Simulazione di sciami elettromagnetici in cristalli di PbWO4

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Tesi di laurea in
FISICA
Simulazione di sciami elettromagnetici in cristalli di PbWO4
Relatore:
Dott. Giuseppe Della Ricca
Correlatore:
Dott. Fabio Cossutti
Laureando:
Marco Szalay
Indice
1 Processi elettromagnetici
1.1
1.2
1
I rivelatori dell'esperimento Compact Muon Solenoid
2
1.2.1
1.3
1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
2
Principali processi di perdita di energia per elettroni e fotoni . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Il calorimetro elettromagnetico (ECAL) nel dettaglio
Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1.1
8
Eetto Landau-Pomeranchuk-Migdal . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2
Ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.3
Eetto Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.4
Eetto Compton
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.5
Produzione di coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.6
Radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2 La simulazione
2.1
12
Il framework GEANT4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.1
12
Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
L'esempio di apparato calorimetrico composto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Le liste di sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
L'elaborazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4
Le liste elettromagnetiche
3 Analisi dati
3.1
3.2
17
I programmi utilizzati per l'analisi dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.1.1
ROOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.1.2
Mathematica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.1
Elettroni monocromatici
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.2
Elettroni a varie energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2.3
Energia depositata al variare della particella incidente . . . . . . . . . . . . .
26
3.2.4
Energia depositata in presenza di campo magnetico . . . . . . . . . . . . . .
27
Capitolo 1
Processi elettromagnetici
1.1 Introduzione
Per investigare la struttura della materia, la sica delle alte energie fa largo uso degli acceleratori di
particelle, macchine costruite con l'obbiettivo di produrre fasci di ioni o di particelle subatomiche
con un'elevata energia cinetica, che vengono poi fatti collidere. Attorno agli acceleratori vengono
allestiti gli esperimenti, formati da vari tipi di rivelatori che lavorano in sinergia per ricostruire
le interazioni avvenute tra le particelle costituenti ciascun fascio.
I rivelatori principali, per un
moderno esperimento di sica, sono i tracciatori e i calorimetri. I primi si occupano di identicare
il momento e la traiettoria di ciascuna particella in modo da poterla associare al vertice dal quale
è stata generata, mentre i secondi danno una misura molto accurata dell'energia delle particelle.
Alcuni rivelatori, inoltre, in aggiunta alle loro mansioni, permettono di usare parte dei dati raccolti
in tempo reale per agire da trigger. I trigger servono a ltrare gli eventi che, a una prima veloce
analisi, sembrano interessanti, dall'enorme quantità di eventi di scarso interesse in modo da tenere
sotto controllo la mole di dati prodotti e archiviati. Il conne i vari tipi di rivelatori, tuttavia, non
è netto: capita spesso che il medesimo strumento svolga più mansioni. Come vedremo in seguito,
un calorimetro segmentato permette di avere informazioni sulla posizione e la forma di un jet di
particelle, così come il suo veloce tempo di risposta permette di selezionare rapidamente gli eventi
interessanti basandosi sulle relazioni tra le energie depositate in ciascun segmento.
Esistono due tipi di calorimetri: quelli elettromagnetici e quelli adronici[1]. Come suggerisce il
nome, il calorimetro elettromagnetico è progettato per misurare l'energia delle particelle leggere la
cui interazione principale è di tipo elettromagnetico (i.e. elettroni e fotoni), mentre quello adronico
misura l'energia delle particelle governate dalla forza nucleare forte (i.e. adroni).
I calorimetri hanno una densità e uno spessore tali da farli interagire con le particelle che li
attraversano. Queste, nell'interazione, generano a cascata una serie di particelle secondarie che depositano, in una situazione ideale, tutta la loro energia all'interno del volume del calorimetro stesso.
La maggior parte di questa energia si trasforma rapidamente in calore, radiazione ultravioletta o
contribuisce a ionizzare parte dei nuclei del materiale attraversato, risultando dicilmente misurabile, ma una frazione dell'energia depositata si manifesta in maniere che possono essere rivelate
(e.g. luce Cherenkov, scintillazione o ionizzazione) e trasformate in segnali elettrici proporzionali
all'energia iniziale.
In questa tesi si studierà, mediante varie simulazioni computerizzate, la risposta dei cristalli di
tungstato di piombo (PbWO4 ) - principale costituente dei calorimetri elettromagnetici di CMS[2]
1
e ALICE[3] - al passaggio di elettroni e fotoni ad alta energia, e le caratteristiche peculiari di
ciascuna simulazione rispetto alle altre.
1.2 I rivelatori dell'esperimento Compact Muon Solenoid
L'esperimento CMS (Compact Muon Solenoid), costruito in uno dei quattro punti di intersezione
dei fasci dell'acceleratore LHC[4] presso il CERN[5], è uno dei due esperimenti, assieme ad ATLAS[6],
progettati per studiare il maggior numero possibile di fenomeni legati alle collisioni protone-protone
e a quelle tra ioni pesanti. I rivelatori di questo esperimento, costruiti a strati, sono (dal centro di
interazione verso l'esterno): il tracciatore a microstrip di silicio, il calorimetro elettromagnetico,
quello adronico e inne, una volta superato il magnete da 3.8 T, il rivelatore per muoni.
Per i
nostri studi, concentreremo l'attenzione sui calorimetri. Il calorimetro elettromagnetico (ECAL)[7]
è di tipo omogeneo , questo signica che l'intero volume del calorimetro è sensibile e contribuisce
a generare il segnale che viene successivamente letto da dei fotodiodi a valanga . Il materiale attivo di questo calorimetro è il tungstato di piombo. I cristalli prodotti con questo materiale sono
disposti attorno al punto di interazione, secondo una geometria che sarà spiegata in dettaglio nel
prossimo paragrafo, ed è qui che i fenomeni elettromagnetici di nostro interesse hanno luogo; per
questo motivo sarà il rivelatore su cui maggiormente concentreremo la nostra analisi. Il calorimetro
adronico (HCAL), invece, è di tipo a campionamento , ovvero composto da strati di diverso spessore
di materiale molto denso, in questo caso ottone, usato come assorbitore, intervallati da strati di
materiale attivo, ovvero scintillatori plastici di 7 mm di spessore. In tutto, il calorimetro adronico
consta di 19 strati cilindrici di materiale assorbitore (18 negli endcap, le due basi circolari che
sigillano il cilindro) che si estendono per circa un metro di spessore.
Le particelle leggere con
interazione elettromagnetica, e in particolare elettroni e fotoni, dicilmente superano la barriera
del calorimetro elettromagnetico e, quindi, per i nostri studi, il deposito di energia in HCAL è
praticamente nullo. Ne consegue che, per la nostra analisi, l'HCAL non riveste un fondamentale
interesse, ma, essendo posizionato immediatamente a ridosso di ECAL, può comunque essere utile
controllare l'energia depositata al suo interno come strumento di verica dei dati provenienti dal
calorimetro elettromagnetico.
La nostra simulazione terrà quindi conto di entrambi i calorimetri, che verranno adeguatamente
riprodotti nel modello simulato.
1.2.1 Il calorimetro elettromagnetico (ECAL) nel dettaglio
Per coprire il più ampio angolo solido possibile, il calorimetro elettromagnetico di CMS, ECAL[7]
è formato da un corpo centrale cilindrico terminante in due endcap circolari. L'intero strumento è
costituito da 68524 cristalli di tungstato di piombo (di cui 61200 nel cilindro e i rimanenti 7324 nei
due endcap) a forma di tronco di piramide a base quadrata in cui il lato della faccia rivolta verso il
centro dell'esperimento misura 20.5 mm, quello dell'altra faccia 23.8 mm. La lunghezza dei cristalli
è di 23 cm, sono montati su torri di 5x5 cristalli, isolati otticamente uno dall'altro da una matrice
in bra di carbonio e terminanti con dei fotodiodi a valanga in silicio per la conversione del segnale
in impulso elettrico. Il segnale è prodotto per scintillazione sfruttando l'elevata trasparenza ottica
e il fenomeno di luminescenza nei cristalli di PbWO4 .
La segmentazione del calorimetro in cristalli otticamente isolati l'uno dall'altro, permette di
avere un'informazione spaziale sulla distribuzione dell'energia attorno al punto di impatto che
2
aumenta la precisione con cui possono essere ricostruite le tracce dei leptoni leggeri e dei fotoni.
I vantaggi degli scintillatori basati su tungstato di piombo rispetto ad altri tipi di scintillatori
3
inorganici sono: l'alta densità (≈ 8.28 g/cm ), che conferisce a questi cristalli una lunghezza di
radiazione di soli 0.89 cm (la lunghezza dei cristalli è, quindi, pari a 25.8 lunghezze di radiazione)
e un tempo di risposta estremamente breve (l'80% della luce di scintillazione è rilasciato in meno
di 25 ns: il tempo che intercorre tra una collisione e la successiva).
Figura 1.1: Spaccato del rivelatore CMS. Si possono notare, evidenziati in verde e in blu, il calorimetro
elettromagnetico ECAL e quello adronico HCAL.
1.3 Principali processi di perdita di energia per elettroni e fotoni
Al passaggio nella materia le particelle manifestano vari comportamenti: il decadimento in particelle più leggere, l'interazione inelastica con il materiale del rivelatore o la perdita di parte
dell'energia cinetica, secondo vari fenomeni sici. Questi variano al variare del tipo di particella
e la rilevanza di ciascun processo di perdita di energia è legato all'energia cinetica della particella
presa in esame.
Gli elettroni molto energetici, ad esempio, perdono energia principalmente a causa della radiazione di frenamento (Bremsstrahlung )[8]. Il meccanismo dominante per i fotoni è, invece, la
+
−
produzione di coppie e − e . I fotoni e le coppie elettrone-positrone risultanti possono, a loro
volta, dare il via ai medesimi fenomeni, producendo un vero e proprio sciame di particelle a cascata.
3
Man mano che l'energia cinetica delle particelle che costituiscono questo sciame diminuisce, altri
processi, come l'eccitazione e la ionizzazione, prendono il sopravvento.
Questo paragrafo è dedicato alla trattazione di tutti questi fenomeni ma, prima di cominciare,
è necessario introdurre alcune denizioni di base.
• Lunghezza di radiazione
(X0 )[8]: è la grandezza associata alla quantità di materia che un
elettrone deve attraversare perché la sua energia si riduca di un fattore e. Rappresenta anche
i 7/9 del cammino libero medio che un fotone ad alta energia percorre prima di generare una
+
−
coppia e − e . La lunghezza di radiazione è funzione delle proprietà del materiale che la
particella attraversa, secondo la seguente formula:
1
NA 2
= 4αre2
Z [Lrad − f (Z)] + Z L0rad
X0
A
dove
α
è la costante di associazione ne,
re
il raggio classico dell'elettrone,
(1.1)
NA
il numero
0
di Avogadro, A e Z la massa atomica e il numero atomico dell'assorbitore, Lrad e L rad sono
f (Z) una sommatoria innita che può essereh rappresentata con una precisione del per mille, per
i elementi no
1
2
2
4
6
all'uranio, da: f (Z) = a
+ 0.20206 − 0.0369 a + 0.0083 a − 0.002 a . Una buona
(1+a)2
parametri dipendenti dalle proprietà dei gusci elettronici dell'assorbitore e
approssimazione dell'equazione 1.1 è data dall'espressione di Dahl[8]:
X0 = 716.4
A
g
.
2
287
cm Z (Z + 1) ln √
(1.2)
Z
• Energia critica
()[8]: come abbiamo già detto, la rilevanza di un fenomeno di frenamento
è funzione dell'energia della particella. L'energia critica stabilisce quale deve essere la soglia
dell'energia cinetica, oltre la quale il processo dominante è quello di radiazione di frenamento. Esistono due denizioni di energia critica che dieriscono leggermente dal punto di vista
numerico (come mostrato in gura 1.2): nella prima la soglia è denita come l'energia per
la quale la forza di frenamento radiativo è uguale a quella per ionizzazione ed eccitazione,
mentre nella seconda - conosciuta come denizione di Rossi - l'energia dell'elettrone è pari
all'energia persa per ionizzazione per lunghezza di radiazione. Le due si equivalgono accettandE
do l'approssimazione |
|
= XE0 . Quest'ultima denizione descrive lo sviluppo trasverso
dx brems
dello sciame più accuratamente.
• Raggio di Moliere
(RM )[8]: è una costante caratteristica di ciascun materiale e rappresenta la
dimensione trasversa di un cilindro contenente il 90% del deposito di energia di uno sciame di
particelle iniziato da un singolo elettrone o fotone incidente. Questo parametro è intimamente
legato a X0 dalla relazione (approssimata):
RM = 0.0265 X0 (Z + 1.2)
4
(1.3)
Figura 1.2: Due denizioni per l'energia critica . Si possono notare le intersezioni per le due dierenti denizioni:
quella classica a destra (linea continua) e quella di Rossi a sinistra (linea tratteggiata). La denizione di Rossi porta
a una descrizione più accurata dello sviluppo trasverso dello sciame.
• Lunghezza di formazione
(l f )[8]: dalla teoria emerge, inaspettatamente, che all'elettrone serve
un tempo relativamente lungo (e, di conseguenza, anche una distanza considerevole) per
produrre un fotone.
Le interazioni dell'elettrone in questa zona di formazione possono
modicare sensibilmente lo spettro dei fotoni prodotti. La lunghezza di formazione stabilisce
la dimensione di questa zona ed è denita come la distanza percorsa dall'elettrone nel tempo
λ
impiegato dal fotone per avanzare di una lunghezza d'onda ridotta
. Quantitativamente:
2π
lf =
dove
γ
2γ 2 c
ω∗
(1.4)
è il fattore di Lorentz legato all'energia dell'elettrone. Tenendo in considerazione anche
E
∗
gli eetti quantistici, ω = ω
con ~ω l'energia del fotone.
E−~ω
5
A partire da queste denizioni, è conveniente denire due variabili di scala:
t=
x
,
X0
y=
E
(1.5)
così da misurare le distanze in unità di lunghezza di radiazione e le energie in unità di energia
critica. Questo permette, ad esempio, di descrivere il prolo longitudinale tipico del deposito di
energia per uno sciame elettromagnetico in funzione di t (gura 1.3).
Esso è approssimato in
maniera accettabile da una distribuzione gamma:
dE
(bt)a−1 e−bt
= E0 b
dt
Γ (a)
dove il parametro a e il fattore di scala b (in prima approssimazione
(1.6)
≈
0.5) hanno valori distinti
per ciascun materiale.
Figura 1.3: Prolo longitudinale per il deposito di energia di uno sciame indotto da un e− da 30 GeV in una
simulazione di EGS4. L'istogramma mostra la frazione di energia depositata per lunghezza di radiazione. I cerchi indicano il numero di e− con E > 1.5 M eV attraversanti piani posti a intervalli di X20 (scala a destra) e i
quadrati il numero di fotoni con E > 1.5 M eV attraversanti i medesimi piani (riscalati per avere la stessa area della
distribuzione di elettroni). La curva è una funzione gamma che approssima molto bene la distribuzione.
6
1.3.1 Bremsstrahlung
Seguendo le equazioni di Maxwell, quando una particella dotata di carica elettrica viene accelerata,
questa emette energia sotto forma di radiazione elettromagnetica. Nel nostro caso, un elettrone che
attraversa il materiale assorbitore può interagire con il campo coulombiano di un atomo, subendo una deessione. Questo provoca l'emissione di un fotone (i.e. la radiazione di frenamento o
Bremsstrahlung )[8] la cui energia è funzione dell'angolo di diusione e dell'energia cinetica iniziale
dell'elettrone. Ne consegue che i fotoni prodotti hanno uno spettro continuo. Al di sopra dell'energia critica
(che nei materiali pesanti è dell'ordine delle decine di MeV, vedi gure 1.2 e 1.4),
questo è il fenomeno dominante.
La perdita di energia per Bremsstrahlung può essere approssimata mediante l'equazione di
Bethe-Heitler:
−
dE
dx
4NA Z 2 α3 (~c)2
'
E ln
m2e c4
183
√
3
Z
(1.7)
Da notare il fatto che la forza frenante scala linearmente con l'energia della particella incidente e
quadraticamente con il numero atomico dell'assorbitore.
Figura 1.4: Meccanismi di deposito di energia in funzione dell'energia della particella incidente per lunghezza di
radiazione. Il graco è riferito al Piombo con lunghezza di radiazione X 0 (P b) = 6.37 g/cm2 .
7
1.3.1.1 Eetto Landau-Pomeranchuk-Migdal
L'eetto LPM (Landau-Pomeranchuk-Migdal) [9] si manifesta ad altissime energie con la riduzione
sempre più marcata della Bremsstrahlung da parte degli elettroni e della produzione di coppie dai
fotoni.
È stato mostrato infatti che l'equazione di Bethe-Heitler (1.7) non si applica a energie
ultra relativistiche. Gli eetti della diusione coulombiana multipla da parte degli atomi vicini,
+
−
infatti, riducono sensibilmente la sezione d'urto per la produzione e − e e per la radiazione di
frenamento.
La distanza che una particella percorre, in media, prima di deettere di una angolo
1
a causa
γ
dello scattering Coulombiano multiplo è (in un mezzo amorfo):
lγ =
dove
α
Xo
4π
(1.8)
α
è la costante di struttura ne e X0 la lunghezza di radiazione. Siccome la maggior parte
1
rispetto alla direzione
γ
dell'elettrone, fenomeni di interferenza distruttiva sono possibili se gli elettroni diondono al di fuori
dell'emissione radiativa si manifesta in un cono con apertura angolare
di questa zona. Quindi se il rapporto tra l γ e la lunghezza di formazione (1.4) è tale che lf
la probabilità di emissione decresce sensibilmente.
> 2lγ ,
Nei solidi cristallini, come nel nostro caso,
l'avvento di fenomeni come la diusione coerente, rendono ancora più complessa l'analisi dell'eetto
LPM, che dovrà tener conto, tra i vari parametri, anche del passo reticolare e dell'orientazione del
reticolo rispetto all'angolo di incidenza dell'elettrone.
Nelle nostre simulazioni proveremo a non tener conto di questo eetto per vedere quali sono i
beneci in termini di tempo computazionale e quali gli errori apportati ai risultati.
1.3.2 Ionizzazione
Al di sotto dell'energia critica aumenta la probabilità che la particella incidente ionizzi o ecciti gli
elettroni dei gusci esterni degli atomi dell'assorbitore, perdendo parte della propria energia cinetica
durante il processo. La formula di Bethe-Bloch[8] descrive bene il fenomeno:
−
dE
dx
2
2me c2 β 2 γ 2
NA Zρ 2
δ (γ)
2z
2
r me c 2 ln
= 4π
−β −
A e
β
I
2
dove I è il potenziale medio di ionizzazione dell'assorbitore,
a limitare, per alti valori di
γ,
δ (γ) la correzione di densità, che tende
ρ la densità del
la crescita logaritmica delle perdite di energia e
materiale.
8
(1.9)
Figura 1.5: Perdita di energia per ionizzazione per particelle cariche in funzione del rapporto momento su massa
per vari materiali calcolata con la formula di Bethe-Bloch.
1.3.3 Eetto Cherenkov
Quando la velocità di una particella carica in un mezzo è superiore alla velocità della luce in quel
mezzo, la particella emette fotoni detti luce Cherenkov . Il fenomeno può essere spiegato con gli
eetti di polarizzazione e depolarizzazione del mezzo, al passaggio della carica. Si forma quindi
un fronte d'onda conico di onde elettromagnetiche con conseguente rallentamento della carica attraversante il mezzo.
A energie ancora più basse, la perdita di energia per gli elettroni è dovuta anche ad altri processi,
come lo scattering Møller/Bhabha (gura 1.4), ma questi questi fenomeni sono assolutamente
secondari per la nostra trattazione.
1.3.4 Eetto Compton
Il fenomeno di diusione Compton è interpretabile come un urto tra un fotone incidente e un
elettrone del materiale che sta attraversando. La conseguenza è una perdita di energia da parte
del fotone, che viene trasferita all'elettrone. Il fotone degradato viene deesso e l'elettrone spinto
nella direzione opposta per conservare la quantità di moto.
Come si può notare in gura 1.6, l'eetto Compton si manifesta in maniera percettibile no a
una decina di GeV in un materiale con densità paragonabile al piombo.
9
1.3.5 Produzione di coppie
Quando
E γ > 2me c2 ,
per il fotone è possibile la produzione di coppie
e+ − e− [8].
La creazione di
queste coppie rappresenta la manifestazione sperimentale della teoria di Dirac. Questo fenomeno
avviene esclusivamente in un mezzo, perché la produzione di queste coppie richiede la presenza di
un elemento massivo (i.e. uno dei nuclei del materiale) che assorba il momento in eccesso dovuto
alla dierenza tra la massa invariante iniziale e lo stato nale. Anche gli elettroni del mezzo possono
fare le veci dei nuclei e assorbire l'energia in eccesso sotto forma di momento, ma in questo caso
l'energia assorbita è molto maggiore e la soglia di l'energia per la produzione di coppie si alza
(notare il rapporto tra
κnuc
e
κe
in gura 1.6).
Ad alte energie, la sezione d'urto per la produzione di coppie è proporzionale a
Z 2 ln
183
√
3
Z
e
può essere, quindi, scritta come:
σpair '
7 A
.
9 X0 ρNA
(1.10)
1.3.6 Radiazione di sincrotrone
La radiazione di sincrotrone è una radiazione elettromagnetica generata dall'accelerazione di cariche
ultra relativistiche in movimento in un campo magnetico. Lo spettro di questa radiazione è continuo.
Come detto, il calorimetro elettromagnetico di CMS, ECAL, è situato all'interno di un
magnete solenoidale da 3.8 T ed è, quindi, interessante vedere quale sia il contributo al deposito di
energia degli elettroni incidenti dovuto all'emissione di luce di sincrotrone prodotta da tale campo.
10
Figura 1.6: Sezione d'urto totale per fotoni incidenti su carbonio e piombo. Sono esplicitati i contributi di dierenti
processi: ρp.e. =Eetto fotoelettrico atomico, ρRayleigh =Diusione Rayleigh, ρCompton =Diusione Compton,
κnuc , κe =Produzione di coppie in campo nucleare e in campo elettronico, ρg.d.r. =Interazione fotonucleare.
11
Capitolo 2
La simulazione
2.1 Il framework GEANT4
GEANT[10] (acronimo di GEometry ANd Tracking) è un software progettato per la simulazione del
passaggio di particelle elementari attraverso la materia, basato su simulazioni Monte Carlo. La sua
versione più recente, GEANT4, è una piattaforma, sviluppata da una collaborazione internazionale
di cui il CERN è membro, fondata sul linguaggio di programmazione C++[11] e, quindi, strutturata
a oggetti.
Il software permette di costruire velocemente un esperimento simulato tenendo conto della
geometria, del tracciamento e della risposta dei rivelatori.
Vengono parametrizzate le proprietà
dei materiali che compongono il setup sperimentale, le proprietà delle particelle e tutti i processi
sici che descrivono la loro interazione.
Il programma, inoltre, gestisce e registra i dettagli di
ciascun run di simulazione e permette anche di interagire con quest'ultimo grazie a un'interfaccia
utente a riga di comando, che permette di controllare gli aspetti principali della simulazione. Un
visualizzatore di eventi permette, inne, di seguire il percorso di ogni singola particella prodotta
(vedi gura 2.1).
L'intero framework è rilasciato con licenza open source ; ciò signica che il codice può essere
liberamente distribuito e modicato per le proprie necessità da chiunque, rendendo anche molto più
semplice e veloce la correzione di errori di programmazione o di implementazione delle interazioni
siche. Oltre che per gli esperimenti di sica delle alte energie, GEANT trova impiego negli studi
nucleari, in campo medico e in astrosica.
2.1.1 Il metodo Monte Carlo
Il metodo Monte Carlo è il perno principale delle simulazioni di GEANT: è opportuno, quindi, analizzare le caratteristiche essenziali di questo metodo statistico. Questo metodo è di fondamentale
importanza quando si ha a che fare con la modellizzazione di sistemi sici o matematici. Si tratta
di un metodo non parametrico; questo signica che non necessita di ipotesi sulle caratteristiche
della popolazione statistica che si va a osservare.
L'algoritmo si basa sulla produzione di una grande quantità di realizzazioni casuali (o pseudoca-
suali ) che seguono la medesima distribuzione di probabilità del fenomeno da investigare. La bassa
2
correlazione dei numeri così generati è vericata con un test sul valore di
χ
. Una volta generato il
campione casuale in maniera da coprire densamente lo spazio dei parametri, si derivano da questo
12
le grandezze siche da studiare, proprio come si farebbe su un campione di misure prodotte da
un esperimento reale. Nel nostro caso il metodo Monte Carlo stabilisce se e in quale maniera una
particella debba depositare energia lungo la sua traiettoria. L'alto numero di ripetizioni permette
di avere a disposizione un campione signicativo, che rendere accettabile l'errore statistico.
2.2 L'esempio di apparato calorimetrico composto
Il programma Composite Calorimeter[12] è uno degli esempi avanzati incorporati nel pacchetto di
software GEANT4. Esso riproduce con precisione una porzione dei calorimetri di CMS e il codice
sorgente di questo esempio può essere agevolmente modicato per servire agli scopi di questo lavoro.
È stato realizzato dalla collaborazione CMS per studiare in dettaglio la risposta del calorimetro
ed è stato utilizzato per validare i risultati di Geant4 con dati reali provenienti da misure su fasci
di prova.
Figura 2.1: La geometria dell'esempio Composite Calorimeter. A sinistra una sezione di 7x7 cristalli di ECAL, a
destra il calorimetro adronico. La sottile linea rossa rappresenta l'asse di incidenza della particella di prova, mentre
i segmenti verdi sono le traccie delle particelle secondarie.
La geometria dell'esempio consiste in una torre di 7x7 cristalli di PbWO4 (nel rivelatore reale
le torri sono di 5x5 cristalli) a costituire il calorimetro elettromagnetico e 28 strati da 64 cm
di lato di rame (materiale assorbitore sostituito dall'ottone nel rivelatore reale) inframezzato da
scintillatori plastici attivi per simulare il calorimetro adronico.
Il numero di strati di questo
prototipo di calorimetro adronico è maggiore rispetto a quello del calorimetro reale (che conta
18 strati) per meglio studiare il fenomeno del contenimento. Il diverso spessore degli assorbitori
13
di rame garantisce, tuttavia, uno spessore totale di circa 171 cm, paragonabile all'estensione del
calorimetro reale. La matrice di cristalli della parte elettromagnetica è molto simile a quella dei
cristalli presenti in ECAL, illustrata nel paragrafo 1.2.1.
Per tenere sotto controllo il numero di parametri della simulazione, sono stati tralasciati alcuni
aspetti legati ai dati provenienti dal fascio di test come il prolo, il rumore, la contaminazione e la
digitizzazione, non rilevanti ai ni dello studio condotto in questa tesi. È stato invece riprodotto
con precisione il campo magnetico prodotto dal solenoide superconduttore di CMS ed è possibile
regolare, da 0 a 3 T, l'intensità di questo campo, normale alla traiettoria con cui le particelle
incidono sui cristalli del calorimetro elettromagnetico. La presenza di un campo magnetico, capace
di curvare considerevolmente la traiettoria delle particelle cariche, ci permetterà di analizzare anche
gli eetti della radiazione di sincrotrone.
Sfruttando le librerie iAIDA[13], il software è in grado di produrre un output nel formato
ROOT[14], che può essere successivamente elaborato con l'omonimo software di analisi dati. Nel
le vengono salvati, per ciascun evento:
•
l'energia e la posizione iniziale della particella incidente
•
l'energia depositata in ciascuno dei 49 cristalli dell'ECAL
•
l'energia depositata in ciascuno strato di HCAL
•
l'energia totale depositata nelle parti sensibili di entrambi i calorimetri
•
il prolo di energia (vedi gura 1.3) come funzione della distanza radiale dall'asse di incidenza
della particella
Da notare che quest'ultima quantità non può essere misurata sperimentalmente e quindi la simulazione mediante metodo di Monte Carlo è l'unico strumento di indagine.
2.3 Le liste di sica
Nello sviluppo di un'applicazione per GEANT4, quale è l'esempio Composite Calorimeter, il framework permette di far scegliere all'utente quale è la sica di cui tener conto, ovvero quali sono i
processi sici richiesti al ne di ottenere una simulazione realistica. L'insieme di questi processi
e il loro mutuo rapporto sono contenuti in un elemento fondamentale del codice: la lista di si-
ca [15]. Accade quasi sempre che la simulazione debba tener conto di molti tipi di interazione tra
particelle; di conseguenza, la lista di sica associata può diventare lunga e complicata. Per questo
motivo il gruppo di GEANT4 ha sviluppato e mantiene un numero consistente di liste, ciascuna
specializzata in un particolare ambito, che possono essere copiate nel proprio codice o usate come
base per la realizzazione di una lista personalizzata. Nella versione di Geant4 utilizzata per questo
lavoro (4.9.2.p02) ci sono in tutto 32 liste di sica, divise in 8 famiglie secondo una convenzione
per i nomi. Le sigle convenzionali delle principali sono:
QGS
- Quark Gluon String model, insieme di liste basato sull'omonimo modello per l'analisi di
interazioni adroniche. Tra le varie liste che compongono questa famiglia, è interessante
menzionare la lista QGSP_BERT, che implementa il modello di Bertini per gli sciami
adronici ed è spesso usata negli esperimenti di sica.
14
FTF
- FriTioF model, una lista basata sul metodo Monte Carlo Fritiof, che implementa il
modello Lund-string per modellizzare le dinamiche di collisioni di tipo adrone-adrone,
adrone-nucleo e nucleo-nucleo.
LHEP
- Low & High Energy Parametrization model, la più veloce lista di sica adronica, scende
a compromessi sulla precisione dei risultati per garantire il minimo tempo di calcolo.
BIC
- BInary Cascade model, si basa sull'omonimo modello per calcolare le proprietà delle
cascate intranucleari. Questo modello usa una parametrizzazione tridimensionale molto
dettagliata del nucleo e utilizza esclusivamente lo scattering binario tra i nucleoni e le
particelle che formano la cascata per calcolare i risultati.
HP
- High Precision neutron model, contiene un modello molto dettagliato per le interazioni
neutroniche sotto i 20 MeV.
QEL
- QElastic model, descrive con particolare accuratezza interazioni adroniche di tipo quasielastico, dove l'energia cinetica della particella incidente varia di una quantità così bassa
da non essere misurabile sperimentalmente.
EM
- pacchetto elettromagnetico standard. È la lista che restituisce i risultati più fedeli ai
dati sperimentali in termini di interazioni elettromagnetiche, ma richiede una notevole
potenza di calcolo a disposizione.
EMV(X) - variazioni del pacchetto EM standard, si occupano della simulazione di eventi elettromagnetici usando diverse approssimazioni per migliorare la velocità di calcolo.
Trattando, tra i vari fenomeni di deposito di energia, anche quelli che avvengono nei cristalli
di PbWO4 , queste ultime liste saranno al centro dell'analisi di questo lavoro, unitamente a due
liste personalizzate in modo da non tener conto dell'eetto LPM (paragrafo 1.3.1.1) o tenendo in
considerazione la radiazione di sincrotrone (paragrafo 1.3.6).
2.3.1 Le liste elettromagnetiche
Contrariamente alla sica adronica, in cui esistono vari modelli concorrenti per spiegare gli stessi
fenomeni, le leggi siche che regolano le interazioni elettromagnetiche sono ben comprese e sono
state formalizzate a partire dagli anni '20 del secolo scorso nell'elettrodinamica quantistica . Questa
branca della sica teorica permette di descrivere tutti i fenomeni che vedono coinvolte particelle
cariche che interagiscono elettromagneticamente con uno straordinario accordo con i dati sperimentali. Ci si aspetta quindi di poter implementare tutte le formule ricavate matematicamente
nell'ambito di questa teoria all'interno di un algoritmo di simulazione estremamente preciso...
Purtroppo un algoritmo così fatto risulterebbe troppo gravoso in termini di risorse di calcolo,
rendendo, di fatto, impraticabile l'esecuzione di una simulazione basata su di esso per l'analisi di
uno sciame elettromagnetico.
La soluzione è, quindi, un compromesso tra precisione e velocità
di esecuzione, basato su alcune approssimazioni delle formule esatte (e.g. l'espressione 1.3). Approssimazioni i cui parametri vengono anati e vericati utilizzando dati reali provenienti da vari
fasci sperimentali.
Per studiare le liste di sica di GEANT4 sono stati usati:
•
muoni da 225 GeV (per la calibrazione)
15
•
elettroni nello spettro da 10 a 300 GeV
•
pioni da 10 a 300 GeV.
Il termine di riferimento, in questo lavoro, nelle simulazioni con liste di sica personalizzate, sarà
datto dalle liste di sica standard EM, EMV ed EMX contenute in GEANT4.
2.4 L'elaborazione dei risultati
Le simulazioni di Monte Carlo di qualsiasi tipo sono un compito estremamente gravoso per le
unità di calcolo. Applicate alle decine di migliaia di particelle necessarie per avere una buona base
statistica, rendono la simulazione impossibile su un singolo processore.
Fortunatamente questo
tipo di simulazione, basato sull'analisi di una singola particella incidente sui calorimetri, permette
un alto grado di parallelizzazione. Sono stati quindi usati svariati computer del Dipartimento di
Fisica dell'Università di Trieste per svolgere le operazioni di simulazione per un totale di oltre 3000
ore di tempo macchina. I risultati sono stati poi trasferiti a una singola unità per l'analisi dei dati.
16
Capitolo 3
Analisi dati
3.1 I programmi utilizzati per l'analisi dati
3.1.1 ROOT
L'analisi dati è il punto nodale di qualsiasi esperimento scientico.
Data l'enorme mole di dati
prodotti nei vari esperimenti che si sono susseguiti al CERN, sviluppare internamente un software
di analisi, invece che basarsi su alternative di terze parti, è sembrata da subito la strategia migliore.
Fino al 2003 il CERN ha sviluppato e mantenuto una libreria FORTRAN[16] contenente le routine
necessarie per programmare i propri software di analisi dati.
Questa libreria è stata dismessa
in favore di ROOT[14], un programma orientato ad oggetti, comprensivo delle librerie necessarie
per l'elaborazione, scritto in C++.
Lo sviluppo è iniziato nel 1994 dal lavoro di René Brun
e Fons Rademakers, con l'intenzione di fornire uno strumento per l'analisi dei dati provenienti
da esperimenti di sica delle particelle, ma ben presto ha trovato impiego anche in campi come
l'astrosica e il data-mining .
Il software garantisce la totale astrazione dalle caratteristiche hardware e dal sistema operativo
del computer su cui viene eseguito grazie all'interfaccia graca, alle classi contenitore e all'interprete
a linea di comando CINT[17]. Quest'ultimo unisce la velocità di esecuzione tipica del linguaggio
C/C++ alla essibilità di un linguaggio interpretato.
Le principali caratteristiche di ROOT permettono di:
•
rappresentare e analizzare distribuzioni e funzioni per mezzo di istogrammi e graci
•
fare il t e la minimizzazione di funzioni
•
operare con algebre matriciali e tensoriali
•
accedere a database di dati
•
manipolare immagini
•
analizzare i dati in parallelo su più elaboratori.
In questa tesi, l'analisi delle simulazioni prodotte consiste nella manipolazione di svariate decine di
migliaia di eventi, ottenuti dalle simulazioni Monte Carlo. Il software ROOT, con la sua capacità di
gestire velocemente centinaia di migliaia di dati, risulta, quindi, un ottimo candidato per l'analisi
degli eventi prodotti.
17
3.1.2 Mathematica
Per alcuni graci è stato usato il software Mathematica, della Wolfram [18], per la sua estrema
versatilità e per la facilità di manipolare velocemente ed eseguire operazioni su insiemi di dati.
I dati sono stati esportati da ROOT in un formato compatibile con Mathematica, processati nei
graci e, in alcuni casi, reimportati in ROOT per un'ulteriore analisi.
Questo ha permesso di
velocizzare enormemente il processo di analisi, permettendo di ottenere un feedback pressochè
immediato sui graci prodotti. In ogni caso, tutte le operazioni di una certa importanza, come
i t e il calcolo degli errori dei relativi parametri, sono state eseguite con ROOT, eventualmente
sovrapponendo i risultati ai graci prodotti da Mathematica.
3.2 Risultati
3.2.1 Elettroni monocromatici
Per prima cosa sono stati utilizzati elettroni da 100 GeV con posizione iniziale variabile lungo l'asse
Z (a passi di 2 mm) per vericare la risposta, nota, della lista EM in modo da controllare che la
simulazione funzionasse a dovere (Figura 3.1).
Figura 3.1: Energia depositata nel cristallo centralo (in blu) e nei due cristalli adiacenti lungo l'asse z (in rosso
quello di sinistra e in verde quello di destra) per elettroni a 100 GeV in funzione della posizione iniziale sull'asse
Z. Gli errori statistici, presenti lungo l'asse y, sono interamente contenuti nelle dimensioni dei punti. Per produrre
il graco sono stati generati 30000 eventi.
18
Avendo vericato l'uguale risposta per il cristallo centrale del calorimetro elettromagnetico e
per i due cristalli adiacenti, si è passati all'analisi dell'energia depositata nelle matrici 3x3 e 5x5 di
cristalli, formate rispettivamente da blocchi con basi quadrate di 9 e 25 cristalli e costruite usando
come cristallo centrale della matrice quello in cui il deposito di energia è risultato massimo per le
tre liste EM, EMV e EMX.
(a)
(b)
19
(c)
Figura 3.2: Energia depositata nelle matrici 5x5 (triangoli in verde), 3x3 (quadrati in rosso) e 1x1 (cerchi in blu)
centrate sul cristallo in cui è stata depositata l'energia maggiore. Sono stati usati elettroni a 100 GeV in funzione
della posizione iniziale lungo l'asse Z. Gli errori statistici, presenti lungo l'asse y, sono interamente contenuti nelle
dimensioni dei punti. Per produrre i graci sono stati generati 65000 eventi per ciascuna lista.
Per studiare le dierenze tra queste tre liste non è suciente sovrapporre i graci, dato che le
dimensioni dei punti non permetterebbero di apprezzarne le dierenze. Si è deciso quindi di usare
la lista EM, la più vicina ai dati reali tra le tre, come termine di paragone per le altre due liste.
Tenendo conto della propagazione degli errori, è stato calcolato lo scarto percentuale tra la lista
EM e le altre due. In questo modo è stato possibile stabilire l'entità dell'errore introdotto dalle
approssimazioni sui modelli sici che descrivono le interazioni elettromagnetiche.
In gura 3.3 si può notare come, anche con la lista meno precisa, l'errore non superi mai il
2%. L'errore massimo sarebbe stato molto più basso (di molto inferiore all'1%), se non fosse per i
due picchi nelle regioni -10 e +10 mm. Questi possono essere interpretati nella maniera seguente:
come ricordato nella sezione 1.2.1, i cristalli di PbWO4 hanno una estensione laterale di circa
20 mm. Le regioni attorno ai -10 e +10 mm sono, quindi, corrispondenti alle giunzioni tra due
cristalli adiacenti, nelle quali la particella incidente si trova a interagire con la matrice in bra
di carbonio che costituisce il supporto meccanico dei cristalli.
Le liste implementano i processi
elettromagnetici, e in particolare la diusione multipla, in maniere diverse, rendendo gli sciami più
o meno estesi lateralmente, a seconda della lista considerata. In questo modo la presenza di una
discontinuità è più marcata per le liste in cui lo sciame ha dimensioni trasverse minori, portando
a dierenze misurabili tra una lista e l'altra.
20
Figura 3.3: Errore percentuale prodotto con le liste EMV (in blu) e EMX (in rosso) rispetto alla lista EM generate
a partire dai dati delle matrici 1x1 della gura 3.1
Confrontando anche le matrici 3x3 (gura 3.4(a)) e 5x5 (gura 3.4(b)), questo aspetto riveste,
come è ragionevole aspettarsi meno importanza, a causa dell'eetto di diluizione otttenuto sommando l'energia depositata su più cristalli.
(a)
21
(b)
Figura 3.4: Errore percentuale prodotto con le liste EMV (in blu) e EMX (in rosso) rispetto alla lista EM generate
a partire dai dati delle matrici 3x3 e 5x5 delle gure 3.1(b) e 3.1(c)
In questi due casi, l'errore commesso con le liste EMV e EMX è ancora più piccolo, non superando mai lo 0.4% e restituendo, un gran numero di volte, valori compatibili con la lista EM
entro l'errore statistico complessivo.
(a)
(b)
Figura 3.5: Dierenza percentuale dei rapporti di energia depositata nel cristallo più energetico e nella matrice 3x3
che lo contiene per varie liste (in ordinata) in funzione della posizione iniziale della particella incidente (in ascissa).
In (a) è rappresentata la dierenza dei rapporti tra le liste EMV e EM; in (b) quella tra le liste EMX e EM. Per
produrre i graci sono stati utilizzati 65000 eventi per ciascuna lista.
22
È interessante andare ad analizzare il rapporto tra le energie depositate nel cristallo più energetico e nella matrice 3x3 di cui è il centro, e successivamente calcolare la dierenza di questo
valore tra le varie liste di sica (Figura 3.5).
In questo modo si può confrontare la dimensione
trasversa dello sciame e come sia diversamente implementato la diusione multiplo tra le varie
liste. Similmente si può analizzare il rapporto di energia tra il cristallo più energetico e la matrice
5x5 che lo circonda (gura 3.6). Come si può notare in gura 3.5, la quota dei t per entrambi i
confronti, seppur molto piccola, è negativa e non compatibile con 0. Questo signica che sia per
la lista EMV, sia, in maniera più marcata, per la lista EMX, il rapporto tra l'energia depositata
nel cristallo centrale e la matrice 3x3 è maggiore che nella lista EM. Di conseguenza lo sciame è
più concentrato nel centro, diminuendo le dimensioni trasverse dello sciame, condizione generata
da una minore diusione multipla in queste due liste e che porta a un errore dell'ordine dell'1h
per la lista EMV e del 6h per la lista EMX. Da notare, inoltre, che i punti più critici sono sempre
quelli relativi all'impatto nel supporto in bra di carbonio, dove lo sciame sembra penetrare ancora
più in profondità nelle due liste EMV e EMX, rispetto alla lista EM, prima di interagire con la
materia, portando a errori superiori all'1% per entrambe le liste.
(b)
(a)
Figura 3.6: Dierenza percentuale dei rapporti di energia depositata nel cristallo più energetico e nella matrice 5x5
che lo contiene per varie liste (in ordinata) in funzione della posizione iniziale della particella incidente (in ascissa).
In (a) è rappresentata la dierenza dei rapporti tra le liste EMV e EM; in (b) quella tra le liste EMX e EM. Per
produrre i graci sono stati utilizzati 65000 eventi per ciascuna lista.
I risultati per le matrici 5x5 sono paragonabili, anche se leggermente peggiori, a quelli per le
matrici 3x3 (gura 3.6). In particolare in questo caso gli errori medi sono dell'1h per la lista EMV
e del 7h per la lista EMX e lo scarto percentuale massimo supera l'1.5%.
Giunti a questo punto risulta naturale chiedersi perchè mantenere tre liste di sica quando
è noto che la lista EM standard restituisce i risultati più vicini ai dati sperimentali. La risposta
risulta ovvia quando si analizzano i tempi di elaborazione necessari per simulare il medesimo evento
con le varie liste, come mostrato in gura 3.7.
23
Figura 3.7: Tempo di calcolo necessario per simulare 10 eventi elettronici a varie energie. La lista EM standard
(quadrati rossi) richiede il doppio della potenza di calcolo della lista EMX (triangoli verdi). La lista EMV (cerchi
blu) rappresenta un compromesso tra le due. I tempi aumentano linearmente con l'energia della particella incidente e sono stati misurati su un processore AMD Sempron 3400+ da 2 GHz a 32bit del Dipartimento di Fisica
dell'Università di Trieste.
La presenza di più liste permette quindi di operare una scelta sul grado di precisione desiderato,
in funzione del tempo di elaborazione a disposizione. Per produrre i precedenti graci (Figure 3.2,
3.5 e 3.6), sono state necessarie più di 700 ore di calcolo per le simulazioni della lista EM, mentre
la lista EMX ne ha richieste meno di 400.
Di seguito analizzeremo il rapporto tra precisione e
velocità di esecuzione a varie energie (da 10 a 150 GeV), studiando alcuni eetti sici secondari.
3.2.2 Elettroni a varie energie
Nel paragrafo precedente sono state analizzate le dierenze delle varie liste di sica per elettroni
monoenergetici; ora vedremo di quanto si discostano le varie liste in funzione dell'energia degli
elettroni incidenti. Per mantenere le simulazioni entro tempi contenuti, sono stati presi in considerazioni elettroni di energia non superiore ai 150 GeV, a passi di 10 GeV. Questa volta, alle tre
liste usate nora, è stata aggiunta una lista personalizzata, realizzata a partire dalla EMX, che
non tiene conto dell'eetto LPM (paragrafo 1.3.1.1).
24
Figura 3.8: Energia depositata nel cristallo centrale (ecal24) in funzione del momento della particella incidente.
Le dierenze tra le varie liste (EM, EMV, EMX e EMX senza eetto LPM), così come gli errori statistici, sono
interamente contenute nella dimensione dei punti. Per produrre questo graco, sono stati generati 35000 eventi per
ciascuna lista.
Le dierenze tra le liste, come è avvenuto in precedenza in gura 3.2, non sono apprezzabili nel
graco in gura 3.8. Anche in questo caso è stato necessario confrontare lo scarto percentuale di
ciascuna lista rispetto alla lista EM per ottenere delle informazioni.Come si può notare in gura
3.9, l'errore introdotto dalla lista EMV, rispetto alla EM, è inferiore all'1h, mentre le liste EMX
e EMX senza eetto LPM, presentano un errore più marcato, poco inferiore all'1%. La lista EMX
personalizzata in modo da non tener conto dell'eetto LPM, inoltre, è compatibile con la lista EMX
entro gli errori statistici e permette di guadagnare un paio di punti percentuali sulla velocità di
calcolo. Per energie no a 150 GeV quindi si può non tener conto dell'eetto LPM. Essendo, però,
questo eetto legato all'energia della particella incidente, da questi dati non è possibile estrapolare
un andamento a energie maggiori, dove è probabile che l'eetto LPM si manifesti più visibilmente,
rendendo poco interessanti i risultati prodotti dalla lista EMX personalizzata ad alte energie.
25
Figura 3.9: Dierenza di energia depositata nel cristallo centrale per varie liste rispetto alla lista EM. La lista EMV
(in verde) è, ancora una volta, la più vicina alla EM. La lista EMX (in rosso) e la lista personalizzata a partire
dalla EMX (in blu), che non tiene conto dell'eetto LPM (paragrafo 1.3.1.1), hanno un errore maggiore, ma sono
confrontabili fra loro. Le bande di errore, infatti, si sovrappongono per tutti i dati. Inoltre i parametri Q e M dei
t, che rappresentano la quota e il coeciente angolare delle rette di regressione, sono compatibili fra loro. Per
produrre il graco sono stati generati 35000 eventi per ciascuna lista.
3.2.3 Energia depositata al variare della particella incidente
Come abbiamo già visto nel paragrafo 1.2.1, il calorimetro elettromagnetico non misura soltanto
l'energia depositata dagli elettroni, ma di tutte le particelle con interazioni elettromagnetiche,
come ad esempio i positroni e i fotoni. Proprio questi due tipi di particelle sono stati utilizzati
come proiettile nella successiva simulazione, per vericare la dierente risposta della lista EMX
+ −
ai tre tipi di particelle (e ,e
e γ ).La gura 3.10 conferma questa ipotesi. Essendo gli sciami
generati da queste particelle più o meno uguali, ci si aspetta che i dati siano compatibili a tutte
le energie e che, con l'aumentare dell'energia della particella incidente, anche le piccole dierenze
si aevoliscano. Quest'ultimo aspetto, in eetti si verica e quasi tutti i punti sono compatibili
con 0. La presenza di una misura non compatibile a 30 GeV di energia, più marcata per i fotoni,
2
che non supera comunque uno scostamento del 2h, non preoccupa: un test χ sulle due serie di
dati mostra che le curve di t sono compatibili con l'ascissa con un buon livello di condenza.
L'unica dierenza che ci si poteva aspettare è nel prolo longitudinale per il deposito di energia a
seconda che lo sciame sia generato da un elettrone o da un fotone, a causa del dierente cammino
libero medio di queste due particelle nella materia (gura 1.3). Questa variazione non potrebbe
comunque essere vista in termini di energia depositata nel cristallo di PbWO4 dato che questo ha
una lunghezza di quasi 26 X0 .
26
Figura 3.10: Dierenza di energia depositata nel cristallo centrale per positroni (quadrati in rosso) e fotoni (cerchi
in blu) rispetto agli elettroni in funzione dell'energia della particella incidente. Per produrre il graco sono stati
generati 20000 eventi per ciascun tipo di particella.
3.2.4 Energia depositata in presenza di campo magnetico
In quest'ultima parte è stato introdotto un campo magnetico simile alle condizioni reali in cui opera
il calorimetro elettromagnetico. È stato usato il valore massimo di campo magnetico permesso dal
programma Composite Calorimeter (3 T), per avvicinarsi quanto più possibile al valore del magnete
di CMS (3.8 T). Prima di tutto è stata confrontata la variazione di deposito di energia per la lista
EMX a campo spento e acceso.
Figura 3.11: Dierenza di energia depositata nel cristallo centrale per la lista EMX a campo magnetico acceso e
spento. Le linee di campo magnetico sono parallele alle facce dei cristalli. Per produrre il graco sono stati generati
25000 eventi a campo spento e altrettanti a 3 Tesla.
27
Come si può notare in gura 3.11, quasi tutti i punti sono compatibili con 0. Questo signica
che non ci sono sostanziali dierenze di deposito di energia, a campo magnetico acceso e spento,
per particelle che incidono nel centro del cristallo.
Il comportamento è quello previsto: infatti,
pur muovendosi lungo traiettorie curve dovute all'interazione tra la carica elettrica e il campo
magnetico, la distanza da percorrere per uscire dal cristallo, impattando sul centro, è, più o meno,
la stessa e questo porta a valori comparabili di energia depositata.
A campo magnetico spento, lo sciame ha simmetria cilindrica lungo l'asse di incidenza della
particella che lo ha generato.
La presenza di un campo magnetico, invece, separa le particelle
neutre da quelle con carica positiva o negativa. La forza di Lorentz, infatti, è esercitata solo sulle
particelle cariche, che vengono deesse su traiettorie curvilinee.
Inoltre le particelle con carica
positiva sono separate da quelle a carica negativa dato che la forza risulta attrattiva per una specie
e repulsiva per l'altra. La simmetria cilindrica viene quindi cancellata, dato che le particelle cariche
tendono a diporsi sul piano perpendicolare alle linee di campo magnetico, come mostrato in gura
3.12.
(a)
(b)
Figura 3.12: Prolo trasverso dello sciame a campo magnetico spento (a) e acceso (b). La griglia in entrambe
le gure rappresenta la matrice di cristalli, le immagini sono quindi proiettate sul piano perpendicolare all'asse
di incidenza della particella generatrice dello sciame. Si noti come in a campo magnetico spento è mantenuta la
simmetria cilindrica, mentre a campo magnetico acceso questa venga cancellata.
Figura 3.13: Ellitticità dello sciame elettromagnetico a campo magnetico spento (cerchi blu) e a 3 Tesla (quadrati
rossi). Per produrre il graco sono stati generati 25000 eventi a campo magnetico spento e altrettanti a 3 Tesla.
28
Se si va a misurare il rapporto tra l'energia depositata nella striscia 3x1 orizzontale formata dai
cristalli centrali con quella depositata nella striscia 1x3 verticale, quello che si ottiene è l'ellitticità
dello sciame. Ci si aspetta che questo valore sia 1 a campo magnetico spento e si allontani via via
da questo valore all'aumentare di intensità del campo magnetico. In gura 3.13 sono illustrati i
valori di ellitticità a varie energie a campo magnetico spento e acceso.
Sebbene in gura 3.13 le bande di errore dei punti siano compatibili, come pure le quote dei
due t, si può notare una certa regolarità nello scarto tra i t.
Questo porta a ipotizzare che,
con una statistica maggiore, solo il t a campo magnetico spento sarebbe stato compatibile con
1.
Purtroppo le simulazioni a campo magnetico acceso sono molto esigenti dal punto di vista
computazionale, richiedendo molto tempo macchina per produrre risultati.
Con la statistica a
disposizione non è stato, quindi, possibile dare un giudizio denitivo su questa ipotesi.
Un aspetto interessante da tenere in considerazione a campo magnetico acceso è la forza di
frenamento prodotta dalla radiazione di sincrotrone (paragrafo 1.3.6). Questo processo di perdita
di energia è normalmente trascurato nelle simulazioni; abbiamo quindi modicato ancora una volta
la lista EMX per tener conto di tale interazione e confrontato i risultati con quelli prodotti dalla
lista EMX standard in presenza di un campo di 3 T.
Figura 3.14: Dierenza di energia depositata nel cristallo centrale tra la lista EMX standard e quella modicata
per tener conto della radiazione di sincrotrone in funzione dell'energia della particella incidente in un campo di 3
Tesla. Per produrre il graco sono stati generati 25000 punti per ciascuna lista.
I risultati esposti in gura 3.14 mostrano come non ci siano dierenze apprezzabili nel tener
conto o meno della radiazione di sincrotrone. Anche questo processo può essere trascurato durante
le simulazioni nell'intervallo di energie 10-150 GeV. In questo modo il guadagno in termini di tempo
computazionale si attesta tra l'1 e il 2%.
29
Conclusioni
Questa tesi ha analizzato la risposta di una porzione del calorimetro elettromagnetico di CMS
all'impatto con elettroni, positroni e fotoni. Per le simulazioni, prodotte per mezzo del software
Geant4, è stata utilizzata una matrice quadrata di 49 cristalli di tungstato di piombo per simulare
ECAL, la cui geometria è parametrizzata nel programma Composite Calorimeter. Si è fatto, inoltre,
uso di varie implementazioni (le liste di sica) per l'approssimazione dei fenomeni elettromagnetici
nelle simulazioni degli eventi sici prodotti dal software Geant4. In tutto sono stati generati quasi
500000 eventi da 10 a 150 GeV per un totale di circa 3000 ore di tempo macchina.
Sono state confrontate prima le varie liste elettromagnetiche disponibili (EM, EMV e EMX)
tra di loro in termini di precisione e tempo di calcolo, mostrando che le liste producono risultati
compatibili tra loro entro l'1%, a fronte di un costo computazionale assai variegato: la lista EMX
si è dimostrata no al 50% più veloce rispetto alla EM. È stata poi aggiunta una lista, costruita
a partire dalla EMX, che non tenesse conto dell'eetto LPM, guadagnando ancora il 2% circa in
prestazioni rispetto alla lista EMX e ottenendo risultati compatibili con questa lista entro gli errori
statistici nell'intervallo di energie preso in esame.
Inne, la simulazione in presenza di campo magnetico ha mostrato come gli eetti dovuti alla
radiazione di sincrotrone nei risultati siano minimi, e, anche con un campo di 3 T, le eventuali
dierenze fossero sempre contenute nell'errore statistico.
Avendo avuto a disposizione elaboratori più performanti per le simulazioni, si sarebbe potuta
generare una statistica maggiore. Questa avrebbe probabilmente permesso di separare con maggiore dettaglio i diversi comportamenti delle varie liste, facendo emergere dagli errori statistici
le dierenze tra di esse.
Questo avrebbe giovato soprattutto alla parte di simulazione a campo
magnetico acceso, estremamente dispendiosa in termini di risorse di calcolo, per la quale questo
lavoro ha solamente suggerito un andamento, che deve essere però corroborato da un campione
statistico più signicativo.
Una maggiore potenza di calcolo avrebbe permesso inoltre di estendere l'intervallo di energia
esplorato a valori più alti, utili soprattutto nell'analisi dell'eetto LPM, i cui eetti sono tanto più
marcati quanto più alta è l'energia presa in esame.
Con le risorse a disposizione è stato comunque possibile notare che serve una certa cautela
nella simulazione delle regioni di conne tra due cristalli, a seconda di come la diusione multipla
è stata implementata e che, per ottenere risultati compatibili entro l'1% tra di loro, è suciente
usare la lista EMX, eliminando il contributo dell'eetto LPM, in una congurazione che permette
di dimezzare i tempi di calcolo rispetto alla soluzione - la lista EM - più largamente usata.
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