Calcolo combinatorio
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Calcolo combinatorio
«l’arte di contare senza contare» Numero di oggetti disponibili Numero di oggetti che costituiscono una sola estrazione Regole per costruire le estrazioni: se si possono utilizzare tutti gli oggetti o solo una parte, se lo stesso oggetto può essere utilizzato una sola volta o più volte, se conta o meno l’ordine degli oggetti nelle estrazioni. Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere fatta in s modi diversi, e per ciascuno dei modi in cui sono state effettuate le prime due scelte una terza scelta può essere fatta in t modi diversi, …la successione di tutte le scelte potrà compiersi in r*s*t*… modi diversi. Questo è quello che viene chiamato principio di moltiplicazione. Sia n il numero di elementi «disponibili» e k il numero di elementi contenuti in una certa estrazione, cioè la numerosità dell’estrazione. I due criteri principali che caratterizzano il conteggio dei raggruppamenti che si possono formare sono l’ordine e la possibilità di ripetizioni. A seconda che l’ordine venga considerato o meno si parla di disposizioni o di combinazioni, a seconda che vi sia possibilità di ripetizioni o meno, le disposizioni e le combinazioni saranno semplici o con ripetizione. Si tratta di scegliere un elemento tra n disponibili e prenderlo come primo elemento della lista di k elementi che vogliamo formare. Il successivo verrà scelto tra n-1, e così via fino al k-esimo elemento che verrà scelto tra n-(k-1) elementi. Il numero di possibili raggruppamenti (allineamenti di oggetti distinti presi a gruppi di k ciascuno) che si possono comporre è dunque: 𝐷𝑛,𝑘 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ ∗ (𝑛 − (𝑘 − 1)) con 𝑘 ≤ 𝑛. Se 𝑘 > 𝑛, 𝐷𝑛,𝑘 = 0 Il numero 𝐷𝑛,𝑘 si può anche esprimere in questa forma: 𝐷𝑛,𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! dove il fattoriale di un numero naturale n è così definito: 𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1, dove per definizione si pone 0!=1 e vale: 𝑛 + 1 ! = 𝑛 + 1 ∗ 𝑛! Il fattoriale di n è il prodotto di tutti i naturali in ordine decrescente compresi tra 1 e n. Il caso particolare delle disposizioni semplici in cui i raggruppamenti contengono k=n elementi è detto permutazioni semplici di n elementi, che si indicano con la notazione 𝑃𝑛 . Sostituendo n al posto di k nella formula delle disposizioni si ottiene: 𝑃𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ 𝑛 − 𝑛 − 1 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ ∗ 1 = 𝑛! Sono gli allineamenti che si ottengono scambiando di posto gli n elementi. Una disposizione con ripetizione di n oggetti distinti presi k alla volta è un possibile modo di scegliere k oggetti, eventualmente ripetuti, tra gli n e ordinarli: 𝐷𝑛,𝑘 𝑟 = 𝑛𝑘 Esempio: quanti numeri di 3 cifre si possono scrivere con le cifre 1,4,5,6,7 eventualmente ripetendo ciascuna cifra? Sono 53 = 125 numeri. Una permutazione di n oggetti di cui h uguali fra loro e diversi dai precedenti, k uguali fra loro e diversi dai precedenti, …,p uguali fra loro e diversi dai precedenti, con h+k+…+p=n è: 𝑛! 𝑃𝑛,ℎ,𝑘,…𝑝 r = ℎ! ∗ 𝑘! ∗ ⋯ 𝑝! Esempio: quanti numeri posso formare con le cifre 1,1,2,2,2,3? Sono 6 elementi, di cui l’uno ripetuto due volte e il due ripetuto tre volte. Quindi:𝑃6,2,3,1 r = 6! 2!∗3!∗1! = 60. Le combinazioni di n oggetti presi a gruppi di k sono il numero di campioni non ordinati di numerosità k. Non conta l’ordine, diversamente dal caso delle disposizioni. Si indicano con 𝐶𝑛,𝑘 e rappresentano il numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono estrarre da un insieme di n elementi. Rispondono alla domanda: dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k? Il numero 𝐶𝑛,𝑘 si indica anche con il simbolo 𝑛 (si legge «n su k» o «n sopra k») , chiamato 𝑘 coefficiente binomiale in quanto essi sono i coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio, ossia di (𝑎 + 𝑏)𝑛 . Infatti: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 𝑘=0 𝑘 Vale: 𝐶𝑛,𝑘 = 𝑛 𝑘 = 𝐷𝑛,𝑘 𝑘! = 𝑛! 𝑘!∗ 𝑛−𝑘 ! E’ una combinazione che può avere la ripetizione di uno stesso elemento. Sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare con n oggetti, presi k alla volta, considerando diversi due raggruppamenti che differiscono per qualche elemento o per il numero di volte in cui un oggetto viene ripetuto. In questo caso k può essere maggiore, minore o uguale a n. 𝐶𝑛,𝑘 𝑟 = 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘!∗ 𝑛−1 ! = 𝑛+𝑘−1 𝑘