Dalle funzioni iterate al caos deterministico

Dalle funzioni iterate al caos deterministico
Gian Italo Bischi, Università di Urbino “Carlo Bo”
[email protected]
http//www.econ.uniurb.it/bischi
Summer School: “Incontriamo la Matematica e la Fisica”
San Pellegrino (BG) – 7/8/9 Settembre 2009
Caos Deterministico:
Deterministico: un ossimoro
deterministico : regolare, prevedibile
fenomeni ordinati e pianificabili
caos : assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità.
Il concetto matematico di caos deterministico spezza questa dicotomia
Modelli matematici deterministici non lineari possono
generare andamenti quasi indistinguibili da processi
aleatori, estremamente sensibili a piccole perturbazioni
quindi imprevedibili
Outline
• Un po’ di storia
• Generare caos deterministico iterando semplici funzioni
• Le p
proprietà
p
del caos deterministico e l’effetto farfalla
• Un po
po’ di ordine nel caos: gli attrattori
• Caos
C
ddeterministico
t
i i ti nella
ll stampa,
t
letteratura,
l tt t
cinema,
i
arte
t ….
Teoria Qualitativa dei Sistemi Dinamici
Topologia (geometria dei fogli di gomma) Poincaré,
Problema 3 corpi (1902)
Analisi non lineare, Stabilità strutturale e Biforcazioni
Scuola russa: Lyapunov ((’20)
20) Kolmogorov (’30)
( 30) Andronov ((’50)
50)
Pontriaguine (’60) Arnold, Sinai, Sharkovski, Shilnikov
Stati Uniti: Birkhoff ((’30)) Smale,, Abraham,, Yorke,,
Attrattore strano di Lorenz (1963)
Brasile:
Peixoto, Palis, Mora, Viana
Europa: Julia, Fatou (’20), Hadamard (’40), Mira, Ruelle, Takens
May (1976)
Teoria delle Singolarità (o catastrofi): Whitney, Mather (’60), Thom (’70)
Cibernetica (autoregolazione, feed-back, meccanismi adattivi):
Wiener, J. Von Neumann, dal 1946
Sinergetica
g
((auto-organizzazione,
g
, pprocessi autoalimentati):
)
H. Haken (’80)
Geometria dei Frattali: Benoit Mandelbrot, anni ’80
CAOS DETERMINISTICO E LETTERATURA
Dal romanzo: Jurassic Park,
di Michael
Mi h l Crichton
C i ht (23 ottobre
tt b 1942,
1942 4 novembre
b 2008)
Un p
passo tratto dalla Seconda Iterazione
[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella
nuova ggenerazione di matematici che mostravano un vivo
interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,
sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento
dei matematici.
Per prima cosa si servivano continuamente del computer,
cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio.
Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,
nel campo emergente del cosiddetto caos.
Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i
loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto
esisteva nel mondo reale.
Ancora Ian Malcom, da Jurassic Park, terza iterazione.
“I computer vennero costruiti verso la fine degli anni 40, perché
matematici come John Von Neumann , il massimo matematico della sua
generazione pensavano che avendo a disposizione una macchina
generazione,
capace di gestire contemporaneamente molte variabili, si sarebbe stati
in grado
g ado di fa
faree pprevisioni
evisioni meteorologiche
meteo ologiche a lungo termine.
te mine. […].
La teoria del caos manda all’aria tutto questo, non si può prevedere il
tempo se non per pochi giorni. […] Tutto il denaro speso per previsioni
meteorologiche lungo termine - circa mezzo miliardo di dollari negli
ultimi decenni- è buttato via. È un’impresa vana quanto cercare di
t f
trasformare
il piombo
i b in
i oro. Oggi
O i gli
li sforzi
f i degli
d li alchimisti
l hi i ti cii fanno
f
ridere, ma generazioni future guarderanno noi e rideranno nello stesso
modo .
modo”.
Jurassic Park, terza iterazione:
“Un simile controllo è impossibile”
p
dichiarò Ian Malcom
“Invece sì” disse Hammond
“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom
“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.
“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo
natura è di fatto un sistema complesso, non lineare.
Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi
combiniamo pasticci.
Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma
dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere
il muso contro l’evidenza dei fatti?
Abb
Abbiamo
costruito la
l diga
d
di
d Assuan
A
sostenendo
d che
h avrebbe
bb
rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,
produce
d
infestazioni
i f
i i da
d parassiti
i i e rovina
i l’economia.
l’
i
Abbiamo costruito...
Edward Lorenz
(May 23, 1917–April 16, 2008)
ddx
= −σx + σy
dt
dy
= Rx − y − xz
dt
dz
= − Bz + xy
dt
Lorenz
Robert May, 1976
“Appello
Appello evangelico per ll’introduzione
introduzione di queste equazioni alle differenze
semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli
studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono
con semplici equazioni non lineari. [...]”.
“Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] presto
nell’educazione matematica. Q
Questa equazione
q
ppuò essere ppresentata
da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice,
o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto
non richieda un corso elementare di matematica.
Tale studio potrebbe in generale arricchire ll’intuito
intuito di uno studente circa
i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica
ed economica di ogni
g giorno,
g
, noi saremmo più
p ricchi se un numero
maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari
non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”
Concetto di funzione
y = f(x)
x→
f → y
Feed-back
Funzione iterata
Modelli dinamici a tempo discreto
x (t + 1) = f ( x (t) )
x (0) assegnato
Legge di evoluzione : dallo stato al tempo t permette di calcolare
l stato
lo
t t all tempo
t
successivo,
i t+1
f
x(t)
x(t+1)
Per induzione,, ossia iterando la f ...
x (0)
f
x (1)
f
x (2) ... x (t)
f
x (t+1) ...
… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico
x(1) = f (x(0))
x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(t) = f t (x(0))
Funzioni (mappe) lineari:
• Se | a | < 1
iterazione di f ( x ) = a x.
(mappa contrattiva)
- se 0 < a < 1, successione monotona che
converge al punto fisso xx* = 0 (attrattivo);
legge evolutiva: xt+1 = a xt
- se -1 < a < 0, la successione converge
al punto fisso x* = 0, ma oscillando;
x1 = a x0
•| a | > 1
x2 = a x1 = a ( a x0 ) = a² x0
x3 = a x2 = a ( a² x0 ) = a³ x0
- se a < -1, la successione diverge oscillando;
…
- se a > 11, la successione diverge
xn = a xn−1 = a ( a n-1 ) x0 = a n x 0
in modo monotono
...
progressione geometrica
di valore iniziale x0
e ragione
i
a.
I valori particolari a = 1 e a = −1
sono detti di biforcazione.
Attraversandoli si verifica un cambiamento
qualitativo nelle traiettorie
Capitalizzazione (con interesse composto) interesse i%.
sia r = i/100
C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t)
Soluzione: C(t)
( ) = C(0)
( ) ((1+r))t
C
Crescita
it esponenziale
i l
x(t + 1) = x(t )
3
xn = xn −1
x0=3
xn
2
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
1
x0=0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
x(t + 1) = f ( x(t )) = x (t ) − c
2
calcolatrice tascabile
c=0
x1 = x02 − b
grado 2
x2 = x12 − b = ( x02 − b) 2 − b = x04 − 2bx0 + b 2 − b)
x3 = x22 − b = ( x04 − 2bx0 + b 2 − b) 2 − b
.
.
.
x10 = ………
grado 210 = 1024 !!!!
grado 22 = 4
grado 23 = 8
x2 – c
x
2
xn = xn−
n 1 −1
2
x0=1.5
xn
0
-2
0
10
20
30
40
n
x(t + 1) = f ( x(t )) = x 2 (t ) − 1.3
xn = xn2−1 − 2
2
x0=0.5
xn
4
-2
0
10
20
30
x1(t)-xx2(t)
0
400
50
t
60
2 x0=0.499
xn
-4
x1(0)=0.55
x1(0)=0
x2(0)=0.499
0
10
20
30
0
-2
0
10
20
30
40
50
60
t
40
50
60
t
Pierre-Simon Laplace 1749-1827
Nel 1776 Pierre-Simon Laplace scriveva :
“Lo
Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da
quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo
un’intelligenza
un
intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni
fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive
posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in
qualunque istante del futuro”
Henry Poincaré (1903)
SSe conoscessimo esattamente le leggi
gg della natura
e la situazione dell’universo all’istante iniziale,
potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un instante successivo.
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non
avessero più alcun segreto per noi, anche in tal
caso potremmo conoscere la situazione iniziale
Henry Poincaré, 1854-1912
solo approssimativamente.
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione
successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e
d
dovremmo
dire
di che
h il fenomeno
f
è stato
t t previsto.
it
Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle
condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..
finali
Da "Il mistero di Marie Rogêt",
g , Edgar
g Allan Poe,, 1842.
Per quanto riguarda ll’ultima
ultima parte della supposizione,
supposizione si
dovrà considerare che la più insignificante differenza nei fatti
delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti errori
di calcolo, facendo divergere radicalmente le due sequenze
dei fatti; proprio come in aritmetica un errore che in sé non
ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto all’altro del
procedimento, produce un risultato lontanissimo dal vero.
vero.”
Dal racconto “La notte dei numeri” di Italo Calvino.
Questi sono tutti i libri maestri della ditta – dice il ragioniere, nei cent
cent’anni
anni della sua esistenza [...]
[ ] non cc’èè mai stato un
ragioniere come Annibale De Canis, eppure quest’uomo
infallibile , questo genio,
genio vedi,
vedi il 16 novembre 1884,
1884 ... ecco,
ecco qui
c’è un errore di quattrocentodieci lire. Nessuno se n’è mai
accorto, io solo lo so, e sei la prima persona a cui lo dico:
tientelo per te e non lo dimenticare! E poi se anche lo andrai a
dire in ggiro,, sei un ragazzo
g
e nessuno ti darà retta... Ma adesso
sai che tutto è sbagliato. In tanti anni, quell’errore di
qquattrocentosedici lire sai qquant’è diventato? Miliardi! Miliardi!
Hanno un bel girare le macchine calcolatrici, i cervelli
elettronici e tutto il resto! L’errore è al fondo, al fondo di tutti i
numeri, e cresce, cresce, cresce!
Legge di evoluzione:
x (t + 1) = f ( x (t) )
x (t + 1) = ( x (t) )
Se f (x(t)) = x(t) Allora
stato stazionario
punto di equilibrio
punto fisso
x1
x2
x0
x1
x1
x1 = f (x0)
x1
x3
x4
x2
x0
x0
x0
Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti
e ne muoia una frazione m.
Nell’anno
Nell
anno successivo la popolazione è
N (t +
+1
1) = N (t ) + rN (t ) − mN (t )
= (1 + r − m )N (t )
r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione
Questa è una
u a legge
egge di
d evoluzione
evo u o e linea
linearee
xt+1 = axt
Popolazione che vive in un ambiente limitato.
Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma
aumenti al crescere della numerosità della popolazione
ad esempio m = sN(t),
termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.)
Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare:
N (t + 1) = (1 + r )N (t ) − sN (t ) 2
Una funzione di secondo grado
Con un cambio di variabile diventa:
x(t + 1) = ax (t )[1 − x(t )]
logistica
x(t + 1) = x(t )
Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se:
(1) Sensitività
S iti ità rispetto
i tt alle
ll condizioni
di i i iniziali
i i i li
generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente
vicine,
i i esse sii mantengono
t
limitate
li it t ma la
l distanza
di t
fra
f esse cresce
esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di
grandezza
d
ddelle
ll variabili
i bili di stato.
t t
(2) Transitività (o mixing):
i punti
ti della
d ll traiettoria
t i tt i generata
t partendo
t d da
d una generica
i condizione
di i
iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi
cioè
i è ciascun
i
punto
t dell’intervallo
d ll’i t
ll su cuii sii muove tale
t l traiettoria
t i tt i risulta
i lt
essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa.
(3) Esistenza
Eit
di infiniti
i fi iti cicli
i li repulsivi
li i
con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.
Nota: (2) e (3) implicano (1)
La Geometria del Caos
Stretchingg & Foldingg (Stiramento
(
e ripiegamento)
p g
)
0.875
x’ = f(x) = ax (1-x)
Z0
if x’ < a/4 then
f −1(x') = f1−1(x') ∪ f2−1(x') = {x1, x2}
x 1 = f 1− 1 ( x ' ) =
1
−
2
x 2 = f 2−1 ( x ' ) =
1
+
2
where:
Z2
a (a − 4 x ' )
2a
a (a − 4 x ' )
2a
R1
critical point c = a/4
c −1 = f 2−1 ( c ) = f 2−1 ( c ) =
Folding
R2
1
2
Unfolding
R1
R2
c-1
R1
R2
Kneading of the dough (impastare)
Mixing
c
f(c)
Mappe iterate del piano
⎧ x (t + 1) = ax (t ) + y (t )
T :⎨
2
y
(
t
+
1)
)
=
x
(
t
)
+b
⎩
y
T
T
T
T
x
⎧ x(t + 1) = ax(t ) + y(t )
T :⎨
2
y
(
t
+
1)
=
x
(
t
)
+b
⎩
a = 1 b = -2
2
Mappa non invertibile
y
y
.
3
T
P1
2
.
.
P = T(P1) = T(P2)
T1−1 2
−1
1
P
T
1
3
.
.
T2−1
1
-3
-2
1
-1
2
3
x
-3
-2
T
1
-1
-1
-11
-2
-2
2 inverse
−1
1
⎧⎪ x = − y '−b
:⎨
⎪⎩ y = x'+ y '−b
.
P2−1
P2
x
P
−1
2
T
⎧⎪ x = y '−b
:⎨
⎪⎩ y = x'− y '−b
2
3
Linear map T : (x,y)
(x,y)→(x’,y’)
(x ,y )
⎡ x ' ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ b1 ⎤
⎢ y '⎥ = ⎢a a ⎥ ⎢ y ⎥ + ⎢b ⎥
⎣ ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦
area (F’) = |det A |area (F), i.e. |det A | < 1 (>1) contraction (expansion)
Meaning of the sign of |det A|
T is orientation preserving if det A > 0
T is orientation reversing if det A < 0
a11=2 a12= -1 a21=1 a22=1 b1= b2= 0 ; Det = 3
a11=1 a12=1.5 a21=1 a22 =1 b1= b2= 0; Det = - 0.5
C
y
y
T
F
A
y
C’
F’
B
C
y
T
B’
F’
F
B’
B’
A
B
A’
A’
x
C’
x
x
x
T is:
orientation
i
i preserving
i near points
i (x,y)
( ) suchh that
h det
d DT(x,y)>0
DT( ) 0
orientation reversing if det DT(x,y) < 0
If T is continuously differentiable LC-1 is included in the set where det DT(x,y) = 0
The critical set LC = T ( LC-1 )
⎧ x ' = ax + y
T :⎨
2
y
=
x
+b
'
⎩
T1 − 1
⎧⎪ x = − y '− b
:⎨
⎪⎩ y = x '+ y '− b
⎡ a 1⎤
DT = ⎢
det DT = -2x =0 for x=0
⎥
⎣2 x 0⎦
T 2−1
⎧⎪ x = y '− b
:⎨
⎪⎩ y = x '− y '− b
T({x=0}) = {y=b}
LC = {(x,y) | y = b }
LC-1 = {(x,y) | x = 0 }
Z2 = {(x,y) | y > b }
Z0 = {(
{(x,y)
,y) | y < b }
T1−1
R1
LC-1
R2
T
−1
2
SH2
SH1
Z2
x=0
LC
y=b
Z0
⎧ x ' = ax + y
T :⎨
2
+b
y
'
=
x
⎩
T:
x1 (t + 1) = ax1 (t ) + x2 (t )
x2 (t + 1) = b + x12 (t )
T
F
F’= T(F)
LC -1
LC
y
D
LC-1
LC-1
C
y
C
B
A
B
A
O
B’
A’
LC
C
C’
A’
D’
B’
LC
C
C’
O’
x
x
LC-1
y
LC-1
y
B
B
A
C
C
A
C’
LC
B’
A’
(a)
A’
C’
B’
LC
x
(b)
x
⎧x' = ax + y
T :⎨
2
⎩ y' = x + b
Chaos and Symmetry
Martin Golubitsky, Mike Field
David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992
James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”,, Sansoni 1997,, 3° edizione
(edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”)
g
, 1993
Ian Stewart “Dio ggioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri,
Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, 1994.
Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il
caos” su “Le Scienze”, Febbraio 1982.
James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos”
“Le Scienze”, Febbraio 1987
A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze” , Settembre
1987.
F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, 1991.
Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno 1993.
Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico”
in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998.
Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio 1988.
Pietro Greco “Il caos minaccia Newton”
da “La Repubblica” del 7 febbraio 1990.
g Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è
Giorgio
morto” da “La Repubblica” del 11 dicembre 1991.
Franco Prattico “I sacerdoti del caos”
da “La Repubblica” del 30 aprile 1993.
Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio 1993.
Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale”
da “La repubblica” del 3 dicembre 1986
Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo 1987.
Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio 1988.
Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali”
da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.
Caos deterministico al cinema
Non linearità e libero arbitrio
U. Eco, Il pendolo di Foucault, 1988
Il mondo si muove in modo
apparentemente disordinato
mentre c’è un disegno
g ‘dietro’.
(Tipico del Caos deterministico: I modelli
caotici mostrano come una legge deterministica
possa generare un’apparente aleatorietà)
If you think you are too small to make
a difference, try sleeping with a
mosquito
it
H.H. the Dalai Lama