Il Toolbox di ottimizzazione di Matlab

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Mauro Gaggero
I Toolbox di Matlab
• I Toolbox di Matlab sono pacchetti software utili per risolvere problemi specifici.
Questi pacchetti non fanno parte del kernel vero e proprio di Matlab.
• Si tratta di codice scritto appositamente per risolvere problemi in moltissimi
campi dell’ingegneria, della matematica, della fisica, dell’economia, della
finanza, e altro ancora.
• In questa presentazione vedremo in dettaglio alcune funzioni dell’Optimization
Toolbox.
Mauro Gaggero
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Problema di ottimizzazione libera
• Consideriamo un esempio di minimizzazione libera di una funzione di più
variabili.
T
• Dato il vettore x = [x1, x2, x3 ] e la funzione f (x) = x21 + x22x3 , vogliamo
risolvere il seguente problema di ottimizzazione:
2
2
min {f (x)} = min x1 + x2x3 .
x∈R3
x∈R3
• E’ possibile specificare anche il gradiente della funzione da minimizzare al fine
di ottenere prestazioni migliori. In assenza di alcuna specificazione, il gradiente
è calcolato automaticamente in modo numerico.
Mauro Gaggero
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• Qui di seguito è riportato il codice Matlab necessario per risolvere il problema
di minimizzazione considerato mediante la funzione fminunc.
• Occorre anzitutto indicare la funzione da minimizzare in un file ffree.m:
1 function retval = ffree ( x )
2 % Funzione da minimizzare
3 retval = x (1).^2 + x (2)^2.* x (3);
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Problema di ottimizzazione vincolata
• Successivamente occorre scrivere il codice necessario per la minimizzazione:
1
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% Esempio di minimizzazione libera di una funzione di piu ’ variabili
% Punto iniziale dell ’ algoritmo di ottimizzazione
x0 = [10; 10; 10];
% Opzioni di minimizzazione
options = optimset ( ’ LargeScale ’ , ’ off ’ , ... % Non sono utilizzati algoritmi ’ Large Scale ’
’ MaxFunEvals ’ , 1000 , ... % Numero massimo valutazioni della funzione
’ GradObj ’ , ’ off ’, ...
% Gradiente calcolato numericamente
’ TolFun ’ , 1e -9 , ...
% Tolleranza sul valore della funzione
’ TolX ’ , 1e -9 , ...
% Tolleranza sul valore di x
’ Display ’ , ’ iter ’ ...
% Visualizzazione risultati a ogni iterazione
);
% Minimizzazione vera e propria
[ xopt , fval , exitFlag ] = fminunc ( @ ( x) ffree (x ), x0 , options )
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• Al prompt dei comandi viene visualizzato il testo seguente:
1 >> esempioFree
2
3 Iteration Func - count
4
0
4
5
1
8
6
2
12
7
3
16
8
4
20
9
5
24
10
6
28
11
7
32
12
8
36
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40
14
10
44
15
11
48
16
12
52
17
13
56
18
14
60
19
20 Local minimum found .
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f (x )
1100
867.51
143.046
64.7454
47.3196
37.0588
15.7725
4.23781
0.508438
0.0114608
0.000104198
5.95782 e -07
3.00695 e -10
8.15836 e -14
3.85541 e -16
Step - size
0.005
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
First - order
optimality
200
171
44.6
15.6
13.6
11.6
14.4
9.94
3.42
0.326
0.02
0.00285
8.52 e -05
1.03 e -06
1.85 e -07
6
22
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26
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
Optimization completed because the size of the gradient is less than
the selected value of the function tolerance .
< stopping criteria details >
xopt =
-0.0000
-0.0000
6.1721
fval =
3.8554 e -16
exitFlag =
1
• Alle varie iterazioni del processo di ottimizzazione vengono mostrate diverse
informazioni, tra cui il valore della funzione da minimizzare, il valore del
gradiente della funzione da minimizzare, e il numero di volte in cui la funzione
da minimizzare viene valutata.
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• La procedura di minimizzazione ha fornito come ottimo


0
x∗ =  0  ,
6.17
f (x∗) = 0
• La procedura è terminata con exitFlag pari a 1, ossia a causa del raggiunto
limite di tolleranza sulla norma del gradiente della funzione obiettivo.
• Esistono altri valori che exitFlag può assumere, corrispondenti ad altre
condizioni che hanno interrotto la procedura di ricerca del minimo.
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• Consideriamo un esempio di minimizzazione vincolata di una funzione di più
variabili.
• Dato il vettore x = [x1, x2 , x3]T e la funzione f (x) = −x1x2x3, vogliamo
risolvere il seguente problema di ottimizzazione:
min {f (x)} = min {−x1x2x3}
x
x
con vincoli 0 ≤ x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 72 e x21x2 ≥ 0. Si tratta di due vincoli
lineari di disuguaglianza e di un vincolo non lineare di disuguaglianza.
• E’ possibile specificare anche il gradiente della funzione da minimizzare al fine
di ottenere prestazioni migliori. In assenza di alcuna specificazione, il gradiente
è calcolato automaticamente in modo numerico.
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• Qui di seguito è riportato il codice Matlab necessario per risolvere il problema
di minimizzazione considerato mediante la funzione fmincon.
• Occorre anzitutto indicare la funzione da minimizzare in un file fconstr.m:
1 function retval = fconstr ( x)
2 % Funzione da minimizzare
3 retval = -x (1)* x (2)* x (3);
• Occorre poi indicare la funzione dei vincoli non lineari di uguaglianza e
disuguaglianza in un file nonlinconstr.m:
1
2
3
4
5
6
function [c , ceq ] = nonlinconstr ( x )
% Funzione dei vincoli non lineari di disuguaglianza e di uguaglianza
% Vincoli di disuguaglianza non lineari ( visti come c <=0)
c = -x (1)^2* x (2);
% Vincoli di uguaglianza non lineari ( visti come ceq ==0)
ceq = [];
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• Successivamente occorre scrivere il codice necessario per la minimizzazione:
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% Esempio di minimizzazione vincolata di una funzione di piu ’ variabili
% Matrici per indicare i vincoli lineari di disuguaglianza Ax <= b
A = [ -1 -2 -2; 1 2 2];
b = [0; 72];
% Punto iniziale dell ’ algoritmo di ottimizzazione
x0 = [10; 10; 10];
% Opzioni di minimizzazione
options = optimset ( ’ LargeScale ’ , ’ off ’ , ... % Non sono utilizzati algoritmi ’ Large Scale ’
’ MaxFunEvals ’ , 1000 , ... % Numero massimo valutazioni della funzione
’ GradObj ’ , ’ off ’, ...
% Gradiente calcolato numericamente
’ TolFun ’ , 1e -9 , ...
% Tolleranza sul valore della funzione
’ TolX ’ , 1e -9 , ...
% Tolleranza sul valore di x
’ TolCon ’ , 1e -6 , ...
% Tolleranza sulla violazione dei vincoli
’ Display ’ , ’ iter ’ ...
% Visualizzazione risultati a ogni iterazione
);
% Minimizzazione vera e propria
[ xopt , fval , exitFlag ] = fmincon ( @ ( x) fconstr ( x ), x0 , A , b , [] , [] , [] , [] , ...
@ ( x) nonlinconstr ( x ), options )
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• Al prompt dei comandi viene visualizzato il testo seguente:
1 >> esempioConstrained
2
3
Max
Line search Directional First - order
4 Iter F - count
f( x )
constraint steplength derivative optimality Procedure
5
0
4
-1000
-22
6
1
9
-1587.17
-11
0.5
642
584
7
2
13
-3323.25
0
1
-1.9 e +003
161
8
3
21
-3325.4
0
0.0625
108
57.5 Hessian modified
9
4
25
-3337.65
-1.421 e -014
1
-10.7
56.7
10
5
29
-3393.66
0
1
-34.4
43.8
11
6
33
-3436.73
0
1
-22.2
37
12
7
37
-3452.42
0
1
-5.47
20.4
13
8
41
-3455.64
0
1
-1.37
7.1
14
9
45
-3456
0
1
-0.0136
0.556
15
10
49
-3456
0
1 -3.22 e -005
0.0229
16
11
53
-3456
0
1 -4.06 e -008
0.000684 Hessian modified
17
12
57
-3456
0
1 -8.15 e -012
9.94 e -006 Hessian modified
18 Optimization terminated : magnitude of directional derivative in search
19 direction less than 2* options . TolFun and maximum constraint violation
20
is less than options . TolCon .
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29
30
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32
33
34
Active inequalities ( to within options . TolCon = 1e -006):
lower
upper
ineqlin
ineqnonlin
2
xopt =
24.0000
12.0000
12.0000
fval =
-3.4560 e +003
exitFlag =
5
• Alle varie iterazioni del processo di ottimizzazione vengono mostrate diverse
informazioni, tra cui il valore della funzione da minimizzare, il valore del
gradiente della funzione da minimizzare, e il numero di volte in cui la funzione
da minimizzare viene valutata.
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• La procedura di minimizzazione ha fornito come ottimo


24
x∗ =  12  ,
12
f (x∗) = −3.45 · 103
• La procedura è terminata con exitFlag pari a 5, ossia a causa del raggiunto
limite di tolleranza sulla derivata direzionale e sulla violazione dei vincoli.
• Esistono altri valori che exitFlag può assumere, corrispondenti ad altre
condizioni che hanno interrotto la procedura di ricerca del minimo.
Mauro Gaggero
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