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Sulle dilatazioni lineare e volumica
Problema_1- Due barre di rame sono fissate da una estremità da un supporto fisso, mentre le altre
estremità sono libere. La differenza di lunghezza tra le due barre è 1cm quando sono alla
temperatura di 0°C. Determinare la differenza di lunghezza tra le due barre quando le stesse
vengono portate alla temperatura di 100 °C.
Soluzione
Osserviamo che delle due barre è nota la differenza delle lunghezze, ma non le lunghezze delle
singole barre. Ai fini del calcolo della differenza di lunghezza
esistente tra le due barre alla temperatura di 100 °C in effetti
occorre tener conto solo della differenza di lunghezza tra le
stesse. Sia l1 la lunghezza della barra più corta ed l1+l2 quella
più lunga, con l2=1cm.
Osserviamo che essendo le due barre dello stesso materiale, il
cui coefficiente di dilatazione lineare è λ=17⋅10-6°C-1 , la
differenza tra le lunghezze delle due barre dopo essere state
riscaldate è uguale alla lunghezza che avrà 1 cm di lunghezza di
quel materiale quando è sottoposto alla variazione di temperatura di 100°C.
Calcolo della variazione della lunghezza
Posto lo = 1cm , ∆T = 100°C , ∆l la variazione di lunghezza, si ha
∆l = λ ⋅ lo ⋅ ∆T = 17 ⋅10 −6°C −1 ⋅1cm ⋅100°C = 17 ⋅10 −4 cm
La differenza di lunghezza tra le due barre dopo essere state riscaldate alla temperatura di 100°C è
d = 1cm + ∆l = (1 + 17 ⋅10 −4 ) cm = 1, 0017cm
Problema_2- Un blocco di rame contiene una cavità di volume 1,5dm3. Si immettono nella cavità
1,4dm3 di benzene liquido. Il rame ed il benzene sono alla stessa temperatura. Si riscalda il sistema.
Sapendo che i coefficienti di dilatazione volumica del rame e del benzene sono rispettivamente β1=
51⋅10-6 °C-1, β2= 1240⋅10-6 °C-1, stabilire di quanto deve aumentare la temperatura affinché il
benzene cominci a fuoriuscire dalla cavità.
Soluzione
Poniamo
V1=1,5 dm3 Volume della cavità;
V2=1,4 dm3 Volume di benzene immesso;
∆T
la variazione di temperatura minima di cui deve aumentare la
temperatura;
∆ V1
Variazione di volume della cavità in conseguenza
dell’aumento ∆T di temperatura;
∆ V2
Variazione di volume del benzene in conseguenza
dell’aumento ∆T della temperatura.
Si ha
∆V1 = β1V1 ⋅ ∆T ,
∆V2 = β 2V2 ⋅ ∆T
Affinché il benzene cominci a fuoriuscire dalla cavità deve risultare
V2 + ∆V2 > V1 + ∆V1
Quindi
V2 + β 2V2 ⋅ ∆T > V1 + β1V1 ⋅ ∆T →
∆T >
V1 − V2
0,1dm3
=
≈ 60°C
β 2V2 − β1V1 (1240 ⋅10−6 ⋅1, 4dm3 − 51⋅10−6 ⋅1,5 ) °C −1dm3
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it