11 Il principio d`ideterminazione di Heisenberg (1927) Il principio di

Principio di indeterminazione di Heisenberg
11 Il principio d'ideterminazione di Heisenberg (1927)
Il principio di indeterminazione fu formulato da Heisenberg nel 1927 e fu derivato
dalle leggi della meccanica quantistica. Ancora oggi nelle trattazioni moderne
dell'argomento, questo principio viene dedotto piuttosto che assunto tra i postulati
della meccanica quantistica. Però il principio di indeterminazione è il cuore stesso
della meccanica quantistica e mostra esattamente il punto in cui la fisica classica
fallisce. Il motivo per cui non è facilmente assumibile tra i postulati è che si tratta di
un principio negativo, nel senso che pone delle limitazioni concettuali alla
osservabilità delle grandezze fisiche. Non è, in altri termini, un principio costruttivo.
L'enunciato è:
Due grandezze canonicamente coniugate non possono essere misurate
contemporaneamente con precisione assoluta. Il limite inferiore sul prodotto delle
indeterminazioni ?:?; hÎ#.
Mostreremo che questa indeterminazione non ha a che fare con possibili
inedaguatezze degli strumenti di misura ma è invece una proprietà fondamentale della
natura legata alla dualità onda-corpuscolo della materia e della luce. Viene così a
mancare uno dei cardini della meccanica classica, cioè la possibilità di assegnare ad
un dato istante coordinate e velocità in modo da poter prevedere il moto successivo
del sistema. Si perde così il determinismo classico. Vediamo alcuni esempi di questa
impossibilità:
Misura di posizione con un diaframma. Supponiamo di voler misurare la posizione
e l'impulso lungo la direzione B di un elettrone in un fascio che si muova lungo l'asse
D . A questo scopo possiamo usare un diaframma di larghezza . (vedi Fig. 7.1). La
posizione lungo l'asse B è definita con una precisione
?B œ .
(7.1)
Però sappiamo che all'elettrone è associata una lunghezza d'onda data da - œ 2Î:.
Quindi l'elettrone verrà diffuso dalla fenditura in maniera analoga ad un raggio
luminoso. Assumendo che il modulo dell'impulso non venga modificato, l'elettrone
acquisterà una componente di impulso lungo l'asse B dell'ordine di
:B ¸ : =38!
(7.2)
Per misurare :B occorre misurare l'angolo !, cosa che in linea di principio si può fare
raccogliendo gli elettroni su uno schermo posto dopo la fenditura. Ma dato che sullo
schermo si forma una figura di diffrazione la massima precisione con cui si può
misurare :B corrisponde ad un angolo
!¸
2
2
œ
œ
.
:.
: ?B
(7.3)
Quindi
?:B ¸ : ! ¸
2
?B
(7.4)
e
Anno accademico 2011/2012
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Principio di indeterminazione di Heisenberg
?:B ?B ¸ 2
(7.5)
E' impossibile migliorare il risultato per il prodotto delle incertezze, dato che per
migliorare la misura di posizione occorre scegliere una fenditura più piccola,
aumentando in questo modo l'effetto della diffrazione e quindi l'incertezza sulla
misura della compomente B dell'impulso.
Figura 7.1: La misura della posizione con un diaframma
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