Lezione 13 - Il camp.. - Dipartimento di Informatica
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Lezione 13 - Il camp.. - Dipartimento di Informatica
13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Lezione 13 Gli strumenti per il miglioramento della Qualità Il campionamento statistico Aggiornamento: 19 novembre 2003 Il materiale didattico potrebbe contenere errori: la segnalazione segnalazione di questi errori è benvenuta. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 1 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità PROBLEMA Come è possibile decidere se un lotto di materiale è conforme o non conforme senza collaudare ogni singolo pezzo? Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 2 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL CAMPIONAMENTO IN ACCETTAZIONE o o o o L’ispezione o il controllo ha come scopo l’accettazione o il rifiuto di un prodotto in base alla corrispondenza agli standard (specifiche) richiesti. Concetto di ispezione del lotto; Ispezione completa: completa ogni unità del lotto viene ispezionata; Ispezione campionaria: campionaria l’ispezione avviene su un campione casuale estratto dal lotto. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 3 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL CAMPIONAMENTO STATISTICO Per adottare un procedimento di collaudo che utilizza campioni è necessario definire un Piano di Campionamento da adottare, ossia l’insieme delle regole che definiscono: La partita o il lotto di elementi grezzi, semi-finiti, finiti che si intende prendere in considerazione; L’ampiezza del campione che si deve estrarre dalla partita o dal lotto (numerosità campionaria); La caratteristica di qualità richiesta dalla specifica tecnica; Le condizioni di accettazione e/o di rifiuto della partita o del lotto Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 4 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL CAMPIONAMENTO STATISTICO Quando si effettua un collaudo per campioni si possono commettere i seguenti errori: 1. Rifiutare il lotto che dovrebbe essere accettato; 2. Accettare il lotto che dovrebbe essere rifiutato. Ovvero: 1. H0 = Il lotto soddisfa i requisiti di qualità, quindi accetto il lotto; 2. H1 = Il lotto non soddisfa i requisiti di qualità, quindi non accetto il lotto. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 5 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 1 MIL STD 105E militare ANSI/ASQ1.4 civile (Stati uniti, Canada e altri paesi occidentali) ISO 2859 campionamento per attributi ISO 3951 campionamento per variabili Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 6 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 2 Piano di campionamento per attributi: attributi La caratteristica di interesse è una variabile discreta e ci si basa su dati di conteggio: numero di elementi non conformi nel campione, numero di non conformità nel campione etc… Piano di campionamento per variabili: variabili La caratteristica di interesse è una variabile continua e ci si basa su misure relative alla variabile. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 7 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 3 Possono essere: Semplici : se l’accettazione del lotto dipende dal controllo di un solo campione; Doppi: se l’accettazione del lotto dipende dal controllo di due campioni; Multipli: se l’accettazione del lotto dipende dal controllo di più campioni; Sequenziali: se l’accettazione del lotto dipende dal risultato ottenuto dopo ogni elemento collaudato. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 8 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 4 Il piano di campionamento deve quindi prevedere due rischi: 1. Rischio fornitore (RF) ovvero il rischio che il lotto non sia accettato pur essendo di qualità uguale o migliore di quella specificata negli accordi (LQA = Livello di Qualità Accettabile); 2. Rischio committente (RC) ovvero il rischio che il lotto sia accettato pur essendo di qualità peggiore di quella specificata negli accordi (LQT = Livello di Qualità Tollerabile). Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 9 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 5 Il piano di campionamento deve assicurare che: 1. Non si corra un rischio maggiore del 5% che un lotto di qualità migliore del Livello di Qualità Accettabile (LQA) venga rifiutato; 2. Non si corra un rischio maggiore del 5% che un lotto di qualità inferiore al Livello di Qualità Tollerabile venga accettato. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 10 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico PIANO DI CAMPIONAMENTO semplice per attributi N = Numerosità del lotto; Ogni unità prodotta può essere: Conforme / non difettoso; Non conforme / difettoso; M = Numero ignoto di elementi non conformi nel lotto. M in pratica descrive la qualità del lotto M grande lotto di scarsa qualità M piccolo lotto di buona qualità Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 11 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità PIANO DI CAMPIONAMENTO semplice per attributi p = M / N frazione di elementi non conformi 100 • p percentuale di elementi non conformi Sia: n = numerosità del campione c = numero di accettazione c<n Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 12 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità REGOLA DI DECISIONE Sia Xn il numero totale di elementi difettosi trovati nel campione. Xn ≤ c accetto il lotto Xn > c rifiuto il lotto H0: p ≤ p0 H1: p > p0 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 13 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico IL PIANO DI CAMPIONAMENTO La probabilità di accettazione e/o rifiuto di un lotto varia in funzione della qualità. Tale probabilità viene descritta dalla Curva Operativa. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 14 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico LA CURVA OPERATIVA N n nA = Dimensione del lotto; = Dimensione del campione; = Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione affinché il lotto sia accettato; nR = Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione a partire dal quale il lotto viene rifiutato; LQA = nA/n LQT = nR/n p = percentuale di pezzi difettosi; P(A) = probabilità di accettare il lotto. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 15 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità LA CURVA OPERATIVA IDEALE Tutti i lotti sono accettati Può essere ottenuta col 100% di ispezioni prive di errori. In pratica non si hanno dubbi: il lotto lo si accetta o lo si rifiuta. Tutti i lotti sono rifiutati Livello di qualità accettabile = Livello di qualità “cattivo” Mostra la capacità discriminatoria del piano di campionamento. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 16 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA Un piano di campionamento è definito da: Dalla numerosità del lotto (N); Dalla numerosità del campione (n) ; Dal numero di accettazione (nA); Dal numero di rifiuto (nR). Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 17 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA La probabilità di avere “d” elementi difettosi in un lotto composto di numerosità “n” risulta (distribuzione binomiale): n d f ( d ) = p (1 − p )n −d d E la probabilità di accettazione è la probabilità che “d” sia minore o uguale a “c” se “c” è è il numero di accettazione: c n d n! n −d p d (1 − p )n −d P ( A ) = P ( d ≤ c ) = ∑ p (1 − p ) = ∑ d =0 d d = 0 d ! (n − d )! c Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 18 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità CURVA OPERATIVA Si ipotizza una distribuzione binomiale: n k n −k P ( A ) = ∑ p (1 − p ) k =0 k nA 1 0,9 0,8 0,7 P(A) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 P Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 19 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: dimensione del campione Curve operative con differenti dimensioni del campione (il numero di accettazione è mantenuto proporzionale a n) Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 20 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: numero di acettazione Curve operative con differenti numeri di accettazione. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 21 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità CURVA OPERATIVA: acquirente Vs fornitore Il fornitore è interessato a questa parte L’acquirente è interessato a questa parte 1 0,9 0,8 0,7 P(A) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 P Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 22 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA 1. La curva operativa illustra il comportamento prevedibile di un qualsiasi piano di campionamento per quanto riguarda l’accettazione o il rifiuto dei lotti; 2. Sulla curva operativa si possono determinare LQA e LQT; Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 23 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Si analizza un campione di 10 elementi. Il committente accetta l’intero lotto se i pezzi difettosi sono al massimo 3. Determinare la probabilità di accettazione e la curva operativa caratteristica. Soluzione n = 10 nA = 3 LQA = nA/n = 3/10 = 0,3 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 24 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Sapendo che: n k P ( A ) = ∑ p (1 − p )n − k k =0 k nA Risulta: Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 25 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 26 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Zona di rischio per il fornitore 1 0,9 0,8 0,7 P(A) 0,6 0,5 Zona di rischio per il committente 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 LQA 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 p Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 27 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: caso c=0 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 28 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: caso c/N=costante Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 29 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione Si vuole un piano di campionamento tale che: La probabilità di accettazione per lotti con frazione di elementi difettosi p1 sia 1-α; La probabilità di accettazione per lotti con frazione di elementi difettosi p2 sia β; c n! d n −d ( ) − = − 1 α p 1 p ∑ 1 1 d = 0 d ! ( n − d )! Allora n e c sono dati da: c n! β = ∑ p 2 d (1 − p 2 )n −d d = 0 d ! ( n − d )! Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 30 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione Si usa un monogramma Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 31 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione Esempio: p1=0.01 p1=0.01 α=0.05 p2=0.06 p2=0.06 β=0.1 β=0.1 1-α=0.95 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 32 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione c=2 n=89 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 33 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: LQA e LQT Quando: p1 = LQA p2 = LQT I punti corrispondenti sulla curva operativa sono detti rispettivamente: Punto di rischio del fornitore Punto di rischio per l’acquirente Sono anche detti: 1-α = rischio del fornitore β= rischio dell’acquirente Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 34 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 2 In un contratto di compravendita si è stabilito che, al momento della consegna sarà estratto un campione di 8 elementi e che: 1. La merce sarà accettata se il campione conterrà al massimo un pezzo difettoso; 2. La merce sarà rifiutata se il campione conterrà più di tre pezzi difettosi; 3. Se il campione conterrà due o tre pezzi difettosi si ripeterà l’operazione fino a quando non si verificherà una condizione di cui ai punti 1 e 2. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 35 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione n = nA = nR = LQA LQT 8 1 4 = = nA/n = nR/n = 1/8 = 0,125 4/8 = 0,50 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 36 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità p 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 P(A) 1 0,813 0,503 0,255 0,106 0,035 0,008 0,001 0,000 0,000 0 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 37 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Rischio per il fornitore 1 0,9 0,8 0,7 P(A) 0,6 0,5 Zona di incertezza 0,4 0,3 0,2 Rischio per il committente 0,1 0 0 0,1 LQA 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 LQT Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 1 p 38 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Determinazione dei piani di campionamento Si procede in conformità alle seguenti NORME: NORMA UNI 4842-6 ISO 2859 MIL-STD-105 E (Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti d’America) Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 39 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità PROCEDURA 1. 2. 3. 4. Si sceglie AQL; Si sceglie il livello di ispezione; Si determina la dimensione del lotto; Si individua la lettera di codice appropriata per la dimensione del campione; 5. Si determina il tipo appropriato di piano di campionamento (semplice, doppio, multiplo); 6. Si utilizza la tabella appropriata per individuare il piano da impiegare; 7. Si determina il corrispondente piano normale per individuare il piano da impiegare. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 40 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Passo 1 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 41 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Passo 1 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 42 Tecnologie Informatiche per la Qualità LIVELLO DI COLLAUDO 13 – Il campionamento statistico Il livello di collaudo scelto determina il potere discriminante della prova. Il livello I è quello con minor potere discriminante, il livello III è quello con maggior potere discriminante. Salvo diversa indicazione e per normali necessità si usa Il livello II. I livelli speciali S1, S2, S3, S4 sono usati quando sono necessarie numerosità di campione piccole, e possono o devono essere tollerati i rischi determinati dal minor potere discriminante (ad es. controlli su materiali ricavati da un processo continuo). Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 43 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Passo 2 – Collaudo normale Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 44 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Passo 2 – Collaudo rinforzato Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 45 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Passo 2 – Collaudo ridotto Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 46 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Esempio I vuole determinare il piano di campionamento ordinario per un lotto di 400 unità e con un livello accettabile (LQA) pari a 2,5 (numero di difetti per 100 unità ispezionate). Si ipotizzi una distribuzione di Poisson. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 47 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione: Passo 1 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 48 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione: Passo 2 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 49 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Soluzione: Passo 2 (continua) Dalla tabella precedente si ottiene: n (dimensione del campione) = 50; nA (numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione affinché il lotto sia accettato) = 3; nR (numero massimo di elementi difettosi a partire dal quale il lotto sia rifiutato) = 4; Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 50 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Soluzione: Passo 2 (continua) Significa che da un lotto di 400 unità sarà estratto un campione da 50 elementi; Se gli elementi difettosi sono al massimo 3 il lotto viene accettato; Se gli elementi difettosi sono 4 o più il lotto viene rifiutato. Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 51 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione: Passo 3 nA 3 LQA = = = 0,06 n 50 4 nR LQT = = = 0,08 n 50 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 52 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione: Passo 4 La probabilità di accettazione può essere calcolata con la distribuzione di Poisson: nA P (A) = ∑ k =0 (np ) e −np = k k! 3 ∑ k =0 (50 p ) e −50 p k k! Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 53 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione: Passo 4 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 54 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Soluzione: Passo 5 Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 55 Tecnologie Informatiche per la Qualità 13 – Il campionamento statistico Regole di commutazione tra i piani di campionamento Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 56 13 – Il campionamento statistico Tecnologie Informatiche per la Qualità Lezione 13 Gli strumenti per il miglioramento della Qualità Il campionamento statistico FINE Università degli Studi di Milano – Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione 57