distribuzione binomiale(07-11-12)

Distribuzione binomiale
In una famiglia con tre figli, qual è la probabilità di
avere un solo figlio maschio?
Indichiamo con M una nascita maschile e con F una
femminile, consideriamo P(M) =0.515 e P(F) =0.485.
L’evento richiesto si può realizzare nei seguenti modi:
MFF, FMF, FFM. Se ipotizziamo che il risultato di
ogni nascita sia indipendente dal risultato delle
precedenti, ciascuno di loro avrà probabilità (0.515)·(0.485)2
Distribuzione binomiale
Dunque
la
probabilità
3·(0.515)·(0.485)2
richiesta
sarà
In una famiglia con 5 figli, qual è la probabilità di
avere 2 maschi?
La famiglia sarà composta da 2 M e 3 F, ogni evento,
sempre nell’ipotesi di indipendenza tra nascite, avrà
probabilità (0.515)2 ·(0.485)3
Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli?
Distribuzione binomiale
Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli?
# &
5
"
%
" %
!2$
Dunque la probabilità richiesta è
# &
"5%
2
" %
3
(0.515)
(0.485)
!2$
Distribuzione binomiale
Generalizziamo ad un famiglia con n figli, indichiamo
con p la probabilità di una nascita maschile e con q = 1-p la probabilità di una nascita femminile.
Calcoliamo quindi la probabilità che in una famiglia
con n figli, k siano maschi (0≤ k ≤ n ).
# &
"n%
" % k n-k
p
q
!k$
Distribuzione binomiale
Ancor più in generale sia A un evento e ¬A la sua
negazione (evento contrario). Poniamo P(A) = p,
P(¬A ) = q = 1-p.
Ripetiamo l’esperimento n volte in modo tale che ogni
risultato consecutivo sia indipendente da tutti i
precedenti risultati. Allora la probabilità che A si
verifichi esattamente k volte (0≤ k ≤ n ) è
# &
"n%
k
n-k
"
%
p
q
!k$
Distribuzione binomiale
ESEMPIO: Cinque cavie appartenenti ad una stessa
figliata sono sofferenti di una deficienza di vitamina
A. Essi vengono nutriti di una certa dose di carote.
Sia p=0.73 la probabilità di guarigione. Ci
domandiamo:
a)  Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie
guariscano?
b)  Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca
c)  Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca?
Distribuzione binomiale
Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie
guariscano?
# &
"5%
" %(0.73)3(0.27)2
!3$
Distribuzione binomiale
Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca?
…almeno una cavia guarisce, significa una oppure due,
oppure tre, oppure quattro oppure cinque.
Conviene negare questo evento, otteniamo: nessuna
cavia guarisce. Quest’ultimo evento ha probabilità
(0.27)5
Quindi l’evento “almeno una cavia guarisce” ha
probabilità 1- (0.27)5
Distribuzione binomiale
Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca?
Significa che o nessuna cavia guarisce oppure una sola
cavia guarisce
(0.27)5 +5· (0.73)·(0.27)4