Quesiti - Matefilia
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www.matefilia.it Indirizzi: LI02, EA02 β SCIENTIFICO; LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE 1 β EUROPA 2015 QUESITO 1 La funzione f(x) è continua per π₯ β [β4; 4] il suo grafico è la spezzata passante per i punti: (-4, 0), (-3, 1), (-2, 0), (0, -2), (1, 0), (3, 2), (4, 1). Qual è il valor medio di f(x) per π₯ β [β4; 4] ? Per il βteorema della mediaβ il valor medio richiesto è dato da: π 1 β β« π(π₯)ππ₯ = πβπ π 4 β2 1 3 4 1 1 = β β« π(π₯)ππ₯ = β [β« π(π₯)ππ₯ + β« π(π₯)ππ₯ + β« π(π₯)ππ₯ + β« π(π₯)ππ₯] = 4 + 4 β4 8 β4 β2 1 3 π£πππππ πππππ = = 1 2 β 1 3 β 2 2 β 2 (1 + 2) β 1 1 3 1 3 3 β[ β + + ] = (1 β 3 + 2 + ) = β = = π£ππππ πππππ 8 2 2 2 2 8 2 8 2 16 N.B. Nel calcolo dei singoli integrali si è tenuto conto del significato geometrico dellβintegrale definito. Europa 2015 - Questionario 1/ 11 www.matefilia.it QUESITO 2 Da unβanalisi di mercato è risultato che il 32% della popolazione usa il prodotto A. Scelto a caso un gruppo di 12 persone, determinare il valore medio, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale X = «numero di persone che usa il prodotto A». Calcolare inoltre la probabilità che, allβinterno del gruppo scelto, il numero di persone che usano detto prodotto sia compreso tra 2 e 5, estremi inclusi. La probabilità p che una persona usi il prodotto A è data da: π = 0.32; la probabilità q che non la usi è data da: π = 1 β π = 1 β 0.32 = 0.68. La variabile casuale X può assumere i seguenti valori: π = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} = {π₯0 , π₯1 , β― , π₯12 } Calcoliamo le probabilità che X assuma i valori 0, 1, 2, β¦, 11,12. π0 = π(π = π₯0 ) = π(π = 0): probabilità che su 12 persone 0 usino il prodotto A. 12 12 π0 = ( ) π0 π12 = ( ) β 0.320 β 0.6812 β 0.0098 0 0 In modo analogo si calcolano le altre probabilità: 12 π1 = ( ) π1 π11 = 12 β 0.32 β 0.6811 β 0.0552 1 12 2 10 π2 = ( ) π π = 66 β 0.322 β 0.6810 β 0.1429 2 π3 β 0.2241 , π4 β 0.2373 , π5 β 0.1787 , π6 β 0.0981 , π7 β 0.0396 , π8 β 0.0116 π9 β 0.0024 , π10 β 0.0003 , π11 β 0.0000 , π12 β 0.0000 Il valor medio m è dato da: π(π) = π₯0 π0 + π₯1 π1 + β― + π₯11 π11 + π₯12 π12 β 0 β 0.0098 + 1 β 0.0552 + 2 β 0.1429 + + β― + 11 β 0.0000 + 12 β 0.0000 β 3.84 N.B. Tale valore può essere calcolato più velocemente come il 32% di 12; infatti: 32 β 12 = 3.84 100 La varianza è data da: 2 2 2 π(π) = π 2 = β12 π=0(π₯π β π) β ππ = π(π ) β π = β― =2,6112 Europa 2015 - Questionario 2/ 11 www.matefilia.it La deviazione standard è data da: π = βπ(π) = β2,6112 =1,6159 Calcoliamo infine la probabilità che, allβinterno del gruppo scelto, il numero di persone che usano detto prodotto sia compreso tra 2 e 5, estremi inclusi. π(2 β€ π β€ 5) = π(π = 2) + π(π = 3) + π(π = 4) + π(π₯ = 5) = π2 + π3 + π4 + π5 = = 0.1429 + 0.2241 + 0.2373 + 0.1787 = 0.783 β 78.3% QUESITO 3 In un riferimento cartesiano Oxyz, si verifichi che la circonferenza πΎ, intersezione della sfera di equazione π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 = 4 e del piano π§ = 1 ha centro in (0,0,1) e raggio β3. Si immagini che una sorgente di luce puntiforme S sia situata sul semiasse positivo delle z. A quale distanza dal centro della sfera si deve trovare S affinché πΎ sia il confine tra la zona della sfera che risulta illuminata e quella che resta in ombra? Nel piano z=1 la circonferenza πΎ ha equazione: π₯ 2 + π¦ 2 = 3 che ha centro in A=(0,0,1) e raggio β3. Poniamo π = (0,0, π‘), πππ π‘ > 2 ; la circonferenza πΎ è il confine tra la zona della sfera che risulta illuminata e quella che resta in ombra quando il raggio di luce SD tangente alla sfera incontra la circonferenza in D. Consideriamo il triangolo SDA, con A centro della circonferenza, rettangolo in A. Risulta: ππ·2 = ππ΄2 + π·π΄2 , ππ·2 = (π‘ β 1)2 + 3 = π‘ 2 β 2π‘ + 4 Ma Anche il triangolo SDO è rettangolo (in D), perché SD è tangente alla sfera, quindi: Europa 2015 - Questionario 3/ 11 www.matefilia.it ππ·2 = ππ2 β ππ·2 = π‘ 2 β 4 Pertanto: π‘ 2 β 2π‘ + 4 = π‘ 2 β 4 , ππ ππ’π; π‘ = 4. Il punto S richiesto dista quindi 4 dal centro della sfera. QUESITO 4 Sia π(π₯) = π₯ 2 + ππ₯ + π. Si suppone che π(π(1)) = π(π(2)) = 0 e che π(1) β π(2). Calcolare π(0). Risulta: π(1) = 1 + π + π , π(2) = 4 + 2π + π , π(π(1)) = (1 + π + π )2 + π(1 + π + π ) + π π(π(2)) = (4 + 2π + π )2 + π(4 + 2π + π ) + π π(0) = π 1 + π + π β 4 + 2π + π βΉ π β β3 (1 + π + π )2 + π(1 + π + π ) + π = 0 {(4 + 2π + π )2 + π(4 + 2π + π ) + π = 0 ; π β β3 2π 2 + 3ππ + 3π + π 2 + 3π + 1 = 0 {6π 2 + 5ππ + 20π + π 2 + 9π + 16 = 0 π β β3 Sottraiamo alla seconda equazione la prima: 2π 2 + 3ππ + 3π + π 2 + 3π + 1 = 0 {4π 2 + 2ππ + 17π + 6π + 15 = 0 βΉ π(2π + 6) = β4π 2 β 17π β 15 π β β3 Dalla seconda equazione otteniamo (con π β β3 , come previsto per ipotesi): π= β4π 2 β 17π β 15 β(π+3)(4π+5) 4π + 5 = =β = π(0) 2(π + 3) 2(π + 3) 2 Europa 2015 - Questionario 4/ 11 www.matefilia.it 2π 2 + 3π (β 4π + 5 4π + 5 2 4π + 5 ) + 3π + (β ) + 3 (β )+1=0 2 2 2 1 Questa equazione ha come soluzione π = β 2 ; risulta quindi: π(0) = π = β 4π + 5 β2 + 5 3 =β =β 2 2 2 QUESITO 5 1 Risolvere lβintegrale improprio: β«0 ln(π₯) ππ₯ . La funzione π(π₯) = ln(π₯) è continua per x>0, quindi nellβintervallo di integrazione non è continua nellβestremo inferiore 0: si tratta quindi di un integrale improprio. Calcoliamo una primitiva di f(x) integrando per parti: β« ln(π₯) ππ₯ = β«(π₯)β² β ln(π₯) ππ₯ = π₯ β ln(π₯) β β« π₯ β 1 ππ₯ = π₯ β ln(π₯) β β« ππ₯ = π₯ = π₯ β ln(π₯) β π₯ + π Pertanto: 1 1 β« ln(π₯) ππ₯ = lim+ β« ln(π₯) ππ₯ = lim+ [ π₯ β ln(π₯) β π₯]1π = lim+[β1 β (π β ln(π) β π)] = β1 0 πβ0 π πβ0 πβ0 Ricordiamo che lim+ π β ln(π) = 0. πβ0 Lβintegrale richiesto è rappresentato graficamente nella seguente figura: Europa 2015 - Questionario 5/ 11 www.matefilia.it QUESITO 6 La popolazione di una colonia di batteri è di 4000 batteri al tempo π‘ = 0 e di 6500 al tempo π‘ = 3. Si suppone che la crescita della popolazione sia esponenziale, ππ¦ rappresentabile, cioè, con lβequazione differenziale ππ‘ = π β π¦, dove k è una costante e y la popolazione di batteri al tempo t. Al tempo π‘ = 10, la popolazione supererà i 20000 batteri? Risolviamo lβequazione differenziale a variabili separabili ππ¦ π¦ β« ππ¦ ππ‘ =πβπ¦. = π β ππ‘ . Integriamo membro a membro: ππ¦ = β« π β ππ‘ , π¦ ππ|π¦| = ππ‘ + π , |π¦| = π ππ‘+π , |π¦| = π π β π ππ‘ , π¦ = ±π π β π ππ‘ Ponendo ±π π = β , con β costante positiva o negativa, si ha: π¦ = β β π ππ‘ : popolazione dei batteri al tempo t. In base alle due condizioni relative al tempo t=0 e t=3 si ha: β = 4000 0 4000 = β β π = β { 6500 = β β π 3π = 4000 β π 3π Europa 2015 - Questionario βΉ { π 3π = 3 13 65 65 1 13 , 3π = ππ ( ) , π = ππ ( ) = ππ β 40 40 3 8 8 6/ 11 www.matefilia.it Quindi: 3 π¦ = 4000 β 13 ππ β π‘ 8 π π‘ 13 ππ β 8 ) (π 3 = 4000 β π‘ 13 = 4000 β ( β ) 8 3 Controlliamo se per t=10 la popolazione supererà i 20000 batteri, cioè se per t=10 risulta y>20000. 10 13 4000 β ( β ) 8 3 10 13 3 = 4000 β ( ) β 4000 β 5.0448 β 20179 > 20000 8 Quindi al tempo t = 10, la popolazione è pari a circa 20179 batteri, supererà pertanto i 20000 batteri. QUESITO 7 Una particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi: π₯(π‘) = 3 β 2 β πππ (π‘), π¦(π‘) = 2 + 3 β π ππ(π‘). Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per t che va da 0 a 2π secondi e determinare la velocità di variazione di π, lβangolo formato dalla tangente alla traiettoria 2 con lβasse x, per π‘ = 3 π secondi. La traiettoria ha le seguenti equazioni parametriche: π₯ = 3 β 2 β πππ (π‘) { π¦ = 2 + 3 β π ππ(π‘) cos(π‘) = 3βπ₯ 2 { π¦β2 π ππ(π‘) = 3 e tenendo presente che π ππ2 (π‘) + cos2 (π‘) = 1 abbiamo lβequazione della traiettoria: π¦β2 2 3βπ₯ 2 ( ) +( ) =1 3 2 βΉ (π₯ β 3)2 (π¦ β 2)2 + =1 4 9 che è unβellisse con assi paralleli agli assi cartesiani, centro in (3; 2) e semiassi π = 2, π = 3: quindi i fuochi sono sullβasse parallelo allβasse y (retta x=3) ed in particolare la semidistanza focale c è pari a: π = βπ 2 β π2 = β9 β 4 = β5 ; lβeccentricità π β5 dellβellisse è data da: π = π = 9 . Il grafico della traiettoria è il seguente (percorsa in senso orario poiché se t=0 la particella si trova ne punto (1;2) e se π‘ = π/2 si trova nel punto (3;5). Europa 2015 - Questionario 7/ 11 www.matefilia.it Ricordiamo che lβangolo π che la tangente alla traiettoria forma con lβasse x è tale che: π¦ β² (π‘) 3 β πππ (π‘) 3 π‘π(π) = β² = = βΉ π₯ (π‘) 2 β π ππ(π‘) 2 β π‘π(π‘) 3 π = ππππ‘π ( ) 2 β π‘π(π‘) La velocità di variazione di ΞΈ è data da: π 3 3 1 3 π ( ) β (β ) β (πππ‘π(π‘)) ππ 2 ππ‘ 2 β π‘π(π‘) π ππ2 (π‘) 2 ππ‘ = = = 2 2 2 ππ‘ 3 3 3 1+( ) 1+( ) 1+( ) 2 β π‘π(π‘) 2 β π‘π(π‘) 2 β π‘π(π‘) 2 Per π‘ = 3 Ο risulta: ππ ππ‘ = 3 1 (β 3 ) 2 4 2 3 1+( ) β2ββ3 = β2 1+ 8 3 4 = β 7 πππ/π β β1.14 πππ/π QUESITO 8 π₯3 Se π(π₯) = β«1 1 1+ln(π‘) ππ‘ πππ π₯ β₯ 1 , qual è il valore di π β² (2) ? Ricordiamo che, posto π(π₯) πΉ(π₯) = β«π₯ π β² (π₯) 0 π(π‘) ππ‘ risulta: πΉ β² (π₯) = π(π(π₯)) β πβ² (π₯); nel nostro caso si ha: 1 3π₯ 2 2 = β 3π₯ = 1 + ln(π₯ 3 ) 1 + 3 ln(π₯) Europa 2015 - Questionario βΉ 8/ 11 π β² (2) = 12 1 + 3ππ2 www.matefilia.it QUESITO 9 Risolvere il seguente problema posto nel 1547 da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia: βSi divida il numero 8 in 2 numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per lβaltro e per la loro differenzaβ. Consideriamo il segmento AB di lunghezza 8 e dividiamolo in due parti (di cui una può anche essere nulla) AC e BC, di lunghezza rispettivamente x e 8-x (supponiamo, come è lecito, che AC sia non superiore a BC). Dobbiamo determinare x in modo che sia massima la seguente espressione: π¦ = π₯(8 β π₯)(8 β π₯ β π₯) = π₯(8 β π₯)(8 β 2π₯) , πππ 0 β€ π₯ β€ 4 Calcoliamo la derivata della funzione: π¦ β² = (8 β π₯)(8 β 2π₯) + π₯(β1)(8 β 2π₯) + π₯(8 β π₯)(β2) = 6π₯ 2 β 48π₯ + 64 β₯ 0 π π π₯β€β 4β3 3 + 4 β 1.7 ππ π₯β₯ 4β3 3 + 4 β 6.3 Tenendo conto delle nostre limitazioni sulla x: π¦β² β₯ 0 π π 0 β€ π₯ β€ β 4β3 + 4 β 1.7 3 La funzione è quindi crescente se 0 β€ π₯ < β β 4β3 3 4β3 3 + 4 β 1.7 e decrescente se + 4 < π₯ < 4 ; pertanto ammette un massimo relativo (e assoluto) se: 4β3 + 4 β 1.7 3 Le due parti in cui occorre dividere il numero 8 affinché sia risolto il problema sono: π₯=β π΄πΆ = π₯ = 4 β 4β3 β 1.7 3 π π΅πΆ = 8 β π₯ = 4 + 4β3 β 6.3 3 La funzione analizzata ha il seguente grafico: Europa 2015 - Questionario 9/ 11 www.matefilia.it QUESITO 10 Trovare lβequazione della retta perpendicolare al grafico di di ascissa 3. π(π₯) = 4π₯ 3 β 7π₯ 2 nel punto Il punto P di ascissa 3 ha ordinata π(3) = 45 : π = (3; 45). Il coefficiente angolare m della retta perpendicolare in P al grafico della funzione è: π=β 1 π β² (3) Calcoliamo la derivata della funzione: π β² (π₯) = 12π₯ 2 β 14π₯ , π β² (3) = 66 , π=β 1 1 = β π β² (3) 66 La retta richiesta ha quindi equazione: π¦ β 45 = β 1 (π₯ β 3), 66 π₯ + 66π¦ β 2973 = 0 Con la collaborazione di Angela Santamaria Europa 2015 - Questionario 10/ 11 www.matefilia.it Europa 2015 - Questionario 11/ 11 www.matefilia.it