SAA14_1.0_Percentuali, problemi non ovvi

Percentuali, problemi non ovvi
Variazioni assolute e variazioni relative (continua)
Supponiamo che il prezzo di un bene all’istante t
sia pt = € 120…
…all’istante successivo t+1 il nuovo prezzo del
bene è pt+1=140.Qual è stata la variazione assoluta e
quale quella relativa del prezzo?
Variazioni assolute e variazioni relative (segue)
La variazione assoluta di prezzo da t a t+1 risulta:
pt+1=140
=
pt=120
pt=20
Mentre la variazione percentuale a è data da:
a
pt 1  pt
pt 140  120



pt
pt
120
20

 0.16666  0.16....  16.6..%
120
Variazioni assolute e variazioni relative (segue)
Conoscendo invece il prezzo pt=120 e la variazione
percentuale a=10% è possibile calcolare il prezzo al
tempo t+1, cioè pt+1?
Variazioni assolute e variazioni relative (segue)
Il valore del prezzo all’istante t+1 si calcola
immediatamente: il valore alla fine dell’intervallo
[t,t+1] è :
Si può verificare che:
132  120 12

 0.1  10%
120
120
DEFINIZIONE:
Dato un numero xt che misura una certa grandezza
all’istante t, diciamo che la grandezza subisce una
variazione relativa di entità a se fra il valore xt, il
successivo valore xt+1 e il numero a sussistono le
relazioni:
xt 1  xt xt
a

,
xt
xt
xt 1  xt 1  a 
…e ora qualche problema…
Nello svolgere i problemi proposti tenete
presente che spesso:
• la risposta più intuitiva è quella errata
• la formalizzazione dei termini del problema
richiede un grosso sforzo di astrazione
• una volta formalizzato, il problema richiede
l’esecuzione di calcoli di facilità irrisoria
Problema 1 – Variazioni di un prezzo
Dato il prezzo iniziale p0 di un bene il quale subisce prima un aumento del
10%, assumendo il valore p1, e successivamente una diminuzione del 10%,
assumendo il valore p2
+10%
p0
-10%
p1
possiamo affermare:
p2 è minore di p0
p2 è uguale a p0
p2 è maggiore di p0
Cliccare la risposta ritenuta corretta
p2
Problema 1
La risposta è corretta infatti supponendo p0=100, si
avrebbe:
+10%
p0=100
-10%
p1=110
p2=99
Problema 1
La risposta non è corretta infatti supponendo
p0=100, si avrebbe:
+10%
p0=100
-10%
p1=110
p2=99
La risposta corretta è quindi: p2 < p0 e p0 subisce
una variazione complessiva di –1%
Problema 1
Supponiamo ora che le due variazioni cambino di ordine,
ossia che il prezzo subisca prima una riduzione del 10% e poi
un aumento del 10%…
-10%
p0
+10%
p1
p2
vi aspettate comunque una riduzione complessiva dell’ 1%
(ossia una variazione percentuale di –1%)?
Sì
No
Cliccare la risposta ritenuta corretta
Problema 1
La risposta è corretta infatti supponendo al solito
p0=100, si avrebbe nuovamente 99 come valore
finale:
-10%
p0=100
+10%
p1=90
p2=99
Problema 1
La risposta non è corretta infatti supponendo al
solito p0=100, si avrebbe nuovamente 99 come
valore finale:
-10%
p0=100
+10%
p1=90
p2=99
Problema 1
Un ulteriore esempio sembrerebbe confermare l’ipotesi secondo
cui la variazione complessiva del prezzo non dipende dall’ordine in
cui avvengono le variazioni parziali, infatti se le variazioni in valore
assoluto fossero del 20% e del 10%, si avrebbe:
+20%
p0=100
-10%
p1=120
p2=108
Cambiando l’ordine delle due variazioni si ottiene ancora la stessa
variazione finale:
-10%
p0=100
+20%
p1=90
p2=108
Problema 1
Nel primo esempio, in entrambi i casi la somma algebrica delle
due variazioni è pari al 10%, infatti si ha:
20%  10%  10%
Invece la variazione percentuale al termine delle due fasi è
dell’8% :
108  100
a
 8%
100
L’aumento percentuale netto non coincide con la
somma algebrica delle due variazioni percentuali
e non dipende dall’ordine in cui le due variazioni
avvengono.
Problema 1
Dette:
Formalizzazione
a la variazione relativa di prezzo nel primo periodo,
cioè:
p  p0 p0
a 1

p0
p0
 la successiva variazione di prezzo
p2  p1 p1


p1
p1
Valgono le seguenti relazioni…
Problema 1
pp11=p
=p00(1+a)
(1+a)
pp22=[p
(1+a)](1+)
(1+a)](1+)=
=p10(1+)
=p0[(1+a)(1+)]=p0[1+(a+)+ a]
Cliccare qui per
visualizzare il
passaggio successivo
Problema 1
Negli esempi considerati si ha:
Esempio1
a = +10%
= -10%
a = - 0.01 = -1%
Da cui si ottiene:
p2 = p0(1+0.1)(1-0.1) = p0 [1+(0.1-0.1)+0.1(-0.1)] = p0 [1-0.01] =
0.99 p0
confermando la formula generale.
Problema 1
Esempio2
a = +20%
= -10%
a = - 0.02 = -2%
Da cui si ottiene:
p2 = p0(1+0.2)(1-0.1) = p0[1+(0.2-0.1)+0.2(-0.1)] = p0[1+0.1-0.02]
= 1.08 p0
confermando la formula generale.
Problema 2 – Sconto + IVA
La PCstore comunica il prezzo dei propri prodotti IVA inclusa (20%) e
pratica poi alla cassa uno sconto del 10%…
La PCmedia comunica invece i prezzi scontati (del 10%), Iva esclusa
(20%)…
Problema 2
Il problema è diverso dal problema formulato con gli esempi
precedenti solo a parole, ma è formalizzabile nello stesso
identico modo, per cui la risposta è “il prezzo scontato e
comprensivo di IVA risulta dell’8% superiore al prezzo
imponibile in entrambi i casi, le due offerte risultano quindi
coincidenti”.
Per tornare alla formalizzazione del primo
problema cliccare qui
Problema 3 – Sconto “20% + 10%”
Un commerciante pratica uno sconto del “20% + 10%” che
significa prima lo sconto del 20% e poi, sul prezzo scontato,
un’ulteriore sconto del 10%.
?
Qual è lo sconto complessivo g<0 effettivamente praticato?
Problema 3
g=?
Come già visto nella formalizzazione del problema 1 valgono:
p2=p0(1-20%)(1-10%)= p0(80%) (90%)= p0(72%)
p2=p0(1+g)
Da cui:
(1+g)=72%  g =- 28%
Problema 3
In modo equivalente:
p2=p0(1-20%)(1-10%)= p0[(1-20%)(1-10%)] =
p0(1- 0.2- 0.1 + 0.02)= p0(1- 0.28)= p0(1- 28%)
Per tornare alla formalizzazione del primo
problema cliccare qui
Problema 4 – Tasso di inflazione medio
Il tasso di inflazione di un anno è stato pari al 5%, nell’anno
successivo del 55%.
f?
Qual è stato il tasso di inflazione medio nei due anni?
Problema 4
Qualche definizione prima di iniziare…
f1 = 5%
tasso di inflazione nel primo periodo
f2 = 55%
tasso di inflazione nel secondo periodo
I0
indice iniziale dei prezzi al tempo 0
I1
indice dei prezzi al tempo 1
I2
indice finale dei prezzi al tempo 2
Poiché la media aritmetica tra i due tassi f1=5% e f2=55% è del 30%,
possiamo dedurre che il tasso medio è proprio il 30%?
Problema 4
Qual è il significato di tasso di inflazione medio nei due
periodi?
Definiamo “tasso medio di inflazione nei due periodi” il tasso di
inflazione che, costante nei due anni, produce la stessa variazione
complessiva dell’indice dei prezzi.
Ossia:
Problema 4
I2 = I0 1.051.55 = I0 1.6275
I2
 1.6275 Fattore di crescita complessivo
I0
I2
 (1  f ) 2  1.6275
I0
(1  f )  1.6275  1.2757 
f  27.57%
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quiper
per
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successivo
Problema 4
In generale con f1 e f2 qualsiasi:
2 2
 1  ((11(1f )ff)) (1 (1f 1)(f11)(1f 2) f 2 )  1
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qui peril
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passaggio successivo
Problema 4
f1  f 2
f  1  f 1 1  f 2   1 
2
Il tasso medio di inflazione è minore
della somma algebrica dei due tassi di
inflazione
Problema 4
Formalizzazione generale con n periodi
1  f 
n
n
 1  f 1 1  f 2 ...1  f n    1  f i  
i 1
n
f n
n
 1  f i   1 
i 1
f
i 1
n
i
FINE
Problema 5 – Consumo di benzina
Se il numero di km. per litro percorsi da un’automobile passa
da 10 a 12…
Di quando diminuisce in percentuale il consumo?
Problema 5
La percorrenza kilometrica per litro aumenta del 20%, ma questo,
non significa che il consumo diminuisca di altrettanto.
Per misurare la variazione richiesta è necessario definire il
consumo in litri/km, ossia:
1/10 litri/km.
prima della miglioria
1/12 litri/km.
dopo la miglioria
Problema 5
La riduzione di consumo è quindi :
1
1

2
12
10
a

 0.1 6  1 6%  16.7%
1
12
10
Problema 5
Formalizzazione
Detti:
d km/l prima della miglioria
1/d consumo prima della miglioria
d’ km/l dopo la miglioria
1/d’ consumo dopo la miglioria
la riduzione percentuale di consumo risulta:
1 1

d' d 
1
d
d 'd

d'
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per
Cliccare
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successivo
passaggio
Problema 6 – Potere d’acquisto
Detto potere d’acquisto di una moneta la quantità di merce
acquistabile per unità di moneta…
q
…a quanto ammonta la variazione percentuale di potere
d’acquisto in corrispondenza ad un aumento di prezzi del
10%?
Problema 6
Se il tasso di inflazione fosse del 100%…
…i prezzi raddoppierebbero…
…e il potere di acquisto si dimezzerebbe (variazione del 50%)
Problema 6
Probabilmente nell’esempio proposto la variazione del potere di
acquisto non è del 10%.
Immaginiamo di avere a disposizione una somma di importo
1000 e che il prezzo unitario del paniere di beni sia p=100, con la
possibilità di acquistare una quantità q=10.
Se p’= 110, la quantità acquistabile q’ diventa:
1000
 9.090909...
110
Problema 6
Generalizzazione (continua)
Detti:
• p: il prezzo unitario del paniere di beni
•q: la quantità acquistabile con un’unità di moneta, poiché deve
valere la relazione pq=1, ne segue che il potere di acquisto è pari
a 1/p
• a: tasso di inflazione (se a<0 il prezzo diminuisce)
• p’: il nuovo prezzo unitario del paniere di beni con p’ = p (1+ a)
• q’: il nuovo potere d’acquisto
•  : la variazione percentuale di potere di acquisto corrispondente
al prezzo p’ con q’ = q (1+ ) (a>0  <0 ; a<0  >0)
Problema 6
Generalizzazione (segue)
Scriviamo l’equazione conservativa, con riferimento alla costanza
della somma unitaria disponibile:
1
1    

1a
1 1 a
a


1 a
1a
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Problema 6
Generalizzazione (segue)
a
 
1a
Il segno meno indica che se il
tasso di inflazione è positivo il
potere d’acquisto diminuisce
(se invece fosse negativo
aumenterebbe)
Il denominatore 1+a mostra che
| |< a per a>0.
Problema 6
Generalizzazione (segue)
Se il tasso di inflazione è positivo, l’ errore che si
commette ad identificare la perdita percentuale di potere
d’acquisto con il tasso di inflazione aumenta con
l’aumentare del tasso di inflazione.
Problema 6
Negli esempi proposti le formule trovate danno:
a
0.1
a  10%  0.1    

 0.0909  9.0909%
1  a 1  0.1
a
1
1
a  100%  1    

   50%
1a 11
2
confermando la formula generale.
Problema 7 – Incremento salariale netto
Se il salario in un anno aumenta del 15% e…
…nello stesso periodo il tasso di inflazione è del 10%…
…qual è il tasso di aumento reale del salario equivalente
all’aumento percentuale del potere d’acquisto?
Problema 7
Ponendo ad esempio il salario iniziale S=1000, il prezzo del
paniere p= 100 con la possibilità di acquistare una quantità 10, si
ha:
Problema 7
…Pertanto la nuova quantità acquistabile q’ risulta:
1150
q' 
 10.45455
110
La conseguente variazione percentuale positiva è:
q'q 10.4545  10

 0.4545  4.545%...
q
10
Problema 7
Detti:
Generalizzazione (continua)
• S il salario iniziale
•g
il tasso di variazione relativa dei salari
• p: il prezzo unitario del paniere di beni
• q: la quantità acquistabile per unità di salario
• a: tasso di inflazione
• p’: il nuovo prezzo unitario del paniere di beni con p’ = p (1+ a)
• q’: la nuova quantità acquisibile per unità di salario
•  : la variazione percentuale reale del salario con q’ = q (1+ )
Notare che il problema è di poco diverso da
quello precedente
Problema 7
Nel problema proposto le formule trovate danno:
a  10%  0.1, g  15% 
g  a 0.05


 0.454545  4.54545%
1  a 1  0.1
confermando la formula generale.
Problema 7
Generalizzazione (segue)
E’ possibile ottenere  (variazione percentuale reale del salario)
come passaggi analoghi a quelli del caso precedente:
pq (1+ a) (1+ ) = pq (1+ g)
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Problema 7
Generalizzazione (segue)
In modo equivalente:
 (1+
pq a
1+
(1+
a+
) =ag)+(1+
-a
a =)1+
= pq
g (1+ g)
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Problema 8 – Tempo di raddoppio di una popolazione
La popolazione di Rainbow Island è composta oggi da 1000
individui, se il suo tasso di crescita annuo fosse del 5% per
tutti gli anni futuri…
… in quanti anni raddoppierebbe?
Problema 8
Detta Pt la popolazione all’anno t si ha:
La popolazione cresce secondo la progressione
geometrica 1000(1+0.05)t, essendo t l’anno al quale ci
riferiamo.
Problema 8
Gli abitanti dell’isola, negli anni 0, 1, 2, … , 20 saranno in:
0
1000
1
1 050
6
1 340
11
1 710
16
2 183
2
1 103
7
1 407
12
1 796
17
2 292
3
1 158
8
1 477
13
1 886
18
2 407
4
1 216
9
1 551
14
1 980
19
2 527
5
1 276
10
1 629
15
2 079
20
2 653
2 000 < 2 079
1 980 < 2 000
Problema 8
La numerosità della popolazione raddoppia,
in più di 14 anni, ma in meno di 15.
In particolare, il raddoppio avviene nella
parte iniziale del 15° anno infatti 1980 è
assai più vicino di 2079 al numero 2000
anche se questo non significa che la
popolazione sia di 2000 persone dopo
14.20202
anni
come
si
otterrebbe
effettuando un’interpolazione lineare.
Problema 8
Formalizzazione (continua)
Detti:
• P0 la popolazione iniziale
• a il tasso annuo di crescita della popolazione (costante ed
indipendente dalla numerosità della popolazione medesima)
• Pt la popolazione alla fine del t-esimo anno dove Pt = P0(1+a)t
Problema 8
Formalizzazione (segue)
Si tratta di trovare l’esponente t tale che Pt = 2P0 , ossia di
risolvere l’equazione:
1  a 
t
Pt

2
P0
nell’incognita t.
t =t 2
(1+a)
tln(1+a)
xln(1+a)
==ln2
ln2
calcolando
sfruttando
dividendoilelogaritmi
ambo
proprietà
i membri
didei
ambo
logaritmi…
per
i membri…
ln(1+a)…
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Problema 8
Formalizzazione (segue)
Negli esempi proposti le formule trovate danno:
t
ln 2
ln 2
0.69315


 14.2067
ln 1  a  ln 1.05 0.04879
confermando la formula generale.
Problema 8
Si osserva che se invece di cercare il tempo di
raddoppio della popolazione cercassimo il tempo in
cui la popolazione raggiunge un certo valore K, la
formula generale sarebbe:
K
P0
ln K  ln P0
t

ln 1  a 
ln 1  a 
ln