Indipendenza tra due caratteri Definizioni: 1) due caratteri sono

Indipendenza tra due caratteri
Definizioni:
1) due
caratteri
sono
indipendenti se tra essi non
esiste una relazione di causa ed
effetto.
2) due
caratteri
sono
indipendenti se la conoscenza di
una modalità di uno dei due
caratteri non migliora la
previsione
sulla
modalità
dell’altro.
Esempio:
x1
x2
x3
y1
12
15
9
36
y2
4
5
3
12
y3
16
20
12
48
y4
8 40
10 50
6 30
24 120
C’è indipendenza
X f(X) f(X|y1) f(X|y2) f(X|y3) f(X|y4)
12/36=
4/12=
16/48=
8/24=
x1 40/120=
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
15/36=
5/12=
20/48=
10/24=
x2 50/120=
0.42
0.42
0.42
0.42
0.42
9/36=
3/12=
12/48=
6/24=
x3 30/120=
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Tot 1.00
1.00
1.00
Non c’è indipendenza
X f(X|y1) f(X|y2)
x1
x2
x3
Tot.
0.80
0.10
0.10
1.00
0.05
0.85
0.10
1.00
1.00
1.00
f(X|y3)
f(X|y4)
0.05
0.05
0.90
1.00
0.40
0.30
0.30
1.00
In breve:
{indipendenza}⇔{f(xi|yj)=f(xi)}
⇔ { f(yj|xi)=f(yj) ∀ i,j
ovvero:
{indipendenza}⇔{nij/n.j=ni./n}
⇔{nij/ni.=n.j/n } ∀ i,j
Condizione d’indipendenza:
n i. n . j
n ij =
n
⎧ i = 1,..,r
⎨
⎩ j = 1,..,s
Misura assoluta di dipendenza.
Indice chi-quadro (Pearson)
χ
2
2
c ij
= ∑∑
i = 1 j= 1 n ′
ij
r
s
• se X e Y sono indipendenti
2
⇒ cij=0 ⇒ χ =0.
•se X e Y non sono indipendenti
χ2>0, ed è tanto più grande quanto
più le nij si differenziano dalle n′ij.
2
• χ misura la dipendenza sia per X o
Y quantitative che qualitative.
2
• χ è una misura assoluta di
dipendenza.
Formula di calcolo di χ :
2
2
(n
n
)
−
′
c ij
ij
2
= ∑ ∑ ij
χ = ∑∑
=
i =1 j=1 n ′
i =1 j=1
n ′ij
ij
r
2
s
r
s
1
2
2
= ∑ ∑ (n ij − 2n ij n ′ij + n ′ij ) =
i =1 j=1 n ′
ij
2
2
r
s n′
r
s n n′
r
s n
ij
ij ij
ij
+ ∑∑
=
= ∑∑
− 2∑ ∑
i =1 j=1 n ′
i =1 j=1 n ′
i =1 j=1 n ′
ij
ij
ij
r
s
2
r
s
r
s
n ij
= ∑∑
− 2 ∑ ∑ n ij + ∑ ∑ n ′ij =
i =1 j =1
i =1 j=1 n ′
i =1 j=1
ij
2
r
s n
ij
= ∑∑
− 2n + n
i = 1 j= 1 n ′
ij
r
s
2
n ij
∑ −n
⇒χ =∑
i =1 j=1 n′
ij
2
r
s
Nota:
s
n i. n .j 1 r
= (∑ n i. )(∑ n .j ) =
∑ ∑ n′ij = ∑ ∑
i =1 j =1
i =1 j =1
j= 1
n
n i =1
1
= nn = n
n
r
s
r
s
Se non si vuole passare per il
calcolo delle n′ij ⇒
2
2
r
s c
r
s n
ij
ij
2
χ = ∑∑
= ∑∑
−n=
i =1 j =1 n ′
i =1 j =1 n ′
ij
ij
2
2
r
s
r
s n n
n ij
ij
= ∑∑
− n =∑ ∑
−n
i =1 j =1 n i. n . j
i =1 j =1 n n
i.
.j
n
2
⎡ r s n ij
⎤
2
⇒ χ = ⎢∑ ∑
− 1⎥ ⋅ n
⎣ i = 1 j = 1 n i. n . j
⎦