esercitazioni 2013 italiano

ESERCITAZIONI
POLITECNICO DI MILANO
CORSO DI CORPORATE & INVESTMENT BANKING (C.I.) – PROF. GIUDICI
(a cura di ing. Matteo Bonaventura)
Aggiornamento: 24 giugno 2013
1. AUMENTI DI CAPITALE E WARRANT
ESERCIZIO 1.1
L’impresa Argenta è quotata in Borsa e intende finanziare attraverso capitale di rischio nuovi
progetti di sviluppo, che secondo gli amministratori creeranno valore. A tal fine annuncia un’offerta
pubblica di azioni, in cui si dà la possibilità al pubblico di sottoscrivere 3.000.000 di azioni al
prezzo di 10 €. Attualmente il capitale sociale della Argenta è composto da 12.250.000 azioni che
sul mercato prima dell’annuncio quotano 12 €. Al momento dell’annuncio, però, il mercato reagisce
negativamente sospettando che le azioni siano sopravvalutate, e il titolo scende a 11 €.
Determinare:
1) la raccolta di capitale attesa per la società;
2) il prezzo teorico dei titoli azionari dopo l’offerta pubblica;
3) l’entità dell’eventuale trasferimento di ricchezza fra ‘vecchi’ e ‘nuovi’ azionisti;
4) la percentuale che deterrà dopo l’operazione il fondo Tangherin, che non intende partecipare
all’offerta pubblica, e che oggi detiene il 3% della società.
Assumendo che gli amministratori della società, che agiscono nell’interesse degli azionisti esistenti
prima dell’offerta pubblica, abbiano informazioni ‘privilegiate’ rispetto al mercato (conoscendo che
in realtà il ‘vero’ valore dei titoli oggi in circolazione è pari a 9 €), si determini quale è il valore
attuale netto minimo dei nuovi progetti di investimento da finanziare, che giustificherebbe l’offerta
pubblica.
ESERCIZIO 1.2
La Banca Popolare di Pioltello sta affrontando un momento difficile, e deve raccogliere nuovo
capitale. Viene annunciata un’operazione in cui agli azionisti esistenti (che possiedono in totale 62
milioni di titoli, che sul mercato fino a ieri quotavano 3 €) viene data la possibilità di sottoscrivere
7 azioni ogni 30 possedute, al prezzo unitario di sottoscrizione di 2,5 €. Il mercato reagisce
negativamente all’annuncio, e il titolo perde il 5% del valore di colpo.
1) Determinare la raccolta di capitale prevista nell’operazione.
2) Determinare il prezzo ex teorico delle azioni e il valore teorico del diritto di sottoscrizione.
3) Determinare cosa potrebbe fare un piccolo azionista, che detiene oggi 10.000 azioni, per arrivare
dopo l’operazione a detenere non più di 12.000 azioni, e calcolare l’investimento necessario.
4) Se il valore del diritto di sottoscrizione durante l’operazione valesse sul mercato 0,1 €, quale
dovrebbe essere il valore di equilibrio dell’azione ex sul mercato nello stesso istante?
5) Se a parità di condizioni di sottoscrizione e reazione di prezzo all’annuncio, la società offrisse
l’opportunità a chi manterrà in portafoglio i 7 titoli di nuova sottoscrizione per almeno 6 mesi la
possibilità di ottenere in omaggio una azione di nuova sottoscrizione emessa appositamente,
dovremmo aspettarci valori teorici del diritto e del prezzo ex più alti o più bassi?
ESERCIZIO 1.3
La società Friburghi vuole acquistare la società Nautiche Lariane (NL), attualmente controllata dal
fondo di private equity Gnoccofritto Partners e annuncia a tal fine un aumento di capitale.
Agli azionisti esistenti (che detengono 58 milioni di titoli) viene offerta la possibilità di
sottoscrivere 5 nuove azioni ogni 29 possedute, al prezzo di sottoscrizione unitario di 7 €. Il titolo
sul mercato quota, prima dell’annuncio, 10 €.
Parte integrante dell’operazione annunciata è il contemporaneo collocamento di ulteriori 3 milioni
di nuove azioni Friburghi, che saranno sottoscritte esclusivamente dai managers della NL, per
incentivarne la performance. Il prezzo di sottoscrizione per loro è pari a 9 €. Determinare:
- l’ammontare della raccolta di capitale associata all’operazione;
- l’entità di eventuali trasferimenti di ricchezza attesi;
- la reazione prevedibile del mercato all’annuncio, rispetto al prezzo dell’azione Friburghi;
- il prezzo atteso delle azioni Friburghi dopo l’operazione;
- il valore teorico del diritto di sottoscrizione;
- la quota del capitale Friburghi che sarà detenuta dopo l’operazione dai managers NL.
Supponiamo che ai managers, in sostituzione dell’offerta di nuove azioni al prezzo di 9 €, vengano
regalati 6 milioni di warrant (non cedibili sul mercato), che permettono, entro 1 anno, di
sottoscrivere nuove azioni della Friburghi al prezzo di 9 €, in ragione di una nuova azione ogni due
warrant posseduti. Dovremmo aspettarci valori del trasferimento di ricchezza più alti o più bassi?
ESERCIZIO 1.4
La Banca della Capitanata ha investito pesantemente negli scorsi mesi in titoli di stato della Grecia,
e quindi per rispettare i parametri imposti dalla normativa ha urgente necessità di raccogliere nuovo
capitale.
Il capitale sociale è oggi composto da 1,5 miliardi di titoli, che sul mercato valgono prima
dell’annuncio 2,8 €.
In un comunicato stampa, viene annunciato l’aumento di capitale, che prevede l’opzione per gli
azionisti esistenti di sottoscrivere 20 nuove azioni ogni 55 possedute, al prezzo unitario di 2 €.
Il mercato reagisce negativamente, è il titolo perde subito il 7%.
1) Calcolare l’importo della raccolta di capitale prevista.
2) Calcolare il prezzo ex teorico delle azioni.
3) Calcolare il valore teorico del diritto di sottoscrizione.
Nelle settimane successive, durante l’aumento di capitale, in realtà il prezzo ex delle azioni vale
2,15 €. Quanto dovrebbe valere nello stesso istante il diritto di sottoscrizione, in equilibrio?
Poi, chiuso l’aumento di capitale, un piccolo risparmiatore che ha comprato le azioni prima
dell’annuncio a 2,8 € e ha aderito all’aumento di capitale si trova con le azioni che valgono ora 2,03
€. Calcoliamo il rendimento del suo poco fortunato investimento.
ESERCIZIO 1.5
La società Briscola intende finanziare i suoi progetti futuri di investimento con un aumento di
capitale a pagamento. Oggi la società ha un capitale composto da 44 milioni di azioni, che sul
mercato valgono 5 €. Agli azionisti esistenti verrà offerta l’opportunità di sottoscrivere 3 nuove
azioni ogni 11 possedute, ad un prezzo di 4 €. Sapendo che sul mercato il tasso di interesse garantito
dagli investimenti privi di rischio è pari al 2% annuale e che la volatilità annuale del rendimento
delle azioni è pari al 18%, determinare:
1) la raccolta di capitale prevista nell’operazione;
2) il prezzo ex teorico dei titoli;
3) il valore teorico del diritto di sottoscrizione;
4) quanto dovrebbe investire nell’operazione, al netto di eventuali introiti, un azionista che oggi
detiene il 10% dei titoli e che sottoscriverà solo la metà dei diritti di sua spettanza;
5) quale valore dovrebbe avere il diritto di sottoscrizione sul mercato se l’azione ex quotasse
durante l’operazione 4,5 €;
6) come si modificano le risposte date ai punti precedenti 1. 2. e 3. se oltre alle 3 nuove azioni ogni
11 possedute vengono offerti in regalo 3 warrant; con 30 warrant è possibile sottoscrivere 1
ulteriore azione al prezzo sempre di 4 € entro i due anni successivi. Determinare anche il valore
teorico del warrant.
ESERCIZIO 1.6
La banca d’affari Morgan Sachs sta supportando la catena di gelaterie Gnam in una operazione di
raccolta di capitale di rischio, necessaria per la crescita del business. Attualmente sul mercato le
azioni Gnam valgono 6 €. Il fondatore possiede 6 milioni di azioni, pari al 60% del capitale totale.
Le alternative in discussione sono due:
a) un’offerta pubblica, in cui vengono offerte al pubblico 2 milioni di azioni, al prezzo di
sottoscrizione unitario di 5,2 €
b) un aumento di capitale in opzione ai soci esistenti, i quali possono sottoscrivere 1 azione ogni 5
possedute al prezzo di sottoscrizione unitario di 5,2 €
Discutere le differenze fra le due operazioni, calcolando:
1) la raccolta di capitale prevista
2) la quota del capitale che il fondatore deterrà dopo l’operazione (ipotizzando che nel caso b)
sottoscriva il 90% dei diritti posseduti)
3) il prezzo teorico delle azioni dopo le operazioni e (eventualmente) il valore del diritto di
sottoscrizione, ipotizzando conservazione della ricchezza
4) eventuali trasferimenti di ricchezza fra diverse categorie di azionisti, distinguendo fra: socio
fondatore, soci preesistenti di minoranza, nuovi soci
Come varia la risposta data al punto 4) se il ‘vero’ valore delle azioni Gnam (noto solo al fondatore)
è pari oggi a 5,5 €?
ESERCIZIO 1.7
La società Porcini&Chiodini è quotata in Borsa. Le azioni che compongono il capitale sono 20
milioni e valgono sul mercato 2,85 € cadauna. Il Fondo Pensione del Guatemala possiede il 2%
delle azioni.
Per finanziare un importante progetto di ricerca, la società intende effettuare un aumento di capitale,
in cui gli azionisti hanno la possibilità di sottoscrivere 7 nuove azioni ogni 30 possedute, al prezzo
di sottoscrizione unitario di 2,25 €.
La notizia viene accolta positivamente dagli analisti e dal mercato, e al momento dell’annuncio il
prezzo di borsa delle azioni sale a 3 €.
Determinare:
1) la raccolta di capitale prevista nell’operazione;
2) i valori teorici del prezzo ex delle azioni e del diritto di sottoscrizione;
3) la quota che dovrebbe detenere dopo l’aumento di capitale il Fondo Pensione, che non
sottoscriverà alcuna azione (vendendo i diritti sul mercato)
4) quanti diritti dovrebbe acquistare sul mercato un investitore, che oggi non detiene azioni, per
possedere dopo l’operazione l’1% del capitale azionario (si calcoli anche l’investimento necessario)
Arrivati al momento dell’aumento di capitale, si nota che le azioni ex quotano sul mercato 3,27 € e i
diritti valgono 0,238 € ciascuno. Il mercato è in equilibrio? Cosa conviene fare?
ESERCIZIO 1.8
La società “Affamata” operante nel settore del food ha intenzione di acquistare un suo competitor e
ha deciso di effettuare un aumento di capitale a pagamento. In particolare per ogni 10 azioni
possedute vengono offerte 2 nuove azioni al prezzo unitario di sottoscrizione di 3 € e 1 warrant in
omaggio. Con 7 warrant si avrà il diritto di acquistare tra 5 anni una nuova azione ad un prezzo di
3,5 €. Attualmente il capitale sociale di “Affamata” è composto da 15 milioni di azioni che sul
mercato valgono 3,2 € l’una (con una volatilità annua del rendimento pari al 15%). Si ipotizzi che
“Affamata” reinvesta completamente i suoi utili e che il tasso di interesse annuale risk free sia pari
all’1%. Calcolare il valore del warrant, il prezzo ex teorico e il valore dei diritti, la raccolta di
capitale a t=0 e la raccolta di capitale attesa a t=5. Si ipotizzi che durante l’aumento di capitale il
prezzo ex delle azioni sia pari a 3,25 €, mentre il valore del diritto e del warrant rimangono quelli
determinati precedentemente. Cosa converrebbe fare ad un investitore attento?
ESERCIZIO 1.9
La Vadoforte S.p.A., le cui azioni sul mercato valgono 98 centesimi di euro, ha deciso di effettuare
un aumento di capitale a pagamento col metodo dei diritti, offrendo una nuova azione a 1 € per ogni
azione posseduta dai soci. Ad ogni nuova azione viene anche associato un warrant; il possesso di
due warrant dà diritto agli azionisti di acquistare un’ulteriore azione a 1 € entro i due anni
successivi.
1. Sapendo che la Vadoforte non ha intenzione di distribuire dividendi nel prossimo biennio, si
calcoli il valore del warrant, considerando un tasso di interesse risk free annuo composto nel
continuo pari al 9% e una volatilità del valore delle azioni pari al 20%.
2. Si calcoli inoltre il valore del diritto associato all’aumento di capitale.
SOLUZIONI
ESERCIZIO 1.1
L’impresa Argenta decide di finanziare la raccolta di capitale tramite un’offerta pubblica di titoli
azionari sul mercato. Dal testo vengono forniti i seguenti dati:
azioni di nuova emissione = ṅ = 3.000.000
prezzo di sottoscrizione = ṗ = 10 €/azione
capitale azionario al momento dell’offerta = 12.250.000 azioni
prezzo di mercato dei titoli al momento dell’offerta = 12 €/azione
Inoltre si sa che l’offerta genera una reazione negativa sul mercato, e il prezzo del titolo scende a 11
€/azione (p1). Questo sarà quindi il valore da considerare d’ora in poi.
1) Per calcolare l’entità della raccolta di capitale attesa basterà moltiplicare il numero di azioni di
nuova emissione per il prezzo cui esse vengono offerte agli investitori, pertanto:
∆
= .
∗
=3
.
.∗ 10€/
. = 30
€
2) Trattandosi di una offerta pubblica non vi è alcun diritto di sottoscrizione per gli azionisti
esistenti. I titoli, invece, saranno offerti sul mercato al pubblico indistinto dei risparmiatori.
Ovviamente tale operazione comporterà una diluizione nella quota di capitale azionario detenuta
dai soci esistenti.
Per calcolare il prezzo teorico dei titoli azionari (p′) si ragiona sotto l’ipotesi di conservazione
della ricchezza. In particolare, il valore del capitale azionario dopo l’offerta pubblica dovrà
essere uguale alla somma del valore del capitale azionario detenuto dai soci e del valore della
raccolta di capitale. Da ricordare che al momento dell’annuncio dell’operazione le azioni sul
mercato hanno perso valore, pertanto dovremo considerare come prezzo delle azioni 11 € e non
12 €. Pertanto deve valere che:
+
∗
=
∗
+ṅ∗ṗ
15.250.000 ∗
= 12.250.000
.∗ 11
€
+ 3.000.000
.∗ 10
€
Da cui si ottiene il prezzo ‘teorico’ del titolo dopo l’operazione:
= 10,803 €/
3) Per calcolare il trasferimento di ricchezza dai vecchi ai nuovi azionisti si considera la ricchezza
detenuta dai vecchi azionisti prima e dopo l’offerta pubblica. Ovviamente, dovrà risultare che la
ricchezza persa dai vecchi azionisti deve essere pari a quella trasferita a quelli nuovi, valendo
l’ipotesi di conservazione della ricchezza. Quindi:
RICCHEZZA
VECCHI
AZIONISTI
NUOVI
AZIONISTI
PRIMA
DOPO L’OFFERTA
TRASFERIMENTO
n*p1 = 134,75 M €
n*p′ = 132,337 M €
n*(p’ ′– p1) = - 2,413 M€
ṅ*ṗ = 30 M€
ṅ*′p’ = 32,413 M €
ṅ*(p′ - ṗ) = + 2.413 M€
DELL’OFFERTA
4) Tangherin possiede il 3% del capitale azionario pre-offerta (t), pertanto nella situazione iniziale
deteneva:
= 3%
= 0.03 ∗ 12.250.000
. = 367.500
.
Siccome non parteciperà all’offerta pubblica manterrà lo stesso numero di azioni anche dopo
l’offerta, pertanto possiamo calcolare la frazione di quota detenuta dopo l’operazione (t′)
semplicemente dividendo il numero di azioni possedute per il numero totale di nuove azioni:
=
∗
367.500 .
=
= 2,409 %
′
15.250.000 .
L’ultimo punto dell’esercizio, infine, richiede di considerare il caso in cui esistano delle asimmetrie
informative tra managers dell’impresa e investitori sul mercato. In particolare i managers
conoscono il valore ‘reale’ delle azioni, che è diverso dal prezzo delle azioni sul mercato ed è 9
€/azione (preale).
Il modello di Myers e Majluf, in questo caso, può essere utile per la risoluzione del problema
(entrambe le ipotesi alla base del modello risultano soddisfatte).
Secondo tale modello, affinché ai managers – che agiscono nell’interesse dei ‘vecchi’ azionisti –
convenga raccogliere capitale sul mercato azionario deve valere la seguente relazione:
+, < ɣ
+,+/+0
dove (a + S) rappresenta il valore ‘vero’ delle attività nette (investite e liquide), b il valore attuale
netto (NPV) del progetto da implementare tramite emissione azionaria, E la liquidità raccolta e ɣ la
frazione di titoli detenuta dagli azionisti esistenti.
ɣ può essere calcolata dai dati precedenti, e in particolare:
ɣ=
′
=
12.250.000
15.250.000
.
= 80,32 %
.
Il valore ‘vero’ delle attività nette detenute dagli azionisti può essere calcolato semplicemente
moltiplicando il numero di azioni esistenti per il valore reale dei titoli:
+, =
12342
∗
=9
€
∗ 12.250.000
= 110.250.000 €
Pertanto i managers saranno inclini a effettuare l’offerta pubblica se:
110.25
€ < 0.803279 ∗ 110.25 + / + 30
/ > −3.00
€
Come previsto dal modello, i managers vorranno lanciare l’offerta pubblica per avviare dei progetti
che potrebbero anche distruggere valore per la società avendo NPV negativo, che però consentono
allo stesso momento di collocare dei titoli sopravvalutati sul mercato. Ciò avvantaggia gli azionisti
esistenti prima dell’offerta.
ESERCIZIO 1.2
In questo caso la raccolta di liquidità è sostenuta tramite un aumento di capitale con diritto di
opzione ai soci esistenti. L’obiettivo sarà dunque quello di dare agli azionisti esistenti la possibilità
di mantenere inalterata la loro quota nella società. Dal testo si ricavano i seguenti dati:
numero di azioni esistenti = n = 62.000.000
prezzo di mercato delle azioni = p = 3€
rapporto di sottoscrizione = α = 7/30 = 0,233
prezzo di sottoscrizione = ṗ = 2,5 €/azione
Si sa anche che il mercato reagisce negativamente all’annuncio, così il titolo perde il 5% del valore.
Il prezzo del titolo dopo l’annuncio sarà:
p1 = 0,95*p = 0,95*3 = 2,85 €/azione
1) Per calcolare la raccolta di capitale prevista bisogna calcolare quante saranno le azioni di nuova
emissione e moltiplicarle per il prezzo di sottoscrizione. Pertanto:
ṅ= 7∗
∗ ṗ = 0,233 ∗ 62
∗ 2.5
€
= 36,166
€
2) Per calcolare il prezzo teorico delle azioni si ragiona in ipotesi di stazionarietà, e cioè
conservazione della ricchezza dal momento dell’annuncio in poi. Si ipotizza dunque che
l’azionista che sottoscrive l’aumento di capitale, quello che non lo sottoscrive e chi compra il
diritto sul mercato manterranno inalterata la ricchezza prima e dopo l’operazione.
Questo si può dimostrare nel seguente modo:
a) Azionista che sottoscrive il diritto all’aumento di capitale:
Supponiamo che un azionista prima dell’operazione possedesse 30 azioni (valore = 30*p =
30az. * 2,85 €/az. = 85,5 €)
Per ogni 30 azioni possedute ne può sottoscrivere 7 nuove al prezzo ṗ = 2,50 €/az. Se decide di
aderire allora spenderà 7ṗ = 7az. * 2,50 €/az. = 17,50 €.
Il valore delle azioni una volta completata l’operazione dovrà essere pari alla somma
dell’ammontare investito (17,50 €) e della ricchezza prima detenuta (85,5 €). Quindi:
∗
=
∗
+ ṅ ∗ ṗ = 85,5 € + 17,5 € = 103 €
Risulterà dunque (con n=30, ṅ = 7 e n’ = n + ṅ) il valore del prezzo ‘teorico’ del titolo:
=
∗
+ ṅ∗ṗ
103 €
=
′
30 + 7
= 2,7838 €/
b) Azionista che non aderisce all’aumento di capitale:
In questo caso l’azionista, dopo l’operazione, dovrà mantenere inalterata la sua ricchezza, data dalla
somma del valore delle azioni in suo possesso (che varranno p’) e dalla somma incassata vendendo
il diritto. Ogni azione avrà dunque un diritto ad essa associata.
Da quanto detto deve valere la seguente relazione:
8=
−
=
+8
= 2,85 − 2,7838 = 0,0662 €/8
c) Infine, per completezza, si può verificare la validità della relazione nel mercato dei diritti.
Infatti, un investitore può comprare 30 diritti (pagando 30d), e con essi potrà sottoscrivere 7 azioni
sborsando la somma 7ṗ.
L’addizione di queste due quantità dovrà essere uguale al valore delle azioni detenute dopo
l’operazione:
30 ∗ 8 + 7 ∗ ṗ = 7 ∗ ′
Per l’appunto si può verificare che:
30 ∗ 0,0662 + 7 ∗ 2,5 = 7 ∗ 2,7838 = 19,487 €
3) L’azionista detiene 10.000 azioni. Questo, evidentemente, gli da il possesso di 10.000 diritti.
Sappiamo che però non vorrà sottoscrivere tutto l’aumento di capitale di suo diritto, ma solo la
quota-parte che gli consente di avere 2.000 azioni in più.
Allora si calcola quanti diritti (in totale D) si devono utilizzare per sottoscrivere 2.000 azioni.
Per fare questo basterà dividere il numero di azioni (2.000) per il rapporto di sottoscrizione α. Ci
servono dunque:
.
9=
7
=
2.000
= 8.5718
0,233
L’esborso totale K da sostenere sarà:
= ṗ ∗ 9 ∗ 7 = 2.5€/
.∗ 8.571 ∗ 7/30
. = 5.000 €
Questo in parte potrà essere finanziato con la vendita dei diritti in eccesso (Dres), che non servono
per sottoscrivere le nuove azioni.
Infatti l’azionista avrà:
912: = 10.000 − 9 ∗ 8 = 10.000 − 8.571 ∗ 0.0662€ = 94,62 €
L’investitore dovrà dunque investire 5.000 – 93,7 € = 4.905,4 €
Un’altra opzione (fra le diverse, tutte equivalenti in equilibrio sul mercato) a disposizione
dell’azionista sarebbe stata vendere tutti i diritti in suo possesso e poi comprare le azioni al prezzo
ex. Si può verificare che l’esborso sarebbe stato identico:
;
,
< =
8
> =< =
8
8
8 >>
8 >>
= +0.0662
>
− ;
8
8
€
∗ 10.000 8
= + 662 €
? = −2,7838 ∗ 2000 = −5.567,7 €
8
8
= 5.567,7 − 662 = 4.905,4 €
4) Per calcolare il prezzo ex dell’azione nel caso di una variazione nel prezzo dei diritti bisogna
vedere la situazione nel mercato dei diritti.
In particolare deve valere la relazione individuata prima (con d=0,1 €), quindi:
30 8 + 7 ṗ = 7 ′
=
30 8 + 7 ṗ
= 2,9285 €/
7
Sarebbe del tutto sbagliato stimare il prezzo p′ come differenza rispetto al valore del diritto, poiché
non siamo nell’equilibrio descritto dai valori teorici precedenti, ma in un nuovo equilibrio con
prezzi diversi.
5)
Sotto queste nuove ipotesi ci potremo aspettare un valore del diritto sicuramente più alto,
infatti esso incorporerà la possibilità di ottenere la “bonus share” senza alcun esborso dopo 6 mesi.
Per quanto riguarda il prezzo ex possiamo invece aspettarci un valore teorico inferiore, poiché
questa nuova azione “regalata” ai sottoscrittori fedeli comporterà una nuova futuribile diluizione del
capitale azionario. Il prezzo ex dovrà dunque incorporare questa informazione.
ESERCIZIO 1.3
Il caso presentato è un aumento di capitale con diritto di opzione. Vengono forniti i seguenti dati:
α = rapporto di sottoscrizione = 5/29 = 0,1724
ṗ = prezzo di sottoscrizione = 7 €/azione
p = prezzo di mercato = 10 €/azione
n = numero di azioni esistenti = 58 M
ṅmanagers = numero di azioni di nuova emissione riservate ai managers = 3 M
ṗmanagers = prezzo di collocamento per i managers = 9 €/az.
1) La raccolta di capitale ∆K (in caso di successo dell’operazione) sarà pari alla quantità di azioni di
nuova emissione per il loro prezzo di collocamento:
∆
= 7∗
∗ ṗ + ṗ@3A3B21: ∗ ṅ@3A3B21: = 5/29 ∗ 58
.∗ 7
€
+9
€
.∗ 3
. = 97
€
2) Per calcolare i trasferimenti di ricchezza (∆V) attesi dovremmo considerare la ricchezza
presente prima e dopo l’operazione per ogni soggetto.
Innanzitutto si calcola il prezzo ex ‘teorico’ in ipotesi di conservazione della ricchezza:
∗
=
∗
+ ṅ ∗ ṗ + ṅ@3A3B21: ∗ ṗ@3A3B21:
con:
=
+ ṅ + ṅ@3A3B21:
da cui:
=
10
€
∗ 58
. +0,1724 ∗ 7
€
.∗ 58
58 + 0,1724 ∗ 58 + 3
. +9
.
€
.∗ 3
.
.
= 9,535
€
.
Con il calcolo del prezzo ex teorico si risponde dunque anche al punto 4).
In particolare si può notare che la perdita di ricchezza per i soci esistenti è:
∆;3CDEAD:FD 2:D:2AFD G =
∗
= 58
€
∗ 9,535
+ ṅ∗ṗ−
.∗ 10
€
+ ṅ ∗
. +0,1724 ∗ 7
= 1,605
€
€
.∗ 58
. − 58 + 0,1724 ∗ 58
.
3) Al momento dell’annuncio il mercato sconterà la perdita di valore e il trasferimento di ricchezza
da parte degli azionisti nei confronti dei managers, pertanto il titolo perderà valore in pari
misura al trasferimento di ricchezza:
=
0 − ∆;
=
580
€ − 1,605
58
.
€
= 9,972
€
.
4) Si veda sopra
5) Per il valore teorico del diritto di sottoscrizione, si può studiare la relazione:
8=
−
= 9,972 − 9,535
€
6) Alla fine dell’operazione in circolazione ci saranno:
. = 0,437 €/8
=
+ ṅ + ṅ@3A3B21: = 71
.
I managers ne detengono 3 M, quindi la loro percentuale è:
%
H
=
3
= 4,22%
71
Per rispondere all’ultima domanda si inizia a considerare che cosa comporta il warrant.
Nel testo si dice che, al posto dell’emissione azionaria, vengono regalati 6 M warrant (non cedibili
sul mercato) che permettono di sottoscrivere nuove azioni al prezzo unitario di 9 € esercitando 2
warrant con 1 azione (a scadenza 1 anno).
Se si ipotizza che tutti i warrant vengano esercitati a scadenza, si avrà una raccolta di capitale
uguale a quella precedente e pari a 27 M € (6 M warrant * 0.5 az./warrant * 9 €/az.).
Tuttavia l’effetto di diluizione non avverrà subito, ma a scadenza un anno, quindi il valore attuale
dell’effetto di diluizione sarà sicuramente minore. In pratica, i managers potranno aderire
all’aumento di capitale investendo oggi una quantità di denaro più bassa (che, investita al tasso
privo di rischio, fra un anno permetterà di sottoscrivere le nuove azioni).
Questo vuol dire che il trasferimento di ricchezza sarà maggiore (oltretutto considerando che il
warrant sarà esercitato solo quando ai managers conviene).
ESERCIZIO 1.4
Dal testo vengono forniti i seguenti dati:
n =numero di azioni esistenti = 1,5 mld azioni
p = prezzo prima dell’annuncio = 2,8 €/azione
α = rapporto di sottoscrizione = 20/55
ṗ = prezzo di sottoscrizione delle nuove azioni = 2 €/azione
Inoltre si sa che il mercato reagisce negativamente all’annuncio, e le azioni perdono il 7% del
proprio valore, quindi il prezzo ‘cum’ sarà pari a:
p1 = 0,93*p = 0,93*2,8 €/azione = 2,604 €/azione
1) La raccolta di capitale ∆K è pari a:
∆
= 7∗
∗ṗ =
20
∗ 1,5
55
>8
.∗ 2
€
. = 1,091
>8 €
2) Per il calcolo del prezzo ex si procede sotto l’ipotesi di conservazione della ricchezza:
∗
=
∗
+ ṅ∗ṗ
Pertanto:
=
1,5
>8
.∗ 2,604
€
. +1,091
20
I1,5 +
∗ 1,5J >8
55
>8 €
.
= 2,443 €/
3) Il valore teorico del diritto può essere calcolato come:
8=
−
= 2,604 − 2,443
€
. = 0,161 €/8
4) Per calcolare il valore del diritto con un prezzo ex diverso da quello teorico bisogna considerare
la situazione nel mercato dei diritti.
Si può verificare che:
558 + 20ṗ = 20 ′
da cui:
8=
20 ∗ 2,15
€
. −20 ∗ 2
55
€
.
= 0,054 €/8
5) Per verificare quanto è stato il rendimento dell’azionista andiamo a confrontare il valore del suo
portafoglio nei due istanti temporali:
PRIMA : V0 = 55*p + 20ṗ = 55*2,8 €/az. + 20*2 €/az. = 194 €
DOPO: V1 = 75*p’ = 75*2,03 €/az. = 152,25 €/az.
da cui il rendimento è:
=
; − ;K 152,25
=
− 1 = −21,52 %
;K
194
ESERCIZIO 1.5
Dal testo sono disponibili i seguenti dati:
n = numero di azioni esistenti = 44 M
p = prezzo di mercato delle azioni = 5 €/azione
α = rapporto di sottoscrizione = 3/11
ṗ = prezzo di sottoscrizione = 4 €/azione
1) Per calcolare la raccolta di capitale attesa si moltiplicano il numero di azioni di nuova emissione
per il loro prezzo di sottoscrizione:
∆
= 7∗
∗ṗ =
3
∗ 44
11
.∗ 4
€
. = 48
€
2) Il prezzo ex teorico si trova sotto le condizioni di conservazione della ricchezza:
∗
=
44
.∗ 5
= ṅ∗ṗ+
€
. +48
3
I44 + 11 ∗ 44J
∗
.
€
= 4,786
€
3) Il valore teorico dei diritti si trova sottraendo al prezzo cum il prezzo ex:
8=
−
= 5 − 4,786
€
= 0,214
€
4) Il valore teorico del diritto con un prezzo ex diverso da quello precedente si può trovare
verificando l’equilibrio nel mercato dei diritti:
8=
3 ∗ 4,5 − 4
11
€
= 0,1363 €/8
5) Un azionista che possiede il 10% del capitale oggi possiede 4,4 M azioni, quindi gli spetteranno
altrettanti diritti.
Sappiamo che però eserciterà solamente la metà dei diritti di sua proprietà, quindi 2,2 M diritti.
Essendo il rapporto di sottoscrizione pari a 5/11, potrà sottoscrivere N azioni:
L = 2,2
8
∗
3
= 0,6
11
Spendendo 4 €/az., l’investimento complessivo risulterà 2,4 M €.
Parte di tale spesa può essere finanziata con la vendita dei diritti. In questo caso, potrà vendere 2,2
M diritti al prezzo di 0,214 € ciascuno, incassando complessivamente 470.800 €. Dalla differenza
tra la spesa e l’incasso previsto si ottiene che dovrà investire di tasca sua 1,929 M €.
6) Ora oltre alle azioni vengono regalati 3 warrant. Per valutare un warrant con un aumento di
capitale bisogna collocarsi nell’ipotesi di full-diluition: si ipotizza che a scadenza tutti i warrant
vengano esercitati e che quindi ci sia l’effetto di piena diluizione.
Ipotizziamo dunque che un investitore possieda 110 azioni della società.
Questo gli darà la possibilità di sottoscrivere 30 azioni di nuova emissione al prezzo ṗ. Una volta
conclusa l’operazione si troverà dunque in mano 140 azioni che valgono p’ e 30 warrant (che
valgono w). Il bilancio è espresso dalla seguente relazione:
110 ∗
+ 30 ∗ ṗ = 140 ∗
+ 30 ∗ M
Ora si ipotizza che i warrant vengano completamente esercitati a scadenza.
Questi consentiranno di sottoscrivere una azione tra 2 anni al prezzo di 4€, il cui valore attuale è
4/(1.02)2.
L’investitore si troverà dunque oggi in mano 110 azioni al prezzo di mercato, 30 azioni a prezzo ṗ e
il valore attuale di ṗ. A scadenza, evidentemente, avrà 141 azioni al prezzo “fully-diluted”, che
chiamiamo pfd.
Il bilancio è espresso dalla seguente relazione:
110 ∗
+ 30 ∗ ṗ +
ṗ
N1 +
OP
Q
= 141
OR
Si ottiene che pfd è pari a :
OR
=
110 ∗ 3
€
+ 30 ∗ 4
141
€
+
4
1.02Q = 4,779 €/
A questo punto è possibile valutare il warrant come un’opzione tramite le tabelle di Black &
Scholes. I parametri necessari sono:
T = 2 anni
σ = 18%
S0 = pfd = 4,779 €/az.
X = 4 €/az.
Dalle tabelle si ottiene che il valore della call è il 22% circa della sottostante, da cui si ottiene che la
call vale 1,0539 €.
Pertanto il valore del warrant dovrà essere 1/30 del valore della call trovata, ed è pari a 0,035
€/warrant.
Infine si applica il valore trovato alle equazioni precedenti, pertanto risulta che:
′=
110 ∗
+ 30 ∗ ṗ − 30 ∗ M
= 4,778 €/
140
Il valore è minore del precedente perché sconta l’effetto di diluizione presente tra due anni.
Il diritto, di conseguenza, vale:
118 + 3 ∗ ṗ = 3
+ 3M
da cui d = 0,2215 €.
Come ci si poteva aspettare il valore del diritto è cresciuto, in quanto darà la possibilità di una
ulteriore sottoscrizione di nuove azioni tra due anni.
ESERCIZIO 1.6
Nel testo vengono forniti i seguenti dati:
p = prezzo di mercato delle azioni = 6 €/az.
6 M = azioni detenute dal fondatore (60% del capitale)
Pertanto il capitale azionario totale sarà 6M/0,6 = 10 M azioni.
Si richiede di valutare due diverse alternative: una offerta pubblica contro un aumento di capitale
con diritto di opzione ai soci:
a) Per la raccolta di capitale bisogna moltiplicare il numero di azioni di nuova emissione per il loro
prezzo di sottoscrizione:
ALTERNATIVA OFFERTA PUBBLICA:
∆
= ṅ∗ṗ =2
.∗ 5,2
€
. = 10,4
€
ALTERNATIVA AUMENTO DI CAPITALE CON DIRITTO DI OPZIONE:
∆
= 7∗
∗ ṗ = 0.2 ∗ 10
.∗ 5,2
€
= 10,4
€
La raccolta di capitale è dunque identica per entrambe le alternative.
b) ALTERNATIVA OFFERTA PUBBLICA:
Chiamiamo q la quota detenuta dopo l’operazione. Allora:
==
8
8
8
−
=
10
6
. +2
.
.
= 50%
ALTERNATIVA AUMENTO DI CAPITALE CON DIRITTO DI OPZIONE:
In questo caso sottoscriverà il 90% dei diritti di sua competenza, che sono in totale 6M. Ogni diritto
gli consente di sottoscrivere 0,2 azioni, pertanto potrà sottoscrivere in tutto 1,2 M azioni. Di queste
però decide di sottoscriverne solo il 90% quindi 1,08 M. Alla fine pertanto detiene 7,08 M azioni.
==
8
8
8
−
=
7,08
12
.
.
= 59%
c) ALTERNATIVA OFFERTA PUBBLICA:
In ipotesi di conservazione della ricchezza:
=
∗
+ ṅ ∗ ṗ 10
=
+ṅ
.∗ 6
€
. +2
12
.
.∗ 5,2
€
.
= 5,867
€
.
ALTERNATIVA AUMENTO DI CAPITALE CON DIRITTO DI OPZIONE:
Il prezzo ex teorico sarà identico al caso precedente (stesso numero di nuove azioni emesse, stesso
prezzo di sottoscrizione).
Il diritto, al solito, si può calcolare come differenza tra prezzo cum e prezzo ex:
8=
− ṗ = 6 − 5,867
€
. = 0,133
€
.
d) ALTERNATIVA OFFERTA PUBBLICA:
Si confronta la ricchezza totale detenuta rispettivamente da socio fondatore, soci di minoranza e
nuovi azionisti.
Iniziamo con i nuovi azionisti. Essi godranno di un trasferimento positivo, pari a:
∆; S = ṅ ∗
− ṗ =2
. 5,867 − 5,2
€
. = 1,33
€
Questo dovrà essere pari, in segno opposto, al trasferimento degli azionisti.
Da parte dell’azionista di maggioranza il trasferimento sarà:
G
∆;:ETDE
@3BBDE13AC3 =
:ETDE @3BBDE13AC3
∗
−
=6
.∗ 6 − 5,867
€
. = 798.000 €
Da parte dei soci di minoranza:
∆; G :ETDE @DAE13AC3 =
:ETDE @DAE13AC3
∗
−
=4
.∗ 6 − 5,867
€
. = 532.000 €
Si può verificare che la somma dei trasferimenti da parte degli azionisti già esitenti è proprio pari a
1,33 M €.
ALTERNATIVA AUMENTO DI CAPITALE CON DIRITTO DI OPZIONE:
Non si assiste a trasferimenti di ricchezza: i soci esistenti hanno un diritto di opzione che possono
vendere sul mercato: questo, teoricamente, consente loro di mantenere la ricchezza inalterata. Nel
caso vogliano esercitare invece il diritto, manterranno la quota nella società, pertanto il valore del
capitale azionario nelle loro mani sarà perfettamente identico.
e) Se il ‘vero’ valore delle azioni è 5,5 €/az., allora saranno ci sarà un trasferimento di ricchezza
inferiore, perché le azioni in realtà erano sopravvalutate. Allora il prezzo ex ‘reale’ delle azioni
di equilibrio è:
12342
=
∗
+ ṅ ∗ ṗ 10
=
+ṅ
.∗ 5,5
12342
€
12
. +2
.∗ 5,2
.
€
.
= 5,45 €/
.
Il trasferimento di ricchezza ‘reale’ sarà perciò inferiore a quello calcolato precedentemente:
∆; S = ṅ ∗ N
12342
− ṗP = 2
.∗ 5.45 − 5.2
€
. = 500.000 €
La parte trasferita dall’azionista di maggioranza è:
G
∆;:ETDE
@3BBDE13AC3 =
:ETDE @3BBDE13AC3
= 300.000 €
∗N
12342
−
12342
P=6
.∗ 5.5 − 5,45
€
.
La parte dei soci di minoranza è:
G
∆;:ETDE
@DAE13AC3 =
:ETDE @DAE13AC3
= 200.000 €
∗N
12342
−
P=4
12342
.∗ 5.5 − 5,45
€
.
Come prima, si può verificare che la somma dei trasferimenti da parte degli azionisti esistenti è pari
al trasferimento ai nuovi azionisti.
Nel caso invece dell’offerta con diritti in opzione, si può verficare che il socio di maggioranza
riesce ad ottenere un trasferimento di ricchezza positivo. Infatti prima dell’operazione il suo
portafoglio valeva:
0,60 ∗ 012342 + 0,6 ∗ 0,9 ∗ ∆
= 38,616
€
Dopo l’operazione, invece, il suo portafoglio sarà dato dalla somma dal valore reale della quota
detenuta nella società e dalla somma incassata dalla vendita dei diritti:
0,59 ∗ 012342 + ∆
+ 0,1 ∗
8
8
>>
∗ 8 = 38,666
€
(Si noti che il valore del diritto da utilizzare è 0,133: il valore vero delle azioni è noto solo al
fondatore). Pertanto il valore del trasferimento di ricchezza è 50.000 € a favore del socio fondatore.
Si può verificare questa è la somma estratta agli acquirenti dei diritti. Infatti il loro portafoglio
iniziale sarà composto dalla spesa per i diritti e per la sottoscrizione delle nuove azioni:
600.000 8
∗ 8 + 600.000 ∗ 7 ∗ ṗ = 0,704
€
Alla fine si ritroveranno invece con 600.000*α azioni (120.000) che in realtà valgono 5,45 €:
7 ∗ 600.000 ∗ ṗ = 0,645
€
ESERCIZIO 1.7
Dal testo vengono forniti i seguenti dati:
n = numero di azioni esistenti = 20 M az.
p = prezzo delle azioni di mercato = 2,85 €/az.
quota fondo = 2%
α = rapporto di sottoscrizione = 7/30 = 0,233
ṗ = prezzo di sottoscrizione = 2,25 €/az.
p1 = prezzo di mercato dopo l’annuncio = 3 €/azione
a) Per calcolare la raccolta di capitale prevista con l’operazione si moltiplica il numero di nuove
azioni per il loro prezzo di sottoscrizione:
∆
= 7∗
∗ṗ=
7
∗ 20
30
.∗ 2,25
€
= 10,5
€
b) Il prezzo ex teorico si calcola in ipotesi di conservazione della ricchezza. Occorre fare
attenzione che il prezzo di mercato delle azioni ha subito una rivalutazione positiva dopo
l’annuncio:
=
∗
+ ṅ ∗ ṗ 20
=
+ṅ
20
.∗ 3
€
. +10,5
. +4,667
.
€
= 2,858
€
.
c) Il fondo deteneva il 2% del capitale, quindi 400.000 azioni.
Se non sottoscrive neanche una azione, continuerà a tenerne 400.000, su un capitale azionario totale
però di 24,667 M. La quota di sua competenza sarà quindi:
==
400.000
= 1,62%
24.666.667
d) Un investitore vuole detenere l’1% del capitale azionario post-operazione, quindi 246.667
azioni. Per farlo ha a disposizione diverse opzioni.
La prima è acquistare i diritti sul mercato e poi sottoscrivere le nuove azioni.
Ogni 30 diritti può sottoscrivere 7 azioni, pertanto gli serviranno:
RD1DFFD
=
3CDEAD UE4VF2
7
=
246.667
= 1.057.143 8
7/30
Il valore teorico del diritti è dato dalla differenza tra prezzo cum e prezzo ex:
8=
TV@
−
2W
= 3 − 2,858
€
. = 0,142 €
con una spesa di 1.057.143*0,142 €/diritto = 150.114 €.
A questi bisogna aggiungere la spesa di sottoscrizione delle nuove azioni, ovvero 246.667*2,25 =
616.667 €
La spesa totale è pertanto: 776.780 €
e) Si sa che le azioni ex quotano 3,27 € mentre i diritti valgono 0,238 €. Bisogna verificare
l’equilibrio sul mercato dei diritti, ovvero l’equivalenza tra acquistare 30 diritti e sottoscrivere 7
nuove azioni oppure comprare 7 azioni al prezzo ex.
Se compro 30 diritti e sottoscrivo 7 azioni spendo:
30 ∗ 0,238 + 7 ∗ 2,25 = 22,89 €
Se compro 7 azioni ex spendo:
7 ∗ 2,858 = 22,89 €
Il mercato pertanto è in equilibrio e non vi sono possibilità di arbitraggio: è indifferente comprare
azioni ex oppure comprare diritti e sottoscrivere azioni ex.
ESERCIZIO 1.8
L’aumento di capitale è composto dall’emissione di nuove azioni e dal regalo dei warrant.
Dal testo si ricavano i seguenti dati:
α = rapporto di sottoscrizione = 2/10
ṗ = prezzo di sottoscrizione = 3 €/azione
warrant per azione = 1/10
ɣ = numero di azioni per warrant = 1/7
pf = prezzo di sottoscrizione tra 5 anni = 3,5 €/az.
n =numero di azioni emesse = 15 M
p = prezzo di mercato = 3,2 €/az.
σ = volatilità del rendimento delle azioni = 15%
rf = 1%
Inoltre si sa che la società reinveste completamente i propri utili, pertanto i dividendi attesi dei titoli
azionari sono nulli.
a) Per calcolare il valore del warrant bisogna ragionare nell’ipotesi di piena diluizione.
Da un primo bilancio si sa che un investitore che detiene 70 azioni prima dell’operazione
potrà sottoscriverne 14 nuove al prezzo di sottoscrizione e dopo l’operazione si ritroverà con
84 azioni al prezzo ex e 7 warrant.
Pertanto:
70 ∗
+ 14 ∗ ṗ = 84 ∗
+ 7M
Se si ipotizza che a scadenza tutti i warrant vengano convertiti in azioni, allora oggi il valore del
portafoglio sarà composto da 70 azioni al prezzo cum, 14 azioni al prezzo di sottoscrizione e 1
azione al valore attuale del prezzo di sottoscrizione tra 5 anni. Il valore del portafoglio dopo
l’operazione sarà di conseguenza pari a 85 azioni al prezzo ex teorico.
Ne risulterà che:
70 ∗ 3,2 + 14 ∗ 3 +
3,5
= 85 ∗
1,01X
OR
Da cui si ottiene che pfd= 3,1686 €/azione. Questo sarà il parametro S0 dell’opzione.
Il parametro X (strike price) sarà il prezzo di sottoscrizione a 5 anni, ovvero 3,5 €/azione.
Allora, a questo punto, sono disponibili tutti i parametri per valutare il warrant.
Dalla tabelle di Black & Scholes si ottiene che l’opzione call vale il 10,78% della sottostante
(S0/VA(X)) = 0,95 e (σ (T)^0,5 = 0,335), ovvero 0,3416 €.
Il valore del warrant è il valore dell’opzione moltiplicato per ɣ, ovvero:
M = ɣ ∗ ;T344 =
1
∗ 0,3416 € = 0,0488 €
7
Una volta calcolato questo valore, lo si riporta nella espressione di partenza per calcolare il
valore del prezzo ex teorico:
=
10 ∗
+ 2 ∗ ṗ − M 10 ∗ 3.2 + 2 ∗ 3 − 0,0488
€
=
= 3,1626 .
12
12
E il valore del diritto come differenza tra il prezzo cum e il prezzo ex teorico:
8=
−
= 3,2 − 3,1626
€
. = 0,0374
€
.
La raccolta di capitale al tempo 0 sarà pari a:
∆
Al tempo 5 invece:
K
= 7∗
∗ṗ=
2
∗ 15
10
∗3
€
.= 9
€
∆
X
=
1
∗ ∗
10 7
O
= 750.000 €
Se ad un certo punto si verificasse la situazione descritta dal testo, bisognerebbe verificare
l’equilibrio nel mercato dei diritti.
In particolare deve essere equivalente comprare 10 diritti e sottoscrivere 2 azioni di nuova
emissione rispetto ad avere 2 azioni al prezzo ex e un warrant.
Nel primo caso:
10 ∗ 0,0374 + 2 ∗ 3 = 6,374 €
Nel secondo caso:
M+2∗
= 0,0488 + 2 ∗ 3,25 = 6,5488 €
Allora esiste uno squilibrio nel mercato dei diritti e posso fare arbitraggio.
In particolare posso esercitare i diritti e immediatamente vendere l’azione ex e il warrant sul
mercato per trarne profitto. Questo mi permette di incassare 6,5488 – 6,374 = 0,1748 €.
ESERCIZIO 1.9
In questo caso, si nota che la Vadoforte svolgerà una emissione di capitale al prezzo unitario di
sottoscrizione di 1 €/azione, quando sul mercato le azioni al momento quotano 98 centesimi. La
conclusione errata che si potrebbe trarre è che a nessuno conviene aderire all’operazione, in quanto
sarebbe più conveniente acquistare le azioni direttamente sul mercato.
Tuttavia, tale conclusione risulterebbe piuttosto affrettata: di fatto, la presenza di un warrant
costituisce di fatto un incentivo a partecipare all’offerta anche quando il prezzo di offerta delle
nuove azioni è superiore a quello corrente sul mercato finanziario.
1) Dai dati che vengono forniti dal testo si sa che:
p = prezzo corrente di mercato = 0,98 €/azione
ṗ = prezzo di sottoscrizione = 1 €/azione
rf = tasso risk free di mercato = 9%
σ = volatilità del valore delle azioni = 20%
Ragionando in ipotesi di conservazione della ricchezza, so che ogni azione dà diritto a
sottoscriverne una nuova, e a fine operazione si avranno 2 azioni al prezzo ex e 1 warrant:
+ ṗ=2∗
+M
Come negli esercizi precedenti, risulta ora necessario calcolare il valore del warrant in ipotesi di
full-dilution: si ipotizza che a scadenza del warrant tutti i detentori eserciteranno il loro titolo.
2∗
+ 2∗ṗ+
M
N1 +
OP
Q
=5∗
OR
Da cui pfd = 0,96 €.
Il prezzo del warrant si calcola con le formule di Black&Scholes, dove il valore corrente della
sottostante sarà il prezzo di full-dilution.
Di conseguenza la call corrispondente associata a 2 warrant varrà c = 0,175 €, mentre il valore del
singolo warrant sarà c/2 = 0,877 €.
Infine si può calcolare il valore del prezzo ex ribaltando la prima equazione:
=
YS ṗGZ
Q
= 0,946 €
2) Come negli esercizi precedenti, il valore del diritto sarà dato dalla seguente espressione:
8=
−
= 0,04 €
2. LE OBBLIGAZIONI CONVERTIBILI
ESERCIZIO 2.1
La finanziaria Nava&Maggioni è quotata in Borsa e gestisce un delfinario. I soci fondatori sono
due, ciascuno con il 40% delle azioni, mentre il resto delle azioni – il flottante – è posseduto dal
mercato (quindi da piccoli azionisti dispersi). La società ha 60 milioni di azioni e vuole raccogliere
nuovo capitale. Le alternative sono due:
- un’offerta pubblica ‘seasoned’ in cui vengono offerte al pubblico 10 milioni di azioni ad un prezzo
di sottoscrizione unitario pari a 3 € (il prezzo di mercato corrente è pari a 3,5 €)
- un’emissione di 3.000 obbligazioni convertibili, emesse e rimborsate alla pari, valore nominale
10.000 €, sottoscritte da alcuni investitori, che possono essere convertite gratuitamente alla
scadenza in azioni, fra due anni, nel rapporto 3.300 nuove azioni per ogni obbligazione. Esse
pagano una cedola annuale pari al 2%.
Sapendo che il debito attuale della società è trascurabile, che il rendimento annuale dei titoli privi di
rischio è pari al 2%, e che il valore dell’attivo della società secondo le aspettative del mercato è
caratterizzato da una deviazione standard σ pari al 15%, calcolare:
1) la raccolta di capitale ottenibile con le due operazioni
2) il prezzo delle azioni che prevedibilmente osserveremo sul mercato dopo ciascuna delle due
emissioni
3) il valore sul mercato delle obbligazioni convertibili, dopo l’emissione
4) l’entità di eventuali trasferimenti di ricchezza fra i vari soggetti coinvolti, per ciascuna delle due
emissioni
5) ricalcolare poi il ‘vero’ trasferimento di ricchezza se i due soci fondatori sanno che in realtà il
‘vero’ valore dei titoli azionari è pari a 3,1 € e che la volatilità associata al valore dell’attivo è molto
più alta, pari al 30%, poiché i delfini cominciano a mostrare comportamenti devianti e si temono
cali nel numero di visitatori.
ESERCIZIO 2.2
Per finanziare un importante progetto aziendale, la società ValeraNeve (che ha un capitale sociale
costituito da 8 milioni di azioni che sul mercato valgono 5,3 € ciascuna e la cui volatilità annuale di
rendimento è pari al 12%) approva un aumento di capitale così strutturato. Per ogni 1.000 azioni
possedute, ai soci viene data la possibilità di sottoscrivere un pacchetto inscindibile composto da
200 nuove azioni (al prezzo unitario di sottoscrizione di 4,7 €) e da una obbligazione convertibile, al
prezzo di sottoscrizione di 1.000 € (pari al valore nominale).
L’obbligazione scade fra 3 anni, paga una cedola annuale pari al 2% e potrà essere convertita alla
scadenza (a discrezione di chi la detiene) in 200 azioni, senza pagamenti aggiuntivi. Il tasso di
rendimento annuale sul mercato di titoli obbligazionari privi di rischio è uguale oggi al 3%.
Determinare:
1) la raccolta di capitale prevista nell’operazione;
2) il valore di mercato dell’obbligazione convertibile che viene emessa nell’operazione;
3) il valore teorico del prezzo delle azioni dopo l’aumento di capitale;
4) il valore teorico del diritto di sottoscrizione;
5) la percentuale del capitale azionario (misurata sia dopo l’aumento di capitale sia dopo la
eventuale conversione delle obbligazioni fra tre anni) che deterrà nell’impresa un investitore che
oggi prima dell’operazione possiede 160.000 azioni e che intende investire nell’operazione (al netto
di introiti legati alla vendita dei diritti) non più di 250.000 €. Quanti diritti eserciterà e quanti ne
venderà?
ESERCIZIO 2.3
La società Glue è quotata in Borsa, vuole finanziare un’importante acquisizione e annuncia al
mercato un aumento di capitale. Attualmente il capitale sociale è posseduto per il 60% dalla
famiglia Piccica, che detiene quindi 30 milioni di azioni. La società non è indebitata. L’operazione è
così strutturata: agli attuali azionisti viene offerta l’opzione di sottoscrivere un pacchetto
inscindibile composto da 300 nuove azioni ogni 1000 possedute, al prezzo di sottoscrizione unitario
di 4 € (l’azione quota attualmente sul mercato 5 €), e da 1 obbligazione convertibile ogni 1000
azioni possedute, del valore nominale di 1000 euro, collocata alla pari. L’obbligazione non paga
cedole e può essere convertita alla scadenza (4 anni) in 210 azioni di nuova emissione senza
ulteriori pagamenti in denaro. La famiglia Piccica assicura che sottoscriverà integralmente i diritti di
sua spettanza. I titoli privi di rischio rendono sul mercato l’1% annuale. La volatilità del titolo Glue
in Borsa è pari al 15%. Determinare la raccolta di capitale ottenibile nell’operazione, il valore
dell’obbligazione convertibile e del diritto di sottoscrizione, il prezzo ex teorico del titolo Glue.
Quanti diritti dovrebbe acquistare sul mercato un investitore che desidera detenere dopo
l’operazione il 2% del capitale, senza tenere conto della eventuale conversione delle obbligazioni?
ESERCIZIO 2.4
Il valore degli assets della società Converse è pari 1 miliardo €. È stato stimato che la
volatilità annua σ di tale valore è pari al 15%. Il capitale sociale della Converse è composto da 56
milioni di azioni ordinarie. Gli azionisti si aspettano il pagamento di dividendi annuali costanti, di
importo pari a 0,7 € per azione. La prossima distribuzione di dividendi avverrà fra 6 mesi. La
Converse ha da poco emesso 12.360.000 obbligazioni convertibili, del valore nominale di 25 €
ciascuna e durata pari a 4 anni. Le obbligazioni in esame, oltre a garantire il rimborso del
capitale a scadenza, distribuiscono una cedola annua del 4% sul valore nominale. Esse
inoltre possono essere convertite alla scadenza in titoli azionari, a discrezione del detentore,
nella misura di un titolo azionario per ogni obbligazione convertita. La Converse ha anche un
debito aperto presso un istituto di credito per un valore nominale pari a 411 milioni € e scadenza 4
anni. Le clausole contrattuali con l’istituto finanziatore prevedono che, in caso di dissesto della
società, il rimborso di questo debito abbia la precedenza rispetto ad ogni altra passività
dell’impresa. Sapendo che il tasso di interesse risk free r f composto nel continuo è pari al 5% e che
i detentori delle obbligazioni Converse richiedono un premio per il rischio pari all’1% sul
loro investimento, si esprima una valutazione delle obbligazioni stesse.
SOLUZIONI
ESERCIZIO 2.1
1)
La società ha a disposizione due alternative per raccogliere capitale: una offerta pubblica
seasoned e una emissione di obbligazioni convertibili. Si deve confrontare quindi la raccolta
di capitale ottenibile con le due alternative.
ALTERNATIVA 1: OFFERTA PUBBLICA
n = azioni esistenti = 60.000.000
p = prezzo di mercato delle azioni = 3,5 €/azione
ṅ = azioni di nuova emissione = 10.000.000
ṗ = prezzo di sottoscrizione = 3 €/azione
La raccolta di capitale ∆K sarà semplicemente pari a:
∆
= ṅ ∗ ṗ = 10
.∗
3€
= 30
€
ALTERNATIVA 2: EMISSIONE DI OBBLIGAZIONI CONVERTIBILI (OCV):
Vengono emesse 3.000 OCV alla pari. Questo vuol dire che il loro prezzo di emissione sarà pari al
valore nominale, ovvero 1.000 €/OCV.
Pertanto la raccolta di capitale in questo caso sarà pari a:
∆
=
[\]
∗
2@D::DEA2
= 3.000 ^_; ∗ 10.000
€
= 30
^_;
€
La liquidità raccolta è uguale con entrambe le operazioni.
2)
Per quanto riguarda il caso dell’offerta pubblica si andrà a confrontare la ricchezza detenuta
dagli azionisti prima e dopo l’operazione:
`
:0 =
∗
= 3.5 €/
.∗ 60
. = 210
€
Si calcola dunque il prezzo ex, sotto le ipotesi di conservazione della ricchezza:
∗
=
∗
+ ṅ ∗ ṗ 3,5
=
′
€
+ ṅ∗ṗ=
∗ 60
70
∗ ′
. +3
€
.
.∗ 10
= 3,4285
€
.
Il valore in mano ai “vecchi” azionisti dopo l’offerta sarà dunque:
0 =
∗
= 3,4286
€
∗ 60
. = 205,715
€
La perdita di ricchezza ∆E da parte dei vecchi azionisti sarà dunque:
∆0 G = 0 − 0 = 210
€ − 205,716
€ = 4,285
€
Si può verificare che essa è pari alla ricchezza trasferita ai nuovi azionisti:
∆0 S = ṅ ∗
− ṅ ∗ ṗ = 10
.∗ 3.4286
€
. − 10
∗ 3,
€
. = 4,285
€
Il secondo caso richiede invece di verificare il trasferimento di ricchezza nel caso della OCV. Per
fare questo è necessario calcolare il valore della OCV stessa, quindi viene fornita anticipatamente la
risposta al punto 3)
Nella valutazione di questa OCV si sa innanzitutto che l’entità del debito presente nell’impresa è
trascurabile.
Il valore della OCV, allora, sarà pari alla somma di due posizioni: una obbligazione, con valore
nominale pari a 10.000 € e cedola del 2%, e una opzione call sul capitale azionario dell’impresa, in
quanto consente di convertire i titoli di debito in titoli azionari secondo un rapporto predefinito.
Allora il valore complessivo della OCV sarà:
;[\] = ;[bb4DB3CDEA2 + ɣ ∗ ;\344
Dove ɣ rappresenta appunto il rapporto di conversione.
Si inizia calcolando il valore dell’obbligazione, che sarà dato dall’attualizzazione delle cedole e del
valore nominale.
Q
;[bb4DB3CDEA2 = c
Fd
_
1+
F
+ ;< ; >
>
=
200
200
10.000
+
+
= 10.000 €
Q
1.02 1.02
1.02Q
Si valuta poi l’opzione call.
Questo richiede di identificare tutti i parametri per la valutazione di una opzione tramite il modello
di Black & Scholes:
S0: valore delle attività oggi
X: strike price
T: 2 anni
σ: 15%
Il valore delle attività oggi è dato dalla somma dell’Equity e del Debito, ed è E = n*p = 60 M az. *
3.5 €/az. = 210 M €, cui vanno aggiunti i 30 M € ottenuti tramite emissione obbligazionaria. Il
valore delle attività risulta dunque 240 M €.
Poi bisogna definire l’equivalente dello “strike price” dell’opzione, quindi definire quel valore delle
attività “soglia” oltre il quale mi converrà esercitare la call.
Si sa che la raccolta di debito è pari a 30 M €. Nel caso le obbligazioni fossero integralmente
convertite in titoli azionari si avrebbero:
=
∗
[\]
= 3.300
.
∗ 3000 ^_; = 9.9
^_;
Il valore di queste 9.9 M azioni, evidentemente, è pari al valore del debito da cui derivano.
Pertanto il prezzo della singola azione dovrà essere:
=
9
= 3.03 €/
′
Il valore delle attività tra due anni potrà essere calcolato quindi come se fossimo in una situazione
di un’impresa finanziata solo con Equity, il cui valore sarà dato da:
0YE:FGTEAU21:DEA2 =
∗
+
= 3.03
€
∗ 9.9 + 60
. = 211.81
€
Quindi, se a scadenza le attività varranno più di 211.81 M € converrà la conversione, altrimenti no.
Si cercherà dunque nelle tavole di Black & Scholes l’incrocio dei seguenti valori:
S0/VA(X) = 1,18
Σ rad(T) = 0,21
Da cui si ottiene che la call vale il 17,64% della sottostante, quindi 42,331 M €.
Il valore della singola opzione sarà dunque:
;\344d
;T344efeghi
[\]
=
42,331 €
€
= 14.410
3.000 ^_;
^_;
Infine bisogna considerare che però questa opzione non riguarda tutto l’Equity dell’impresa, ma
solamente una sua frazione ɣ, pari a:
ɣ=
[\]
[\]
∗
∗
+
=
9.9
69.9
.
.
= 14,16%
Quindi il valore complessivo della OCV sarà dato da:
;[\] = ;[bb4DB3CDEA2 + ɣ ∗ ;\344 = 10.000 + 0.1416 ∗ 14.410 € = 11.998,49 €/^_;
Come si può vedere è stato calcolato un valore per la OCV maggiore di quello del prezzo di
emissione. Questo vuol dire che ci sarà un trasferimento di ricchezza a favore degli obbligazionisti:
essi possono acquistare uno strumento ad un prezzo minore del suo reale valore.
Allora il trasferimento di ricchezza complessivo ∆V (a favore degli obbligazionisti) sarà dato dalla
differenza tra il valore reale del titolo e il suo prezzo di emissione moltiplicato per il numero di titoli
in circolazione.
La perdita di ricchezza per gli azionisti esistenti è simmetrica:
∆; S = ;[\] − ;jE@DA342 ∗
[\]
= 11.998,49 € − 10.000 € ∗ 3.000 ^_; = 5,995
€
Per calcolare il prezzo ex delle azioni dopo l’operazione si guarda la composizione dell’attivo e del
passivo della società.
La società all’inizio valeva 210 M €, cui sono stati aggiunti 30 M € dalla raccolta di capitale di
debito. L’attivo vale 240 M €. Al passivo però il debito viene registrato a valore di mercato, cioè
35,995 M €. Pertanto l’equity vale 240 – 35,995 = 204,005 M €, che distribuito su 60 M az. da 3,4
€/az. Si noti pertanto che il trasferimento di ricchezza ha portato una riduzione del valore
dell’equity (210 – trasferimento di ricchezza = 204,005 M €).
3)
Nel caso dell’offerta pubblica si procede nel ricalcolare il prezzo ex (p’’) sostituendo al
prezzo del mercato il prezzo reale dei titoli:
′ =
12342
∗
′
+ ṗ∗ṅ
=
3,1
€
.∗ 60
70
. +3
.
€
.∗ 10
.
= 3,0857
€
.
E il vero trasferimento di ricchezza sarà:
∆0 S = ṅ ∗
− ṗ = 10
.∗ 3,0857 − 3
€
. = + 0,857
€
Per i soci esistenti ovviamente la perdita di ricchezza sarà l’opposto.
Nel caso della OCV, invece, è necessario ricalcolare i diversi parametri in gioco.
Innanzitutto cambia S0, che assumerà un valore di 3,1€/az. * 60 M az. = 186 M €, cui vanno
aggiunti 30 M € debito. Pertanto varrà 216 M €.
Quindi varia S0/VA(X) e sarà pari a 1,06.
Il nuovo valore di σrad(T) è invece 0,42.
A questo punto cambierà il valore della call, che in totale varrà 41,823 M € e 13.941 €/OCV.
Il valore del titolo sarà dunque:
;[\] = ;[bb4DB3CDEA2 + ɣ ∗ ;\344 = 10.000 € + 0.1416 ∗ 13,941 € = 11.974,04 €/^_;
Per un trasferimento di ricchezza pari a:
∆; S = ;[\] − ;jE@DA342 ∗
[\]
= 11.974,04 € − 10.000 € ∗ 3.000 ^_; = 5,922
€
Come si può vedere la situazione non è cambiata di molto rispetto alla precedente.
Seguendo lo stesso ragionamento illustrato in precedenza si noti che il prezzo delle azioni scende a
3 € (Valore vero dell’equity: 186 M €;Valore vero dell’attivo con raccolta di capitale: 216 M €; ∆V
= 5,992 M €; Valore vero dell’equity dopo l’operazione: 180,008 M €; prezzo delle azioni: 3
€/azione).
NOTA: Nell’esercizio si è visto che le attività dell’impresa erano finanziate tramite Equity e Debito
sotto forma di obbligazioni che prevedono lo stacco di alcune cedole.
Per chi detiene le attività dell’impresa, lo stacco delle cedole rappresenta di fatto un costo da
sostenere. Di questo si dovrebbe tenere conto nel calcolo del valore dell’opzione, ma l’impatto
sarebbe comunque del tutto marginale:
ESERCIZIO 2.2
In questo caso ci troviamo di fronte ad una raccolta di capitale effettuata tramite un pacchetto
inscindibile di titoli azionari e di obbligazioni convertibili. Già il fatto che il pacchetto sia
inscindibile ci preannuncia che esisterà un unico diritto che riguarda l’intero pacchetto.
1) La raccolta di capitale sarà data dalla somma del capitale raccolto dall’emissione di nuovi
titoli azionari e di debito.
Pertanto la raccolta di capitale sarà:
∆
FEF342
= ∆
3CDEA31D
+ ∆
R2bDFE
Da cui:
∆
FEF342
= 7∗
∗ṗ+
= 0.2 ∗ 8
Ebb4DB3CDEAD
.∗ 4,7
∗ `2@D::DEA2
€
. +8.000 ^_; ∗ 1.000
€
= 15,52
^_;
€
2) Il valore della OCV richiede la valutazione dell’opzione implicita nella struttura del titolo.
Pertanto si inizia calcolando il valore della sottostante (attività dell’impresa) nell’istante
iniziale. Esse, una volta conclusa la raccolta di capitale, saranno pari a:
,K =
∗
+ ∆
2kVDFl
+ ∆
R2bDFE
=8
∗ 5.3
€
. +15.52
€ = 57.92
€
Ora ci si pone nel caso che, a scadenza, tutte le obbligazioni vengano convertite in titoli azionari. Il
prezzo dopo la conversione sarà:
TEAU
=
∆
R2bDFE
3CDEAD_[\]
=
8 €
8.000 ^_; ∗ 200
./^_;
=5
€
.
Quando tutte le obbligazioni saranno convertite, quindi, il numero di azioni totale in circolazione
sarà:
TEAU
=
+ 7∗
+
ETU
=8
+ 0.2 ∗ 8
+ 8.000 ∗ 200 = 11.2
che valgono 5 € l’una, pertanto il valore delle attività sarà pari a 56 M €. Se a scadenza le attività
varranno più di 56 M € conviene la conversione, altrimenti no. Questo sarà lo strike price della
nostra opzione.
Pertanto si può valutare una call che ha per sottostante le attività dell’impresa a scadenza 3 anni con
le tavole di Blasck & Scholes. I parametri sono i seguenti:
S0 = 57,92 M €
X = 56 M €
T = 3 anni
σ = 12%
La call corrispondente sarà il 14,95% del valore delle sottostante, che è 8,6579 M €.
Di questa però solo una parte è la frazione ɣ relativa alla OCV, ed è pari a:
ɣ=
_
_
=
1.6
= 0,1428
11.2
Pertanto si ottiene che:
;EYCDEA2 = ɣ ∗
>> = 154,605 €
Dividendo questo numero per 8.000 (il numero di OCV) si ottiene che ogni opzione nella OCV
deve valere 1.545,37 €
Per trovare il valore della OCV bisognerà sommare al valore dell’opzione appena ottenuto il valore
attuale del valore nominale dell’obbligazione e delle cedole:
;[\] = ;<
d)
8 >
=
+ ;<
>
>
+ ;EYCDEA2
20
1
1.000
∗ n1 −
p+
+ 1.545,37 = 1.126,32 €
o
0.03
1.03
1.03o
A questo punto, per calcolare il prezzo teorico delle azioni dopo l’operazione, si andrà a
confrontare la ricchezza prima e dopo l’operazione per un soggetto che vi partecipa. In particolare
questo, prima dell’operazione, dovrà avere la liquidità per 1.000 azioni (al prezzo cum), 200 azioni
al prezzo di sottoscrizione e una obbligazione al prezzo di emissione. Dopo si ritroverà con 1.200
azioni al prezzo ex e con una obbligazione convertibile:
1.000 ∗
+ 200 ∗ ṗ +
:EFFE:1TDCDEA2
= 1.200 ∗
+ ^_;
Quindi:
=
e)
1000
.∗ 5.3
€
. +200
.∗ 4.7
1200
€
+ 1.000 € − 1.126,32 €
= 5,0947
€
.
Il valore teorico del diritto di sottoscrizione si può calcolare semplicemente come la
differenza tra prezzo cum e prezzo ex, essendo il pacchetto non scindibile:
8=
f)
−
= 5.3 − 5,0947
€
= 0,20527 €
Un investitore oggi possiede 160.000 azioni: questo gli dà diritto ad avere pertanto 160
pacchetti inscindibili. Si sa anche che l’investimento netto massimo che è disposto a sopportare è
250.000 €.
La liquidità necessaria per acquistare un singolo pacchetto è:
200 ∗ ṗ +
:EFFE:T1DCDEA2
= 1.940 €
Se si considera il 100% della ricchezza totale, allora possiamo immaginare che una frazione x venga
investita, l’altra frazione 1-x venga venduta per finanziare parzialmente l’investimento (ovviamente
il 100% si riferisce al totale dei 160 pacchetti e 160.000 azioni). Si ricorda che il valore del diritto è
associato alla singola azione e non al pacchetto
Pertanto:
? ∗ 160 ∗ 1.940 € − 1 − ? ∗ 160.000 ∗ 0,20527 € = 250.000 €
Si ricava che x = 82,40% e 1-x = 17,60%.
Quindi l’investitore eserciterà i diritti per 132 pacchetti, che corrispondono a 52.800 nuove azioni
nel caso anche le obbligazioni siano interamente convertite a tre anni.
Il numero totale delle azioni circolazione a scadenza è 11,2 M, quindi la quota detenuta sarà:
==
160.000 + 52.800
= 1,9%
11.200.000
Eserciterà pertanto 0,824*160.000 = 131.845 diritti e ne venderà 28.155.
ESERCIZIO 2.3
Si parte innanzitutto col calcolare il numero di azioni totali in circolazione. Si sa che la famiglia
Piccica detiene 30 M azioni, che corrispondono al 60% del totale, pertanto:
=
qDTTDT3
0.60
=
30
0.60
= 50
a) Per determinare la raccolta di capitale si calcolano il numero di azioni di nuova emissione e
il numero di OCV. Ci saranno quindi ṅ nuove azioni e nOCV nuove obbligazioni.
Dunque:
∆
3CDEAD
=7∗
∗ ṗ = 0.3 ∗ 50
.∗ 4
€
. = 60
€
∆
R2bDFE
=
[\]
∗
2@D::DEA2
50
.
€
. ∗ 1000 ^_; . = 50
1000 ^_;
=
€
Perciò:
∆
FEF342
= ∆
R2bDFE
+ ∆
3CDEAD
= 110
€
b) Per calcolare il valore della OCV si deve dapprima tenere conto del valore corrente delle
attività. Gli asset oggi sono finanziati da debito e da equity. L’equity è composto da 50 M € che
quotano 5 €/az., per una capitalizzazione di 250 M €, cui si aggiunge debito di 50 M € e altri 60
M € derivanti dall’aumento di capitale, per un valore di mercato degli assets di 360 M €.
Si calcola dunque il valore dello strike price, ovvero quel valore degli asset oltre il quale diventerà
conveniente per l’obbligazionista esercitare la conversione.
A scadenza, le obbligazioni potranno essere convertite in 260 azioni ciascuna. Pertanto, nel caso
avvenga la conversione le azioni varranno:
TEAU21:DEA2
=
;R2bDFE
TEAU21:DEA2
=
50
1000
/
50
.
€
∗ 210
/^_;
= 4,7619
€
Pertanto il valore totale degli assets sarà:
r=N
TEAU21:DEA2
+
3V@2AFE RD T3YDF342
+
2:D:F2AFD P
∗
TEAU21:DEA2
Ora si calcolano i parametri dell’obbligazione:
,K
360
=
= 1,04
407,14
;< r
1,01s
t√v = 0,15 ∗ 2 = 0,30
Da cui la call vale 13,72% della sottostante, e l’opzione 49,39 M €.
= 359,5238
€
Si deve ricordare che però agli obbligazionisti viene corrisposta una frazione del valore
dell’opzione:
ɣ=
=
TEAU21:DEA2
TEAU21:DEA2
+
2:D:F2AFD
10,5
= 13,90%
75,5
Per cui l’opzione vale 6,86 M € in totale e 137,38 €/OCV.
Il valore della OCV è pertanto:
;[\] = ;< ;LR2bDFE + ;[qwx[jy =
1000
+ 162 = 1.098,36 €/
1.01s
c) Si calcola poi il prezzo ex delle azioni sotto le ipotesi di conservazione della ricchezza. In
particolare un investitore dovrà mantenere la ricchezza avendo prima 1000 azioni, 300 azioni di
nuova emissione e una OCV e dopo 1300 al prezzo ex e una OCV al valore di mercato:
1000 ∗
+ 300 ∗
+
= 1.300 ∗
2@D::DEA2
= 4,69
€
+ ;ETU
.
Il diritto di conseguenza è la differenza tra prezzo corrente e prezzo ex:
8=
−
= 5 − 4,69 = 0,31
€
.
d) Dopo l’aumento di capitale ci saranno in circolazione 65 M azioni. Pertanto il 2% del capitale
sarà composto da 1,3 M azioni. Siccome con 1.000 diritti ho il diritto a sottoscrivere 300 azioni,
allora mi serviranno 1,3 M*1.000/300 = 4,333 M diritti.
ESERCIZIO 2.4
In questo caso si deve valutare un’obbligazione convertibile in cui gli asset sono composti in parte
da debito e in parte da equity. In particolare, l’attivo di € 1 miliardo è composto per € 411 milioni
da un debito di seniority più elevata, e da 12.360.000 OCV dal valore nominale di 25 € ciascuna,
per un totale di € 309 milioni: questo rappresenta la porzione di debito con minore seniority.
La restante porzione di attivo (1 miliardo – 411 milioni – 309 milioni = € 280 milioni) è finanziata
tramite capitale azionario, che ha rimborso residuale rispetto alle altre modalità di finanziamento.
Per dare una valutazione complessiva delle OCV, è quindi necessario fare riferimento al payoff a
scadenza per i detentori delle obbligazioni convertibili.
Innanzitutto si può intuire che, nel caso il valore delle attività a scadenza fosse minore di € 411 M,
il loro payoff sarebbe nullo, in quanto il debito già esistente ha seniority maggiore. Nel caso invece
il valore delle attività fosse compreso tra € 411 M e 720 M, il payoff sarebbe la differenza tra il
valore delle attività in quel momento e € 411 M, in quanto non tutto il debito riuscirebbe a essere
ripagato. Infine, se il valore è compreso tra € 720 M e A*, i detentori delle OCV sceglieranno di
non convertire le OCV, se è maggiore di A*, invece, procederanno alla conversione.
Si calcola dunque il valore di A*.
Se a scadenza le obbligazioni vengono convertite, ci si ritroverà con 12.360.000 azioni in più.
Siccome il valore del debito è € 309 M, si otterrà che le azioni a scadenza varranno:
9=
∗
TEAU21:DEA2
Quindi 309 M € = 12,36 M az.*p, da cui p = 25 €/az.
Di conseguenza, il valore delle attività a scadenza sarà:
<∗ = 9 /
> +
= 411
€ + 56
Hà
+ 12,36
+
∗ 25
€
= 2.120
€
∗
TEAU21:DEA2
Riassumendo il tutto, la posizione dei detentori delle OCV è rappresentatada 3 diverse opzioni:
a) Una posizione long su una call con strike price pari a 411 M €
b) Una posizione short su una call con strike price pari a 720 M€
c) Una posizione long su una frazione ɣ di opzioni call con strike price pari a 2.120 M €
Si ricordi, per completezza della trattazione, che il titolo paga dividendi e inoltre l’obbligazione
convertibile stacca delle cedole: questo equivale al considerare un’opzione con una sottostante che
include dei ricavi. Si ricorda che quando la sottostante comporta dei ricavi bisogna apportare
l’opportuna modifica alla formula di Black&Scholes, considerando che il detentore dell’opzione
non potrà beneficiare di suddetti ricavi. Pertanto:
€
9{; = 0,7
;<
=
9{;
N1 +
OP
K.X +
∗ 56
9{;
N1 +
OP
.X +
= 39,2
9{;
N1 +
OP
_ 8 > = 4% ∗ 12.360.000 ^_; ∗ 25
;<
8 >
=
_ 8 >
O
∗ |1 −
1
N1 +
Q.X +
9{;
N1 +
OP
o.X
€
= 12.36
^_;
OP
s}
= 43,82
= 142,43
€
€
€
Pertanto il parametro che fa riferimento al valore corrente della sottostante è:
,K∗ = ,K − ;<
− ;<
8 >
= 1.000
€ − 142.43
€ − 43.82
€ = 813,73
Ora si valutano una a una le opzioni che compongono il payoff a scadenza:
a) Call con strike price € 411 M, scadenza 4 anni e volatilità 15%
,K
813,73
=
= 2,40
411
;< r
1.05s
t√v = 0.15 ∗ 2 = 0,30
Da cui c% = 60% e c = 488,24 M €
b) Call (posizione short) con strike price € 720 M, scadenza 4 anni e volatilità 15%
,K
813,73
=
= 1,37
720
;< r
1.05s
t√v = 0.15 ∗ 2 = 0.30
€
da cui c% = 29% e c = 237,20 M €
c) Call con strike price pari a 2.120 M €, scadenza 4 anni e volatilità 15%
,K
813,73
=
= 0,47
2.120
;< r
1.05s
t√v = 0.15 ∗ 2 = 0,30
da cui c% = 0,08% e c = 0,65 M €.
Però non si deve dimenticare che gli obbligazionisti vedranno corrisposta solamente una
frazione della call ɣ pari a:
ɣ=
=
+
12,36
= 0,1808
12,36 + 56
E l’opzione nel suo complesso vale ɣ*call = 0,1808*0,65 M € = 0,1175 M €
Ora si hanno a disposizione tutti gli elementi per valutare la OCV, che varrà:
;[\] =
>>3 −
>>b +
>>T + ;<
8 >
12,36
= 488,24 − 237,20 + 0,12 + ~•
= 295,02
€
∗
25€
0,06
Il valore della singola OCV sarà:
;ETU :DABE43 =
;[\]
[\]
=
285,71
= 23,86 €/
12,36
∗ 4%
€ ∗ n1 −
1
p•
1,06s