Potenza complessa

Principi di ingegneria elettrica
Lezione 14a
Potenza in regime sinusoidale
Potenza istantanea
Potenza media
Potenza complessa
Valore efficace
Potenza in regime sinusoidale
La potenza istantanea assorbita da un bipolo è il prodotto dei
valori istantanei della tensione e della corrente.
Nel caso di grandezze sinusoidali essa assume un tipico
andamento oscillatorio che viene caratterizzato con il valore
medio.
Uno dei fondamentali parametri identificativi di un utilizzatore è
la potenza di targa, che rappresenta la potenza media assorbita
dall’utilizzatore in condizioni di funzionamento nominale.
Altre grandezze utilizzate per descrivere le proprietà energetiche
dei circuiti funzionanti in regime sinusoidale sono:
il valore efficace
la potenza reattiva
la potenza apparente
il fattore di potenza
Potenza istantanea
v(t ) = Vm cos(ωt + θv ) ⇒ fasore corrispondente : Vm∠θv
i(t ) = I m cos(ωt + θi )
⇒ fasore corrispondente :
Im∠θi
p(t) = v(t) ⋅ i(t ) = Vm cos(ωt + θv ) ⋅ Im cos(ωt + θi )
cos A cos B =
p( t ) =
1
[cos( A − B) + cos( A + B)]
2
1
1
Vm I m cos(θ v − θ i ) + Vm I m cos(2ωt + θ v + θ i )
2
2
t
Potenza attiva
Il termine costante viene indicato con la lettera P e prende il
nome di potenza attiva (si misura in watt):
1
P = Vm I m cos(θ v − θi )
2
[W ]
La potenza istantanea oscilla con pulsazione 2ω intorno ad un
valore costante pari alla potenza attiva P.
L’ampiezza dell’oscillazione è pari a:
1
Vm I m
2
Il valore massimo della potenza istantanea (potenza di picco) è
1
pari a: P + Vm I m
2
Potenza attiva
pm =
1 T
1 T1
1 T1
(
)
θ
θ
p
(
t
)
dt
=
V
I
cos
−
dt
+
VmIm cos(2ωt + θv + θi )dt =
m m
v
i
∫
∫
∫
0
0
0
T
T 2
T 2
1
1 1
= VmIm cos(θv − θi ) +
VmIm [sin(4π + θv − θi ) + sin(θv + θi )] =
2
4π 2
1
= VmIm cos(θv − θi ) + 0 = P
2
La potenza attiva è il valor medio in un periodo della potenza
istantanea p(t).
L’energia dissipata dal bipolo in un intervallo di tempo Δt è
espressa da:
∆t
∆t
0
0
W ( ∆t ) = ∫ p( t )dt = P∆t +∫
W ( ∆t ) ≅ P∆t
1
Vm I m cos(2ωt + θv + θi )dt
2
Potenza attiva
Resistore
i( t ) = I m cos(ωt + θ i )
v( t ) = R ⋅ i( t ) = RI m cos(ωt + θ i )
θ v = θ i ⇒ cos(θ v − θ i ) = 1
Vm = RI m
p( t ) =
1
1
Vm I m cos(θ v − θ i ) + Vm I m cos(2ωt + θ v + θ i )
2
2
p( t ) =
1 2 1 2
RI m + RI m cos(2ωt + 2θ i )
2
2
1
1 2 1 Vm2
P = Vm I m = RI m =
2
2
2 R
Induttore
i( t ) = I m cos(ωt + θ i )
v( t ) = L ⋅
di( t )
= −ωLI m sin(ωt + θ i ) =
dt
= ωLI m cos(ωt + θ i + 90°)
θ v = θ i + 90° ⇒ cos(θ v − θ i ) = 0
Vm = ωLI m
p( t ) =
1
1
Vm I m cos(θ v − θ i ) + Vm I m cos(2ωt + θ v + θ i )
2
2
1
p( t ) = 0 + ωLI m2 cos(2ωt + 2θ i + 90°)
2
P=0
Condensatore
v( t ) = Vm cos(ωt + θ v )
i( t ) = C
dv( t )
= −ωCVm sin(ωt + θ v ) =
dt
= ωCVm cos(ωt + θ v + 90°)
θ i = θ v + 90° ⇒ cos(θ v − θ i ) = 0
I m = ωCVm
p( t ) =
1
1
Vm I m cos(θ v − θ i ) + Vm I m cos(2ωt + θ v + θ i )
2
2
1
p( t ) = 0 + ωCVm2 cos(2ωt + 2θ i − 90°)
2
P=0
Valore efficace
Un resistore di resistenza R percorso da una corrente costante I
assorbe una potenza istantanea costante pari a:
p = RI 2
Nel caso di corrente sinusoidale i(t)=Imcos(ωt) la potenza media
assorbita dallo stesso resistore vale:
P=
1 2
RI m
2
Le due potenze si eguagliano quando:
RI 2 =
1 2
RI m
2
E cioè quando la corrente costante assume il valore efficace
della corrente sinusoidale:
I eff =
Im
2
Il valore efficace di una corrente sinusoidale corrisponde al
valore della corrente costante che nello stesso resistore
determina una dissipazione di potenza pari alla potenza
media del regime sinusoidale.
I eff =
Im
2
Veff =
Vm
2
Il valore efficace di una tensione sinusoidale corrisponde al
valore della tensione costante che applicata ai capi dello
stesso resistore determina una dissipazione di potenza pari
alla potenza media del regime sinusoidale.
La legge di Ohm vale anche per i valori efficaci: Veff = RI eff
Il valore efficace Veff di una grandezza sinusoidale x(t)=Xmcosωt è
anche così definito:
X eff
1 T 2
1 T
1 T1 2
2
[
(
)
]
=
x (t )dt =
X m cos ωt d t =
X m [1 + cos(2ωt )] dt =
∫
∫
∫
0
0
0
T
T 2
T
Xm
1 T1 2
=
X
dt
=
m
T ∫0 2
2
Xeff =
Xm
2
Poiché il valore efficace è la radice quadrata della media dei
quadrati dei valori istantanei, viene anche denominato valore
r.m.s. come acronimo di root mean square .
Utilizzando i valori efficaci per le tensioni e le correnti, si può
esprimere la potenza media come:
1
V I
P = VmIm cos(θv − θi ) = m m cos(θv − θi ) = Veff Ieff cos(θv − θi )
2
2 2
Per un resistore si ha:
P = Veff I eff = RI
2
eff
=
Veff2
R
Esempio
L’alimentatore di un PC riporta i seguenti dati: OUTPUT 70 W, 20 V.
Determinare la corrente continua erogata dall’alimentatore e la corrente
alternata assorbita dalla presa elettrica, supponendo che l’alimentatore
sia assimilabile ad un carico resistivo.
POUT = VOUT I OUT
⇒ I OUT =
70
= 3,5 A
20
Supponendo che l’alimentatore sia privo di perdite, si ha:
PIN = POUT
⇒ I eff =
70
= 0 ,3 A
230
Potenza complessa
In regime sinusoidale anche nel calcolo della potenza risulta comodo
lavorare con quantità complesse .
La potenza complessa assorbita da un bipolo si definisce come prodotto
del fasore tensione per il complesso coniugato del fasore corrente.
S=
1 ∗
VI
2
V = Vm e jθ v
I = I m e jθ i
1
1
jθ v
− jθ i
S = Vm e I m e
= Vm I m e j (θ v −θ i )
2
2
Il modulo della potenza complessa è detto potenza apparente
1
S = S = Vm I m = Veff I eff
2
La potenza complessa e la potenza apparente si misurano in voltampere [VA]
Potenza complessa
L’argomento della potenza complessa è la differenza di fase tra la
tensione e la corrente:
argS = θ v − θ i = ϕ
Il coseno dell’angolo φ è chiamato fattore di potenza
La potenza complessa può essere scritta come:
S=
1
1
Vm I m cos ϕ + j Vm I m sin ϕ = P + jQ
2
2
P=
1
Vm I m cos ϕ = Re[S]
2
Q=
1
Vm I m sin ϕ = Im[S]
2
Potenza complessa
La potenza media è la parte reale della potenza complessa.
La parte immaginaria della potenza complessa si indica con la
lettera Q e prende il nome di potenza reattiva
Per distinguere la potenza reattiva dalla potenza media si
introduce per essa una differente unità di misura il var (voltampere reattivi)
Potenza complessa
Resistore
θ v = θ i ⇒ sin(θ v − θ i ) = 0 ⇒ QR = 0
Induttore
θ v = θi + 90° ⇒ sin(θ v − θ i ) = 1
Vm = ωLI m
Condensatore
1
1 Vm2
2
⇒ QL = ωLI m =
>0
2
2 ωL
θ i = θ v + 90° ⇒ sin(θ v − θ i ) = −1
I m = ωCVm
1 I m2
1
⇒ QC = −
= − ωCVm2 < 0
2 ωC
2
Nuove grandezze introdotte
potenza complessa
S = P + jQ
potenza apparente
S = P 2 + Q2
fattore di potenza
cos ϕ =
potenza attiva
P = S cos ϕ
potenza reattiva
Q = S sin ϕ
P
S
Potenza complessa
complessa, impedenza e
ammettenza
Un bipolo di impedenza Z=R+jX impegna una potenza complessa
che può essere espressa nei seguenti modi:
S=
1 ∗ 1
1
1
2
VI = ZII∗ = Z I = (R + jX )I m2
2
2
2
2
P=
1 2
RI m
2
Q=
1 2
XI m
2
Analogamente, nota l’ammettenza Y=G+jB si ha:
S=
1 ∗ 1
1
1
2
∗
VI = V (YV ) = Y ∗ V = (G − jB )Vm2
2
2
2
2
1
P = GVm2
2
1
Q = − BVm2
2
Interpretazione della potenza reattiva
v(t) = Vm cos(ωt + θv )
⇒
fasore corrispondente : V∠θv
i(t) = Im cos(ωt + θi )
⇒
fasore corrispondente :
I∠θi
Scomponendo il fasore V secondo due
componenti ortogonali, di cui una in fase
con la corrente, si ha:
V = VP + VQ
VP ha modulo Vmcosϕ e fase θi e
moltiplicato per la corrente dà valor medio
VmImcosϕ
VQ ha modulo Vmsinϕ e fase θi+90° e
moltiplicato per la corrente dà valor medio
nullo.
Interpretazione della potenza reattiva
Conservazione della potenza complessa
In regime sinusoidale la somma delle potenze complesse estesa a
tutti gli elementi di un circuito è nulla.
∑ S = ∑ (P + jQ ) = 0
k
k
k
k
k
La stessa proprietà vale per la potenza attiva e per quella reattiva
ma non vale per la potenza apparente.
∑P
k
=0
k
∑Q
k
k
=0
Conservazione della potenza complessa
Il principio di conservazione della potenza complessa si può
enunciare per un circuito in cui sono presenti solo generatori
indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori,
condensatori) nel modo seguente:
la somma delle potenze complesse erogate dai generatori è
uguale alla somma delle potenze complesse assorbite dagli
elementi passivi
∑- S
generatori
Versi coordinati per il calcolo
della potenza complessa
erogata da un generatore
k
=
∑S
k
elementi passivi
Versi coordinati per il calcolo
della potenza complessa
assorbita da un bipolo
Teorema di Boucherot
Lo stesso principio della conservazione della potenza
complessa può essere espresso secondo il teorema di
Boucherot per valutare le potenze assorbite da una rete bipolare
costituita dalla connessione di più bipoli passivi:
la potenza attiva assorbita dalla rete bipolare è la somma
delle potenze attive assorbite dai diversi bipoli che la
costituiscono;
la potenza reattiva assorbita dalla rete bipolare è la somma
algebrica delle potenze reattive assorbite dai diversi bipoli
che la costituiscono;
la potenza complessa assorbita dalla rete bipolare è la
somma vettoriale delle potenze complesse assorbite dai
diversi bipoli che la costituiscono.
esempio
La potenza attiva erogata dal generatore viene dissipata nei due
resistori.
La potenza reattiva erogata dal generatore viene assorbita dai
due elementi reattivi.
1
Re[VI∗ ] = P1 + P2
2
1
Im[VI∗ ] = QL + QC
2