Esercitazione 3. Il Principio di Induzione

Esercitazione 3. Il Principio di Induzione
(14 Ottobre 2015)
Angelica Malaspina
Università della Basilicata, Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia
Utilizzando il Principio di Induzione dimostrare le seguenti proposizioni
Pn , n ∈ N:
1.
n
X
k=1
2.
n
X
k=1
k=
n(n + 1)
2
k2 =
(somma di Gauss);
n(n + 1)(2n + 1)
;
6
3. ∀ n, n < 10n ;
4. ∀ n ≥ 4, 2n < n!
(fattoriale di n: 0! = 1, n! = 1 · 2 · . . . · n, ∀ n ∈ N∗ ).
Svolgimento 3. Se n = 1, allora 1 < 10, quindi P1 è vera.
D’altro canto, per k ≥ 2
k+1
· k (moltiplico e divido per k)
k
k+1
<
· 10k (passo induttivo: Pk vera)
k
k+1
1
< 10 · 10k (
= 1 + < 10)
k
k
= 10k+1
k+1=
dunque Pk+1 è vera.
1
Esercizi per casa
Utilizzando il Principio di Induzione dimostrare le seguenti proposizioni:
1.
n
X
k3 =
k=1
n4 + 2n3 + n2
;
4
2. ∀ n, 2n > n;
3.
n
X
(2k − 1) = n2 ;
k=1
4. ∀ n, ∀ α > −1, (1 + α)n ≥ (1 + nα)
5.
n
X
k=1
(disuguaglianza di Bernoulli );
n
1
=
;
k(k + 1)
n+1
6. ∀ n ≥ 1, ∀ α ∈ R, 0 < α < 1, (1 − α)n <
7.
n
X
(1 −
k=2
8.
n
X
1
;
1 + nα
1
1+n
)=
;
2
k
2n
k(k + 1) =
k=1
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Svolgimento 6. Sia α ∈ (0, 1) fissato.
Se n = 1, allora
(1 − α)1 <
1
⇔ (1 − α)(1 + α) < 1 ⇔ 1 − α2 < 1 ⇔ −α2 < 0
1+1·α
quindi P1 è vera.
2
Se Pk , k ≥ n, è vera allora
1
· (1 − α)
1 + nα
(1 − α)(1 + (n + 1)α)
1 + nα
1 + nα − (n + 1)α2
1 + nα
1 + nα
1
=
.
1 + nα
1 + (n + 1)α
(1 − α)n+1 = (1 − α)n (1 − α) <
1
·
1 + (n + 1)α
1
·
=
1 + (n + 1)α
1
<
·
1 + (n + 1)α
<
Dunque Pk+1 è vera.
3