Similitudine

Similitudine
Considero un triangolo ABC e lo ingrandisco come con una lente di ingrandimento,
ottenendo cosı̀ il triangolo A0 B 0 C 0 . Calcolo il rapporto k fra lati corrispondenti (facendo
attenzione che tutte le lunghezze dei lati siano espresse nelle stesse unità di misura):
k=
l0
lato del triangolo “nuovo”
=
lato del triangolo “vecchio”
l
lati ABC
lati A0 B 0 C 0
k
AB = 5 cm A0 B 0 = 10 cm 10 cm/5 cm = 2
BC = 3 cm B 0 C 0 = 6 cm
6 cm/3 cm = 2
CA = 4 cm C 0 A0 = 8 cm
8 cm/4 cm = 2
Noto che k è costante, in questo caso uguale a 2. Noto anche che k non ha nessuna unità
di misura come cm, mm o altro: si dice che è un numero puro.
Dalla proporzione (cioè dall’uguaglianza di rapporti)
A0 B 0 : AB = B 0 C 0 : BC = C 0 A0 : CA
posso ricavare, applicando la proprietà del permutare,
A0 B 0 : B 0 C 0 = AB : BC
e
A0 B 0 : C 0 A0 = AB : CA
Queste proporzioni esprimono il fatto che il rapporto fra due lati nel poligono “nuovo” è
uguale al rapporto fra i due lati corrispondenti nel poligono “vecchio”.
In generale, due poligoni si dicono simili quando hanno angoli corrispondenti congruenti e lati corrispondenti direttamente proporzionali, cioè quando il rapporto k fra lati
corrispondenti è costante. In questo caso k è chiamato rapporto di similitudine.
Dalla definizione di k si ha che per ogni lato l, nonché per ogni segmento notevole del
poligono (altezza, diagonale ecc.), vale la formula inversa
l0 = k · l
Calcolo ora perimetri e aree dei due triangoli (queste ultime con la formula di Erone
oppure ricordando che se il triangolo è rettangolo l’area è uguale al prodotto dei cateti
diviso due):
ABC
A0 B 0 C 0
rapporto
2p = 12 cm 2p0 = 24 cm
2p0 /2p = 24 cm/12 cm = 2 = k
A = 6 cm2 A0 = 24 cm2 A0 /A = 24 cm2 /6 cm2 = 4 = k 2
Da questo esempio posso dedurre che in generale due poligoni legati da rapporto di
similitudine k hanno perimetri e aree tali che
q
A0
0
= k 2 −→ A0 = k 2 · A −→ k = AA
A
2p0
= k −→ 2p0 = k · 2p
2p
Se k > 1 la similitudine è chiamata dilatazione (cioè ingrandimento); ad esempio, una
similitudine con k = 3 triplica le lunghezze dei lati e fa diventare nove volte maggiore
[32 = 9] l’area del poligono di partenza.
Se k < 1 la similitudine è chiamata contrazione (cioè rimpicciolimento); ad esempio,
una similitudine con k = 1/2 dimezza le lunghezze dei lati e fa diventare un quarto
[(1/2)2 = 1/4] l’area del poligono di partenza.
Esercizi svolti
• Un rettangolo ABCD ha base AB = 12 cm e altezza AD = 5 cm. Calcola le
misure di base e altezza di un rettangolo simile ad ABCD tramite una similitudine
di rapporto k = 1/2.
Soluzione. Utilizzo la formula l0 = k · l, per cui
A0 B 0 =
A0 D0 =
1
1
· AB = · 12 cm = 6 cm
2
2
1
1
5
· AD = · 5 cm = cm = 2,5 cm.
2
2
2
• Un triangolo ABC ha lati AB = 5 cm, BC = 12 cm e CA = 13 cm. Calcola le
misure dei lati di un triangolo simile ad ABC sapendo che A0 B 0 = 20 cm.
Soluzione 1. Trovo k con la formula k = l0 /l, per cui
A0 B 0
20 cm
k=
=
= 4.
AB
5 cm
Utilizzo poi la formula inversa l0 = k · l, per cui
B 0 C 0 = 4 · BC = 4 · 12 cm = 48 cm
C 0 A0 = 4 · CA = 4 · 13 cm = 52 cm.
Soluzione 2. Utilizzo la proporzionalità diretta fra i lati dei triangoli:
A0 B 0 : AB = B 0 C 0 : BC → 20 cm : 5 cm = x : 12 cm → x =
20 cm · 12 cm
= 48 cm
5 cm
A0 B 0 : AB = C 0 A0 : CA → 20 cm : 5 cm = y : 13 cm → y =
20 cm · 13 cm
= 52 cm
5 cm
• Un esagono regolare ha area 360 cm2 . Considera la trasformazione dell’esagono
mediante una similitudine che faccia diventare ogni lato i 2/3 del lato iniziale;
calcola l’area dell’esagono cosı̀ ottenuto.
Soluzione. Se ogni lato diventa i 2/3 del lato iniziale, k = 2/3. Per trovare l’area
del nuovo esagono applico la formula A0 = k 2 · A,
µ ¶2
4
2
0
A =
· A = · 360 cm2 = 160 cm2 .
3
9
Nota. Avresti potuto risolvere il problema anche con le tue conoscenze precedenti
allo studio delle similitudini: avresti infatti potuto trovare il lato dell’esagono di
partenza utilizzando le formule inverse per i poligoni regolari, poi avresti potuto calcolare il lato dell’esagono trasformato e infine calcolare l’area di quest’ultimo. . . ma
sarebbe stato molto più lungo!
• Un triangolo isoscele ha area di 108 cm2 e base lunga 24 cm. Calcola il perimetro
di un triangolo simile a quello dato, avente area di 1728 cm2 .
Soluzione. Calcolo la lunghezza dell’altezza del triangolo di partenza:
h=
2A
2 · 108 cm2
=
= 9 cm
b
24 cm
Calcolo la lunghezza del lato obliquo del triangolo di partenza, applicando il teorema
di Pitagora:
sµ ¶
2
√
√
√
b
l=
+ h2 = 122 + 92 cm = 144 + 81 cm = 225 cm = 15 cm
2
Calcolo il perimetro del triangolo di partenza:
2p = l + l + b = (15 + 15 + 24) cm = 54 cm
p
Calcolo k con la formula k = A0 /A:
r
1728 cm2 √
= 16 = 4
k=
108 cm2
Calcolo il perimetro del nuovo triangolo con la formula 2p0 = k · 2p:
2p0 = 4 · 2p = 4 · 54 cm = 216 cm.
Esercizi per compito
• Un triangolo ha i lati che misurano 12 cm, 9 cm e 18 cm. Calcola il perimetro di
un triangolo simile che ha il corrispondente al primo lato del triangolo di partenza
pari a 18 cm. Qual è il rapporto di similitudine? [58,5 cm; 3/2]
• Un triangolo ABC ha AB = 3 cm e AC = 6 cm; un triangolo A0 B 0 C 0 simile ad
ABC ha A0 C 0 = 8 cm e B 0 C 0 = 6 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli e il
rapporto di similitudine. [13,5 cm; 18 cm; 4/3]
• Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 12 cm e 16 cm. Un triangolo simile
ha il cateto minore di 72 cm. Calcola il rapporto dei perimetri e delle aree dei due
triangoli, poi calcola i perimetri e le aree. [6; 36; 48 cm; 288 cm; 96 cm2 ; 3456 cm2 ]
• Due rettangoli simili hanno due lati corrispondenti lunghi rispettivamente 40 cm e
50 cm. Se l’area del più grande misura 1500 cm2 , qual è l’area dell’altro? [960 cm2 ]
• Le aree di due triangoli isosceli simili sono di 960 cm2 e 1500 cm2 . L’altezza relativa
alla base del secondo triangolo è di 60 cm; quanto misura il perimetro del primo
triangolo?
• Un edificio proietta sul terreno un’ombra lunga 11 m mentre un bastone lungo 1 m
posto in verticale forma un’ombra di 22 cm. Calcola l’altezza dell’edificio. [50 m]