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Transcript

Rendite vitalizie
Matematica finanziaria – seconda parte
Prof. Massimo Angrisani
a.a. 2012/2013
1
Cos’è una rendita vitalizia
2
Un individuo di età x si “assicura”, a partire da tale
età, il pagamento di un importo (rata) unitario alla
fine di ciascun anno finché rimane in vita.
L’assicuratore richiede un compenso, detto “premio”.
Struttura tradizionale: sono fissate le somme
assicurate.
Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – a.a. 2012/2013
Cos’è una rendita
3
Supponiamo che all’epoca 0 l’assicurato di età x (intera,
esatta) paghi un premio unico U. Se con certezza, a partire
da tale epoca, l’assicurato percepisce le prime n rate
unitarie alla fine di ciascun anno, si deve tener conto solo
dell’aspetto finanziario di tale operazione.
Sia i il tasso annuo effettivo di interesse considerato in regime
di capitalizzazione composta.
Il valore attuale della prima rata unitaria di rendita calcolato
all’inizio del primo anno (epoca 0) è
v =
1
1+ i
v è il fattore di sconto.
Rendita finanziaria
4
U
1
0
1
1
2
1
…
3
v
v2
v3
.
.
.
vn
1
n
Rendita finanziaria
5
In tale caso
U=
n −1
n
∑
1⋅ v h =
v
∑
vh
h 1=
h 0
=
Somma di n-1 termini in
progressione geometrica
1 − vn
1 − vn
=
U
v=
1− v
i
Operazione finanziaria certa.
U (valore attuale) dipende da n e da i (tasso di
attualizzazione).
Esempio
6
Valore attuale rendita certa posticipata
i
0%
1%
2%
n
1
1
0,990099 0,980584
2
2
1,970395 1,942317
3
3
2,940985 2,885741
4
4
3,901966
3,811382
5
5
4,853431 4,719745
6
6
5,795476
5,61132
7
7
6,728195 6,486579
8
8
7,651678 7,345977
9
9
8,566018 8,189954
10
10
9,471305 9,018936
…
…
…
…
15
15
13,86505 12,95283
20
20
18,04555 16,56802
25
25
22,02316 19,90398
30
30
25,80771 22,99432
…
…
…
…
40
40
32,83469 28,54899
3%
4%
5%
0,971431
1,915636
2,833873
3,727328
4,597112
5,444274
6,269799
7,074617
7,859607
8,625595
…
12,19645
15,3934
18,28066
20,90827
…
25,53485
0,962616
1,890237
2,785045
3,649039
4,484057
5,291787
6,073782
6,83148
7,566204
8,279184
…
11,55504
14,42818
16,98144
19,27543
…
23,25686
0,95412
1,86602
2,738965
3,575876
4,379376
5,151827
5,895361
6,611909
7,303227
7,970909
…
11,00169
13,61582
15,90967
17,95045
…
21,45457
La base finanziaria
7
BASE DEMOGRAFICA OSSERVAZIONI
Notazioni attuariali (1)
9
x variabile età
generalmente si considerano solo le età intere
con ω“età estrema”
t
t
qx
Probabilità di decesso
entro t anni all’età x
ω
px = 1 − t qx
qx
t / u=
x = 0,1, 2,...ω
t
Probabilità di sopravvivenza per t anni all’età x
px × u qx +t Probabilità di decesso tra le età x+t e x+t+u
valutata all’età x ; risulta pari al prodotto della
probabilità di sopravvivenza per t anni per la
probabilità di decesso entro u anni all’età x +t
Probabilità di decesso e di sopravvivenza (2)
10
In particolare, se t =1
Probabilità di decesso entro un anno all’età x
qx
(“tasso annuo di decesso”)
px = 1 − qx
Probabilità di sopravvivenza per un anno all’età x
(“tasso annuo di sopravvivenza ”)
Risulta anche
t /1 q x =
t/
qx
Probabilità differita di decesso tra l’età x+t e
x+t+1 ; probabilità che la durata (residua
troncata) di vita all’età x sia uguale a t, con x
e t valori interi
Probabilità di decesso e di sopravvivenza (3)
11
In particolare, se x =0
t /1 q0 Probabilità “differita” di decesso entro un anno all’età t
(valutata alla nascita), con
ω −1
∑
t /1 q0
=1
t =0
Curva dei decessi
12
t/1q0
popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)
0,045000
0,040000
0,035000
0,030000
0,025000
0,020000
0,015000
0,010000
0,005000
0,000000
0
20
40
60
80
Age
100
120
Probabilità annua di decesso
13
qx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
20
40
60 Age
80
100
120
Valori sintetici della durata di vita
14
Vita attesa incompleta
+∞
ex =
∑
h
px
h =1
Vita attesa completa
o
e=
x
ex +
1
2
Tavola di sopravvivenza (da HMD)
Life table - Italy 2006 - Males (period 1x1). Last modified: 06-Feb-2009, MPv5 (May07)
15
Age
0
1
2
3
4
5
…
50
51
52
53
54
55
…
57
58
59
lx
100000
99614
99587
99574
99561
99547
…
95895
95615
95298
94945
94562
94143
…
93150
92590
91956
dx
386
27
13
13
13
10
…
281
316
353
383
419
477
…
560
634
684
qx
0,00386
0,00027
0,00013
0,00013
0,00013
0,0001
…
0,00293
0,00331
0,0037
0,00403
0,00443
0,00507
…
0,00601
0,00685
0,00744
Age
60
61
62
63
64
65
…
70
71
72
73
74
75
…
108
109
110+
lx
91271
90514
89697
88794
87805
86775
…
80100
78415
76600
74503
72331
70017
…
10
5
2
dx
757
817
903
989
1030
1143
…
1685
1815
2097
2172
2313
2578
…
5
3
2
qx
0,0083
0,00903
0,01007
0,01113
0,01173
0,01318
…
0,02103
0,02315
0,02738
0,02915
0,03198
0,03683
…
0,5049
0,51926
1,000
Tavola di sopravvivenza (mortalità)
16

E’ una rappresentazione tabulare della mortalità .

La determinazione delle probabilità di morte esprimenti il rischio che una
persona di età x muoia prima del compimento del compleanno x+n, consente
la determinazione delle ulteriori funzioni biometriche contenute nella tavola
di mortalità.

l0 degli individui in vita all’età 0 (generalmente l0 =100000) – radice della
tavola

Numero (atteso) degli individui in vita all’età x :
lx+1=lx*(1-qx)

Numero (atteso) dei decessi tra l’età x e x+1:
dx=lx*qx=lx-lx+1

Numero (atteso) dei decessi tra l’età x e x+n:
ndx=lx-lx+n
lx popolazione italiana maschi 2006
(fonte HMD)
17
100000
90000
80000
Size of population
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
20
40
60
Age
80
100
120
18
dx popolazione italiana maschi 2006
(fonte HMD)
5000
4000
Size of population
3000
2000
1000
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Age
-1000
80
90
100
110
Mortalità maschile e femminile
19
dx popolazione italiana 2006 (fonte HMD)
5000
Size of population
4000
3000
maschi
2000
femmine
1000
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Age
-1000
80
90
100
110
Probabilità di decesso e di sopravvivenza
20
lx − lx + n
=
lx
n qx
n
n dx
lx
px =
lx + n
= 1 − n qx
lx
qx =
dx
lx
Probabilità di decesso entro n anni
all’età x
Probabilità di sopravvivenza per n
anni all’età x
Probabilità di decesso entro un anno all’età x
(“tasso annuo di decesso”)
l x +1
px =
1 − qx =
lx
Probabilità di sopravvivenza
per un anno all’età x
(“tasso annuo di sopravvivenza ”)
Esempi
21
d50 l50 − l51
281
=
=
= 0,002930288
q=
50
l50
l50
95895
d59
684
=
=
= 0,007132801
9/1 q
50
l50 95895
l65 86775
=
= 0,90489598
15 p=
50
l50 95895
o
e0
o
78,62
=
e65 17,82
Tavola di mortalità di riferimento: Life table HMD - Italy 2006 - Males
Evoluzione nel tempo
22
lx popolazione italiana maschi (fonte HMD)
100000
Size of population
80000
60000
2006
1996
1986
40000
1966
1946
1926
20000
1906
0
0
-20000
10
20
30
40
50
60
70
80
Age
90
100
110
120
23
dx popolazione italiana maschi (fonte HMD)
5000
86; 4267
Size of population
4000
3000
2006
1996
1986
72; 2158
2000
1966
1946
1926
1906
1000
0
0
-1000
10
20
30
40
50
60
70
Age
80
90
100
110
24
aspettativa di vita popolazione italiana maschi (fonte HMD)
85
80
75
70
65
60
Age
55
50
età 0
45
età 60
40
35
30
25
20
15
10
1906
1926
1946
Year
1966
1986
2006
Mortalità dinamica
25
tempo
età
0
…
t-1
t
t+1
…
q0(t-1)
q0(t)
q0(t+1)
q1(t-1)
q1(t-1)
q1(t-1)
1
….
x
x+1
….
…
….
….
….
….
qx(t-1)
qx(t-1)
qx(t-1)
qx+1(t-1) qx+1(t-1) qx+1(t-1)
….
….
….
….
….
….
….
Tavola di sopravvivenza RG48
26
x
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
Maschi
lx
96406,3620
96217,8875
96019,0052
95807,8594
95582,0402
95338,8795
95072,312
94778,1583
94455,0595
94103,8756
93728,6835
93320,6825
92873,0232
92380,4247
91836,2116
91233,7661
90565,7524
89824,0189
88998,5362
88077,1343
87046,3676
85891,2623
84595,335
83139,8722
81504,5941
79668,1326
77603,7719
75290,0155
72715,0969
69873,0274
Femmine
lx
97475,6339
97375,3314
97272,6005
97167,157
97058,5241
96946,5186
96830,4736
96710,1133
96584,4869
96452,5524
96313,7572
96164,5672
96003,5877
95828,8612
95637,8743
95427,6622
95194,9142
94935,6984
94647,4736
94325,7669
93964,2162
93554,3443
93085,5435
92545,6473
91919,6686
91189,6426
90334,2837
89327,5081
88139,9882
86739,6201
x
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
Maschi
lx
66765,14
63386,56
59729,47
55802,2
51623,01
47221,22
42633,68
37911,65
33139,79
28427,98
23902,95
19702,56
15853,72
12441,02
9510,935
7075,241
5115,683
3590,324
2442,598
1608,4
1023,499
628,2848
373,4399
214,6906
119,2435
63,90734
33,00559
16,40312
7,832488
3,587436
1,573234
Femmine
lx
85091,65
83157,95
80888,9
78231,7
75132,31
71542,12
67427,16
62773,74
57596,29
51947,01
45924,38
39747,73
33492,36
27444,98
21844,88
16867,75
12618,15
9131,328
6382,451
4301,485
2790,137
1738,339
1042,517
600,918
332,3684
176,0858
89,18427
43,09134
19,81607
8,650746
3,57486
Age –shifting
27
MASCHI
FEMMINE
Correzione
Anno di nascita
Correzione
Anno di nascita
dell’età
dell’età
Fino al 1941
+1
Fino al 1943
+1
Dal 1942 al 1951
0
Dal 1944 al 1950
0
Dal 1952 al 1965
-1
Dal 1951 al 1964
-1
Oltre il 1966
-2
Oltre il 1965
-2
lx popolazione italiana maschi (fonte HMD e RG48)
28
100000
90000
Size of population
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
40
50
60
70
80
90
Age
2006
1986
1966
RG48
100
110
RENDITE VITALIZIE
definizione del concetto di valore attuariale
30
Le rate unitarie sono percepite dall’assicurato finché
questo è in vita (incertezza).
P
se in vita v 

altrimenti 0 
se in vita v 2 

altrimenti 0 
x
1
x+1
1
1
x+2
…
x+3
se in vita v3 

altrimenti. 0 
.
.
se in vita v n 

altrimenti 0 
1
x+n
…
31
Si tratta di un’operazione finanziaria aleatoria di cui sono
note le determinazioni possibili degli importi.
Non è nota la durata di vita all’età x dell’assicurato,
l’importo da erogare a ciascuna epoca è dipendente
dall’evento “essere in vita” a tale epoca.
Problema: quantificare l’incertezza
assegnare la probabilità alle determinazioni possibili dei
diversi importi
Esempio: con quale probabilità l’assicurato di età 65
percepirà 1 euro di rendita all’età 75?
32
Consideriamo ogni singola rata a partire dalla prima.
U1
se in vita v 

altrimenti 0 
x
1
x+1
x+2
x+3
x+n
Il valore attuale Y di un euro di rendita percepibile
dopo un anno è aleatorio e risulta pari a
v se l'assicurato è in vita all'età x + 1
Y =
altrimenti
0
33
Sia p la probabilità che l’assicurato di età x sia in
vita all’età x+1.
Il valore atteso di Y (valore attuariale o valore attuale
atteso) è
E (Y ) = v p + 0 (1 − p ) = v p
Il valore attuariale dipende dal tasso di
attualizzazione i e dalla probabilità p.
(i,p) base della valutazione
Fattore di sconto demografico finanziario
34
Il valore attuariale di un euro di rendita percepibile dopo 1anno
da un individuo di età x se in vita si indica con
1
1
Ex = v 1 px
px Probabilità di sopravvivenza per un anno per un individuo di
età x
Il valore attuariale di un euro di rendita percepibile dopo n anni da
un individuo di età x se in vita si indica con
n
n
Ex = v
n
n
px
px Probabilità di sopravvivenza per n anni per un individuo di età x
35
Consideriamo tutte le ulteriori possibili rate
U
1
x
x+1
1
1
x+2
…
1
x+3
x+h
v 1 px
v 2 2 px
v 3 3 px
vh
.
.
.
h
=
ax
px
+∞
∑
=
h Ex
+∞
∑
vh
=
h 1=
h 1
h
px
…
Esempi numerici
36
n
i
vn
Tavola
10
3%
0,7440939
Italia Maschi 2006 HMD
età
30
40
50
60
70
80
nEx
0,737782
0,730190
0,708214
0,653021
0,513100
0,243945
Esempi numerici
37
Rendita vitalizia posticipata – Tavola IT maschi 1992
i=
età
3%
ax
età
0
28,865
30
45,212 50
1
29,000
31
2
28,884
3
ax
età
ax
età
ax
17,4214 60 13,295
70
9,206
44,292 51
17,0218 61 12,877
71
8,811
32
43,366 52
16,6200 62 12,462
72
8,408
28,761
33
42,433 53
16,2127 63 12,047
73
8,049
4
28,631
34
41,504 54
15,8026 64 11,629
74
7,635
5
…
28,496
…
35
…
40,571 55
…
…
15,3918 65 11,221
…
…
…
75
…
7,256
…
età
ax
38
Per la valutazione attuariale di una rendita vitalizia
due concetti fondamentali
1.
Attualizzazione delle somme future – aspetto
puramente finanziario
2.
Quantificazione dell’incertezza - aspetto
probabilistico
Il principio per il calcolo del premio
39
Sia Y il valore attuale aleatorio delle prestazioni
fornite dall’assicuratore
ed U il premio unico (certo) richiesto dall’assicuratore.
Per l’assicuratore la perdita è aleatoria pari a
L=Y-U .
Il principio per il calcolo del premio
40
Principio di equità
E ( L ) = E (Y − U ) = 0
Valore atteso della perdita dell’assicuratore
e quindi
U = E (Y )
Premio equo
(unico puro)
Valore attuariale delle prestazioni
Calcolo del premio
41
U
x
1
x+1
v 1 px
Pertanto il premio unico per un euro di capitale
.
percepibile
dopo un anno da un individuo di età x
.
.
se in vita è pari a
=
U 1=
Ex v 1 px
Calcolo del premio
42
U
x
1
x+1
1
1
x+2
…
x+3
1
x+n
v 1 px
v 2 2 px
v 3 3 px
vn
.
.
.
n
px
Il premio unico per la rendita vitalizia unitaria
immediata posticipata per un individuo di età x è
pari a
U =a
x
Osservazioni sulla probabilità di
sopravvivenza e sul tasso tecnico
43
U
1
x
vn
n
x+n
px
Il premio relativo alla generica n-sima rata unitaria
.
di rendita è. pari a
.
=
U n=
Ex v
n
n
px
Per tale valutazione sono stati fissati
il tasso di interesse i e
la probabilità di sopravvivenza n px
Osservazioni sulla probabilità di
sopravvivenza e sul tasso tecnico
44
Siano
*
i e
*
n
px tali che
i >i e
*
Risulta
(
px < n px
*
n
)
(
)
U i , n px < U i, n px < U ( i, n p x )
*
*
*
Il premio risulta funzione decrescente del tasso di interesse e
funzione crescente della probabilità di sopravvivenza .
Esempi numerici
45
Sia
i tale che i > i.
*
*
Si considera la tavola di sopravvivenza Italia Maschi 1992.
n
tasso
età x
40
50
60
70
10
3%
10Ex
0,723384
0,689551
0,600773
0,439933
5%
10Ex
0,596827
0,568913
0,495667
0,362966
Il premio calcolato con la base (3%,1992) è più favorevole
all’assicuratore rispetto a quello calcolato con la base (5%,1992).
Esempi numerici
46
n
i
vn
10
3%
0,7440939
1992
Tavole Italia maschi
1995
2000
HMD
2002
2006
età
nEx
nEx
nEx
nEx
nEx
30
40
50
60
70
80
0,732086
0,723384
0,689551
0,600773
0,439933
0,183008
0,731148
0,724987
0,694283
0,610678
0,449614
0,191969
0,735474
0,727557
0,700603
0,632324
0,473437
0,213057
0,736145
0,727977
0,703295
0,639885
0,483657
0,222448
0,737782
0,730190
0,708214
0,653021
0,513100
0,243945
Esempi numerici
47
Siano i* e p* tali che i* > i e p* < p
(i*, p*)=(5%, IT maschi 1992)
n
tasso
tavola
età
40
50
60
70
(i, p)=(3%, IT maschi 2006)
10
5%
1992
3%
1992
3%
2006
10Ex
10Ex
10Ex
0,596827
0,568913
0,495667
0,362966
0,723384
0,689551
0,600773
0,439933
0,730190
0,708214
0,653021
0,513100
Il premio calcolato con la base (3%,2006) è più favorevole
all’assicuratore rispetto a quello calcolato con la base (5%,1992)
Rendite vitalizie
48
Sapendo che per un individuo di età x una rendita
unitaria immediata e posticipata (a rate di importo
unitario) al tasso tecnico i ha un costo (premio unico)
pari a
+∞
U
= a=
x
∑
v h h p x ⋅1
h =1
quanto costa una rendita di rata R?
Si ha
+∞
=
UR
∑
+∞
v h h=
px ⋅ R
R
∑
=
h 1=
h 1
=
v h h px
R ax
Rendite vitalizie
49
Un individuo di età x ha disponibile un capitale
(montante) M. Qual è la rata della rendita vitalizia
immediata che può comprare con tale somma (premio
unico) ?
La risposta si ottiene risolvendo l’equazione che
uguaglia la disponibilità economica M al costo della
rendita di rata R, cioè da
si ottiene
M = R ax
1
R=M
ax
Coefficiente di conversione
50
1
cx =
ax
Si definisce coefficiente di conversione e fornisce
l’importo della rata di rendita vitalizia unitaria
immediata posticipata che si acquisisce con un montante
unitario, come risulta dalla relazione
ponendo M=1.
1
R=M
ax
Teoria delle collettività
a.a. 2012/2013
1
Dispense Corso di Matematica finanziaria – seconda parte
Prof. Angrisani – Anno Accademico 2012/2013
I) TEORIA DELLA COLLETTIVITA’
Consideriamo le seguenti funzioni della variabile temporale t appartenente all’intervallo [0, T] con
T ≤ +∞ relative ad una assegnata popolazione o collettività:
P( t ) = numero di individui della popolazione al tempo t ;
M ( t ) = numero di individui della popolazione morti tra 0 e t (con M(0)=0);
I( t ) = numero di individui della popolazione divenuti invalidi tra 0 e t (con I(0)=0);
W ( t ) = numero di individui eliminati dalla popolazione per altre cause tra 0 e t (con W(0)=0);
N( t ) = numero di individui “entrati” nella popolazione tra 0 e t (con N(0)=0).
Definiamo inoltre le intensità di variazione:
P ′( t ) = p( t )
M ′( t ) = m( t )
I′( t ) = i( t )
W ′( t ) = w ( t )
N ′( t ) = n ( t )
e definiamo i seguenti tassi istantanei:
m(t)
= α(t) tasso istantaneo di mortalità,
P(t)
i(t)
= β(t) tasso istantaneo di invalidità;
P(t)
w(t)
= γ(t) tasso istantaneo di uscita della popolazione per altre cause;
P(t)
n(t)
= ν (t) tasso istantaneo di ingresso nella popolazione.
P(t)
1
I.I) POPOLAZIONE SOGGETTA ALLA SOLA CAUSA DI ELIMINAZIONE PER MORTE
Consideriamo una popolazione soggetta alla sola causa di eliminazione per morte.
L’equazione di evoluzione della popolazione chiusa (non soggetta ad ingressi) è la seguente:
P(r ) = P(0) − M ( r )
M (0) = 0 ,
0 ≤ r ≤ T.
Supposte derivabili le funzioni P(r) e M(r), nel generico istante r, risulta:
P ′(r ) = −M ′(r );
da cui:
P ′(r)
M ′(r)
=−
= −α(r) .
P(r)
P(r)
Considerata quindi assegnata la funzione α(r) , 0≤r≤T, che fornisce il tasso istantaneo di mortalità,
funzione che supponiamo continua, possiamo considerare l’equazione differenziale lineare
omogenea del primo ordine:
P ′(r)
= −α(r) ,
P(r)
0 ≤r≤T,
(1)
ovvero cercare una funzione P(r), il cui tasso istantaneo di variazione in ogni istante r, cioè
sia pari (a meno del segno) a quello di mortalità.
2
P ′( r )
,
P(r )
Tale equazione differenziale, assegnata la condizione iniziale P(0) , ammette come soluzione la
seguente funzione della variabile temporale (che indichiamo con t):
P(t) = P(0) ⋅ e
t
− ∫ α(r)dr
0
.
(2)
L’equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine:
P ′(r)
= −α(r)
P(r)
con assegnata la condizione iniziale P(0) , si risolve facilmente per integrazione:
t
∫
0
P ′(r)
dr = − α(r)dr
P(r)
0
t
∫
[logP(r)]
t
0
t
∫
= − α(r)dr
0
t
P(t)
= − α(r)dr
log
P(0)
0
∫
P(t) = P(0) ⋅ e
t
− ∫ α(r)dr
0
.
Osservazione importante
Se la funzione α(r) definita nell’intervallo 0 ≤ r ≤ T è ivi continua a tratti, cioè presenta al più un
numero finito di discontinuità di prima specie (salti) in ogni intervallo finito, allora la funzione α(t)
t
∫
risulta comunque integrabile in ogni intervallo limitato e l’integrale − α(r)dr è una funzione
0
continua dell’estremo superiore di integrazione t.
3
La funzione definita dalla (2) è derivabile negli intervalli di continuità della α(t) ed è ancora
soluzione della equazione differenziale (1) in tali intervalli mentre nei punti di discontinuità della
funzione α(r) la funzione espressa dalla (2) è continua ma non derivabile.
Sebbene supponiamo, per semplicità di trattazione, che i tassi istantanei siano funzioni definite e
continue nell’intervallo 0 ≤ r ≤ T, in effetti tutte le conclusioni che traiamo permangono valide
anche nella ipotesi che tali tassi siano forniti da funzioni definite e continue solo a tratti in tale
intervallo. In quest’ultimo caso le funzioni espresse mediante tali tassi risultano derivabili nei punti
in cui le relative funzioni che forniscono i tassi istantanei sono continue, mentre nei rimanenti punti
risultano funzioni solo continue.
Dalla (2) si ha, per il rapporto
P( t )
, la seguente espressione:
P(0)
t
P(t)
=e
P(0)
− ∫ α(r)dr
0
.
Dunque tale rapporto rappresenta la quota della popolazione iniziale P(0) che “sopravvive” al
tempo t . Possiamo pertanto interpretare tale rapporto come la probabilità che un individuo presente
nella popolazione iniziale al tempo 0 sopravviva al tempo t , cioè esplicitamente possiamo definire
la probabilità:
p m (0, t) =
P(t)
=e
P(0)
4
t
− ∫ α(r)dr
0
.
(3)
Evidentemente a tale definizione di probabilità è implicitamente associata l’ipotesi che tutti gli
individui presenti nella popolazione al tempo 0, siano esposti nella stessa misura al rischio di
eliminazione per morte.
Dati due istanti u e v con u ≤ v dalla (2) segue:
P(v)
=e
P(u)
v
− ∫ α(r)dr
u
.
Pertanto ragionando per gli istanti u e v in modo analogo a quanto già fatto per gli istanti 0 e t ,
possiamo definire:
v
p m (u, v) = e
− ∫ α(r)dr
u
(4)
e considerare p m (u , v) come la probabilità che un generico individuo presente nella popolazione
all’istante u sopravviva all’istante v .
Considerati gli istanti u, z, v con 0 ≤ u ≤ z ≤ v risulta:
p m (u, v) = e
v
− ∫ α(r)dr
u
=e
v
z
− ∫ α(r)dr − ∫ α(r)dr
z
u
=e
z
− ∫ α(r)dr
u
⋅e
v
− ∫ α(r)dr
z
da cui la proprietà moltiplicativa per la probabilità di sopravvivenza rispetto alla decomposizione
temporale:
p m ( u , v ) = p m ( u , z ) ⋅ p m ( z, v ) .
5
(5)
Esempio n. 1
Consideriamo una popolazione esposta al tasso istantaneo annuo di eliminazione costante del
2%.
La probabilità che un individuo presente al tempo iniziale 0 sopravviva dopo 3 anni è pari a:
3
p m (0,3) = e
− ∫ 0,02dr
0
= e −0,02×3 = e −0,06 = 0,942 .
Si osservi che tale probabilità è superiore al 94%.
La probabilità che un individuo presente nella popolazione dopo 5 anni, sopravviva al decimo
anno è:
p m (5,10) = e
10
− ∫ 0,02dr
5
= e −0,1 = 0,905 .
6
Esempio n. 2
Sia P(0) = 100.000 individui. Supponiamo che dopo 2 anni P(2) = 94.000 e supponiamo che gli
individui siano “usciti” dalla popolazione per la sola causa di eliminazione per morte e che tale
causa abbia agito con un tasso istantaneo annuo costante. Si vuole calcolare tale tasso.
P(2) = P(0) ⋅ e
2
− ∫ αdr
0
da cui:
P(2) = P(0) ⋅ e −2α
94.000
= e − 2α
100.000
− 2α = log
94
100
1
94
= 0,0309 ≅ 3,09%.
α = − log
2
100
7
Si supponga ora che il tasso sia stato costante nel primo anno e che nel secondo anno tale tasso
sia stato altresì costante ma superiore del 10% rispetto a quello dell'anno precedente.
Si vogliano calcolare tali tassi.
P(r) = P(0) ⋅ e
2
1

− ∫ αdr + ∫ 1,1αdr 
1
0

P(r) = P(0) ⋅ e −α ⋅ e −1 1α
,
P(r) = P(0) ⋅ e − 2 1α
,
P(r)
,
= e − 2 1α
P(0)
− 2,1αlog
α=−
94
100
10
94
= 0,0295 ≅ 2,95%.
log
21
100
Il tasso nel primo anno è stato del 2,95% e nel secondo del 3,24%.
8
Esempio n. 3
Con P( t ) indichiamo la numerosità di una popolazione al variare del tempo t. Sia
P(0) = 100.000 individui e dopo 10 anni P(10) = 62.000 . Supponiamo che abbia agito un tasso
istantaneo di eliminazione per morte α(r) , costante in ciascun anno e che tale tasso risulti
crescente del 10 % ogni anno.
Si vuole calcolare tale tasso:
α(t) =
α
0≤r<1
γ⋅α
1≤r<2
…………………..
…………………..
γ9 ⋅ α
9≤r≤10
dove γ = 1,1 è il fattore di crescita annuale del tasso istantaneo di eliminazione.
Si ha:
P(t) = P(0) ⋅ e
t
− ∫ α(r)dr
0
e quindi:
9
P(10) = P(0) ⋅ e
10
2
1

− ∫ αdr + ∫ γ⋅αdr +........+ ∫ γ 9 ⋅αdr 


9
1
0

da cui:
P(10) = P(0) ⋅ e
− α + α⋅γ + α⋅γ 2 +.............+ α⋅γ 9 


P(10) = P(0) ⋅ e − α (1+ γ + γ
P(10) = P(0) ⋅ e
− α⋅
γ10 −1
γ −1
2 +...........+ γ 9
)
.
Pertanto:
− α⋅
P(10)
=e
P(0)
γ10 −1
γ −1
P(10)
γ 10 − 1
log
= −α ⋅
P(0)
γ −1
P(10)
P(0)
10
γ −1
γ −1
log
α=−
10
α=
0,4780
≅ 3% .
15,9374
Da cui si ricava immediatamente il valore della funzione α(r) per 0 ≤ r ≤ 10 .
Dalla (2) , indicata con s la variabile indipendente al posto di t e derivando si ottiene l’espressione:
P ′(s) = P(0) ⋅ e
s
− ∫ α(r)dr
0
⋅ (− α(s )) .
Integrando tra 0 e t si ottiene:
t
t
∫
∫
P( t ) − P(0) = P ′(s)ds = −P(0) ⋅ e
0
0
11
s
− ∫ α ( r ) dr
0
⋅ α(s)ds .
(6)
Quindi dalla equazione di evoluzione della popolazione, cioè P( t ) = P(0) − M ( t ) , con M(0)=0,
nell’intervallo 0 ≤ t ≤ T , segue per il numero M ( t ) di individui eliminati dalla popolazione
nell’intervallo [0, t ] , la seguente espressione:
t
∫
M(t) = P(0) ⋅ e
s
− ∫ α(r)dr
0
⋅ α(s)ds .
(7) 1
0
Considerando ancora l’equazione di evoluzione della popolazione, e dalla (2) si ha altresì che:
t

− ∫ α(r)dr 

M(t) = P(0) ⋅ 1 − e 0
.



(7′)
Con riferimento all’osservazione a pag. 4, si ha che nell’ipotesi che la funzione α(r) sia definita e
continua solo a tratti nell’intervallo [0, T], la funzione M(t), definita dalla (7), risulta continua
nell’intervallo [0,T] e derivabile nei punti in cui la α(r) è continua.
1
Si osservi inoltre che l’integrale (7) può essere approssimato dalla sommatoria ottenuta dividendo l’intervallo [0,t] in
n sottointervalli uguali di ampiezza ∆s =
n −1
∑ P(0) ⋅ e
i 0
si
− ∫ α(r)dr
0
t
, s 0 = 0, s1 = ∆s, s 2 = 2∆s,  , s n = n∆s = t , cioè
n
n −1
∑
n −1
⋅ α(s )Δs = P(si ) ⋅ α(si )Δs ≅
i
=i 0
∑ ΔM(s
n −1
∑
) = [ M(si +1 ) − M(si ) ] =
M(t) − M(0) =
M(t).
i +1
=i 0=i 0
12
s
Si osservi che, in base alla (2) , il prodotto P(0) ⋅ e
− ∫ α(r)dr
0
all’interno dell’integrale nella (7)
rappresenta la numerosità della popolazione sopravvissuta all’istante s a cui si applica il tasso
istantaneo di mortalità α(s) .
Dalla (2), derivando sempre rispetto al tempo ed integrando tra due istanti u e v, 0 ≤ u ≤v,
otteniamo:
s
v
∫
P(u) − P(v) = P(u) ⋅ e
− ∫ α(r)dr
u
⋅ α(s)ds
(8)
u
relazione che utilizziamo per definire la probabilità di eliminazione per morte tra gli istanti u e v:
v
s
− ∫ α(r)dr
P(u) − P(v)
q m (u, v ) =
= e u
⋅ α(s)ds .
P(u)
u
∫
(9)
Risulta ovviamente, in base alle definizioni:
q m ( u , v) =
P ( v)
P ( u ) − P ( v)
= 1 − p m ( u , v) .
= 1−
P(u )
P(u )
Dalla (4) e dalla (9) si ha dunque la relazione tra gli integrali, che può essere altresì verificata
direttamente:
v
∫u e
s
− ∫ α(r)dr
u
⋅ α(s)ds = 1 − e
13
v
− ∫ α(r)dr
u
.
(10)
Si osservi che considerati gli istanti 0 ≤ u ≤ z ≤ v risulta:
v − s α(r)dr
∫
q m (u, v) = ∫ e
u
⋅ α(s)ds = ∫ e
s
− ∫ α(r)dr
u
v − s α(r)dr
∫
⋅ α(s)ds + ∫ e
v − z α(r)dr − s α(r)dr
∫
∫
u
z
u
⋅ α(s)ds =
z
u
u
= q m (u, z) + ∫ e
z
v
⋅ α(s)ds = q m (u, z) + ∫ p m (u, z) ⋅ e
z
s
− ∫ α(r)dr
z
z
= q m (u, z) + p m (u, z) ⋅ q m (z, v).
Cioè la decomposizione temporale della probabilità di morte:
q m ( u , v ) = q m ( u , z ) + p m ( u , z ) ⋅ q m ( z, v ) .
14
(11)
⋅ α(s)ds =
Esempio n. 4
Sia data una popolazione su cui agisce la sola causa di eliminazione per morte con tasso
istantaneo annuo costante α . Si calcoli la probabilità di eliminazione nell’intervallo temporale
[u, v].
v
q m (u, v) = ∫ e
u
s
− ∫ αdr
u
 e −(s − u )α 
− ( v − u )α
⋅ αds = ∫ e −(s − u )α ⋅ αds = α −
.
 = 1− e
α u

u
v
v
P.e. se:
u = anno 1, v = anno 6, α = 0,01
q m (1,6) = 1 − e −5⋅0,01 = 1 − e −0,05 = 0,0487 .
Si osservi che, in base alla (11), posto z = anno 4, risulta:
q m (1,6) = q m (1,4) + p m (1,4) ⋅ q m (4,6) ,
ovvero:
1 − e−0,05 = 1 − e−0,03 + e−0,03 ⋅ (1 − e−0,02 ) .
15
I.II) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE: MORTE ED
INVALIDITA’
L’equazione di evoluzione della popolazione nell’ipotesi che agiscano due cause indipendenti di
eliminazione, morte ed invalidità, è la seguente:
P(r ) = P(0) − [M(r ) + I(r )]
con
M(0)=I(0)=0.
Da cui, se le funzioni P(r), M(r) e I(r) sono derivabili, la relazione nel generico istante r tra le
derivate:
P ′(r ) = −[M ′(r ) + I′(r )].
E quindi la relazione tra la funzione P(r) ed i tassi istantanei di mortalità ed invalidità:
[M ′(r) + I′(r)] = −[α(r) + β(r)]
P ′(r)
=−
.
P(r)
P(r)
16
(12)
Assegnate le funzioni α(r) e β(r) che supponiamo definite e continue per 0≤r≤T, la (12) è una
equazione differenziale dello stesso tipo della (1), cioè lineare ed omogenea del primo ordine, la cui
soluzione è:
P(t) = P(0) ⋅ e
t
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
0
.
(13)
Abbiamo quindi, al variare del tempo t, la numerosità della popolazione esposta alle due cause di
eliminazione, morte ed invalidità, in funzione dei corrispondenti tassi istantanei.
Se le funzioni α(r) e β(r) sono definite in [0, T] e ivi continue solo a tratti valgono le
considerazioni già svolte per il caso di una sola causa di eliminazione.
Analogamente al caso in cui si abbia una sola causa di eliminazione possiamo definire la probabilità
di sopravvivenza alle due cause di eliminazione morte ed invalidità tra l’istante 0 e l’istante t:
p m,i (0, t) = e
t
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
0
,
cioè la probabilità che un individuo presente nella popolazione all’istante 0 , sopravvivendo alle due
cause di eliminazione, sia ancora presente nella popolazione all’istante t .
17
Più in generale, dati due istanti u e v , con 0 ≤ u ≤ v , dalla (13) segue:
P(v) = P(0) ⋅ e
v
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
0
= P(0) ⋅ e
v

u
− ∫ (α(r) +β(r) )dr + ∫ (α(r) +β(r) )dr 
u

0
cioè:
P(v) = P(u) ⋅ e
v
− ∫ (α(r) +β(r) )dr
u
.
(14)
Possiamo quindi definire la probabilità:
p m,i (u, v) = e
v
− ∫ [α(r) + β(r) ]dr
u
(15)
che un individuo presente nella popolazione all’istante u , sopravvivendo alle due cause di
eliminazione morte ed invalidità, sia ancora presente nella popolazione all’istante v .
18
Per la probabilità di non eliminazione p m ,i ( u , v) , dalla (15) segue, per le note proprietà
dell’integrale e della funzione esponenziale, che:
p m,i (u, v) = e
v
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
=e
v
− ∫ α(r)dr
u
⋅e
v
− ∫ β(r)dr
u
= p m (u, v) ⋅ p i (u, v)
con
p m (u, v) = e
p i (u, v) = e
v
− ∫ α(r)dr
u
v
− ∫ β(r)dr
u
dove p m (u , v) rappresenta la probabilità assoluta di non eliminazione dalla collettività per morte
nell’intervallo [u , v] , cioè la probabilità di non eliminazione per la causa morte in presenza di
questa sola causa di eliminazione nella collettività e p i (u , v) rappresenta la probabilità assoluta di
non eliminazione dalla collettività per la causa invalidità nell’intervallo [u , v] .
La relazione
p m ,i ( u , v ) = p m ( u , v ) ⋅ p i ( u , v )
è nota come secondo teorema di Karup.
19
Dalla (13) , indicata con s al posto di t la variabile temporale e derivando, si ottiene la relazione:
P′(s) = − P(0) ⋅ e
s
− ∫ (α(r) +β(r) )dr
0
⋅ [α(s) + β(s)] .
Integrando quest’ultima relazione tra u e v, con 0 ≤ u ≤ v, si ottiene:
v
v
u
u
∫ P′(s)ds = −∫ P(0) ⋅ e
s
− ∫ (α(r) +β(r) )dr
0
⋅ [α(s) + β(s)]ds
e quindi:
v
∫
P(u) − P(v) = P(0) ⋅ e
s
u
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr − ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
0
⋅ [α(s) + β(s)]ds ,
u
da cui:
v
∫
P(u) − P(v) = P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
u
20
⋅ [α(s) + β(s)]ds .
(16)
La (16) fornisce dunque il numero di individui che sono stati eliminati dalla popolazione per morte
o per invalidità nell’intervallo [u , v] .
Dalla (16) si ottiene:
v
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
P(u) − P(v)
= e u
⋅ [α(s) + β(s) ]ds
P(u)
u
∫
(17)
espressione che fornisce il rapporto tra il numero di individui che sono stati eliminati nell’intervallo
[u, v]
per una delle due cause, morte o invalidità, e la popolazione al tempo u. Espressione che
possiamo interpretare come la probabilità che un individuo presente nella popolazione al tempo u
ne sia stato eliminato, per una delle due predette cause, entro il tempo v .
Possiamo cioè definire:
v
∫
q m,i (u, v) = e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
⋅ [α(s) + β(s)]ds .
u
21
(18)
Tenendo presente che per l’equazione di evoluzione della popolazione risulta:
P(u ) − P( v) = [M ( v) − M (u )] + [I( v) − I(u )] ,
dalla relazione (16) segue, per la proprietà di linearità dell’integrale:
P(u) − P(v) = [M(v) − M(u)] + [I(v) − I(u)] =
v
= ∫ P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
v
⋅ α(s)ds + ∫ P(u) ⋅ e
u
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
⋅ β(s)ds;
u
e quindi possiamo distinguere gli eliminati dalla popolazione in base alla causa di eliminazione,
morte o invalidità. Si ha infatti:
v
∫
M(v) − M(u) = P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
⋅ α(s)ds
(19a)
u
v
∫
I(v) − I(u) = P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
⋅ β(s)ds ,
(19b)
u
da cui ricaviamo sia la quota di popolazione rispetto a quella presente all’istante u, che è stata
eliminata entro l’istante v per morte, sia la quota di popolazione rispetto a quella presente all’istante
u, che è stata eliminata entro l’istante v per invalidità, cioè:
s
v
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
M(v) − M(u)
= e u
⋅ α(s)ds
P(u)
u
∫
v
(20a)
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
I(v) − I(u)
= e u
⋅ β(s)ds
P(u)
u
∫
22
.
(20b)
La (20a) ci fornisce la quota della popolazione presente al tempo u che è stata eliminata per morte,
in presenza anche dell’azione dell’altra causa di eliminazione, l’invalidità, nell’intervallo temporale
[u, v].
Si osservi che nella (19a), dalla quale deduciamo la (20a), il prodotto:
P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
rappresenta, per la (14), la popolazione residua rispetto a quella presente all’istante u ovvero non
eliminata per alcuna delle due cause dall’istante u sino all’istante s, popolazione sulla quale agisce il
tasso istantaneo di eliminazione per morte α(s) .
Possiamo quindi considerare l’espressione fornita dalla (20a) come la probabilità che un individuo
presente nella popolazione al tempo u sia eliminato per morte entro il tempo v in presenza anche
dell’altra causa di eliminazione: l’invalidità. Poniamo quindi:
v
∫
q im (u, v) = e
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
⋅ α(s)ds
(21)
u
e definiamo q im (u , v) come la probabilità relativa (dipendente o parziale) di eliminazione per
morte nell’intervallo [u , v] in quanto nella sua determinazione si è tenuto anche conto della
presenza dell’altra causa di eliminazione: l’invalidità.
23
Analogamente possiamo definire dalla (20b):
v
∫
q (u, v) = e
m
i
s
− ∫ [α(r) +β(r) ]dr
u
⋅ β(s)ds
(22)
u
come la probabilità relativa di eliminazione per invalidità nell’intervallo [u , v] in quanto nella sua
determinazione si tiene conto che sulla popolazione agisce anche la causa di eliminazione per
morte.
Dalla (18), (21) e (22) segue, per la proprietà di linearità dell’integrale, la relazione:
q m ,i (u , v) = q im (u , v) + q im (u , v)
che indica la proprietà additiva delle probabilità relative di eliminazione, nota come primo
teorema di Karup.
24
I.III) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE E IN PRESENZA DI
TASSI ISTANTANEI COSTANTI
Consideriamo ora il caso di una popolazione su cui agiscono due cause indipendenti di
eliminazione, morte ed invalidità, con tassi istantanei di eliminazione costanti α e β . Calcoliamo,
in tale situazione, le probabilità relative di eliminazione nell’intervallo temporale [u , v] . Risulta:
v − s (α +β )dr
∫
q (u, v) = ∫ e
i
m
u
v
⋅ αds = ∫ e −(s−u )(α +β ) ⋅ αds =
u
u
v
 α

α
= −
⋅ e −(s−u )(α +β )  =
⋅ (1 − e −(v −u )(α +β ) ).
 α+β
u α + β
Analogamente risulta:
q im (u, v) =
(
β
⋅ 1 − e −(v − u )(α +β )
α+β
)
Si osservi che:
q im (u, v) + q im (u, v) = q m,i (u, v) = 1 − e − ( v − u )(α +β ) .
25
Dalla (21) e dalla (22), tenuto conto della (20a) e della (20b), seguono le relazioni:
α
M(v) − M(u)
⋅ 1 − e −( v − u )(α +β ) =
α+β
P(u)
)
(
(*)
β
I(v) − I(u)
⋅ 1 − e −( v − u )(α +β ) =
.
α+β
P(u)
)
(
Dalle (*) sommando membro a membro segue la relazione:
1 − e −(v − u) (α +β ) =
P(u) − P(v)
P(u)
(**)
da cui:
e −(v − u)(α +β) =
P(v)
P(u)
− (v − u)(α + β) = log
P(v)
P(u)
e quindi:
(α + β) = −
1
P(v)
⋅ log
.
v−u
P(u)
26
(***)
Dalla prima delle (*), tenuto conto di (**), segue:
α
α P(u) − P(v) M(v) − M(u)
⋅ (1 − e − (v − u)(α + β) ) =
⋅
=
.
α+β
α+β
P(u)
P(u)
Dalla seconda uguaglianza, tenendo conto di (***), segue, per il tasso istantaneo di mortalità,
l’espressione:
α=
M(v) − M(u)
M(v) − M(u)
1
P(v)
⋅ (α + β) = −
⋅
⋅ log
P(u) − P(v)
P(u) − P(v) v − u
P(u)
ed analogamente si ottiene l’espressione per il tasso istantaneo di invalidità β, cioè
β=−
P(v)
I(v) − I(u)
1
⋅ log
⋅
.
P(u)
P(u) − P(v) v − u
Queste relazioni, nell’ipotesi che sulla popolazione agiscano le due cause di eliminazione, morte ed
invalidità, con tassi di eliminazione costanti, esprimono tali tassi in funzione del numero degli
individui che sono morti o diventati invalidi nell’intervallo temporale [u, v] e della numerosità della
popolazione agli estremi di tale intervallo.
27
II) RELAZIONE TRA PROBABILITA’ ASSOLUTE E RELATIVE DI ELIMINAZIONE
Consideriamo una popolazione la cui numerosità sia espressa dalla funzione P(t). Supponiamo che
su tale popolazione agisca solo la causa di eliminazione per morte con tasso istantaneo di
eliminazione fornito dalla funzione α(t) .
Nell’intervallo di tempo
[u, v]
risulta che il numero degli eliminati per morte si ottiene
moltiplicando P(u) per la probabilità assoluta di eliminazione per morte, ossia P(u) ⋅ q m (u , v) .
Se su tale popolazione supponiamo che agisca anche la causa di eliminazione per invalidità, in tal
caso il numero degli eliminati per morte si ottiene moltiplicando P(u) per la probabilità relativa
(relativa all’altra causa di eliminazione invalidità) di eliminazione per morte e risulta pari a:
P(u ) ⋅ q im (u , v) .
La relazione che intercorre tra il numero degli eliminati per morte nei due casi in oggetto è la
seguente:
v
∫
P(u) ⋅ q m (u, v) = P(u) ⋅ q (u, v) + P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (s, v)ds
i
m
(23)
u
ovvero:
v
∫
q m (u, v) = q (u, v) + p m,i (u, s) ⋅ β(s) ⋅ q m (s, v)ds .
i
m
u
28
(23′)
La (23) risulta interpretabile nel seguente modo: consideriamo il numero degli eliminati per morte
nell’ipotesi che agisca solo tale causa di eliminazione. Tale numero, nell’ipotesi che sulla
popolazione agisca anche la causa di eliminazione per invalidità, è ottenibile dalla somma di due
addendi. Il primo P(u ) ⋅ q im (u , v) è dato dal numero degli eliminati per morte in presenza anche
della causa di eliminazione per invalidità ed è pari, per quanto già visto, al prodotto della
numerosità della popolazione al tempo u, P(u), per la probabilità relativa di eliminazione per morte.
v
∫
Per capire il senso della (23) è opportuno osservare che l’integrale P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (s, v)ds può
u
essere approssimato tanto quanto si vuole al crescere di n (n → ∞ ), nell’ipotesi di continuità, anche
solo a tratti, della funzione integranda, dalla seguente sommatoria:
n −1




∑ P u + n (v − u ) ⋅ β u + n (v − u ) ⋅ q
k
k
k =0
m
k
 v−u

 u + (v − u ), v  ⋅
.
n
 n

Si osservi altresì che n è il numero di sottointervalli di uguale ampiezza
u+
k
(v − u ) , k=0,1, ..., n, in cui suddividiamo l’intervallo [u, v] .
u
29
v−u
, individuati dai punti
n
Ciascun addendo della sommatoria che approssima l’integrale è individuato da un particolare valore
di k ed è il prodotto di quattro fattori, dei quali possiamo raggrupparne tre:
k
k

 
 v−u
;
P u + (v − u ) ⋅ β u + (v − u ) ⋅
n
n

 
 n
questo prodotto fornisce una approssimazione del “pacchetto” di individui che vengono eliminati
dalla popolazione per invalidità nell’intervallo temporale di ampiezza
u+
v−u
, successivo all’istante
n
k
k


( v − u ) . Moltiplicando tale prodotto per q m  u + (v − u ), v  , probabilità assoluta di
n
n


k


eliminazione per morte nell’intervallo u + ( v − u ), v  , otteniamo il numero degli individui di tale
n


“pacchetto” che sarebbero usciti per morte nell’intervallo di tempo considerato se non fossero usciti
per invalidità.
Deduciamo ora formalmente la (23).
Dalla (12), segue:
P ′(s) + P(s) ⋅ α(s) = −P(s) ⋅ β(s)
e quindi moltiplicando per q m ( v, s) e sommando e sottraendo P(s) ⋅ α(s) , si ottiene:
(P′(s) + P(s) ⋅ α(s) ) ⋅ q m (v, s) − P(s) ⋅ α(s) + P(s) ⋅ α(s) = − P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (v, s) .
30
Si osservi che risulta:
(P′(s) + P(s) ⋅ α(s) ) ⋅ q m (v, s) − P(s) ⋅ α(s) =
d
P(s) ⋅ q m (v, s)
ds
Infatti se si tiene presente che:
q m (v, s) = 1 − e
s
− ∫ α(r)dr
v
e quindi che:
d
q m (v, s) = −e
ds
s
− ∫ α(r)dr
v
⋅ α(s) = −e
s
− ∫ α(r)dr
v
⋅ α(s) + α(s) − α(s) = α(s) ⋅ q m (v, s) − α(s)
si ottiene:
d
(P(s) ⋅ q m (v, s) ) = P′(s) ⋅ q m (v, s) + P(s) ⋅ d q m (v, s) =
ds
ds
= P′(s) ⋅ q m (v, s) + P(s) ⋅ [α(s) ⋅ q m (v, s) − α(s)].
31
Risulta pertanto:
d
(P(s) ⋅ q m (v, s) ) + P(s) ⋅ α(s) = − P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (v, s) .
ds
Se integriamo tale relazione rispetto ad s tra gli istanti u e v si ottiene:
v
v
v
d
∫u ds (P(s) ⋅ q m (v, s) )ds + ∫u P(s) ⋅ α(s)ds = − ∫u P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (v, s)ds
e quindi dalla (21) e dalla (14):
v
P(v) ⋅ q m (v, v) − P(u) ⋅ q m (u, v) + P(u) ⋅ q (u, v) = − ∫ P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (v, s)ds
i
m
u
da cui la (23):
v
P(u) ⋅ q m (u, v) = P(u) ⋅ q (u, v) + ∫ P(s) ⋅ β(s) ⋅ q m (v, s)ds
i
m
(23)
u
Analoga relazione vale, ovviamente, tra la probabilità assoluta e relativa di invalidità:
v
P(u) ⋅ q i (u, v) = P(u) ⋅ q (u, v) + ∫ P(s) ⋅ α(s) ⋅ q i (v, s)ds .
m
i
u
Relazione quest’ultima che ha valore formale.
32
(24)
III) PROBABILITA’ DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA’ APERTE
Consideriamo una popolazione soggetta oltre alle due cause di eliminazione già considerate, morte
ed invalidità, ad una ulteriore causa di eliminazione che raggruppa tutte le altre possibili cause di
eliminazione differenti da quelle considerate.
Consideriamo pertanto le tre funzioni α(r), β(r), γ(r) , non negative, che forniscono i relativi tassi
istantanei al variare del tempo r, r ∈ [0, T].
Supponiamo inoltre che in tale popolazione possano entrare “nuovi” individui. Equipariamo tale
possibilità ad una causa di eliminazione a tasso istantaneo negativo − ν (r) , ν (r) ≥ 0 . Si parla in tal
caso di collettività aperta.
L’equazione di evoluzione di tale popolazione è dunque:
P(r ) = P(0) − [M(r ) + I(r ) + W (r )] + N(r )
0≤r≤T
con
M(0)=I(0)=W(0)=N(0)=0
dove W(r) e N(r) rappresentano rispettivamente il numero di individui eliminati dalla popolazione
per cause diverse da mortalità ed invalidità e quello degli individui entrati a far parte della
popolazione tra gli istanti 0 ed r.
Derivando e dividendo per P(r):
P ′(r )
M ′(r ) I′(r ) W ′(r ) N ′(r )
=−
−
−
+
P(r )
P(r ) P(r ) P(r )
P(r )
cioè:
P ′(r)
= −α(r) − β(r) − γ(r) + ν (r) .
P(r)
33
(25)
Supposto che le funzioni α(r), β(r), γ(r) e ν (r) siano definite e continue in [0, T], la precedente
relazione è una equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine, la cui soluzione è:
P(t) = P(0) ⋅ e
t
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r) − ν (r) ]dr
0
.
(26)
Possiamo anche scrivere la funzione P(t) utilizzando le probabilità assolute di sopravvivenza, cioè:
P(t) = P(0) ⋅ p m (0, t) ⋅ p i (0, t) ⋅ p w (0, t) ⋅ e
t
∫ ν (r)dr
0
.
Dati due istanti u e v, con 0≤u ≤ v, risulta:
v
P(v) = P(u) ⋅ e
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r)−ν (r) ]dr
u
(27)
da cui:
P(v) = P(u) ⋅ p m,i,w (u, v) ⋅ e
v
∫ ν (r)dr
u
.
p m,i, w (u, v) è la probabilità di sopravvivenza alle tre cause di eliminazione tra gli istanti u e v. Si
osservi che tale probabilità è pari al prodotto delle probabilità assolute di eliminazione relative allo
stesso intervallo temporale, cioè:
p m,i, w (u, v) = p m (u, v) ⋅ p i (u, v) ⋅ p w (u, v) .
34
Possiamo altresì scrivere:
v
P(v) = P(u) − ∫ P(s) ⋅ [α(s) + β(s) + γ(s) − ν (s)]ds
(28)
u
da cui, ricavando P(s) dalla (27), risulta:
s
v
P(v) = P(u) − ∫ P(u) ⋅ e
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r)−ν (r) ]dr
u
⋅ [α(s) + β(s) + γ(s) − ν (s)]ds .
(29)
u
Quindi per la linearità dell’integrale e tenuto conto dell’equazione di evoluzione della popolazione,
P(u ) − P( v) = [M ( v) − M (u )] + [I( v) − I(u )] + [W ( v) − W (u )] − [N( v) − N(u )] , si ottiene:
v
M(v) − M(u) = ∫ P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r) −ν (r) ]dr
u
⋅ α(s)ds
(29.1)
u
s
v
I(v) − I(u) = ∫ P(u) ⋅ e
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r)−ν (r) ]dr
u
⋅ β(s)ds
(29.2)
u
v
s
W(v) − W(u) = ∫ P(u) ⋅ e
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r)−ν (r) ]dr
u
⋅ γ(s)ds
(29.3)
u
v
N(v) − N(u) = ∫ P(u) ⋅ e
s
− ∫ [α(r) +β(r) + γ(r)−ν (r) ]dr
u
⋅ ν(s)ds.
(29.4)
u
Le prime tre relazioni forniscono il numero di individui eliminati dalla popolazione nell’intervallo
temporale [u, v] per le cause di morte, invalidità, o di altro tipo e l’ultima il numero dei nuovi
entrati nella popolazione nello stesso intervallo.
35
III.I) PROBABILITA’ DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA’ APERTE IN PRESENZA DI
TASSI ISTANTANEI COSTANTI
Supponiamo costanti nell’intervallo temporale [u , v] le funzioni che definiscono i tassi istantanei,
α(r) = α, β(r) = β, γ(r) = γ , ν (r) = ν .
Consideriamo dapprima il caso α + β + γ − ν ≠ 0 (in cui risulta quindi P(u)≠P(v)).
In tale caso dalle (29.1)-(29.4) risulta che:
[
M(v) − M(u)
α
=
⋅ 1 − e −(v− u)(α +β + γ −ν )
P(u)
α + β + γ −ν
[
I(v) − I(u)
β
=
⋅ 1 − e −(v− u)(α +β + γ −ν )
P(u)
α + β + γ −ν
]
]
[
W(v) − W(u)
γ
=
⋅ 1 − e −(v− u)(α +β + γ −ν )
P(u)
α + β + γ −ν
[
N(v) − N(u)
ν
=
⋅ 1 − e −(v − u)(α +β + γ −ν )
P(u)
α + β + γ −ν
(30)
]
]
Sommando le prime tre uguaglianze del sistema (30) membro a membro e sottraendo l’ultima si
ottiene:
P(u) − P(v)
= 1 − e −(v − u)(α +β + γ −ν ) .
P(u)
36
(◊)
Da cui si ricava per la somma delle intensità istantanee l’espressione:
α + β + γ −ν = −
1
P(v)
⋅ log
.
v−u
P(u)
(◊◊)
Dalle relazioni (30), utilizzando (◊) e (◊◊), possiamo ricavare i quattro tassi istantanei α, β, γ e ν:
α=
M(v) − M(u) 
1
P(v) 
⋅ −
⋅ log
P(u) − P(v)  v − u
P(u) 
I(v) − I(u) 
1
P(v) 
⋅ −
⋅ log
P(u) 
P(u) − P(v)  v − u
β=
(31)
γ=
W(v) − W(u) 
1
P(v) 
⋅ −
⋅ log
P(u) − P(v)  v − u
P(u) 
ν=
N(v) − N(u) 
1
P(v) 
⋅ −
⋅ log
P(u) − P(v)  v − u
P(u) 
37
Sempre nell’ipotesi di tassi istantanei costanti, nel caso in cui però si ha α + β + γ − ν = 0 e risulta
quindi P(v)=P(u), il valore di tali tassi si ottiene direttamente dalle (29.1) - (29.4) ed è pari a:
α=
M(v) − M(u) 1
⋅
P(u)
v−u
β=
I(v) − I(u) 1
⋅
P(u)
v−u
(32)
γ=
W(v) − W(u) 1
⋅
P(u)
v−u
ν=
N(v) − N(u) 1
⋅
P(u)
v−u
38
Esempio n. 5
Consideriamo una collettività aperta. Nell’intervallo temporale [u, v], con v−u=1 anno, supponiamo
che abbiano agito tre cause di eliminazione, ed una di ingresso, con i seguenti tassi istantanei annui
costanti:
α=0,3%; β=0,2%; γ=0,1%; ν =0,2%.
Supponiamo inoltre che risulti:
P(u)=100.000.
In base alle relazioni (30) (si osservi che α + β + γ − ν ≠ 0 ) il numero degli eliminati per singola causa
e degli “ingressi” nell’intervallo temporale [u, v] è pari a:
M(v) − M(u) = P(u) ⋅
I(v) − I(u) = P(u) ⋅
[
]
α
⋅ 1 − e −(v − u )(α +β + γ −ν ) = 299,40
α + β + γ −ν
[
]
β
⋅ 1 − e −(v − u )(α +β + γ −ν ) = 199,60
α + β + γ − νν
W(v) − W(u) = P(u) ⋅
N(v) − N(u) = P(u) ⋅
[
]
γ
⋅ 1 − e −(v − u )(α +β + γ −ν ) = 99,80
α + β + γ −ν
ν
α + β + γ −ν
[
]
⋅ 1 − e −( v − u )(α +β + γ −ν ) = 199,60
ed inoltre al tempo v, cioè dopo un anno a partire dal tempo u, la popolazione P(v) è pari a:
P(v) = P(u) − [M(v) − M(u)] − [I(v) − I(u)] − [W(v) − W(u)] + [N(v) − N(u)] = 100.000 − 399,2 ≅ 99.600,8
39
Esempio n. 6
Sia data una collettività aperta di individui esposta alle cause di eliminazione per morte, invalidità e
“varie”.
Supponiamo siano stati rilevati i seguenti “movimenti” nell’intervallo temporale [u, v] con v-u=2 anni.
P(u) = 1.000
P(v) = 960
M(v) − M(u) = 20
I(v) − I(u) = 30
W(v) − W(u) = 40
N(v) − N(u) = 50.
Supposti costanti i tassi istantanei annui di eliminazione α, β, γ, ed il tasso istantaneo annuo di
ingresso ν, si calcolino tali tassi in base ai dati rilevati. Per la (31) (si osservi che P(u ) ≠ P( v) )
risulta:
α=
20  1
960 
⋅  − log
 = 0,0102
40  2
1.000 
β=
30  1
960 
⋅  − log
 = 0,0153
40  2
1.000 
γ=
40  1
960 
⋅  − log
 = 0,0204
40  2
1.000 
ν=
50  1
960 
⋅  − log
 = 0,0255 .
40  2
1.000 
40
Le precedenti formule (31) e (32) consentono di stimare, a partire dall’analisi di una “popolazione
storica”, i tassi istantanei di eliminazione e il tasso istantaneo di entrata nell’ipotesi che,
nell’intervallo temporale in considerazione, tali tassi risultino costanti. I tassi così stimati si possono
utilizzare per l’analisi previsionale di una popolazione similare.
Supponiamo quindi di avere a disposizione una popolazione storica.
Tracciamo in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico, le “storie” o traiettorie
dei singoli individui della popolazione.
In tale sistema di riferimento riportiamo in ascissa il tempo “assoluto” o di calendario riferito al
Periodo di Osservazione, P.O., ed in ordinate l’età degli individui (vedi “Figura 1”).
La storia di ogni individuo della popolazione è rappresentata quindi da un segmento, inclinato di
45°, il cui punto iniziale ha coordinate che corrispondono al tempo (di calendario) di entrata e
all’età di entrata dell’individuo nella popolazione storica ed il cui punto terminale ha coordinate che
corrispondono al tempo e all’età di uscita dell’individuo dalla “popolazione storica”.
Si osservi che parliamo di punto iniziale e di punto terminale del segmento in quanto lo
consideriamo orientato secondo il verso di crescita delle coordinate dei punti (tempo di calendario,
età dell’individuo).
Definiamo come “pareti temporali” le rette perpendicolari all’asse temporale negli istanti TI e TF ,
istanti che delimitano il periodo o finestra di osservazione.
Consideriamo come traiettorie entranti nel P.O. quelle relative a segmenti che “entrano” nella
finestra di osservazione in corrispondenza della “parete temporale” TI (tagliano cioè la relativa retta
perpendicolare nell’istante TI ) e come traiettorie uscenti dal P.O. quelle relative a segmenti che
“escono” dalla finestra di osservazione in corrispondenza della “parete temporale” TF (tagliano
cioè la relativa retta perpendicolare all’asse temporale nell’istante TF ).
41
Con riferimento alla Figura 1 il segmento r corrisponde ad un individuo che “entra” nella
popolazione storica al tempo T1 con una età di poco inferiore a 34 anni e ne esce ad un tempo
compreso tra T5 e T6 con una età di poco inferiore a 39 anni per una delle possibili cause di
eliminazione.
Il segmento s corrisponde ad un individuo che “entra” nel P.O. con una età di poco superiore ai 35
anni, mentre il segmento t corrisponde ad un individuo che esce dal P.O. con una età compresa tra
36 e 37 anni.
Definiamo come “piani temporali” le rette orizzontali corrispondenti a valori interi dell’età degli
individui.
Applichiamo il principio delle “pareti e dei piani temporali sottili”. Supponiamo cioè che una
traiettoria non possa avere né punto iniziale né punto finale in corrispondenza delle “pareti
temporali” o dei “piani temporali” o “attraversamenti” in corrispondenza delle intersezioni tra pareti
e piani.
Studiamo la numerosità della popolazione ottenuta dalla popolazione storica “schiacciando” l’asse
temporale: indichiamo cioè con P ∗ (u ) , dove u è l’età dell’individuo, il numero di individui della
popolazione storica che nel P.O. hanno raggiunto l’età u. Da un punto di vista grafico si tratta di
“contare” tutte le traiettorie che intercettano la quota di età u durante il Periodo di Osservazione.
Possiamo quindi studiare la numerosità P ∗ (u ) di individui al variare della variabile temporale età
u, che è la variabile in funzione della quale verranno valutati i successivi tassi istantanei di entrata e
di uscita per le varie cause. In effetti è come se avessimo creato una popolazione fittizia di individui
coetanei, “contata” da P ∗ (u ) , per i quali quindi l’evolversi del tempo coincide con l’evolversi della
età uguale per tutti.
42
Si osservi che alle naturali cause di ingresso e di uscita (morte, invalidità, altre) dalla popolazione
storica, per la popolazione "contata" da P ∗ (u ) , sono altresì da aggiungere la causa di ingresso
relativa alle traiettorie entranti nel P.O. e la causa di uscita relativa alle traiettorie uscenti dal P.O.
Studiamo quindi al variare della variabile temporale età la numerosità della popolazione “contata”
da P ∗ (u ) considerando in aggiunta alle naturali cause di ingresso e di uscita dalla popolazione
queste altre due cause fittizie.
43
Età u
39
38
r
37
s
49
36
t
P*(35) = 3
35
34
T = tempo
T1
T2
T3
T4
T5
TI
T6
T7
T8
T9
TF
Figura 1
Indichiamo con m u , i u , w u , n u , rispettivamente il numero di eliminati per morte, invalidità ed
altre cause e gli ingressi nell'intervallo temporale di età (u, u+1), con u età intera. Vale la seguente
relazione (per valori interi dell'età u):
P ∗ (u + 1) = P ∗ (u) − (m u + i u + w u ) + n u + s u − e u ,
dove con s u ed e u si indicano rispettivamente gli ingressi e le uscite dal P.O., cioè gli individui che
rispettivamente all’inizio ed alla fine del Periodo di Osservazione hanno età nella classe u, cioè
compresa tra u e u+1.
Per ricorsività si ha inoltre:
u −1
u −1
x =a
x =a
P ∗ (u ) = P ∗ (a ) + ∑ (n x + s x ) − ∑ (m x + i x + w x + e x )
essendo a la "soglia" di età assunta come iniziale per gli individui della popolazione storica.
Se supponiamo che, nell’intervallo di età (u, u+1), tutte le cause di ingresso e di uscita dalla
popolazione contata da P ∗ (u ) agiscono con intensità costante, comprese le due di ingresso e di
uscita dal P.O., allora possiamo applicare a tale popolazione le formule (31) o (32).
50
I) Se P ∗ (u + 1) ≠ P ∗ (u ) , si ha per i tassi istantanei:
αu = −
βu = −
mu
P ∗ (u) − P ∗ (u + 1)
iu
P ∗ (u) − P ∗ (u + 1)
⋅ log
P ∗ (u + 1)
P ∗ (u)
⋅ log
P ∗ (u + 1)
P ∗ (u)
γu
P ∗ (u + 1)
⋅ log
=− ∗
P (u) − P ∗ (u + 1)
P ∗ (u)
εu
P ∗ (u + 1)
=− ∗
⋅ log
P ∗ (u)
P (u) − P ∗ (u + 1)
νu
P ∗ (u + 1)
⋅ log
=− ∗
P (u) − P ∗ (u + 1)
P ∗ (u)
σu
P ∗ (u + 1)
=− ∗
⋅ log
P ∗ (u)
P (u) − P ∗ (u + 1)
wu
eu
nu
su
dove ε u e σ u indicano i tassi istantanei rispettivamente di ingresso e di uscita dal Periodo di
Osservazione.
51
II) Se P ∗ (u + 1) = P ∗ (u ), si ha per i tassi istantanei:
αu =
βu =
γu =
εu =
νu =
σu =
mu
P ∗ (u)
iu
P ∗ (u)
wu
P ∗ (u)
eu
P ∗ (u)
nu
P ∗ (u)
su
∗
P (u)
52
.
Esempio
Consideriamo una “popolazione storica” per la quale in un Periodo di Osservazione siano stati
accertati i valori di m u , i u , w u , e u , n u ed s u forniti, al variare di u, dalla seguente matrice:
u
18
19
20
21
22
23
24
mu
10
11
12
12
…..
…..
…..
iu
5
4
3
3
…..
…..
…..
wu
2
1
1
0
…..
…..
…..
eu
5
6
4
5
…..
…..
…..
nu
11
12
12
9
…..
…..
…..
su
10
9
10
11
…..
…..
…..
S(u)
-1
-1
+2
0
…..
…..
…..
P ∗ (u )
1000
999
998
1000
…..
…..
…..
P ∗ (u + 1)
999
998
1000
1000
…..
…..
…..
S(u ) = P ∗ (u + 1) − P ∗ (u )
53
Supposto che in ciascuna classe di età le cause di “ingresso” e di “uscita” agiscano con intensità
costante si hanno, per ciascuna classe di età, i seguenti tassi istantanei corrispondenti alle singole
cause di “entrata” e di “uscita” dalla popolazione:
18
19
20
21
22
23
αu
1%
1,1%
1,2%
1,2%
…..
…..
βu
0,5%
0,4%
0,3%
0,3%
…..
…..
γu
0,2%
0,1%
0,1%
0,0%
…..
…..
εu
0,5%
0,6%
0,4%
0,5%
…..
…..
νu
1,1%
1,2%
1,2%
0,9%
…..
…..
σu
1,0%
0,9%
1%
1,1%
…..
…..
54
TAVOLE DI MORTALITA’ SULLA POPOLAZIONE ITALIANA PRODOTTE DALL’ISTAT.
Facendo riferimento a quanto precedentemente detto si considera un Periodo di Osservazione di un
anno, l’anno t. Indichiamo con Pt* (u ) gli individui della popolazione italiana che hanno raggiunto
l’età u nel corso dell’anno t (dal 1° gennaio al 31 dicembre), con m (ut ) gli individui morti nel corso
dell’anno t e con e (ut ) gli individui che al 1° gennaio dell’anno t hanno età compresa nella classe u.
Il tasso grezzo di mortalità è fornito dal rapporto:
Π (ut ) =
(
mu
1 (t)
⋅ e u + Pt∗ (u )
2
)
Tale tasso si ottiene come rapporto tra il numero di decessi di individui di classe di età u, cioè età
compresa nell’intervallo (u,u+1), verificatisi nell’anno t ed il numero di individui esposti al rischio
di eliminazione per morte.
Vediamo come si determina il “denominatore” del rapporto cioè il numero di individui esposti al
rischio di eliminazione per morte.
Si suppone l’equidistribuzione nell’anno t degli “ingressi” nella classe di età u e l’equidistribuzione
degli individui nella classe di età u al 1° gennaio dell’anno t.
In tale caso ciascuno degli individui esposti al rischio di eliminazione per morte, sia se “entra” nella
classe di età u nel corso dell’anno t e quindi viene “contata” da Pt* (u ) , sia se appartiene alla classe
u all’inizio dell’anno t, e quindi viene contata da e (ut ) , permane mediamente esposto al rischio di
eliminazione per morte per “mezzo anno”.
Infatti il tempo medio di esposizione al rischio di morte di un individuo appartenente alla prima
categoria di individui e cioè quelli contati da Pt* (u ) è fornito da:
1
1 1
 1 2
∫0 1 ⋅ (1 − τ )dτ = τ − 2 τ  = 1 − 2 = 2
0
1
dove la funzione 1 è la densità costante della distribuzione di individui entranti nella classe di età u
nel corso dell’anno t e 1- τ rappresenta il tempo residuo di permanenza nella classe di età nel
Periodo di Osservazione di un individuo entrato al tempo di calendario t+ τ .
55
In termini discreti, avendo diviso l’anno in n intervalli di tempo uguali ( τ =
k
, k = 0,....., n − 1) ,
n
l’integrale è approssimato dalla seguente sommatoria:


∑ 1 ⋅ 1 −  ⋅ = 1 −
n −1
k =0

k 1
n n
1
n2
n −1
∑k = 1−
k =0
1 n (n − 1)
n −1 1
1 1
1 1
1
⋅
= 1−
⋅ = 1− +
= +
n
→
→∞
2
2
n 2
2 2n 2 2n
2
n
Pertanto ciascun individuo è esposto al rischio di eliminazione per morte per
1
anno.
2
Allora anziché considerare Pt∗ (u ) individui esposti al rischio di eliminazione ciascuno mediamente
per
1 ∗
1
anno, si considerano in modo equivalente,
Pt (u ) individui esposti al rischio di
2
2
eliminazione per 1 anno.
Analogamente si ragiona sugli individui che all’inizio dell’anno t già appartengono alla classe di età
u, cioè quelli “contati” da e (ut ) .
Per la classe di età 0 si considera come tasso grezzo il rapporto
m (0t )
.
Pt∗ (0)
A tali tassi grezzi di mortalità si applica una doppia perequazione. La prima perequazione è fornita
dalla formula:
Πu =
(t )
(
)
1
⋅ Π u(t − 2 ) + 2Π u(t −1) + 3Π u(t ) .
6
Per la seconda perequazione(per le classi di età tra 5 e 86 anni) si adotta la formula:
qu =
7 ⋅ Π u + 6 ⋅ (Π u −1 + Π u +1 ) + 3 ⋅ (Π u − 2 + Π u + 2 ) − 2 ⋅ (Π u −3 + Π u +3 )
21
La prima perequazione “regolarizza” il valore del tasso rispetto alla stessa classe di età u per periodi
di osservazione “vicini” a quello in considerazione t, mentre la seconda perequazione “regolarizza”
il valore del tasso rispetto a classi di età vicine ad u.
56
Sistema pensionistico
a.a. 2012/2013
1
Definizione
Un sistema pensionistico percepisce contributi dall’iscritto durante la fase di
attività ed eroga pensioni nella fase di quiescenza.
Si stabilisce un “patto” tra l’Ente e il singolo iscritto in relazione alla contribuzione
e alla pensione.
Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – seconda parte – a.a. 2012/2013
2
Ciclo vitale dell’iscritto
Anno di
pensionamento
Attivo
Maturazione della pensione
Tutela dei diritti
acquisiti
Pensionato
Pagamento della pensione
t
Non modificabilità
delle pensioni
Principi a tutela dell’iscritto
3
Tasso di sostituzione
Rappresenta il rapporto tra la prima rata annua di pensione e l’ultima retribuzione
(reddito), al momento della cessazione dell’attività lavorativa.
Fornisce una misura del mantenimento del tenore di vita raggiunto nell’ultima fase
della vita lavorativa, nel periodo successivo del pensionamento .
Più esattamente, una misura del livello di adeguatezza delle prestazioni:
Prima rata annua di pensione
Ultima retribuzione (reddito)
4
Classificazione
I sistemi pensionistici si distinguono, sulla base delle modalità di gestione
finanziaria, in sistemi a ripartizione e sistemi a capitalizzazione, ai quali
possono essere associati criteri diversi di determinazione delle prestazioni
(metodo retributivo e metodo contributivo).
Modalità di
gestione
finanziaria
Modalità di
calcolo della
pensione
5
Modalità di calcolo
della pensione
Gestione
finanziaria
Contributiva
Retributiva
Accumulando
Capitalizzazione 1
risorse
2
Contributi
correnti
3
4
Parziale
5
Accumulo
Capitalizzazione
risorse: Riserva
6
Ripartizione
Contributi
Correnti
+
differenziale
6
Gestione finanziaria a ripartizione
Si tratta di una modalità di gestione basata sul pagamento delle prestazioni
pensionistiche correnti mediante i contributi correnti.
Gestione finanziaria a capitalizzazione
Si tratta di una modalità di gestione basata sul pagamento delle prestazioni
pensionistiche correnti mediante l’accumulo di risorse.
7
Metodo di calcolo retributivo
La pensione annuale è pari a una fissata percentuale (coefficiente di rendimento,
in termini della retribuzione pensionabile, di un anno di contribuzione) della
retribuzione pensionabile
moltiplicata per il numero di anni di contribuzione .
La retribuzione pensionabile
può essere pari a:
Ultima retribuzione:
 Media delle retribuzioni degli ultimi M anni, rivalutate all’inflazione:
 inflazione costante:
con:
= retribuzione dell’anno L-j ;
= tasso d’inflazione;
 inflazione non costante:
= tasso d’inflazione dell’anno L-k ;
per
, la produttoria è sostituita
dal valore 1.
8
Metodo di calcolo contributivo
La pensione annuale è pari al prodotto del montante contributivo individuale per il
coefficiente di trasformazione relativo all’età di pensionamento:
Il montante contributivo individuale, data l’aliquota contributiva costante α, si
ottiene rivalutando i contributi versati nel regime della capitalizzazione composta:
 tasso di rivalutazione
r
costante:
contributi computati posticipati
 tasso di rivalutazione
r
k
non costante:
contributi computati posticipati,
per
, la produttoria è sostituita
dal valore 1
9

Rendite vitalizie - LogicaPrevidenziale.it

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