Scheda (1) per lo svolgimento dell`attività

Matebilandia
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Scheda (1) per lo svolgimento dell’attività
Prima parte
Domanda 1. Scegli una ruota dentata dello spirografo. Leggi il numero
dei denti stampato sulla plastica ................... 36
Quanti denti ci sono complessivamente in tutta la corona dello spirografo? ....................... 96
Domanda 2. ROTOLAMENTO INTERNO. Interponi un foglio di carta
tra spirografo e tavoletta. Fissa la corona dentata dello spirografo con
quattro puntine (poste all’esterno della base) alla tavoletta di legno,
perché non si muova. Posiziona la ruota dentata scelta (36) entro la
corona, nel punto più alto, facendo coincidere le dentature. Inserisci un
pennarello in uno dei fori più vicini al bordo della ruota dentata e
muovi la ruota fino a quando la penna si sovrappone al punto iniziale
della traccia.
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Quante “punte” ha la curva disegnata? 8
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota dentata, ovvero quante volte ha
dovuto ruotare attorno alla corona dello spirografo perché la penna si
sovrapponesse al punto iniziale della traccia? 3
Domanda 3. Questa volta posiziona la ruota dentata scelta (36) entro la
corona, ma nel suo punto più basso, in modo che la ruota sia solo traslata (ma non ruotata) rispetto alla precedente posizione iniziale.
Cambia il colore del pennarello, ma inseriscilo sempre nel foro precedentemente utilizzato.
Muovi la ruota fino a quando la penna si sovrappone al punto iniziale
della traccia.
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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La curva appare disegnata nella stessa posizione? No, risulta ruotata di
1/16 di giro (22°30’).
Domanda 4. Torna alla configurazione della ruota dentata-corona dello
spirografo, presentata alla domanda 2. Cambia, però, il foro in cui inserire la penna: scegli uno dei fori più vicini al centro della ruota dentata.
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Quante “punte” ha la curva disegnata? 8
Le “punte” della curva hanno una curvatura,
intuitivamente, maggiore o minore rispetto a
quella delle punte della curva che risulta in
risposta alla domanda 2? Le punte sono molto
più arrotondate e meno spigolose: hanno una
curvatura minore.
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota dentata? 3
Nota. Se pensiamo a una generica
linea del piano, la curvatura della
linea in un punto è intuitivamente
la misura di quanto la linea devia
rispetto alla retta tangente nel
punto: la curvatura in C è maggiore della curvatura in A o B10.
10
Per la definizione rigorosa di curvatura si veda il paragrafo 3.1.3.
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Domanda 5.Cambia ruota dentata (30 denti): posizionala entro la corona,
nel punto più alto, analogamente a prima. Inserisci una nuova penna colorata in uno dei fori più vicini al bordo della ruota dentata. Muovi la ruota
fino a quando la penna si sovrappone al punto iniziale della traccia.
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Quante “punte” ha la curva disegnata? 16
Quante rivoluzioni ha compiuto la
ruota dentata? 5
Domanda 6. ROTOLAMENTO ESTERNO. Scegli ora due ruote dentate.
Fissa la ruota più grande (50) con tre chiodini alla tavoletta di legno,
interponendo un nuovo foglio di carta. Scegli un foro della ruota più
piccola (30), vicino al bordo, in cui inserire la penna colorata. Dopo aver
fatto coincidere le dentature, muovi la ruota fino a quando la penna si
sovrappone al punto iniziale della traccia.
Fai uno schizzo della curva tracciata
La curva è simile a quella ottenuta utilizzando una ruota dentata e la
corona dello spirografo, come richiesto nelle domande precedenti?
La curva tracciata utilizzando la configurazione ruota dentata-ruota
dentata appare diversa da quelle ottenute con la configurazione ruota
dentata-corona: nel primo caso la curva sembra simile a un fiore (le
punte sono rivolte verso l’interno), nel secondo a una stella con le punte
rivolte all’esterno.
Quanti “petali” ha la curva disegnata? 5
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota dentata? 3
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Conclusioni
Il rapporto tra i numeri dei denti sulle due ruote determina: il numero
di punte/petali che possiede la curva tracciata e il numero di giri che
deve compiere la ruota in movimento attorno alla ruota fissa perché la
penna si sovrapponga al punto iniziale della traccia (rivoluzioni).
La distanza della penna, che disegna la curva, dal centro della ruota
influenza: la curvatura dei petali/punte: più la penna si avvicina al
bordo della ruota dentata, più i petali/punte possiedono curvatura maggiore (sono più appuntiti).
Se si usa la corona e si fa rotolare la ruota dentata all’interno di essa, si
ottiene ………… una stella
Se si usano due ruote dentate, una delle quali rotola esternamente all’altra, si ottiene ………. un fiore
Limiti dello spirografo manuale
• hai a disposizione solo 5 ruote dentate e una corona entro cui far muovere
le ruote, per cui si possono studiare solo alcune limitate configurazioni;
• non avendo una ruota dentata con 96 denti (pari al numero dei denti della
corona dello spirografo) non si possono studiare le curve “esterne” analoghe a quelle tracciate usando la corona;
• non si possono tracciare curve disegnate da una penna distante dal centro
della ruota più del raggio della ruota stessa. Allora, con lo spirografo
manuale non si possono tracciare curve con “cappi”;
• nello spirografo manuale si ottengono sempre curve chiuse in uno o più
giri, perché il rapporto dei raggi è sempre un numero razionale, pari al rapporto dei denti che è un quoziente di numeri interi.
Seconda parte
Per approfondire lo studio dello spirografo e superare alcuni limiti sopra
elencati, è possibile utilizzare uno spirografo digitale. Tra i vari trovati in
rete, consigliamo l’installazione e l’uso
di un software (SpiroGraph), disponibile all’indirizzo: www.math.psu.edu/
dlittle/java/parametricequations/
spirograph/index.html.
L’interfaccia dello spirografo
digitale SpiroGraph
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Il programma, sviluppato con linguaggio Java dall’autore della pagina
Internet, è di facile utilizzo:
• Attraverso i comandi a destra possono essere variati a piacere i parametri
Radius1, Radius2 e Position, che corrispondono rispettivamente al raggio della
circonferenza fissa, al raggio della circonferenza mobile, e alla distanza della
penna dal centro della circonferenza mobile. Può poi essere selezionata anche
la risoluzione e la velocità di composizione del grafico, oltre al colore.
• Deselezionando Automatic, è possibile vedere la curva mentre viene tracciata, ed è inoltre possibile comporre più curve sovrapposte.
• Con Show Circles si possono mostrare o nascondere le circonferenze che
danno origine alla curva.
• Con Clear, Reset e Draw, rispettivamente, si cancellano le curve tracciate, si
riporta alla posizione iniziale la penna e si inizia a tracciare la curva.
Per convenzione chiamiamo:
• a = misura del raggio della circonferenza fissa;
• b = misura del raggio della circonferenza che rotola;
• h = misura del segmento OP, con O centro della circonferenza che rotola e
P posizione della penna (che traccia la curva).
Si noti che:
• a può assumere i valori tra +5 e +150;
• b può assumere i valori tra -(a-2) e +150;
• h può assumere i valori tra -200 e +195.
La circonferenza fissa può, dunque, avere solamente raggio positivo. Per quanto riguarda la circonferenza mobile:
• con raggio positivo, essa rotola esternamente a quella fissa, dunque traccia
epicicloidi;
• con raggio negativo, essa rotola internamente a quella fissa, dunque traccia
ipocicloidi.
Il segno di h, invece, indica semplicemente da che parte si trova la penna
rispetto al centro della circonferenza mobile. Valori opposti di h producono
perciò curve uguali, a meno eventualmente di una rotazione. Nel testo seguente, dunque, si è scelto di mantenere positivo il segno di h.
Domanda 1. Sono date le figure
seguenti. Scrivi sulle due figure, nelle
posizioni corrette, le “etichette” a, b e
h, relative ai parametri suddetti.
Ruota in moto esternamente/
internamente a quella fissa
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Domanda 2. Avvia il software SpiroGraph. Proviamo a disegnare la
curva che compare in risposta alla domanda 6 (prima parte), relativa
allo spirografo manuale appena esaminato. Imposta le lunghezze dei
raggi delle due ruote:
a = ........................ 50
b = ....................... 30
Nota che, essendo b positivo, si tratta di un rotolamento esterno. Poi
imposta h=22.
Seleziona una velocità di tracciamento bassa, in modo da riuscire a
capire quanti giri effettua la penna perché si sovrapponga al punto iniziale del tratto.
Fai uno schizzo della curva tracciata.
a = 50
b = 30
h = 22
Quante “punte” ha la curva disegnata? 5
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota dentata? 3
Domanda 3. Cancella la curva precedente, premendo clear (ogni volta
che tracci una nuova curva cancella la precedente, a meno che non ti
venga detto il contrario).
Imposta i valori: a = 135
b = -30
h = 25
Nota che ora b è negativo, e si tratta quindi di un rotolamento interno.
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Quante “punte” ha la curva disegnata? 9
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota dentata? 2
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Domanda 4. Mantieni costanti i valori di a,b e h, ma inverti il segno di
b. Come si modificherà la curva?
Fai uno schizzo della curva tracciata.
a = 135
b = 30
h = 25
Quanti “petali” ha la curva disegnata? 9
Quante rivoluzioni ha compiuto la ruota dentata? 2
Prova ora a sovrapporre le due curve:
disegna le due curve, una di seguito
all’altra senza cancellare la precedente, cioè senza premere “Clear”. Cosa
osservi? Le punte si corrispondono. Gli
archi con concavità “verso l’interno”
(petali, in rosa) corrispondono agli
archi con concavità “verso l’esterno”
(stella, in viola).
Domanda 5. Imposta:
a = 120
Fai uno schizzo della curva tracciata.
b = 30
h = 20
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Ora, mantenendo la curva appena tracciata, modifica il parametro h,
distanza della penna dal centro della circonferenza rotante, in modo che
sia maggiore della lunghezza del raggio. Poni h=60.
Come si modificherà la curva? All’aumentare della distanza della penna
dal centro della ruota la curva presenta dei “cappi” di ampiezza sempre
maggiore.
Fai uno schizzo.
Modifica ancora la distanza della penna dal centro della circonferenza
in moto, in modo che sia uguale alla lunghezza del raggio. Poni h=30.
Come si modificherà la curva? È il valore di h al di sotto del quale la
curva non presenta “cappi”.
Fai uno schizzo.
Domanda 6. Cancella tutto. Ora, imposta nuovamente gli stessi valori del
primo grafico di domanda 5 (seconda parte), ma invertendo il segno di b.
a = 120
b = -30
h = 20
Matebilandia
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Fai uno schizzo della curva tracciata.
Ora modifica la distanza della penna dal centro della circonferenza in
moto, in modo che sia maggiore della lunghezza del raggio. Poni h = 60.
Come si modificherà la curva? All’aumentare della distanza della penna
dal centro della ruota, la curva presenta dei “cappi” di ampiezza sempre
maggiore.
Fai uno schizzo.
Modifica ancora il parametro h in modo che sia uguale alla lunghezza
del raggio. Poni h = 30.
Come si modificherà la curva? È il valore di h al di sotto del quale la
curva non presenta “cappi”.
Fai uno schizzo.
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Limiti dello spirografo digitale
• Anche con lo spirografo digitale suggerito si ottengono solo curve chiuse
in uno o più giri, perché il rapporto dei raggi è sempre un numero razionale (i raggi non possono mai assumere valori irrazionali, per come è stato
costruito lo spirografo). Mentre con altri software matematici, per es. TINspire, Derive,…, se si imposta come rapporto dei raggi un numero irrazionale si ottengono curve aperte.
• Ci sono dei valori massimi e dei valori minimi selezionabili per i parametri a, b e h.
6.3.2 Curve e parametri dello spirografo
Indicazioni di lavoro per l’insegnante
Prerequisiti
• fondamenti di aritmetica;
• lunghezza circonferenza;
• funzioni goniometriche;
• composizione dei moti;
• argomenti trattati nella prima sezione.
Strumenti e materiali
• spirografo, uno per gruppo;
• pennarelli lavabili, fogli di carta, una tavoletta di legno su cui appoggiare il
tutto, 4 puntine da disegno per fissare lo spirografo al piano;
• schede guida per studenti;
• schede guida per docenti;
• computer con software “spirografo”, uno per gruppo;
• palmare TI-Nspire, una per gruppo.
Metodologia
4 ore impiegate nelle seguenti attività:
• lavoro di gruppo e/o individuale su schede;
• sistematizzazione del docente.
Collocazione nel curriculum
• argomento conclusivo del modulo di trigonometria;
• in collegamento alla parametrizzazione di curve.
Obiettivi
• ricavare, in base ai parametri, la tipologia della curva disegnata dallo spirografo
(epi- o ipocicloide), il numero di petali/punte, che essa possiede, e il numero di
giri necessari, perché il tratto della penna si sovrapponga al punto iniziale;
• mettere in relazione il tipo di curva (epi- o ipocicloidi) con il verso di rotazione delle ruote;