Lezione 13 - Il camp.. - Dipartimento di Informatica

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13 – Il campionamento statistico
Tecnologie Informatiche per la Qualità
Lezione 13
Gli strumenti per il miglioramento della Qualità
Il campionamento statistico
Aggiornamento: 19 novembre 2003
Il materiale didattico potrebbe contenere errori: la segnalazione
segnalazione di questi errori è benvenuta.
Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
1
PROBLEMA
Come è possibile decidere se un lotto di materiale è
conforme o non conforme senza collaudare ogni
singolo pezzo?
2
IL CAMPIONAMENTO IN ACCETTAZIONE
o
o
o
o
L’ispezione o il controllo ha come scopo
l’accettazione o il rifiuto di un prodotto in base alla
corrispondenza agli standard (specifiche) richiesti.
Concetto di ispezione del lotto;
Ispezione completa:
completa ogni unità del lotto viene
ispezionata;
Ispezione campionaria:
campionaria l’ispezione avviene su un
campione casuale estratto dal lotto.
3
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO
Per adottare un procedimento di collaudo che utilizza campioni è
necessario definire un Piano di Campionamento da adottare,
ossia l’insieme delle regole che definiscono:
La partita o il lotto di elementi grezzi, semi-finiti, finiti che si
intende prendere in considerazione;
L’ampiezza del campione che si deve estrarre dalla partita o dal
lotto (numerosità campionaria);
La caratteristica di qualità richiesta dalla specifica tecnica;
Le condizioni di accettazione e/o di rifiuto della partita o del lotto
4
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO
Quando si effettua un collaudo per campioni si possono
commettere i seguenti errori:
1. Rifiutare il lotto che dovrebbe essere accettato;
2. Accettare il lotto che dovrebbe essere rifiutato.
Ovvero:
1. H0 = Il lotto soddisfa i requisiti di qualità, quindi accetto il lotto;
2. H1 = Il lotto non soddisfa i requisiti di qualità, quindi non
accetto il lotto.
5
IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 1
MIL STD 105E militare
ANSI/ASQ1.4 civile (Stati uniti, Canada e altri paesi occidentali)
ISO 2859
campionamento per attributi
ISO 3951
campionamento per variabili
6
Piano di campionamento per attributi:
attributi La caratteristica
di interesse è una variabile discreta e ci si basa su dati di
conteggio: numero di elementi non conformi nel
campione, numero di non conformità nel campione
etc…
Piano di campionamento per variabili:
variabili La caratteristica
di interesse è una variabile continua e ci si basa su
misure relative alla variabile.
7
Possono essere:
Semplici : se l’accettazione del lotto dipende dal controllo di un
solo campione;
Doppi: se l’accettazione del lotto dipende dal controllo di due
campioni;
Multipli: se l’accettazione del lotto dipende dal controllo di più
campioni;
Sequenziali: se l’accettazione del lotto dipende dal risultato
ottenuto dopo ogni elemento collaudato.
8
Il piano di campionamento deve quindi prevedere due rischi:
1. Rischio fornitore (RF) ovvero il rischio che il lotto non sia
accettato pur essendo di qualità uguale o migliore di quella
specificata negli accordi (LQA = Livello di Qualità Accettabile);
2. Rischio committente (RC) ovvero il rischio che il lotto sia
accettato pur essendo di qualità peggiore di quella specificata
negli accordi (LQT = Livello di Qualità Tollerabile).
9
Il piano di campionamento deve assicurare che:
1. Non si corra un rischio maggiore del 5% che un lotto di qualità
migliore del Livello di Qualità Accettabile (LQA) venga
rifiutato;
2. Non si corra un rischio maggiore del 5% che un lotto di qualità
inferiore al Livello di Qualità Tollerabile venga accettato.
10
PIANO DI CAMPIONAMENTO semplice per attributi
N = Numerosità del lotto;
Ogni unità prodotta può essere:
Conforme / non difettoso;
Non conforme / difettoso;
M = Numero ignoto di elementi non conformi nel lotto.
M in pratica descrive la qualità del lotto
M grande lotto di scarsa qualità
M piccolo lotto di buona qualità
11
PIANO DI CAMPIONAMENTO semplice per attributi
p = M / N frazione di elementi non conformi
100 • p percentuale di elementi non conformi
Sia:
n = numerosità del campione
c = numero di accettazione
c<n
12
REGOLA DI DECISIONE
Sia Xn il numero totale di elementi difettosi trovati nel
campione.
Xn ≤ c accetto il lotto
Xn > c rifiuto il lotto
H0: p ≤ p0
H1: p > p0
13
IL PIANO DI CAMPIONAMENTO
La probabilità di accettazione e/o rifiuto di un lotto varia in
funzione della qualità.
Tale probabilità viene descritta dalla Curva Operativa.
14
LA CURVA OPERATIVA
N
n
nA
= Dimensione del lotto;
= Dimensione del campione;
= Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel
campione affinché il lotto sia accettato;
nR = Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel
campione a partire dal quale il lotto viene rifiutato;
LQA = nA/n
LQT = nR/n
p
= percentuale di pezzi difettosi;
P(A) = probabilità di accettare il lotto.
15
LA CURVA OPERATIVA IDEALE
Tutti i lotti
sono accettati
Può essere ottenuta
col 100% di ispezioni
prive di errori. In
pratica non si hanno
dubbi: il lotto lo si
accetta o lo si rifiuta.
Tutti i lotti
sono rifiutati
Livello di qualità accettabile = Livello di qualità “cattivo”
Mostra la capacità discriminatoria del piano di campionamento.
16
CURVA OPERATIVA
Un piano di campionamento è definito da:
Dalla numerosità del lotto (N);
Dalla numerosità del campione (n) ;
Dal numero di accettazione (nA);
Dal numero di rifiuto (nR).
17
CURVA OPERATIVA
La probabilità di avere “d” elementi difettosi in un lotto
composto di numerosità “n” risulta (distribuzione binomiale):
n  d
f ( d ) =   p (1 − p )n −d
d 
E la probabilità di accettazione è la probabilità che “d” sia
minore o uguale a “c” se “c” è è il numero di accettazione:
c
n  d
n!
n −d
p d (1 − p )n −d
P ( A ) = P ( d ≤ c ) = ∑   p (1 − p ) = ∑
d =0  d 
d = 0 d ! (n − d )!
c
18
CURVA OPERATIVA
Si ipotizza una
distribuzione
binomiale:
n  k
n −k


P ( A ) = ∑   p (1 − p )
k =0  k 
nA
1
0,9
0,8
0,7
P(A)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
P
19
CURVA OPERATIVA: dimensione del campione
Curve operative con differenti dimensioni del campione (il
numero di accettazione è mantenuto proporzionale a n)
20
CURVA OPERATIVA: numero di acettazione
Curve operative con differenti numeri di accettazione.
21
CURVA OPERATIVA: acquirente Vs fornitore
Il fornitore è interessato
a questa parte
L’acquirente è interessato
a questa parte
1
0,9
0,8
0,7
P(A)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
P
22
CURVA OPERATIVA
1. La curva operativa illustra il comportamento prevedibile di
un qualsiasi piano di campionamento per quanto riguarda
l’accettazione o il rifiuto dei lotti;
2. Sulla curva operativa si possono determinare LQA e LQT;
23
CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1
Si analizza un campione di 10 elementi. Il committente accetta
l’intero lotto se i pezzi difettosi sono al massimo 3.
Determinare la probabilità di accettazione e la curva
operativa caratteristica.
Soluzione
n = 10
nA = 3
LQA = nA/n = 3/10 = 0,3
24
Sapendo che:
n  k
P ( A ) = ∑   p (1 − p )n − k
k =0  k 
nA
Risulta:
25
26
Zona di rischio per il fornitore
1
0,9
0,8
0,7
P(A)
0,6
0,5
Zona di rischio per il committente
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
LQA
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
27
CURVA OPERATIVA: caso c=0
28
CURVA OPERATIVA: caso c/N=costante
29
CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione
Si vuole un piano di campionamento tale che:
La probabilità di accettazione per lotti con frazione di elementi
difettosi p1 sia 1-α;
La probabilità di accettazione per lotti con frazione di elementi
difettosi p2 sia β;
c
n!

d
n −d
(
)
−
=
−
1
α
p
1
p
∑
1
1

d = 0 d ! ( n − d )!
Allora n e c sono dati da: 
c
n!
β = ∑
p 2 d (1 − p 2 )n −d

d = 0 d ! ( n − d )!
30
Si usa un monogramma
31
Esempio:
p1=0.01
p1=0.01
α=0.05
p2=0.06
p2=0.06
β=0.1
β=0.1
1-α=0.95
32
c=2
n=89
33
CURVA OPERATIVA: LQA e LQT
Quando:
p1 = LQA
p2 = LQT
I punti corrispondenti sulla curva operativa sono detti
rispettivamente:
Punto di rischio del fornitore
Punto di rischio per l’acquirente
Sono anche detti:
1-α = rischio del fornitore
β= rischio dell’acquirente
34
In un contratto di compravendita si è stabilito che, al momento
della consegna sarà estratto un campione di 8 elementi e che:
1. La merce sarà accettata se il campione conterrà al massimo
un pezzo difettoso;
2. La merce sarà rifiutata se il campione conterrà più di tre
pezzi difettosi;
3. Se il campione conterrà due o tre pezzi difettosi si ripeterà
l’operazione fino a quando non si verificherà una condizione
di cui ai punti 1 e 2.
35
Soluzione
n =
nA =
nR =
LQA
LQT
8
1
4
=
=
nA/n =
nR/n =
1/8 = 0,125
4/8 = 0,50
36
p
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
P(A)
1
0,813
0,503
0,255
0,106
0,035
0,008
0,001
0,000
0,000
0
37
Rischio per il fornitore
1
0,9
0,8
0,7
P(A)
0,6
0,5
Zona di incertezza
0,4
0,3
0,2
Rischio per il committente
0,1
0
0
0,1
LQA
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
LQT
1
p
38
Determinazione dei piani di campionamento
Si procede in conformità alle seguenti NORME:
NORMA UNI 4842-6
ISO 2859
MIL-STD-105 E (Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti
d’America)
39
PROCEDURA
1.
2.
3.
4.
Si sceglie AQL;
Si sceglie il livello di ispezione;
Si determina la dimensione del lotto;
Si individua la lettera di codice appropriata per la dimensione
del campione;
5. Si determina il tipo appropriato di piano di campionamento
(semplice, doppio, multiplo);
6. Si utilizza la tabella appropriata per individuare il piano da
impiegare;
7. Si determina il corrispondente piano normale per individuare
il piano da impiegare.
40
Passo 1
41
Passo 1
42
LIVELLO DI COLLAUDO
Il livello di collaudo scelto
determina il potere discriminante
della prova.
Il livello I è quello con minor potere
discriminante, il livello III è quello
con maggior potere
discriminante.
Salvo diversa indicazione e
per normali necessità si usa
Il livello II.
I livelli speciali S1,
S2, S3, S4 sono usati quando
sono necessarie numerosità di
campione piccole, e possono
o devono essere tollerati i
rischi determinati dal minor
potere discriminante (ad es.
controlli su materiali ricavati
da un processo continuo).
43
Passo 2 – Collaudo normale
44
Passo 2 – Collaudo rinforzato
45
Passo 2 – Collaudo ridotto
46
Esempio
I vuole determinare il piano di campionamento ordinario per un
lotto di 400 unità e con un livello accettabile (LQA) pari a 2,5
(numero di difetti per 100 unità ispezionate).
Si ipotizzi una distribuzione di Poisson.
47
Soluzione: Passo 1
48
Soluzione: Passo 2
49
Soluzione: Passo 2 (continua)
Dalla tabella precedente si ottiene:
n (dimensione del campione) = 50;
nA (numero massimo di elementi difettosi ammessi nel
campione affinché il lotto sia accettato) = 3;
nR (numero massimo di elementi difettosi a partire dal quale
il lotto sia rifiutato) = 4;
50
Soluzione: Passo 2 (continua)
Significa che da un lotto di 400 unità sarà estratto un
campione da 50 elementi;
Se gli elementi difettosi sono al massimo 3 il lotto viene
accettato;
Se gli elementi difettosi sono 4 o più il lotto viene rifiutato.
51
Soluzione: Passo 3
nA
3
LQA =
=
= 0,06
n
50
4
nR
LQT =
=
= 0,08
n 50
52
Soluzione: Passo 4
La probabilità di accettazione può essere calcolata con la
distribuzione di Poisson:
nA
P (A) = ∑
k =0
(np ) e −np =
k
k!
3
∑
k =0
(50 p ) e −50 p
k
k!
53
Soluzione: Passo 4
54
Soluzione: Passo 5
55
Regole di commutazione tra i piani di campionamento
56
Lezione 13
Gli strumenti per il miglioramento della Qualità
Il campionamento statistico
FINE
57

Lezione 13 - Il camp.. - Dipartimento di Informatica

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