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Serie E.P. N. 85
Istituto di Statistica
Dott.sse L. Deldossi e R. Paroli
I test per le radici unitarie nei modelli autoregressivi a media mobile.
Parte I
1. Premessa
Nell’ultimo ventennio ha suscitato grande interesse tra gli studiosi il problema della stima e della
verifica di ipotesi concernenti i parametri dei modelli autoregressivi e, più in generale,
autoregressivi a media mobile, aventi nella parte autoregressiva una o più radici unitarie.
In questo caso il processo definito attraverso il modello, sia esso autoregressivo o autoregressivo a
media mobile, risulta essere non stazionario e non si possono applicare i risultati classici, validi nel
caso di stazionarietà (v. Fuller (1996), cap. 8).
La presenza di radici unitarie nella parte autoregressiva comporta, però, un tipo particolare di non
stazionarietà, in quanto il processo presenta una certa “omogeneità” di comportamento intorno ad
un livello o, più in generale, intorno ad un trend stocastico.
Nella realtà, soprattutto in ambito economico ed industriale, sono numerosi i processi che
presentano un siffatto andamento; per studiare ed analizzare questi fenomeni risultano quindi
necessari gli strumenti di stima e di verifica di ipotesi. Questo spiega il grande interesse e la nutrita
bibliografia esistente su questo tema.
Nell’esaminare il materiale raccolto si è avvertita la necessità di organizzare e raccordare i
numerosissimi contributi susseguitisi dagli anni ’70 fino ad oggi, nel tentativo di offrire una
rassegna per quanto possibile esaustiva ed unitaria circa gli strumenti disponibili per accertare
l’esistenza delle radici unitarie in un generico modello autoregressivo a media mobile e le
problematiche ad esso connesse.
La logica adottata nella presentazione è stata quella di classificare tali strumenti a seconda del
modello generatore della serie oggetto di studio. In questo senso il primo e più semplice modello di
riferimento è il modello autoregressivo del primo ordine. Ad esso è dedicato molto spazio nella
maggior parte dei contributi perchè risulta fondamentale per la comprensione dei test nei modelli
autoregressivi di ordine p>1, con una o più radici unitarie, e nei più generali modelli autoregressivi
a media mobile.
Per questo motivo questa “prima parte” del lavoro è completamente dedicata alla presentazione dei
test per radici unitarie nel modello autoregressivo del primo ordine con media nota.
Serie E.P. N. 85
Istituto di Statistica
Dott.sse L. Deldossi e R. Paroli
Per introdurre il problema, nel prossimo paragrafo viene formalizzato il problema delle radici
unitarie, dapprima per il modello autoregressivo-media mobile di tipo generale e, poi, per il modello
autoregressivo. In particolare si mostra quanto possa diversificarsi il processo al variare del valore
delle radici dell’equazione caratteristica che specifica il modello.
Nel terzo paragrafo si considera il modello autoregressivo del primo ordine: per tale modello
vengono presentati i test noti come test di Dickey e Fuller, dal nome degli autori che li hanno
proposti. Tali test, che si basano sulle stime secondo il criterio dei minimi quadrati ordinari del
parametro del modello AR(1), oltre ad essere i primi in ordine cronologico, sono anche i più noti ed
i più utilizzati.
Nel quarto paragrafo vengono presentati i risultati relativi ad altri test per la verifica dell’esistenza
di radici unitarie in un modello autoregressivo, che considereremo “alternativi” rispetto ai
precedenti. Tra i più importanti ricordiamo i test costruiti attraverso il rapporto di verosimiglianza, i
test costruiti attraverso gli stimatori secondo il criterio dei minimi quadrati ponderati, che hanno
trovato sviluppo soprattutto in questi ultimi anni, ed i test ottimi nella classe degli invarianti.
2. Notazioni ed introduzione al problema
3. I testi di Dickey e Fuller
4. Test “alternativi” ai test di Dickey e Fuller
5. Conclusioni
Bibliografia
Appendice
Aprile 1997