Relazioni binarie in generale - imati-cnr

MATeXp – Nozioni di base
Capitolo B53:
Relazioni binarie in generale
Contenuti delle sezioni
a. Relazioni binarie p.1 b. Operazioni su relazioni binarie p.6 c. Digrafi e relazioni binarie p.7
d. Principali caratterizzazioni delle relazioni p.9 e. Strutture dotate di ordinamento p.12 f. Cenno
alle relazioni ternarie e di arietà superiore p.12
B53:0.01 Il capitolo è dedicato a considerazioni generali sulle relazioni binarie. Alcune delle definizioni
e delle segnalazioni nelle prossime pagine sono già comparse in precedenza e saranno ripresentate più
oltre; in effetti il capitolo vuole servire per raccordare le molte considerazioni sulle relazioni che risulta
opportuno utilizzare in forme particolari in una grande varietà di contesti.
Si inizia con l’inquadramento delle relazioni binarie fra le relazioni di generica arietà e con alcune loro
caratterizzazioni generali. Si prosegue con la presentazione delle svariate operazioni che può essere
conveniente definire tra le relazioni e di alcune notazioni specifiche non influenzate dagli ambienti nei
quali le relazioni sono collocate.
Successivamente per le relazioni contabili si riprendono le raffigurazioni mediante grafi e le relative
terminologie, mettendo in rilievo varie relazioni non finite.
Si espongono poi le loro molteplici caratterizzazioni, entrando in vari dettagli della casistica.
Si accenna poi alle strutture che, insieme ad operazioni algebriche e/o proprietà topologiche, presentano
relazioni d’ordine compatibile con le precedenti.
Infine si aggiungono alcune considerazioni sulle relazioni ternarie e di arietà superiore fornendo alcuni
esempi e discutendo come si possono collegare a relazioni binarie.
B53:a. Relazioni binarie
B53:a.01 Consideriamo l’intero k ≥ 2, gli insiemi non vuoti A1 , A2 ,... e Ak (non necessariamente
diversi e non necessariamente della stessa cardinalità) ed il prodotto cartesiano di questi ultimi
C := A1 × A2 × ... × Ak . Si dice relazione k-aria tra A1 , A2 , ... e Ak oppure entro C ogni sottoinsieme
R ⊆ C. Il prodotto cartesiano C viene detto terreno della relazione e l’intero k arietà della relazione
R. Per talune esigenze di generalità può essere opportuno ammettere che sia k = 1 ed anche k = 0.
Nel primo caso si viene a chiamare relazione unaria entro A1 un sottoinsieme ”privilegiato” di A1 ; nel
secondo la relazione nullaria consiste in una entità identificabile con un insieme costituito dalla sola
stringa muta.
Le relazioni di arietà superiore a 2 rivestono importanza solo per problemi particolari; tra questi segnaliamo alcuni settori dell’elaborazione dei dati, ed in particolare il settore delle basi di dati ([[en.Relationa
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B53: Relazioni binarie in generale
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database]]. Per la maggior parte delle tematiche più tipiche della matematica le relazioni più importanti
sono invece le binarie, cioè i sottoinsiemi di un prodotto cartesiano della forma A1 × A2 .
Nel seguito del capitolo, ad esclusione dell’ultimo paragrafo dedicato alle relazioni di arietà superiore a
2, e in molti altri contesti la accennata prevalente importanza delle relazioni binarie, induce a chiamarle
relazioni tout court. La stessa abbreviazione sarà adottata in molti altri contesti nei quali non si rischia
l’ambiguità.
Una relazione tra A1 ed A2 viene chiamata anche corrispondenza tra A1 ed A2 .
B53:a.02 In precedenza abbiamo già incontrato varie relazioni binarie:
le relazioni applicabili ad ogni insieme = e ̸=;
le relazioni tra stringhe essere prefisso, essere suffisso, essere infisso, essere sottostringa;
le relazioni tra numeri naturali, interi, razionali o reali individuate dai segni <, ≤, > e ≥;
le relazioni tra insiemi individuate dai simboli ⊂, ⊆, ⊃, ⊇, ♢, ,
e ⊃⊂;
le relazioni tra numeri interi legate alla divisibilità come :| , cioè “essere divisore di”, ⊥, cioè “essere
mutuamente primo con”;
- relazioni tra enti geometrici tra le quali il parallelismo // e la perpendicolarità ⊥ tra rette e segmenti;
- le relazioni di incidenza tra vertici e spigoli di un grafo non orientato.
-
Osserviamo anche che tutte le curve speciali piane (ad esempio quelle presentate in [[EFMR]]), come
insieme di coppie di numeri reali si possono considerare relazioni entro R × R. Segnaliamo inoltre
che ad ogni curva speciale piana non intrecciata chiusa (ad esempio una ellisse, una tricuspoide o una
quartica piriforme) è associato l’insieme dei suoi punti interni ed anche questa entità si può considerare
una relazione entro R × R.
B53:a.03 Sia R una relazione binaria; in luogo di ⟨a, b⟩ ∈ R spesso conviene usare la notazione equivalente a R b; questa si dice notazione infissa della relazione inoltre in genere, cioè se non si rischia
lo’ambiguità, a questa viene preferita l’abbreviazione aRb.
Una notazione come 4 ≤ 6 si può considerare la notazione infissa equivalente alla ⟨4, 6⟩ ∈≤, notazione
nella quale ≤ è considerato come un insieme di coppie di numeri. Più precisamente, a seconda delle
esigenze del contesto, si potrebbe considerare ≤ come sottoinsieme di N × N, di Z × Z, di Q × Q oppure
di R × R.
Ricordiamo la decisione (B19d02) di denotare con Rel la classe di tutte le relazioni binarie.
B53:a.04 Per una qualsiasi relazione R ⊆ A × B si introducono:
il dominio di R: R⊢ :=: dom(R) := { a ∈ A
il codominio di R: R⊣ :=: cod(R) := { b ∈ B
(B ∋ b aRb) } = Prj 1 (R);
(A ∋ a aRb) } = Prj 2 (R).
Il codominio di una relazione R si dice anche immagine della R e si denota anche con Img(R).
Per ciascuna relazione R si riscontra una ed una sola delle seguenti situazioni:
R⊢ = R⊣ , come uguaglianza e differenza (queste sono chiamate relazioni presimmetriche);
R⊢ ⊂ R⊣ , come la relazione > sugli interi naturali (0 ∈ R⊣ \ R⊢ );
R⊢ ⊃ R⊣ , come la relazione < sugli interi positivi; (1 ∈ R⊢ \ R⊣ );
R⊢ ♢R⊣ , come accade per la incidenza fra vertici e spigoli dei grafi non orientati e caratterizza i
digrafi bipartiti;
- R⊢ R⊣ , accade per la funzione
a ∈ {1, 2, 3} a + 1 .
-
B53:a.05 Per taluni sviluppi riguardanti una relazione R ⊆ A × B si pone la questione della distinzione
tra la relazione stessa e la coppia ⟨A × B, R⟩.
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B53: Relazioni binarie in generale
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A questo proposito introduciamo il termine relazione collocata per ogni coppia della forma ⟨A × B, R⟩;
per una tale coppia diremo che il rettangolo cartesiano A × B costituisce una collocazione della R.
Inoltre useremo la scrittura RelA,B per denotare l’insieme delle relazioni collocate entro A × B; si
osserva che l’insieme delle relazioni collocabili in A × B è P(A × B); per questo insieme talora, si usa
anche la notazione {A−−−B}, più simile a ciascuna delle notazioni per funzioni come ({A −→ B}.
Consideriamo in particolare le relazioni collocate in quadrati cartesiani, cioè sottoinsiemi della forma
R ⊆ A×A; queste entità le chiamiamo relazioni collocate sopra l’insieme A ed il loro insieme lo denoteremo
anche con RelA .
L’insieme delle relazioni collocate che si possono collocare su A è dunque P(A×2 ), ovvero {A − − − A}.
B53:a.06 Consideriamo una relazione collocata ⟨A × B, R⟩ ∈ RelA,B . Evidentemente per ogni ⟨A′′ , B ′′ ⟩
con A′′ ⊇ A e B ′′ ⊇ B nulla vieta di considerare la relazione collocata ⟨A′′ × B ′′ , R⟩.
Inoltre la relazione R si può collocare senza perdita di sue coppie sopra uno qualsiasi dei rettangoli
cartesiani A × B che contengono R⊢ × R⊣ .
si osserva anche che per ogni ⟨A′ , B ′ ⟩ con A′ ⊆ A e B ′ ⊆ B nulla vieta di considerare la relazione
collocata ⟨A′ × B ′ , R ∩ A′ × B ′ ⟩; nonché ⟨A′ × B ′′ , R ∩ A′ × B⟩ e ⟨A′′ × B ′ , R ∩ A × B ′ ⟩.
Occorre segnalare che vi sono proprietà delle relazioni sulle quali la collocazione non ha effettiva
influenza, altre per le quali essa conta; questo accade soprattutto per relazioni considerate sottoinsiemi
di un quadrato cartesiano.
Può accadere che si introduca una relazione R come relazione tra due insiemi, R ⊂ A × B, ma che
per taluni sviluppi risulti opportuno considerare una sua variante definita tra un sottoinsieme o un
sovrainsieme di A ed un sottoinsieme o un sovrainsieme di B. Ad esempio relazioni numeriche come ≤
e > nell’analisi infinitesimale si considerano collocate sopra l’insieme dei numeri reali R, ma in talune
circostanze può essere opportuno limitarsi a considerarle relazioni sopra un sottoinsieme di R come Q,
Z o N o sopra, ad esempio, l’insieme dei numeri primi.
Spesso conviene chiedere che una relazione sia collocata sopra un unico insieme, cioè che si consideri
sottoinsieme di un quadrato cartesiano. In effetti per ogni relazione si ha
R ⊆ (R⊢ × R⊣ ) ⊆ (R⊢ ∪ R⊣ ) × (R⊢ ∪ R⊣ ) .
In linea di principio quindi ogni relazione si può collocare sopra un ben determinato insieme unico e
minimale.
B53:a.07 Consideriamo dunque una relazione collocata sopra un insieme ⟨A × A, R⟩; si dice relazione
trasposta o relazione inversa di R: R = R← := {⟨a, b⟩ ∈ R :| ⟨b, a⟩}.
Evidentemente anche ⟨A × A, R ⟩ è una relazione collocata sopra A.
Chiaramente per ogni relazione R si ha (R ) = R. In altre parole la trasposizione è una involuzione
entro ciascuna classe RelA .
Si osserva che la R ⊆ A × B equivale alla R ⊆ B × A ed equivale ad affermare “dom(R ) = cod(R) e
cod(R ) = dom(R)”.
Ad esempio per le relazioni numeriche si ha
≤ = ≥; < = > ,
mentre per le relazioni insiemistiche
⊆ = ⊇;
⊂ =⊃.
Inoltre la trasposta della relazione “essere divisore di” è la relazione “essere multiplo di”.
B53:a.08 Le relazioni invarianti per la trasposizione di relazioni collocate, cioè le relazioni coincidenti
con la propria trasposta, si dicono relazioni simmetriche. Sono evidentemente simmetriche l’uguaglianza
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e la diversità. È ragionevole ritenere che in genere risulti più semplice considerare una relazione
simmetrica collocata sopra un quadrato cartesiano, cioè che abbia dominio e codominio coincidenti,
cosa sempre ottenibile.
Evidentemente la trasposta di una relazione simmetrica è simmetrica: possiamo considerare che
R = R ⇐⇒ R = (R ) = R .
Osserviamo esplicitamente che vi sono relazioni presimmetriche che non sono simmetriche: ad esempio
la relazione ≤ sopra un insieme come Z, Q o R è presimmetrica ma non simmetrica.
B53:a.09 Quando si considera una sola relazione spesso la sua collocazione è poco importante e spesso
può rimanere non esplicitata senza che questo comporti ambiguità; talora il prodotto cartesiano A × B
nel quale risulta opportuno collocare una relazione R si impone con una certa evidenza e quindi in
genere può essere sottinteso. Spesso una relazione R presimmetrica si colloca implicitamente entro
R⊢ × R⊢ . Talvolta invece si rende necessario essere circostanziati sulla ambientazione di una relazione;
questo può essere dovuto a esigenze esterne, ovvero quando la relazione viene collegata ad altre, ad
esempio viene composta con altre (V. :b).
Vi sono inoltre molti sviluppi nei quali non ha sostanziale importanza definire la collocazione e risulta
possibile senza rischiare ambiguità lasciarla inespressa ed anche non distinguere fra una relazione e le
corrispondenti relazioni collocate.
Questo modo di esprimersi sbrigativo può semplificare notevolmente l’esposizione e si giustifica nella
confidenza che il lettore sarebbe in grado di giungere ad una maggiore precisione se se ne presentasse
la necessità (considerata peraltro remota).
B53:a.10 Vediamo ora alcune considerazioni nelle quali la collocazione delle relazioni va esplicitata.
Quali che siano gli insiemi A e B, l’insieme vuoto collocato entro A×B si può chiamare relazione assurda
tra A e B, mentre A × B collocato entro A × B si può chiamare relazione ovvia tra A e B.
Quale che sia l’insieme A, si dice relazione identica o identità su A IdA := {a ∈ A :| ⟨a, a⟩}; essa si scrive
anche AId ; essa viene chiamata anche diagonale di A × A e denotata con Diag(A).
Si dice relazione opposta della relazione collocata ⟨A × B, R⟩ la relazione collocata
⟨A × B, (A × B) \ R .
Essa viene anche detta negazione della relazione. Questa dizione, insieme alle dizioni relazione ovvia e
relazione assurda, vanno viste come termini adottati per il calcolo proposizionale (v. B60:) applicato
alle affermazioni riguardanti relazioni. Le proposizioni della forma ⟨a, b⟩ ∈ R forniscono esempi significativi per proprietà del calcolo proposizionale. Il termine ”negazione di una relazione” può essere
chiarito dalla equivalenza fra gli enunciati
⟨a, b⟩ ∈ A × B, (A × B) \ R ⇐⇒ ̸ ⟨a, b⟩ ∈ R .
Talora è ammissibile parlare di passaggio alla relazione opposta senza precisare la sua collocazione
entro un rettangolo cartesiano A × B. Ad esempio si può asserire senza collocazioni esplicite che
l’opposta della relazione numerica < è la relazione ≥ e che l’opposta della > è la ≤: in questi casi in
genere si raggiungono conclusioni per le quali la precisa collocazione è ininfluente, oppure accade che il
contesto e la finalità del discorso corrente inducano ”naturalmente” a considerare che esse nei diversi
casi riguardino numeri reali, oppure numeri interi, oppure numeri di un dato intervallo o altro.
B53:a.11 Per ogni a ∈ A si dice immagine di a per R: a R := {b ∈ B aRb}.
Per ogni b ∈ B si dice controimmagine di b per R: R b := {a ∈ A aRb}.
Esempi: {1, 2, 3} ⊃ = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.
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All’interno di un discorso riguardante precisamente l’intervallo [0 : 9], si può affermare
≤ 5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} .
I due segni ora introdotti “ ” e “ ” sono due connettivi: il primo serve a collegare esplicitamente un
elemento dell’insieme nel quale si colloca il dominio della relazione con la relazione stessa; il secondo
si inserisce tra la relazione e un elemento dell’insieme nel quale si colloca il codominio della relazione.
In genere questi segni possono essere sottintesi e si semplifica la scrittura a R con la aR e la R b con
la Rb.
B53:a.12 Dato che le relazioni sono insiemi, si possono applicare ad esse tutte le operazioni insiemistiche.
Spesso, date due relazioni R ed S è utile considerare la loro unione, la loro intersezione e l’operazione
denotata con ∪˙ consistente nell’unione con segnalazione di operandi disgiunti.
Facciamo alcune altre osservazioni che si collegano al calcolo dei predicati (v. B61:) applicato a
relazioni.
- L’enunciato a (R ∪ S) b equivale all’affermazione “a R b o a S b”; questo enunciato si dice congiunzione degli enunciati “a R b” e “a S b” e si scrive anche “a R b ∨ a S b”.
- L’enunciato a (R ∩ S) b equivale ad affermare “a R b e a S b”; questo enunciato si dice disgiunzione
degli enunciati “a R b” e “a S b” e si scrive anche “a R b ∧ a S b”.
- L’affermazione a (R ∪˙ S) b equivale ad affermare “aut a R b, aut a S b; questo enunciato si dice
or esclusivo o xor degli enunciati “a R b” e “a S b” e si scrive anche “a R b ⊖ a S b”.
Ribadiamo che se la relazione viene collocata, implicitamente o meno, in un dato ambiente A × B,
l’affermazione a ((A × B) \ R) b equivale alla negazione dell’enunciato a R b e si scrive anche
¬(a R b) .
B53:a.13 Spesso è significativo stabilire per due relazioni R ed S che sia R ⊆ S; in questo caso si dice
che R è relazione più stringente in senso lato della S o, equivalentemente, che S è meno stringente in senso
lato di R. Analogamente può essere utile stabilire che sia R ⊂ S, affermazione che si esprime dicendo
che R è una relazione più stringente in senso stretto della S o, equivalentemente, che S è meno stringente
in senso stretto di R.
L’accostamento fra “stringente” e “stretto” fa pensare a un gioco di parole: in effetti abbiamo applicato
le due relazioni ⊆ e ⊂ a due relazioni: ma anche per queste due relazioni si può stabilire quale è la
più stringente: evidentemente ⊂ è più stringente della ⊆. A questo punto si potrebbe essere indotti
a scrivere ⊂ ⊂ ⊆ : una tale scrittura è però inopportuna, in quanto la mancata esplicitazione degli
ambienti la rende ambigua: in essa primo e terzo segno esprimono relazioni entro un non meglio
identificato A × B, cioè appartengono a B(A × B), mentre il secondo segno esprime una relazione tra
relazioni del precedente insieme e quindi appartiene a B(B(A × B)).
Osserviamo anche che R ⊆ S
⇐⇒ (∀⟨a, b⟩ ∈ A × B
aRb =⇒ aSb ) .
In varie circostanze si incontrano due relazioni R ed S tali che risulta utile stabilire se sono disgiunte,
cioè se R♢S, o meno e stabilire se non sono confrontabili, cioè se R S, o meno.
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B53:b. Operazioni su relazioni binarie
B53:b.01 Introduciamo ora operazioni peculiari delle relazioni.
Consideriamo le relazioni R ⊆ A×B ed S ⊆ B ×C; si dice prodotto di composizione, c-prodotto o prodotto
di Peirce delle relazioni R ed S:
{
(
)}
R ◦ S := ⟨a, c⟩ ∈ A × C
B ∋ b aRb ∧ bSc .
Per questa importante operazione si derivano direttamente dalle definizioni le proprietà che seguono,
valide per A, B, C e D insiemi arbitrari, R, R′ ⊆ A × B, S, S ′ ⊆ B × C, T ⊆ C × D.
(a) R ◦ S = ∅ ⇐⇒ R⊣ ∩ S ⊢ = ∅
⊢
(b) (R ◦ S) ⊆ R
⊢
(non componibilità delle relazioni).
⊣
⊣
(R ◦ S) ⊆ S .
,
(c) (R ◦ S) = S ◦ R .
(d) (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T )
′
(associatività del prodotto di composizione).
′
, R ◦ (S ∪ S ′ ) = R ◦ S ∪ R ◦ S ′
(distributività del prodotto di composizione rispetto all’unione).
(e) (R ∪ R ) ◦ S = R ◦ S ∪ R ◦ S
(f) AId ◦ R = R
,
R ◦ B Id = R .
(g) (R ∩ R′ ) ◦ S ⊆ (R ◦ S) ∩ (R′ ◦ S)
(h) R ⊂ R′ =⇒ R ◦ S ⊆ R′ ◦ S
,
,
R ◦ (S ∩ S ′ ) ⊆ (R ◦ S) ∩ (R ◦ S ′ ) .
S ⊂ S ′ =⇒ R ◦ S ⊆ R ◦ S ′ .
Una semplice situazione nella quale (R ∩R′ )◦S ⊂ (R ◦S)∩(R′ ◦S) si ha con R = {⟨1, 2⟩}, R′ = {⟨1, 3⟩}
ed S = {⟨2, 4⟩, ⟨3, 4⟩}; in tal caso (R ∩ R′ ) ◦ S = ∅, mentre (R ◦ S) ∩ (R′ ◦ S) = {⟨1, 4⟩} .
Una semplice situazione nella quale R ◦ (S ∩ S ′ ) ⊆ (R ◦ S) ∩ (R ◦ S ′ ) si ha con R = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 3⟩},
S = {⟨2, 4⟩} ed S ′ = {⟨3, 4⟩}; in tal caso R ◦ (S ∩ S ′ ) = ∅, mentre (R ◦ S) ∩ (R ◦ S ′ ) = {⟨1, 4⟩}
Una semplice situazione nella quale R ⊂ R′ ed R◦S = R′ ◦S si ha con R = {⟨1, 2⟩}, R′ = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 3⟩},
S = {⟨2, 4⟩, ⟨3, 4⟩}; in tal caso R ◦ S = R′ ◦ S = {⟨1, 4⟩}
Una semplice situazione nella quale S ⊂ S ′ ed R ◦ S = R ◦ S ′ si ha con R = {⟨1, 2⟩ ⟨1, 3⟩}, S = {⟨2, 4⟩},
S = {⟨2, 4⟩, ⟨3, 4⟩}; in tal caso R ◦ S = R ◦ S ′ = {⟨1, 4⟩}.
B53:b.02 Come per ogni operazione binaria associativa, a partir dal prodotto di composizione si
introducono le potenze di composizione o c-potenze di una qualsiasi relazione R.
R1 := R ;
∀n ∈ P : Rn+1 := Rn ◦ R ;
∀n ∈ P : R−n := (R )n = (Rn ) .
La potenza zero minima di R è definita da R0 := (R⊢ ∪ R⊣ )Id = (R⊢ )Id ∪ (R⊣ )Id .
Una nozione quasi equivalente è quella di potenza zero della relazione collocata ⟨A × A, R⟩ per A ⊇
R⊢ ∪ R⊣ , definita come AId .
Si dimostrano facilmente i seguenti enunciati.
(a) ∀m, n ∈ N : Rm ◦ Rn = Rm+n
(b) (Rm )n = (R−m )−n = Rmn
(c) dom(R ) ⊆ dom(R)
n
,
,
R−m ◦ R−n = R−(m+n) ,
(R−m )n = (Rm )−n = R−mn .
,
cod(R ) ⊆ cod(R) .
n
Consideriamo la relazione R = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45}, cioè la relazione “minore di” entro
{1, 2, 3, 4, 5}. Accade che R2 = {13, 14, 15, 24, 25, 35}, R3 = {14, 15, 25}, R4 = {15}, R5 = ∅; quindi
dom(R) = {1, 2, 3, 4} ⊃ dom(R2 ) = {1, 2, 3} ⊃ dom(R3 ) = {1, 2} ⊃ dom(R4 ) = {1} ⊃ dom(R5 ) = ∅ e
cod(R) = {2, 3, 4, 5} ⊃ cod(R2 ) = {3, 4, 5} ⊃ dom(R3 ) = {4, 5} ⊃ dom(R4 ) = {5} ⊃ dom(R5 ) = ∅.
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B53: Relazioni binarie in generale
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B53:b.03 Introduciamo la chiusura transitiva o c-cross chiusura della relazione R:
∪
R⊕ := R ∪ R2 ∪ R3 ∪ · · · = {n ∈ P :| Rn }
e la chiusura riflessivo-transitiva o c-star chiusura della relazione R:
∪
R⊗ := R0 ∪ R⊕ = {n ∈ N :| Rn } .
∪
Per un insieme N ⊆ N useremo la scrittura: RN := {i ∈ N :| Ri } e le sue specializzazioni per casi
particolari di N . Si introducono le seguenti scritture:
∀n ∈ P : R<n := R[n) = R0 ∪ · · · ∪ Rn−1 ;
R<0 := ∅ ;
∀n ∈ P : R≤n := R[n] = R<n+1 ;
∀n ∈ N : R≥n := Rn ∪ Rn+1 ∪ · · · ;
R>n := R≥n+1 .
Si trovano le seguenti uguaglianze:
(a) R⊕ = R ◦ R⊗ = R⊗ ◦ R ;
(b) ∀n ∈ N : R
>n
∀n ∈ N : R≥n = Rn ◦ R⊗ = R⊗ ◦ Rn ;
⊕
= R ◦ R = R⊕ ◦ Rn ;
n
∀n ∈ N : R<n ∪ R≥n = R≤n ∪ R>n = R⊗ .
B53:b.04 Introduciamo le seguenti altre operazioni che agiscono sopra ogni relazione R, ovvero trasformazioni che mandano una relazione in un’altra relazione, ovvero endofunzioni di Rel:
R ∪ R0 ;
chiusura riflessiva minima:
R ∪ AId ;
chiusura riflessiva sopra A:
chiusura simmetrica:
R∪R ;
chiusura riflessivo-simmetrica:
R ∪ R0 ∪ R ;
chiusura di equivalenza:
:= (R ∪ R )⊗ .
R
Si trova facilmente che (a) R
⊇ R⊗ ∪ (R )⊗ .
Consideriamo la relazione numerabile tra numeri interi R = {n ∈ Z :| ⟨n, n + 1⟩}, cioè la relazione
“essere l’intero immediatamente precedente”. Per essa si trova che R⊗ è la relazione ≤
entro Z,
che R è la relazione “essere l’intero immediatamente successivo”,
che (R )⊗ è
la relazione ≥ entro Z e che R
= ZId . La relazione (a) è quindi una uguaglianza.
Consideriamo la relazione R = {13, 23, 34, 35};
per essa si trova R⊗ = {11, 13, 14, 15, 22, 23, 24, 25, 33, 34, 35, 44, 55}, R = {31, 32, 43, 53}; (R )⊗ =
{11, 22, 31, 32, 33, 41, 41, 43, 44, 51, 52, 53, 55}, e R
= {1, 2, 3, 4, 5}Id . Per questa relazione la (a) è
una relazione di inclusione stretta: R⊗ ∪ (R )⊗ = {1, 2, 3, 4, 5}Id \ {12, 21, 45, 54} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}Id .
B53:c. Digrafi e relazioni binarie
B53:c.01 Con il termine strutture grafiche intendiamo varie specie di strutture discrete, accomunate dal
fatto di essere costituite da oggetti tendenzialmente semplici detti nodi o vertici e da collegamenti tra
questi nodi.
Vi sono due specie di strutture grafiche finite basilari che chiamiamo, risp., grafi non orientati e grafi
orientati o digrafi. Nei digrafi ogni collegamento, chiamato arco, va da un nodo ad un altro (che può
coincidere con il primo) e si distingue fra nodo iniziale e nodo finale; questo fatto si esprime dicendo
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B53: Relazioni binarie in generale
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che gli archi sono dotati di un’orientazione. Anche ciascuno dei collegamenti di un grafo non orientato,
chiamati lati o spigoli, riguardano due nodi o un solo nodo; nel primo caso ora non si distinguono il
nodo iniziale ed il finale. Questo si esprime dicendo che i lati di un grafo non orientato non possiedono
orientazione.
Tipicamente, mediante strutture grafiche, si possono schematizzare sistemi di collegamenti stradali
riguardanti determinate località. Se i collegamenti si possono percorrere in entrambi i sensi serve un
grafo non orientato; se si hanno molte strade a senso unico, si utilizza un digrafo.
B53:c.02 Si studiano anche varie strutture grafiche che costituiscono degli arricchimenti delle due
basilari; queste in parte riguardano problemi strettamente matematici ma più spesso sono motivate
da esigenze applicative. Studiando un sistema stradale può rendersi necessario caratterizzare i diversi
tratti con distanze o tempi medi di percorrenza; oppure caratterizzare le località con la capienza dei suoi
parcheggi. Per trattare queste situazioni si rende necessario arricchire i grafi della schematizzazione
aggiungendo valori ed etichette distintive ai nodi ed agli archi.
B53:c.03 Una relazione finita è una relazione R ⊆ A × B in cui A e B sono insiemi finiti.
⟨
⟩
Diciamo digrafo ogni coppia Q, R con Q insieme finito i cui elementi sono detti nodi del digrafo, ed
R ⊆ Q × Q cioè R è una relazione entro Q (e quindi una relazione finita) i cui elementi sono detti archi
del digrafo.
Lo studio dei digrafi quindi si confonde con quello delle relazioni finite.
Un digrafo che non sia costituito da un insieme eccessivo di nodi si può presentare efficacemente
attraverso la sua raffigurazione, rappresentazione visiva nella quale ad ogni nodo corrisponde un punto
di una porzione di piano e ogni arco ⟨a, b⟩ viene dato da un segmento che unisce a e b ed è dotato di
un segno di freccia indicante il fatto che a si trova prima di b nella precedente scrittura.
Mediante raffigurazioni di digrafi si possono quindi fornire esempi di relazioni finite. Ad esempio la
relazione < entro l’insieme {2, 3, 5, 7, 11} viene efficacemente rappresentata dal seguente digrafo:
I digrafi finiti si possono rappresentare anche mediante le loro cosiddette matrici delle adiacenze. Di un
digrafo D = ⟨Q, R⟩ la matrice delle adiacenze è la funzione indicatrice del sottoinsieme R dell’insieme
ambiente Q × Q e la si denota con Dadjm . Ad esempio le matrici delle adiacenze, risp., delle relazioni
< e ≥ entro {1, 2, 3, 4, 5}2 sono




0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
0 0 1 1 1
1 1 0 0 0




0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 .




0 0 0 0 1
1 1 1 1 0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
B53:c.04 Sono di grande interesse anche strutture grafiche costituite da insiemi numerabili di nodi e di
collegamenti; a questo proposito si parla di grafi numerabili e di digrafi numerabili; collettivamente grafi
finiti e grafi numerabili sono chiamati grafi contabili, digrafi finiti e digrafi numerabili sono chiamati
digrafi contabili. Per i grafi e i digrafi numerabili in genere si chiede che siano effettivamente costruibili.
Si dicono quindi grafi costruibili i grafi numerabili per i quali si chiede la disponibilità di un algoritmo in
grado di generare i nodi e di un algoritmo che dati due nodi sia in grado di decidere se sono collegati
da un lato o meno. Similmente si dicono digrafi costruibili i digrafi numerabili per i quali si chiede la
disponibilità di un algoritmo in grado di generare i nodi e di un algoritmo che data una coppia di nodi
sia in grado di decidere se costituisce un arco del digrafo o meno.
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B53: Relazioni binarie in generale
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MATeXp – Nozioni di base
Collettivamente chiamiamo grafi discreti i grafi finiti espliciti e i grafi costruibili, mentre chiamiamo
digrafi discreti i digrafi finiti espliciti e i digrafi costruibili,
Le strutture grafiche sono molto importanti per lo studio degli algoritmi, per la programmazione e per
varie questioni di teoria dei linguaggi. In seguito svilupperemo con una certa ampiezza varie nozioni
che riguardano questi settori. Qui introduciamo brevemente i digrafi al fine di essere in grado di
esemplificare efficacemente molti tipi di relazioni finite.
B53:d. Principali caratterizzazioni delle relazioni
B53:d.01 Introduciamo ora delle caratterizzazioni generali delle relazioni binarie, cioè caratterizzazioni
indipendenti dalla peculiarità della loro costruzione ed in particolare dal prodotto cartesiano che le
contiene.
Consideriamo una relazione R ⊆ A × B.
Ricordiamo (:a.04) che R si dice relazione presimmetrica sse (R⊢ = R⊣ ).
R si dice invece relazione riflessiva sse è una relazione presimmetrica e R0 = (R⊢ )Id ⊆ R , cioè
sse R ⊆ R2 .
Si dice invece che R è una relazione riflessiva su A sse AId ⊆ R . Tra le relazioni numeriche e
insiemistiche di uso comune sono riflessive le relazioni associate ai segni = , ≤ , ≥ , ⊆ e ⊇, mentre
sono antiriflessive quelle associate ai simboli > , < , ⊃ , ⊂ . Le relazioni discrete riflessive hanno
digrafi nei quali ogni nodo è dotato di cappio cioè di un arco che parte da un nodo ed arriva allo stesso
nodo. mentre le relazioni discrete antiriflessive hanno digrafi privi di cappi.
Id
La relazione R si dice relazione antiriflessiva sse R♢(R⊢ ∩ R⊣ ) . Si dice invece relazione antiriflessiva
su A sse AId ♢R .
Un digrafo corrisponde ad una relazione antiriflessiva discreta sse tutti i suoi nodi sono privi di cappi.
B53:d.02 Ricordiamo (:a.08) che la relazione R si dice relazione simmetrica sse R = R ; evidentemente
una tale R è presimmetrica. Inoltre una relazione R presimmetrica è simmetrica sse ∀a, b ∈ R⊢ (=
R⊣ ) : aRb =⇒ bRa.
Esempi di relazioni simmetriche sono l’uguaglianza e la disuguaglianza, associate, risp., ai segni = e
̸= e la relazione di coprimalità ⊥ fra interi positivi. Relazioni discrete simmetriche hanno digrafi in
cui per ogni arco u esiste il suo riflesso, cioè un arco in cui il nodo d’arrivo è quello di partenza di
u e viceversa il nodo di partenza è quello d’arrivo di u. Quindi, più semplicemente, un arco riflesso
di un determinato arco è un arco con gli stessi nodi ma con orientazione inversa. Si deduce cosı̀
che le relazioni discrete simmetriche si possono far corrispondere ai digrafi discreti con archi privi di
orientazione e cioè ai grafi discreti.
B53:d.03 R si dice relazione antisimmetrica sse ∀ a, b ∈ R⊢ ∩ R⊣ : aRb ∧ bRa =⇒ a = b , cioè
sse R ∩ R ⊆ (R⊢ )Id ∩ (R⊣ )Id = (R⊢ ∩ R⊣ )Id .
Le relazioni associate ai segni ≤ , ≥ , ⊆ e ⊇ sono esempi di relazioni antisimmetriche. Nel caso delle
relazioni finite l’antisimmetria implica che gli archi dei digrafi associati siano privi dei loro riflessi, in
quanto questo porterebbe a far coincidere i nodi collegati da tali archi.
In particolare si hanno le relazioni R antisimmetriche e antiriflessive per le quali R ∩ R = ∅.
B53:d.04 Ancora più particolari sono le relazioni R con R⊢ ♢R⊣ ; esse sono dette relazioni bipartite. Alle
relazioni discrete bipartite sono associati i digrafi bipartiti. Da un qualsiasi elenco di stringhe si ricava
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B53: Relazioni binarie in generale
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Alberto Marini
un grafo bipartito considerando come archi i collegamenti fra caratteri e stringhe nei quali un dato
carattere compare. La relazione che collega cognomi e nomi quando si applica a un gruppo ristretto di
persone di solito risulta bipartita; la presenza di personaggi come Giordano Bruno, Andrea Giordano
e Corrado Alvaro però rischia di far venir meno il carattere bipartito del relativo digrafo.
B53:d.05 La relazione R si dice relazione transitiva sse
∀a ∈ R⊢ , b ∈ (R⊢ ∩ R⊣ ), c ∈ R⊣ : aRb ∧ bRc =⇒ aRc .
Quindi R è transitiva sse R2 ⊆ R, cioè sse ∀n ∈ N : Rn ⊆ R, cioè sse R = R⊕ .
Sono transitive le relazioni associate ai segni = , ≥ , > , ≤ , < , ⊆ , ⊂ , ⊇ , ⊃ . I digrafi associati a
relazioni discrete transitive sono caratterizzati dal fatto che la presenza di due o più archi consecutivi
implica l’esistenza di un arco che collega il nodo di partenza del primo degli archi consecutivi e il nodo
d’arrivo dell’ultimo di questi archi.
Un esempio di relazione transitiva non presimmetrica e non riflessiva è quella che nell’insieme N dei
numeri naturali è rappresentata dal segno < ; la relazione ⊥ di coprimalità non è transitiva.
B53:d.06 Consideriamo ora tipi di relazioni che contengono nella loro definizione combinazioni delle
proprietà appena viste. Per fornire esempi di queste relazioni nel caso discreto è utile rivedere gli
esempi considerati per i tipi di relazioni già introdotti.
La relazione R si dice equivalenza sse è riflessiva, simmetrica e transitiva, cioè sse R0 = (R⊢ )Id =
(R⊣ )Id ⊆ R = R = R2 , cioè sse ∀n ∈ Z\{0} : R0 ⊆ R = Rn , cioè sse R = R
= (R )⊕ ∪R0 ∪R⊕ .
Le relazioni d’equivalenza sono relativamente semplici: infatti esse equivalgono alle partizioni
dell’insieme, denotiamolo con A, entro il quale sono definite. La loro importanza è anche dovuta al
fatto che ogni funzione f avente come dominio il suddetto insieme A induce su di esso una partizione
che costituisce una caratteristica importante della f .
B53:d.07 La relazione R si dice preordine sse è riflessiva e transitiva, cioè sse è presimmetrica
e R0 = (R⊢ )Id ⊆ R = R2 , cioè sse R⊢ = R⊣ e ∀n ∈ N : R0 ⊆ R = Rn , cioè sse R⊢ = R⊣
e R = R⊗ .
Osserviamo esplicitamente che ogni relazione R può ampliarsi a un preordine attraverso la sua starchiusura.
La relazione R si dice ordine parziale, o anche semplicemente ordine, sse è riflessiva, antisimmetrica
e transitiva , cioè sse è presimmetrica e R ∩ R = R0 ⊆ R = R2 , cioè sse R⊢ = R⊣
e ∀n ∈ N : R ∩ R ⊆ R0 ⊆ R = Rn , cioè sse R⊢ = R⊣ , R ∩ R = R0 e R = R⊗ .
Molti ordini discreti hanno grande rilevanza pratica e con essi i corrispondenti digrafi ordinati (v.
B55:). Possiamo anticipare che in generale le relazioni d’ordine si incontrano in moltissimi problemi
matematici dove hanno ruoli importanti; inoltre, come vedremo, la loro tipologia è estremamente ricca.
B53:d.08 La relazione R si dice relazione totale sse è presimmetrica e R ∪ R ⊇ R⊢ × R⊣ . Sono
relazioni totali l’uguaglianza e la disuguaglianza sopra un insieme qualsiasi, mentre entro un insieme
di numeri reali sono totali le relazioni associate ai segni < e >.
Una coppia ⟨a, b⟩ ∈ R⊢ × R⊣ si dice coppia confrontabile per la relazione R, o coppia R-confrontabile,
sse aRb o bRa (senza escludere che possano valere entrambi gli enunciati). Chiaramente una relazione
R è totale sse tutte le coppie di R⊢ × R⊣ sono R-confrontabili.
R si dice ordine totale sse è un ordine ed è totale.
Ad esempio le relazioni ≥ e ≤ , entro l’insieme R dei numeri reali (o entro IN , ZZ , Q
I o ogni altro
sottoinsieme di R) risultano essere ordini totali. Non sono invece ordini totali la relazione di divisibilità
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B53: Relazioni binarie in generale
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MATeXp – Nozioni di base
fra interi positivi e la relazione di inclusione in senso lato fra insiemi. Questi ordini si dicono relazioni
d’ordine strettamente parziale.
Tra le relazioni numeriche quelle caratterizzate dai segni < e > non sono ordini totali, in quanto sono
totali ma non sono riflessive.
Un altro esempio di ordine strettamente parziale è la relazione tra coppie di numeri reali definita da
⟨r, s⟩ ⊑ ⟨t, u⟩ sse r ≤ t ∧ s ≤ u. Infatti due coppie come ⟨3, 5⟩ e ⟨5, 1⟩ non sono confrontabili.
Una relazione R si dice esauriente sse è presimmetrica e si ha R ∪ R = Rv dash × R⊣ .
B53:d.09 Una relazione R si dice relazione tricotomica sse è presimmetrica e per ogni coppia di
elementi diversi ⟨a, b⟩ ∈ R⊢ × R⊢ aut aRb aut bRa. Quindi confrontando due elementi qualsiasi a e b
del suo dominio si possono dare tre possibilità mutuamente esclusive: a = b, aRb e bRa. Sono relazioni
tricotomiche le relazioni numeriche < e >. In generale la relazione trasposta di una tricotomica è
anch’essa tricotomica. Più precisamente una relazione R ⊂ A × A è tricotomica se {R, AId , R }
costituisce una tripartizione di A × A.
Più in generale interessano insiemi di relazioni mutuamente collegate R1 , R2 , ..., Rm ⊂ A × A con A
insieme non vuoto le quali costituiscono una partizione in m parti dell’ambiente A × A.
Il semplice caso m = 2 si riduce ai doppietti formati da una relazione e dalla sua opposta: ad esempio
in R2 doppietti di relazioni come {<, ≥} e {>, ≤}.
Situazioni più complesse si presentano per relazioni tra sottoinsiemi di un dato insieme A. Si hanno
partizioni come le seguenti
P(A) × P(A) ==A ∪˙ ⊂ ∪˙ ⊃
= ¬ ⊃ ∪˙ ⊆ ∪˙ ♢ ∪˙ ⊃⊂
= ¬ ⊂ ∪˙ ⊇ ∪˙ ♢ ∪˙ ⊃⊂ .
Queste partizioni di quadrati cartesiani possono essere utili per chiarire quali sono le possibili relazioni
che intercorrono tra due oggetti omogenei; una partizione del quadrato cartesiano di un insieme delle
parti in particolare può chiarire come si relazionano due insiemi di un dato ambiente.
B53:d.10 Consideriamo una relazione R ⊆ A × B e due insiemi C, D tali che C ⊆ A e D ⊆ B.
Si dice restrizione di R a C × D la relazione R|C×D := R ∩ (C × D).
Ad esempio di molte relazioni entro l’insieme R risultano utili le restrizioni ai sottoinsiemi Q, Z, N, R+ .
I sottodigrafi, cioè digrafi ottenuti da un certo digrafo eliminando alcuni nodi ed archi, forniscono
esempi spesso interessanti di restrizioni di relazioni finite.
Di particolare interesse sono le restrizioni simmetriche delle relazioni; se R è una relazione contenuta in
un quadrato cartesiano S × S, si chiama sua restrizione simmetrica ogni sua restrizione della forma a
R ∩ (C × C) con C ⊆ S.
Si considerano spesso le restrizioni simmetriche a sottoinsiemi di R come Q, Z, N, R+ . Osserviamo
che anche le restrizioni simmetriche di ≤ e ≥ a un qualsiasi sottoinsieme di R sono ancora ordini totali.
Più in generale ogni restrizione simmetrica di un ordine totale è un ordine totale.
B53:d.11 Denotiamo con RelSymA , RelAsymA , EqvA , OrdA , OrdTA , , risp., le classi delle relazioni
simmetriche, antisimmetriche, di equivalenza, d’ordine e d’ordine totale entro l’insieme A.
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B53: Relazioni binarie in generale
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B53:e. Strutture dotate di ordinamento
B53:e.01 Vi sono molte strutture matematiche rilevanti, in particolare strutture algebriche e topologiche, per le quali si possono definire relazioni binarie che presentano proprietà di compatibilità con
le operazioni strutturali. Per tali sistemi si possono definire costruzioni e procedimenti che rendono
possibile utilizzarli proficuamente per varie finalità spesso algoritmiche.
Le relazioni che si rivelano più interessanti sono le relazioni d’ordine. In effetti si possono definire
convenientemente varie specie di strutture ordinate che conviene studiare con una certa sistematicità.
B53:e.02 Le prime strutture ordinate che conviene considerare sono talune strutture algebriche e tra
queste le più basilari sono i semigruppi ordinati.
Si dice semigruppo ordinato una struttura della forma ⟨S, ·, ≼⟩ , ove ⟨S, ·⟩ è un semigruppo, ≼ una
relazione d’ordine entro S e valgono le leggi di compatibilità
∀a, b, c ∈ S
a ≼ b =⇒ a · c ≼ b · c .
Un esempio è il semigruppo commutativo ⟨P, +, ≤.
Strutture più specifiche sono i gruppi ordinati; un esempio è dato dal gruppo degli interi ⟨Z, +, 0, ≤⟩.
Questo è un gruppo commutativo e totalmente ordinato. Altri gruppi sono soltanto parzialmente
ordinati.
Strutture algebriche ordinate più ricche sono gli anelli ordinati.
Più particolari sono invece i campi ordinati. Particolarmente importante è il campo odinato dei numeri
reali.
B53:e.03 Grande rilievo hanno anche alcune strutture topologiche ordinate. Basilare è la topologia
sulla retta.
Molto interessanti sono poi gli spazi vettoriali ordinati.
Va notato che questi sistemi presentano sia una struttura algebrica che una struttura topologica e che
entrambe sono compatibili con la rispettiva relazione d’ordine.
Altre strutture ordinate particolarmente ricche sono talune specie di algebre su campo.
B53:f. Cenno alle relazioni ternarie e di arietà superiore
B53:f.01 Cominciamo con alcuni esempi.
In linea generale si osserva che tutte le funzioni multivariate si possono considerare relazioni di arietà
maggiore o uguale a 3.
Ogni funzione di un genere F ∈ {A × B −→ C} con A, B e C insiemi, individua l’insieme {⟨a, b⟩ ∈
dom(F ) :| ⟨a, b, F (a, b)⟩} , cioè un sottoinsieme di A × B × C e quindi una relazione ternaria. In
particolare le relazioni ternarie dalle funzioni bivariate del genere {R × R −→ R} non sono che le
superfici in R×3 che presentano una sola intersezione con le rette parallele al terzo asse di riferimento.
Più in generale ad ogni funzione del genere F ∈ {A1 × · · · × An−1 −→ An } corrisponde la relazione
n − 1-aria {⟨a1 , ..., an−1 ⟩ ∈ dom(F ) :| ⟨a1 , ..., an−1 , F (a1 , ..., an−1 )⟩} .
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B53: Relazioni binarie in generale
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MATeXp – Nozioni di base
B53:f.02 Nei fondamenti della geometria euclidea (v. G25:) si incontra la relazione di betweeness tra
i punti di una retta R. Una terna ⟨p, q, r⟩ di punti della R si trova in tale relazione sse q si trova nel
segmento pr.
Si ha anche una sorta di variante ciclica della relazione precedente. Per individuarla si considera una
circonferenza o una qualsiasi curva Γ chiusa piana non intrecciata e si fissa su di essa un verso di
percorrenza, ad esempio quello positivo; inoltre sulla curva si individuano n punti mutuamente diversi
e si dice S il loro insieme. Una relazione ternaria su S è costituita dalle terne ⟨p, q, r⟩ costituite da
punti diversi di S tali che per andare da p ad r percorrendo con continuità la Γ nel verso scelto si tocca
necessariamente q.
B53:f.03 Analogamente alla figure geometrice piane considerate in precedenza, ad ogni figura geometrica collocata in R×3 si associano insiemi di punti costituiti da terne di coordinate reali che si possono
considerare relazioni ternarie. Ad esempio si hanno le relazioni ternarie dei punti delle superfici degli
elissoidi e quelle dei punti interni di tali quadriche.
Più in generale per qualsiasi d ∈ {2, 3, 4, ...} ad ogni figura geometrica nello spazio R×d si possono
associare relazioni d-arie costituite da insiemi di d-uple di numeri reali ⟨x1 , x2 , ..., xd ⟩.
B53:f.04 Consideriamo un qualsiasi poliedro (v. G37:) ed i tre insiemi V costituito dai suoi vertici,
E formato dai suoi spigoli ed F insieme F dalle sue facce. Una interessante relazione ternaria entro
V ×E ×F è costituita dalle terne ⟨v, e, f ⟩ tali che il vertice v lo spigolo e e la faccia f siano mutuamente
incidenti.
Le varie componenti di questo testo sono accessibili in http://www.mi.imati.cnr.it/∼alberto
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B53: Relazioni binarie in generale
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