare la portata d’acqua che cade sulla super…cie interessata occorre
conoscere i dati idrologici della zona di progetto. Questi dati sono disponibili presso in Servizio Idrogra…co Italiano. A Rieti, alla con‡uenza del …ume
Salto, il …ume Velino sottende un bacino imbrifero di 1367 km2 e per questo
sono disponibili i dati riportati in tabella seguente.
Tr
10
20
50
100
500
1000
a
n
41:25
0:346
Tr = tempo di ritorno in anni
47:65
0:344
a e n esponenti della linea
55:83
0:344
segnalatrice della possibilità pluviometrica
61:94
0:344
h = atn con h = mm e t = h
76:20
0:343
e della curva delle intensità di pioggia
82:34
0:343
i = h=t = atn 1 con i = mm= h
Tempo di ritorno e linea segnalatrice a Rieti
21
Date le piccole dimensioni progettiamo per uno scroscio che ha un tempo di
ritorno di 10 anni, quindi assumiamo a = 41:25 e n = 0:346. Questi valori vanno
presi comunque con estrema cautela perché nel caso di sottobacini di limitate
dimensioni i valori sono di norma maggiori.
i 200
180
160
140
120
100
300
400
500
600
700
800
Linea di intensità di pioggia i = 41:25(t=3600)0:346
900
1
1000
secondi
mm= h
Nella gra…co precedente si vede chiaramente che le piogge brevi sono le più
intense. L’intensità dello scroscio di pioggia che ha la durata di Tc = 626: 1 s è
i = 41:25(626:1=3600)0:346
1
= 129: 49 mm= h = 3: 597 10
5
m3 = s
m3 = s
=
0:3597
:
m2
ha
Per avere un ordine di grandezza osserviamo che il …ume Velino ha una
portata media di 115 m3 = s, una portata di piena di 154 m3 = s con un tempo di
3
ritorno si 10 anni ed i = 0:187 mha= s . Con un tempo di ritorno di 1000 anni la
3
portata di piena diventa di 263 m3 = s ed i = 0:32 mha= s . Ricordando che il valore
di i aumenta in bacini di piccole dimensioni come il nostro possiamo ritenete
accettabile il valore ottenuto.
La linea segnalatrice di possibilità pluviometrica è
h = 41:25t0:346
nella quale leggiamo i millimetri di pioggia, cioè la lama d’acqua raccolta,
dall’inizio della pioggia …no al tempo di corrivazione.
22
mm 26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
300
400
500
600
700
800
900
1000
secondi
h = 41:25(t=3600)0:346 ) h = 41:25(626: 1=3600)0:346 = 22: 521 mm
5.5
Portata di progetto
La portata d’acqua piovuta è data da i S, ma non tutta …nisce convogliata
nella fogna. Parte viene assorbita dal terreno, parte evapora ecc. In de…nitiva è
utile introdurre il coe¢ ciente di de‡usso che indica la percentuale dell’acqua
piovuta che viene raccolta in fogna. In relazione al tipo di bacino ed ai possibili
ulteriori sviluppi urbanistici si può stimare2
= 0:8 in zona a fabbricazione
intensiva3 .
La portata di progetto viene quindi calcolata con la
Q = iS
nota in letteratura come formula razionale.
Sostituendo i nostri dati otteniamo
2 Manale
di Ingegneria Civile - Cremonese
stima analitica può essere fatta adottando i dati del Soil Conservation Service. In
una tabella sono raccolti i dati del Curve Number cioè dei valori assegnati a varie tipologie
di terreno. Il coe¢ ciente di de‡usso viene stimato come media di questi valori relativi alla
composizione del bacino in esame. I valori vanno comunque presi con estrema cutela perché
rilevati negli USA e quindi su terreni con caratteristiche spesso molto diverse da quelle italiane,
è anche molto di¢ cile stabilire il parametro AMC che de…nisce lo stato di bagnamento precedente alla pioggia ed in …ne spesso è molto di¢ cile fare una stima attendibile della incidenza
percentuale delle varie tipologie di copertura vegetale o di tipo di suolo. In conclusione si
tratta di un metodo che se non usato con grande perizia fornisce dei valori con una precisione
illusoria.
3 Una
23
Q = 0:8
0:3597
m3 = s
ha
20 ha = 5: 755 2
m3
s
ed in unita del S.I.
Q = 0:8
3: 597
10
5
m= s
20
104 m2 = 5: 755 2 m3 = s
E’importante osservare che la scelta del coe¢ ciente di de‡usso è una scelta
critica perché in‡uenza in maniera diretta la portata di progetto da cui dipende
l’intero svolgimento dei calcoli. Questo signi…ca che una scelta sbagliata vani…ca
l’intera progettazione. I valori hanno un campo di variabilità molto grande e
sono di di¢ cile valutazione. Se si adotta un valore eccessivo si ottiene una maggiore sicurezza che però viene pagata con un maggiore costo di realizzazione. Se
il valore è basso l’opera è meno costosa ma è maggiore il rischio di tracimazione.
In conclusione non esistono dei criteri rigorosi di scelta e quindi è determinante
l’esperienza del progettista che dovrà prestare la massima attenzione ad eventuali opere analoghe realizzate in zone vicine a quella di progetto, alla loro
e¢ cienza dimostrata in passato, ecc.
6
Calcolo della sezione del collettore
6.1
Introduzione
Dall’esame del pro…lo …ssiamo la pendenza di progetto del fondo i = 1:5% e
quindi procediamo al calcolo della sezione. Le relazioni disponibili sono le note
Q = AV e V = (Ri)1=2 : Si tratta ora di scegliere la forma della sezione.
Limitiamo la scelta tra
1. tubo circolare
2. tubo ovoidale
3. canale trapezoidale
Vediamo ora come procedere nei primi due casi. Vedremo in dettaglio il
progetto di una sezione in 7.3.2.
24
6.2
6.2.1
Sezione circolare
Criteri di scelta
Sezione circolare
Si sceglie di realizzare la fognatura con un tubo circolare in PVC per il
quale il coe¢ ciente di Bazin vale = 0:12 m0:5 (per il CLS i valore classico
è = 0:23 m0:5 , cioè circa il doppio) ed con un coe¢ ciente di riempimento
Y = h=D pari a Y = 0:5 (la massima portata si ha per Y = 0:8).
Vista che la portata è molto grande veri…chiamo subito se è su¢ ciente il
diametro commerciale più grande D = 0:600 m e quindi calcoliamo:
=
A=D2
R=D
[2 arccos(1
2Y )]Y =0:5 =
= 180
1
= k1 = [(
sin( ))=8] = =
= 0: 392 7
8
= k2 = [2k1 = ] =3:1416;k1 =0: 392 7 = 0: 25
Ora possiamo calcolare subito l’area della sezione ed il raggio idraulico
A =
R
=
k1 D2
k1 =0: 392 7;D=0:6
= 0:14137 m2
[k2 D]k2 =0:25;D=0:6 = 0:15 m
Con questo calcoliamo il coe¢ ciente di Bazin, la velocità e la portata
87
1 + =R0:5
h p i
=
Ri
p
= 66: 42 m= s
=
V
Q =
=0:12;R=0:15
=66:72;R=0:15;i=0:015
= 3: 164 8 m= s
[AV ]A=0:14137;V =3: 164 8 = 0: 447 41 m3 = s
Come si vede la smaltibile portata è largamente insu¢ ciente.
25
6.2.2
Ricerca della velocità massima
Utilizzando l’espressione di Gauckler-Strickler si ottiene, …ssato K,
V = KJ 1=2 R2=3
Q = V A = KJ 1=2 AR2=3
a bocca piena, cioè con Y = 1; si ha
D2 =4
A0
=
V0
= K (D=4)
Q0
= V0 A0 = A0 K (D=4)
2=3
J 1=2
2=3
J 1=2
vediamo quale è il coe¢ ciente di riempimento che fornisce la velocità massima.
V
=
V0
2=3
4R
D
2=3
= (4k2 )
Il valore massimo della velocità si ha quando è massimo k2
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
k2 =
Il valore di
1
4
4
5
sin
che rende massimo k2 è quello che annulla la sua derivata prima
d
d
1
4
sin
1
4
=
26
cos
sin
2
=0
6
che risolta numericamente ha soluzione:
= 4: 493 = 257: 4 a cui corrisponde un coe¢ ciente di riempimento che ricaviamo dalla equazione
= 2 arccos(1 2Y ) = 4: 493
1
1
1
Y =
cos a +
= 0:812 72
2
2
2 4:493
Quindi la massima velocità si ha quando il riempimento è circa dell’81% e:
k2
V
V0
=
h
=
1
4
sin
2=3
(4k2 )
i
= 0: 304 3
=4: 493
k2 =0:3043
= 1: 14
quindi la velocità massima è superiore del 14% a quella corrispondente alla
bocca piena.
6.2.3
Ricerca della portata massima
Calcoliamo il valore del coe¢ ciente di riempimento che consente la portata
massima
Q
4k1
A V
4k1
2=3
2=3
(4k2 )
=
(8k1 = )
=
=
Q0
A0 V0
sostituendo k1 otteniamo la precedente in funzione del solo parametro
Q
4k1
2=3
(8k1 = )
=
Q0
=
k1 =(
sin( ))=8
1
2
sin
((
sin )
2 2=3
)
2
Il valore massimo della portata si ottiene annullando la derivata della precedente espressione. Una soluzione è quella banale
= 0. La soluzione che
interessa la otteniamo risolvendo l’espressione numericamente ed otteniamo:
(
d
d
1
2
sin
((
sin )
2 2=3
)
2
; Soluzione : f = 5: 278 = 302: 4 g
2 (4; 6:28)
a cui corrisponde l’equazione
= 2 arccos(1
2Y ) = 5: 278
che risolta per tentativi fornisce la soluzione: Y = 0: 938 2: Quindi la portata
massima si ha per un coe¢ ciente di riempimento pari a circa il 94%.
Q
1
=
Q0
2
sin
((
sin )
2
2 2=3
)
= 1: 076
=5:278
in conclusione la portata massima è superiore del 7.6% di quella corrispondente a bocca piena. I risultati sono riassunti nella …gura 1
27
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
Q
Q0
V
V0
=
=
1
2
sin
3
((
sin )
2
sin
2=3
4
2 2=3
)
Continua
Tratteggiata
Figura 1: Formule conclusive
28
5
6
Esercizio 5 Come esercizio calcoliamo gli altri elementi della sezione idraulica;
perimetro bagnato
P = [D (
arccos (2Y
1))]D=0:6;Y =0:5 = 0: 3 = 0: 942 48 m
larghezza della super…cie libera
h
b = D 2 (Y (1
1=2
Y ))
i
D=0:6;Y =0:5
= 0: 6 m
profondità del baricentro
z= D Y
6.3
1
1 b3
+
2 12 AD
= 0: 127 3 m
D=0:6;Y =0:5;b=0:6;A=0:14137
Sezione ovoidale
Sezione ovoidale
Proviamo con la più grande sezione ovoidale (vecchia inglese) disponibile
commercialmente che è la OVI 150 100 realizzata in calcestruzzo quindi =
0:23 m0:5 :
In questo caso i coe¢ cienti k1 e k2 sono riportati nella …gura 2 in funzione
di coe¢ ciente di riempimento Y:
Esercizio 6 Con i nostri dati otteniamo k1 = 0:226 e k2 = 0:179 con i quali
calcoliamo l’area
29
1
1
0.8
0.8
0.6
Y
0.6
Y
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.1
0.2
0.3
K1
0.4
0.5
0.6
0
0.05
0.1
0.15
K2
0.2
0.25
Figura 2: Sezione ovoidale inglese - Y = 0:5
A = k1 H 2
k1 =0:226;H=1:5
= 0: 508 5 m2
ed il raggio idraulico
R = [k2 H]k2 =0:179;H=1:5 = 0: 268 5 m
Con questo calcoliamo il coe¢ ciente di Bazin
=
87
1 + =R0:5
= 60: 255
=0:23;R=0:2685
m1=2
s
ed in…ne la velocità
V =
h p
i
Ri
=60:255;R=0:2685;i=0:015
= 3: 823 9 m= s
e la portata
Q = [AV ]A=0:5085;V =3: 823 9 = 1: 944 5 m3 = s
Anche questa sezione è largamente insu¢ ciente.
6.4
6.4.1
Canale di minima resistenza - sezione semicircolare
Relazioni disponibili
Le relazioni di carattere idraulico sono sempre le
Q = AV ,
V =
p
Ri,
R = A=C,
dalle quali si ricava
30
= (R; n)
p
Q = (R; n)A Ri
Nel caso in progetto è assegnato Q ed i ed occorre calcolare la sezione, cioè A
ed R. Ma A ed R dipendono dalla forma della sezione. A¢ nché R sia massimo
occorre che il contorno bagnato sia minimo
Il cerchio è la …gura geometrica che a parità di area presenta il minimo
perimetro, quindi la sezione semicircolare è la migliore in assoluto. Il raggio
idraulico è lo stesso della sezione circolare piena, infatti in questo caso dimezza
sia l’area che il perimetro.
R=
6.4.2
A
=
C
r2 =2
r
=
r
2
Uso della formula di Bazin
Realizziamo le sponde in calcestruzzo quindi
progetto nella equazione 4
Q=
87
1+ R
= 0:23 m0:5 Sostituendo i dati di
A(Ri)1=2
1=2
Q=5:76;A=
r 2 =2;R=r=2;
=0:23;i=1:5=100
)
5: 76 =
La soluzione ottenuta per via numerica è r = 0: 846 24 che arrotondiamo a
r = 0: 85 m quindi
D = 2r = 1:7 m
A =
r2 =2 r=0:85 = 1: 135 m2
V = [Q=A]Q=5:75;A=1:135 = 5: 066 m= s
che è elevata ma compatibile con la natura delle sponde in CLS.
6.4.3
Uso della formula di Strickler
Per il calcestruzzo si può usare per il coe¢ ciente di scabrezza di Strickler 6 il
valore c = 67. Sostituendo nell’equazione della portata le espressioni dell’area e
del raggio idraulico otteniamo
h
Q = AcR2=3 i1=2
i
Q=5:75;A= r 2 =2;R=r=2;c=67;i=1:5=100
)
5: 75 = 8: 118r8=3
La soluzione ottenuta per via numerica è r = 0:88 m quindi
A =
V =
r2 =2 r=0:88 = 1: 216 4 m2
[Q=A]Q=5:75;A=1:2164 = 4: 727 1 m= s
31
11: 835
1 + 0: 325r
0:5
r2:5
Come si vede il risultato è praticamente uguale a quello ottenuto con la
formula di Bazin solo che in questo caso non è stato necessario realizzare la
scala dei de‡ussi per risolvere l’equazione della portata.
7
7.1
Esempio di progetto di un canale
Pro…lo
Ora svolgeremo un progetto abbastanza dettagliato della sistemazione idraulica
di un torrente evidenziando le varie fasi progettuali. I risultati dei calcoli verranno presi così come sono senza arrotondarli per poter e¤ettuare le opportune
veri…che. Ovviamente alla …ne i valori delle dimensioni dovranno essere almeno
arrotondati al centimetro o al decimetro.
Con il rilievo topogra…co otteniamo la seguente sequenza di coordinate (x; y)
che rappresentano il pro…lo esistente:
(0; 100) ; (400; 97) ; (600; 93) ; (900; 91)
nel quale si individuano tre tratti dei quali calcoliamo la pendenza y= x.
La pendenza nel primo tratto è 3=400 = 0; 75%, nel secondo 4=200 = 2%, nel
terzo 2=300 = 0:6% mentre la pendenza media nell’intero tratto è 9=900 = 1%
Sperando di ottenere una corrente lenta scegliamo per la pendenza di progetto lo 0:2%, veri…cheremo poi se la corrente risulterà lenta o veloce. Con questo
valore nell’intero tratto si scende di 0:2=100 900 = 1:8 m. Con le briglie dobbiamo scendere 9 1:8 = 7: 2 m quindi realizziamo due briglie ognuna di altezza
7:2=2 = 3: 6 m, la prima a metà percorso, cioè alla progressiva x = 450 m e la
seconda alla …ne, cioè ad x = 900 m. In conclusione il pro…lo di progetto è
rappresentatati dalla seguente sequenza di coordinate (x; y):
(0; 100:0) ; (450:0; 99: 1) ; (450:0; 95: 5) ; (900:0; 94: 6) ; (900:0; 91:0)
100
98
96
94
92
0
200
400
x
600
Pro…lo rilevato e pro…lo di progetto
32
800
7.2
7.2.1
Indagini idrologiche
Tempo di corrivazione
Per poter procedere al dimensionamento della sezione occorre conoscere la portata di acqua piovana convogliata nel canale. Il bacino ha una super…cie S =
10 km2 = 10 106 m2 ed in base a questa calcoliamo il tempo di corrivazione
con la formula empirica
p
p
Tc = 1:4 S = 1:4 10
106 = 4427: 2 s = 73: 787 mn = 1: 229 8 h
Per il bacino del …ume Velino sono disponibili dei dati idrologici a quali possiamo fare riferimento in quanto il bacino in progetto è in realtà un sottobacino
del Velino.
7.2.2
Linea segnalatrice di pioggia
Per un tempo di ritorno dello scroscio violento di 10 anni la linea segnalatrice
di possibilità pluviometrica è de…nita da a = 41:25 e n = 0:346. Con i nostri
dati otteniamo che lo spessore della lama d’acqua caduta vale
h
i
0:346
h = 41:25 (Tc )
7.2.3
Tc =1: 229 8
= 44: 311 mm = 4: 431 1
10
2
m
Coe¢ ciente udometrico
Il bacino è in zona collinare e quindi una buona parte della pioggia caduta non
…nisce nel canale ma viene assorbita dal terreno, comunque in via cautelativa
assumiamo per il coe¢ ciente di de‡usso il valore = 0:5. Sostituendo i nostri
dati nell’espressione del coe¢ ciente udometrico otteniamo
u=
7.2.4
h
Tc
=5
=0:5;Tc =4427: 2;h=4: 431 1 10
10
6
m= s
2
Portata di progetto
Possiamo ora stimare la portata massima di progetto
Q = [u
7.3
7.3.1
S]u=5
10
6 ;S=10
106
= 50 m3 = s
Progetto della sezione
Forma e dimensioni e natura dell’alveo della sezione
Il problema si presenta in questa forma: data la portata Q da smaltire, la
pendenza del fondo i e la natura dell’alveo attraverso il coe¢ ciente di scabrezza,
calcolare la forma e le dimensioni del canale, cioè A ed R.
33
Utilizziamo l’espressione Strickler 10 che può essere riscritta evidenziando R
come
Q = cAR2=3 i1=2
Prevediamo di realizzare l’alveo del canale in calcestruzzo per il quale assumiamo il coe¢ ciente di Strickler c = 60. Sono incognite la forma e le dimensioni
della sezione del canale cioè A ed R. Dalla espressione precedente si vede chiaramente che a parità di area A la migliore sezione è quella che presenta il massimo
raggio idraulico, ovvero il minimo contorno bagnato. In un canale aperto la
sezione migliore in assoluto è quella semicircolare.
Scegliamo la sezione di forma trapezia isoscele.
La sezione è un quadrilatero ed è de…nita da tre parametri indipendenti, di
cui almeno uno lineare.
Scegliamo l’altezza y la base minore b e l’inclinazione delle sponde .
L’area ed il perimetro bagnato ed il raggio idraulico sono dati da
A = y(b + y= tan );
C = b + 2y= sin ;
R=
y(b + y= tan )
A
=
C
b + 2y= sin
Le variabili geometriche indipendenti in totale sono y; b; e le variabili
idrauliche Q; n; i per un totale di sei. Per avere una soluzione dell’equazione
della portata questa deve avere una sola incognita.
Nel progetto sono assegnate Q (o V ),n; i e sono incognite le tre variabili geometriche y; b; . Per poter avere una sola incognita nell’equazione della portata
occorre aggiungere due condizioni.
7.3.2
Prima soluzione - Altezza assegnata
I dati di progetto sono
1. La portata Q = 50 m3 = s
2. la pendenza del fondo i = 0:2%
3. la scabrezza dell’alveo c = 60
Le due condizioni che aggiungiamo sono:
1. l’angolo di inclinazione delle sponde
= 45 = 0: 785 4 rad
2. l’altezza massima dell’acqua y = 1:3 m
ed otteniamo
A = [y(b + y= tan )]
h
i
tan )
R = y(b+y=
b+2y= sin
=45 ;y=1:3
=45 ;y=1:3
= 1: 3b + 1: 69
b+1: 3
= 1: 3 b+3:677
sostituendo i valori di progetto e le espressioni trovate otteniamo
34
Q = AcR2=3 i1=2
b+1: 3
Q=50;i=0:2=100;c=60;A=1: 3b+1: 69;R=1: 3 b+3:677
2=3
b+1: 3
) b = 12:12 m
+ 1: 69) b+3:677
50 = 3: 196 (1: 3b
La soluzione dell’equazione può essere ottenuta facilmente per interpolazione
gra…ca o numerica realizzando la scala dei de‡ussi riportata in …gura 7.3.2,
ovvero l’andamento della portata al variare della base incognita.
52
50
48
46
44
42
40
38
9
10
11
b
12
13
Scala dei de‡ussi
Dal gra…co si legge la soluzione. Ora calcoliamo la larghezza del pelo libero
B = [b + 2y= tan ]b=12:12;y=1:3; =45 = 14: 72 m
la larghezza media del canale vale
bm = [(B + b) =2]B=14:72;b=12:12 = 13: 42 m
Osserviamo subito che il rapporto tra larghezza media del canale ed altezza
vale
w = [bm =y]bm =13:42;y=1:3 = 10: 32
ed è un valore elevato. L’area della sezione vale
A = [1: 3b + 1: 69]b=12:12 = 17: 45 m2
mentre la velocità media dell’acqua è
V = [Q=A]Q=50;A=17: 45 = 2: 865 m= s
Nella …gura 7.3.2 è rappresentata la sezione del canale progettato. L’altezza
delle sponde deve essere superiore a quanto disegnato per lasciare un franco di
almeno y=10 con un minimo di 50 cm.
35
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
x
Altezza assegnata
Tipo di corrente
Per ogni metro di larghezza del canale la portata vale
q = [Q=bm ]Q=50;bm =13: 42 = 3: 726 m3 = s
e l’altezza
criticai
h
1=3
hc = q 2 =g
= 1: 123 m
q=3: 726;g=9:81
quindi la corrente è lenta, visto che l’altezza y = 1:3 m è maggiore dell’altezza
critica hc e nella briglia si ha la chiamata allo sbocco.
7.3.3
Seconda soluzione - snellezza assegnata
I dati di progetto sono
1. La portata Q = 50 m3 = s
2. la pendenza del fondo i = 0:2%
3. la scabrezza dell’alveo c = 60
Le due condizioni che aggiungiamo sono:
1. l’angolo di inclinazione delle sponde
= 45 = 0: 785 4 rad
2. w = 6 = bm =y che è rapporto tra la larghezza media e l’altezza del canale
In questo modo è de…nita la forma della sezione ma non le dimensioni. Per
de…nire la scala della …gura è su¢ ciente conoscere una dimensione lineare ad es.
b o y. Scegliamo y e quindi scriviamo le equazioni di A e C in funzione di y.
L’area, il contorno bagnato e la lunghezza della sponda sono dati dalle
A = bm y = wy 2 ;
C = b + 2l;
l = y= sin
la larghezza media del canale è
bm = b + s = b + y= tan = wy;
) b = wy y= tan
allora il contorno bagnato in funzione della altezza y vale
C = wy y= tan + 2y= sin
36
Con i nostri valori otteniamo
A = wy 2 w=6 = 6y 2 ;
C = [wy y= tan + 2y= sin ]w=6; =45 = 5y +
0:5
2y2
6y 2
A
= 5y+2y2
R= C
0:5
sostituendo i valori di progetto e le espressioni trovate otteniamo
Q = AcR2=3 i1=2 Q=50;i=0:2=100;c=60;A=6y2 ;R= 6y2
5y+2y20:5
50 = 13: 48y 8=3
) y = 1:63 m
Ovviamente anche in questo caso possiamo risolvere gra…camente tracciando
la scala dei de‡ussi. Ora possiamo calcolare tutti i parametri mancanti
b = [wy y= tan ]w=6;y=1:63; =45 = 8: 15 m
B = [b + 2y= tan ]b=8:15; =45 ;y=1:63 = 11:41 m
A = wy 2 w=6;y=1:63 = 15:94 m2
V = [Q=A]Q=50;A=15:94 = 3:14 m= s
La sezione ottenuta è in …gura 7.3.3
1
0
1
2
3
4
5
6
x
7
8
9
10
Snellezza assegnata
Tipo di corrente
Come visto prima otteniamo
bm = [wy]w=6;y=1:63 = 9:78 m
q = [Q=bm ]Q=50;bm =9:78 = 5: 11 m3 = s
h
i
1=3
hc = q 2 =g
= 1: 39 m
q=5:11;g=9:81
anche in questo caso si tratta di una corrente lenta.
7.3.4
Terza soluzione - Velocità assegnata
I dati di progetto sono
1. La portata Q = 50 m3 = s
2. la pendenza del fondo i = 0:2%
3. la scabrezza dell’alveo c = 60
37
11
Le due condizioni che aggiungiamo sono:
1. l’angolo di inclinazione delle sponde
= 45 = 0: 785 4 rad
2. velocità massima dell’acqua V = 3 m= s
In questo caso emerge evidente l’utilità di avere usato per
monomia, infatti
l’espressione
V = cR2=3 i1=2
che può
immediatamente
risolta ottenendo
h essere
i
3=2
V
R = ci1=2
= 1: 182 m
i=0:2=100;c=60;V =3
inoltre l’area della sezione vale
2
A = [Q=V ]Q=50;V =3 = 50
3 = 16: 67 m
Scriviamo le equazioni dell’area e del raggio idraulico sostituendo i nostri
valori
[A = y(b + y= tan )] =45 ;A=50=3
) 50
3 = y (b + y)
h
i
y(b+y= tan )
b+y
R = b+2y= sin
) 1: 164 5 = y b+2y2
0:5
=45 ;R=1: 164 5
ed otteniamo le due equazioni con due incognite che risolviamo a sistema
50=3 = y (b + y)
b+y
1: 164 5 = y b+2y2
0:5
ed otteniamo le soluzioni y = 1: 42 m e b = 10: 29 m.
Ora possiamo calcolare tutti i parametri mancanti
B = [b + 2y= tan ]b=10:29; =45 ;y=1:42 = 13:13 m
bm = b+B
= 11: 71 m;
w = bym =
2
b=10:29;B=13:13
11:71
1:42
= 8:25 m
1
0
1
2
3
4
5
6
x
7
8
9
10
11
Velocità assegnata
Tipo di corrente
Otteniamo ancora una corrente lenta.
q = [Q=bm ]Q=50;bm =11:71 = 4:27 m3 = s;
1: 23 m
38
hc =
h
q 2 =g
1=3
i
q=4:27;g=9:81
=
7.3.5
Quarta soluzione. Sezione di minima resistenza per
nato
asseg-
I dati di progetto sono
1. La portata Q = 50 m3 = s
2. la pendenza del fondo i = 0:2%
3. la scabrezza dell’alveo c = 60
Le due condizioni che aggiungiamo sono:
1. l’angolo di inclinazione delle sponde
= 45 = 0: 785 4 rad
2. delle condizioni di minima resistenza 11 usiamo
sin
2 cos
(a) y = A0:5
1=2
(b) R = y=2
queste due corrispondono all’unica
R=
y
2
1
2
=
1=2
A 2 sin
cos
Usiamo per la portata l’espressione in forma monomia
Q = AcR2=3 i1=2
nella quale sostituendo l’espressione di R otteniamo una espressione nell’unica incognita A
1=3
i1=2
Q = A4=3 c2 2=3 2 sin
cos
ed in…ne
" sostituendo i nostri
# valori troviamo
A=
3=4
22=3 Q
c( 2 sin
cos
e quindi
h i
V = Q
A
1=3 1=2
i
)
= 14: 75 m2
Q=50;c=60;i=0:2=100; =45
Q=50;A=14:75
= 3: 39 m= s
Calcoliamo gli altri parametri della sezione
y = A1=2
h
b = A tan
y tan
sin
2 cos
y
i
2
1=2
= 2: 84 m
A=14:75; =45
A=14:75; =45 ;y=2:84
= 2: 35 m
B = [b + 2y= tan ]b=2:35;y=2:84; =45 = 8: 03 m
Tipo di corrente
Come visto prima otteniamo
= 2:59 m;
q = [Q=bm ]Q=50;bm =2:59 = 19:31 m3 = s
bm = B+b
h 2 b=2:35;B=2:83
i
1=3
hc = q 2 =g
= 3:36 m;
w = bym = 2:59
2:84 = 0:91
q=19:31;g=9:81
in questo caso si ha una corrente veloce e la snellezza w è estremamente
bassa.
39
2
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
x
Minima resistenza
7.4
Scelta della sezione da adottare
Nella tabella 1 e nella …gura 7.4 sono riportati i risultati dei quattro casi
esaminati.
Sez.
1
2
3
4
A
17.45
15.94
16.67
14.75
B
14.72
11.41
13.13
8.03
b
12.12
8.15
10.29
2.35
y
1.30
1.63
1.42
2.84
w
10.32
6.00
8.25
0.91
V
2.87
3.14
3.00
3.39
hc
1.12
1.39
1.23
3.36
corrente
lenta
lenta
lenta
veloce
Tabella 1: Confronto tra sezioni dei canali. Sono evidenziate le scelte di progetto
nei vari casi.
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
x
Confronto dei risultati
Come si vede la sezione di minima resistenza quattro risulta troppo profonda
e stretta, in essa ovviamente si ha la massima velocità dell’acqua mentre l’area
della sezione è la minima. Questo però non signi…ca che sia necessariamente la
40
più economica, infatti nel computo dell’area di scavo va aggiunto il necessario
franco che deve essere maggiore che negli altri casi perché un aumento di portata
porta ad un maggiore aumento della profondità. Inoltre lo scavo deve essere più
profondo con maggiori probabilità di trovare materiale più resistente con un
conseguente aumento del costo unitario. Per questi e per altri motivi le sezioni
di minima resistenza sono ormai quasi totalmente abbandonate.
La sezione tre è la più semplice da progettare ma sembra più equilibrata la
soluzione due, che scegliamo.
7.5
Dimensionamento del salto di fondo
Mentre l’acqua si avvicina al salto riduce la sua altezza da y1 = 1:63 m …no al
valore critico hc = 1:39 m e di conseguenza aumenta la sua velocità da V1 =
3:14 m= s …no alla velocità critica
Vc = V1 hy1c = 3:14 1:63
1:39 = 3: 69 m= s
Questo valore si può trovare direttamente dalla de…nizione di velocità critica
Vc = (ghc )0:5 = (9:81 1:39)0:5 = 3: 69 m= s
Se l’altezza y1 fosse stata maggiore di hc allora non sarebbe diminuita e
quindi anche la velocità sarebbe rimasta la stessa. Vediamo ora il pro…lo della
corrente durante e dopo il salto. Sperimentalmente si sono trovati i caratteri
geometrici che descrivono il moto dell’acqua in funzione del numero di salto
(drop number):
D=
hc
h
3
=
1
h
q2
g
1=3
!3
=
q2
gh3
dove h è l’altezza del salto che nel nostro caso vale h = 3:6 m. Con i nostri
valori otteniamo
h
i
3
D = hhc
= 5: 76 10 2
hc =1:39;h=3:6
la distanza del punto di impatto Ld e la relativa altezza minima h1 sono dati
dalle relazioni empiriche
Ld = 4:3hD0:27 h=3:6;D=5:76 10 2 = 7: 16 m
h1 = 0:54hD0:425 h=3:6;D=5:76 10 2 = 0: 58 m
dopo il salto, ad una distanza 2 3 volte Ld , la corrente tende ad assumere
i caratteri de…niti dal nuovo alveo.
41
8
8.1
Sintesi matematica per la sezione trapezia
Gli strumenti di calcolo
Riprendiamo gli esempi (7.3.2) e appro…ttiamo per presentare alcuni tra i più
potenti programmi applicativi di calcolo sia numerico che simbolico.
Il nostro problema è quello di risolvere un sistema non lineare di 11 o più
equazioni. Evidentemente la soluzione in forma chiusa non è possibile per questo
cercheremo la soluzione numerica. I quattro esempi sono stati risolti usando
quattro tra i più di¤usi software:
Foglio di calcolo Excel La soluzione numerica è stata ottenuta usando l’aggiunta Risolutore. Il risolutore è uno strumento di analisi numerica di
grande potenza che, tra gli altri, utilizza il codice di ottimizzazione non lineare Generalized Reduced Gradient (GRG2) sviluppato da Leon Lasdon,
Università del Texas ad Austin, e Allan Waren, Università di Cleveland.
Mathcad Questo programma è molto versato per il calcolo numerico. Per la
soluzione usa l’algoritmo Levemberg-Marquardt che è una variante del
metodo del gradiente di Newton. Il problema viene scritto su dei fogli nei
quali è possibile in maniera molto semplice inserire sia testo che gra…ca. I
fogli sono documenti vivi sul tipo dei più noti fogli di calcolo, cambiando
un valore avviene automaticamente il ricalcolo di tutti valori e relativi
gra…ci. I fogli possono essere stampati ottenendo così dei documenti con
una buona veste gra…ca.
42
Maple E’uno dei più potenti e versatili programmi di Computer Algebra attualmente disponibile. Il suo punto di forza è nella risoluzione algebrica
di un grandissimo numero di problemi. Considerando le impressionanti
capacità di calcolo il suo uso è relativamente semplice ma necessita comunque di una buona esperienza per realizzare applicazioni che non siano
banali. Il suo motore di calcolo simbolico è usato da molti alti programmi
tra cui Mathcad e Scienti…c Notebook
Scienti…c Notebook Si tratta probabilmente della più amichevole interfaccia
disponibile per il motore di calcolo Maple. Si possono realizzare dei documenti di elevata qualità gra…ca perché basato sul linguaggio TEX che è lo
standard mondiale per la redazione di documenti tecnici e scienti…ci. Si
tratta di un prodotto che unisce una grande facilità d’uso ad un prezzo
decisamente economico.
Proponiamo la soluzione con Scienti…c Notebook perché la più semplice ed
immediata da realizzare.
8.2
Le formule disponibili
8
>
>
<
Q = AV
p
Ri
V =
di natura idraulica
= cR6
>
>
:
R = A=C
di natura geometrica
A = y(b + y= tan )
C = b + 2y= sin
In totale le variabili sono Q; A; V; i; ; c; R; C; b; y; cioè 11, le relazioni
disponibili sono 6 occorre imporre quindi 5 costanti di progetto. Queste 5
costanti possono essere qualsiasi purché non rendano impossibile il sistema. Ad
esempio non si possono assegnare valori arbitrari ad A; V e Q perché legati dalla
prima equazione oppure ad A; C ed R. Con questa avvertenza si può sempre
risolvere il sistema.
8.3
Prima soluzione
Con i dati della prima soluzione otteniamo un sistema di 11 equazioni che viene
risolto in un colpo solo:
43
8.4
8
8
Q = AV
>
>
>
>
p
>
>
>
>
Ri
V
=
>
>
>
>
>
>
1=6
>
>
>
>
=
cR
>
>
>
>
>
>
>
>
R
=
A=C
>
>
>
>
>
>
< A = y(b + y= tan )
<
; Soluzione:
C = b + 2y= sin
>
>
>
>
>
>
Q = 50
>
>
>
>
>
>
>
>
i
=
0:2=100
>
>
>
>
>
>
>
>
y
=
1:3
>
>
>
>
>
>
>
>
= 45
>
>
:
:
c = 60
Seconda soluzione
b = 11: 994
C = 15: 671
= 61: 603
V = 2: 893 1
A = 17: 282
R = 1: 102 8
Q = 50:0
= 0: 785 4
y = 1: 3
c = 60
i = 0:00 2
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
In questo caso si è imposta la snellezza del canale bm = yw che corrisponde ad
un ulteriore vincolo sull’area che diventa A = wy 2 . In pratica aggiungiamo una
equazione al sistema, che diventa di 12 equazioni, ed una costante. Anche in
questo caso la soluzione è immediata:
9
8
8
Q = AV
Q = 50:0 >
>
>
>
>
>
p
>
>
>
>
>
= 0: 785 4 >
Ri
V =
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c = 60
>
>
>
= cR1=6
>
>
>
>
>
>
>
>
>
i
=
0:00
2
>
>
>
R = A=C
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
62:
887
>
>
>
A = y(b + y= tan )
>
>
>
=
<
<
V
=
3:
142
C = b + 2y= sin
; Soluzione:
y = 1: 628 6 >
>
>
Q = 50
>
>
>
>
>
>
>
>
A
= 15: 913 >
>
>
>
i = 0:2=100
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> R = 1: 248 2 >
>
A = wy 2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> C = 12: 749 >
>
w=6
>
>
>
>
>
>
>
>
b = 8: 142 8 >
>
>
>
= 45
>
>
>
;
:
:
w = 6:0
c = 60
8.5
Terza soluzione
In questo imponiamo la velocità massima
44
8.6
8
8
Q = AV
>
>
>
>
p
>
>
>
>
Ri
V
=
>
>
>
>
>
>
1=6
>
>
>
>
=
cR
>
>
>
>
>
>
>
>
R
=
A=C
>
>
>
>
>
>
< A = y(b + y= tan )
<
; Soluzione:
C = b + 2y= sin
>
>
>
>
>
>
Q = 50
>
>
>
>
>
>
>
>
i
=
0:2=100
>
>
>
>
>
>
>
>
V
=
3
>
>
>
>
>
>
>
>
= 45
>
>
:
:
c = 60
C = 14: 312
R = 1: 164 5
= 62: 164
y = 1: 423 3
b = 10: 287
A = 16: 667
V = 3:0
Q = 50:0
= 0: 785 4
c = 60
i = 0:00 2
Quarta soluzione
La sezione di minima resistenza si ha quando R = y=2 quindi
8
8
Q = AV
>
>
p
i = 0:00 2
>
>
>
>
Ri
V =
>
>
>
>
Q = 50:0
>
>
>
>
>
>
= cR1=6
>
>
y
= 2: 829 5
>
>
>
>
>
>
R = A=C
>
>
b
= 2: 344
>
>
>
>
>
>
A = y(b + y= tan )
>
>
< A = 14: 638
<
C = b + 2y= sin
C = 10: 347
; Soluzione:
>
>
Q = 50
>
>
R
= 1: 414 7
>
>
>
>
>
>
i = 0:2=100
>
>
V
= 3: 415 7
>
>
>
>
>
>
R = y=2
>
>
=
64: 214
>
>
>
>
>
>
= 45
>
>
=
0:
785 4
>
>
>
>
:
>
c = 60
>
c = 60
:
y 2 (0:1; 10)
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
Come si vede è possibile esplorare con grande facilità un gran numero di
soluzioni.
45