Appendice - Funzioni di Bessel

""
E
Funzioni di Bessel
In questa appendice sono elencate alcune proprietà delle funzioni di Bessel. Per un 'elencazione
molto più ampia si veda: Abramowitz-Stegun, Handbook ofMathematical Functions, Dover
PubI., N.Y. 1965.
FUNZIONIDIBESSELDELPRIMOE DEL SECONDOTIPO Le funzioni di Bessel, indicate
in generale
con Zv
=Zv( z),
sono definite
sul piano complesso
z
=x + jy. Esse
sono le soluzio-
ni dell'equazione di Bessel
(E.1)
dove v è una costante (generalmente complessa) detta "ordine" dell'equazione e delle
funzioni. Nello studio delle onde interessa il caso in cui v è reale, in particolare intero. In
questo ultimo caso l'ordine viene indicato con il simbolo n.
Se l'ordine non è intero la soluzione generale della (E. I) può essere posta nella forma
(A, B costanti arbitrarie)
(B.2)
dove Jy(z) e Ly(z) sono due soluzioni indipendenti (funzioni di Bessel del primo tipo) date
da:
y
()
J(z)~
y - 2
m
( l
00
-)
~m m!['(m+v+l)
2m
()
~
2
(E.3a)
largzl<1t
J
z
(z) = -y
2
-y
()
00
(-l)m
~m m!r(m-v+l)
z
2m
(2 )
-
(E.3b)
In queste espressioni la funzione r indica il cosiddetto "fattoriale generalizzato". Quando v
è intero si ha:
462
E
Appendice
r(m+n+ l)=(m+n)!
e risulta Ln(z) = (_l)n Jn(z). In questo caso la soluzione generale della (E. 1) non è più la (E.2),
perchè Jn e Ln non sono più indipendenti. Un'altra soluzione particolare dell'equazione di
Bessel è evidentemente:
= Jy(z)COSV1t
- J_y(z)
sin V1t
Ny(z)
(funzione di Ressel del secondo tipo)
Pertanto si può anche scrivere:
(EA)
Quando l'ordine è intero l'espressione che definisce Ny diviene indeterminata, e quindi Nn
deve essere definita mediante il seguente limite:
La funzione così ottenuta è indipendente da Jn, così che la (EA) rappresenta la soluzione
generale dell'equazione di Bessel, anche quando l'ordine è intero.
Le funzioni Jn(z) sono analitiche in tutto il piano z. Le altre funzioni di Bessel sono
analitiche in tutto il piano z, escluso il semiasse x :::;O (l'origine è un punto di
diramazi one ).
Le funzioni di Bessel Jo e No sono rappresentate dalle seguenti serie di potenze:
00
Jo(z)=
No(z)
Lm (-1)m
o
(m!)2
2
Z
(
~
2m
()
(E.5)
2
)
= - y + ln- Jo(z)+1t
2
L
200
1t O
z
(1)m+l
m
-
(m!)
2
2m
()
-
2
4>(m)
(E.6)
dove
4>(m)
=l
y =0.5772...
+ 112 + ... + 11m
(costante di Eulero)
Se l'ordine è un intero diverso da zero si ha:
n
00
( ) ~m
J ( )- z
n Z - "2
( l)
2m
m
-
m!(m+n)!
(Z)
"2
(E.7)
Funzionidi Bessel 463
2
Nn(z)=
n-I
(
1t 'Y+ln~
_!
f
)
Jn(Z)-!
z
Lm (n-m-I)!
1t O
m!
2m-n +
2
2m+n
()
(-l)m
1t o m m!(m+n)!
(~ )
(B.8)
"2
[<I>(m)+<I>(m+n)]
L'andamento di alcune funzioni di Bessel sull'asse reale positivo è rappresentato nelle
Figure E.I e E.2. I valori numerici possono essere ottenuti mediante comuni routine di
calcolo numerico, o possono essere reperiti su tabelle.
0.8
0.6
004
0.2
O
-0.2
-004
L.
-0.6
O
2
4
8
6
lO
12
14
lO
12
14
16
Figura E. l
0.6
0.4
0.2
O
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8 l'
-1.0
'."..'
-1.2 O
I
I
I
+
....
I
2
4
6
8
FiguraE.2
16
464 Appendice E
Altre soluzioni particolari della (E. l ) sono le funzioni di Hankel (o funzioni di Bessel del
terzo tipo), definite come segue:
(E.9)
È evidente che la soluzione generale (E.4) può trasformata nella seguente espressione:
(M, N costanti arbitrarie)
La Figura E.3 mostra l'andamento delle funzioni di Hankel di ordine Oe l, per valori reali
positivi dell' argomento.
APPROSSIMAZIONIPER PICCOLIVALORIDELL' ARGOMENTO
ni si deduce facilmente che, per piccoli valori di Izl, si ha:
Dalle precedenti definizio-
2
No(z) ""-lnz
]t
(E. IO)
APPROSSIMAZIONIPER GRANDI VALORI DELL' ARGOMENTO
Izi si ha:
0.6 ,-
(E.II)
(v>O)
Nv(Z)",,_r~v)(~r
Per valori molto grandi di
0.6
.~
0.4
ca
0.4
.~ 0.2
S
.5 o
0.2
I::
o
~
:;; -0.2
Q.,
-0.4
-0.2
-0.4
-0.6
-0.4 -0.2
-0.6
o 0.2 0.4 0.6
parte reale
0.8
-0.4
Figura E.3
-0.2
o
0.2 0.4
parte reale
0.6
0.8
Il
Funzionidi Bessei 465
~
J (z) "" -cos
Y
1tZ
(
1t
z---4
V1t
2
)
N (z)""
Y
~
-SIn
1tZ
.
(
1t
z---4
V1t
2
)
(E.I2)
(E. B)
Al crescere di x lungo l'asse reale positivo le funzioni Jn(x) e Nn(x) tendono a comportarsi
come sinusoidi smorzate, la cui ampiezza decresce come x-ll2; il modulo delle funzioni di
Hankel decresce con la stessa legge e l'argomento varia proporzionalmente a x.
FORMULEDI RICORRENZA Detta Zv una funzione di Bessel qualsiasi, vale la seguente
relazione:
(E. 14)
Questa formula permette di dedurre per ricorrenza le funzioni di ordine intero maggiore di
I partendo dalle funzioni Zo e ZI.
Indicando con un apice la derivata si ha:
(E.15)
(E.16)
Z'y(z) = ZY-I -ZY+I
2
(E.I?)
In particolare risulta:
(E.18)
ZERIDELLEFUNZIONIJn(z) e J~(z) Quando l'ordine è reale le funzioni del primo e del
secondo tipo e le loro derivate prime hanno un numero infinito di zeri reali, ciascuno dei quali
è semplice, con la possibile esclusione dell'eventuale zero sull'origine (che può essere
multiplo).
Gli zeri positivi delle funzioni Jn(z) e J~(z) costituiscono due successioni, i cui termini
sono indicati con xnpe x~ per le due funzioni rispettivamente (p = I, 2, ... ). I valori di alcuni
zeri sono riportati nelle Tabelle E.I e E.2
466 Appendice E
Tabella E.I
Alcuni valori degli zeri xnpdi Jn
n
O
I
2
3
4
5
2.405
5.520
8.654
Il. 792
3.832
7.0]6
10.173
13.324
5.136
8.417
Il.620
14.796
6.380
9.761
13.015
7.588
Il.065
14.372
8.771
12.339
p
]
2
3
4
Tabella E.2 Alcuni valoridegli zeri x~pdi J~
n
O
I
2
3
4
5
3.832
7.016
10.173
13.324
].841
5.331
8.536
11.706
3.054
6.706
9.969
13.170
4.201
8.0]5
Il.346
5.317
9.282
12.682
6.4]6
10.520
13.987
p
I
2
3
4
INTEGRALI DI LOMMEL
Indicate con h e k due costanti diverse si ha:
z
fo t J
y
(ht)J y(kt) dt = h2 -k
Z
2 {h J y(kz)J y+l (hz)
-
kJ y(hz)J y+1(kz)}
=
(v> -l)
(E.19)
(v > -I)
(E.20)
I precedenti integrali sono noti come integrali di Lommel.
RAPPRESENTAZIONE
INTEGRALEDI Jn(z) Esistono diverse rappresentazioni integrali
delle funzioni di Bessel, fra le quali la seguente:
n
1
Jn (z)
f
n
'-n
= -1t cos(ne - zsine)de =L
21t
O
.
eJZCOSacos(ne)de
f
(E.2I)
-n
"
Funzioni di Bessel
467
Vengono così indicate le soluzioni dell'equazione di
FUNZIONI DI BESSEL MODIFICATE
Bessel modificata:
d
dZ
z- z-(z
dz ( dz )
2
2+v )Z=O
(E.22)
Nello studio dei campi è particolarmente interessante il caso in cui z è reale non negativo.
In questo caso la soluzione generale della (E.22) è data da:
(E.23)
dove:
K (x)
v
= (- Jy+1
1t H(2)(
2
v
- J'x)
(x 2:O)
(E.24)
L'andamento di lo, I], Ko, K) è rappresentato nella Figura E.4.
Per valori grandi di x si ha:
(E.25)
Le formule di ricorrenza per le funzioni modificate possono essere facilmente dedotte dalle
(E.14-18).
\O
l,O
8
0,8
6
0,6
4
0,4
2
0,2
°
°
o
I
2
3
x
--
4
Figura EA
°
]
2
3
x --
4