Funzioni esponenziale e logaritmo

Funzioni esponenziali e
logaritmiche
g
Numero di Nepero
Definizione di funzione
esponenziale
• Funzione esponenziale base a ≠1
• i) a>1
Exp(a x)
Exp(a,x)
• ii) 0<a<1
Numero di Nepero
•
•
•
•
•
È un numero irrazionale, si indica con e
2 < e <3
e = 2,7182…
È quel valore per cui la derivata in 0
vale 1
⎛ 1⎞
e = lim ⎜1 + ⎟
n→+ ∞ ⎝
n⎠
n
Interpretazione economica
• Crescita di un capitale depositato su un
conto corrente
Funzione logaritmica
• È la funzione inversa dell’esponenziale
y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y )
y = a ⇔ x = log a y
x
a>1
0<a<1
a=10
•
•
•
•
•
•
•
Log
Log 10=1
10 1
Log 100=2
Log 1.000.000=6
Log 327 ?
Log 0,001
Log 0,000001
Altre basi
•
•
•
•
•
•
•
log28
log636
log52/10
log31/9
log1/10
/ 100
log1/10010000
log1/1000 0,0001
Base e
ln e = log e =
log e 2 =
1
log e 2
=
log 3 e =
l 1=
log1
a a =a
a
r
s
−r
1
= r
a
r +s
ar
r −s
=
a
as
( )
a
r
s
= a rs
a0 = 1
Proprietà
Proprietà
log a (rs ) = log a r + log a s
r
l a ( ) = log
log
l a r − log
l as
s
log a r s = s log a r
log a 1 = 0
Cambio di base
1
log a b =
log b a
log a x =
log b x
log b a
log x log x
log10 x =
=
log 10 2,302
log10 x L og x
=
log x =
L og e 00, 434
Esercizi
Equazioni log ed exp
3 = 25 ⇔ 7 x = log
g 3 25
7x
log x = 3 ⇔ x = e ⇔
2
2
3
Disequazioni exp e log
• Se f è una funzione strettamente crescente
allora:
−1
f ( x) ≥ a ⇔ x ≥ f (a )
f ( x) ≤ a ⇔ x ≤ f −1 (a )
• Se f è una funzione strettamente
decrescente, allora
f ( x) ≥ a ⇔ x ≤ f −1 (a)
f ( x) ≤ a ⇔ x ≥ f −1 (a)
Derivata dell’esponenziale
dell esponenziale
D(a ) = a ln a
x
x
D(e ) = e ln e = e
x
x
x
Derivata del logaritmo
1 1
D(log a x) =
x ln a
1 1
1
D(ln x) =
=
x ln e x
Derivata di Exp(f(x))
D(a f ( x ) ) = a f ( x ) ln a Df ( x)
D(e f ( x ) ) = e f ( x ) Df ( x)
Derivata di log(f(x))
1
1
D(log a f ( x)) =
Df ( x)
f ( x) ln a
1
D(ln f ( x)) =
D f ( x)
f ( x)