Esercitazione del 30/11/09

Esercitazione del 30/11/09
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
Corso di Microeconomia, Titolare del Corso Luigi Marattin
1
Esercizi.
1.1
Si consideri un’economia di puro scambio dove esistono solo due consumatori,
denominati A e B. Le loro funzioni di utilità sono:
Ua = 2xy
Ub = xy
La dotazione iniziale di A è (xa = 20; ya = 4) e quella di B è (xb = 4;
yb = 16).
(a) Si ricavi l’equazione della curva dei contratti.
(b) Si ricavi un vettore dei prezzi che garantisca l’equilibrio concorrenziale
(di Walras).
(c) Si determini l’allocazione ottimale per i due consumatori.
1.2
In un’economia di puro scambio con due agenti, a e b, e due beni y e x
la quantitá complessivamente disponibile di ciascuno dei due beni é 1 e le
funzione di utilitá sono le seguenti:
√
Ua = x y
√
Ub = xy
si dica se le seguenti allocazioni sono efficienti:
1 1
(xa ; ya ) =
;
3 5
2 4
(xb ; yb ) =
;
3 5
1
1.3
Le funzioni di utilità di due individui rispetto ai due beni di consumo, x e y,
sono:
Ua = xa ya + xa + ya
Ub = xb yb2
le quantitá complessive dei beni e le loro distribuzioni tra i due individui
sono le seguenti:
X = 6; xa = 3; xb = 3
Y = 4; ya = 2; yb = 2
(a) Si dica se siamo in presenza di efficienza nello scambio.
(b) Si proceda alla determinazione della curva dei contratti
2
Domande a risposta multipla, Teoria.
2.1
Una economia di consumo con due beni (x e y) é popolata da due consumatori, A e B con funzioni di utilitá Ua = min(xa , ya ) e Ub = xb + yb . Dite
se:
(a) la curva dei contratti é una parabola.
(b) la curva dei contratti é una linea retta.
(c) non é possibile determinare la forma della curva dei contratti
2.2
Mediante il modello di scambio visto a lezione é possibile determinare:
(a) il rapporto tra i prezzi dei beni che permette di raggiungere efficienza
nello scambio.
(b) il livello dei prezzi dei beni che permette di raggiungere efficienza nello
scambio.
(c) nessuna delle precedenti.
2
2.3
Nel mercato obbligazionario:
(a) esiste una relazione diretta tra tasso d’interesse nominale e prezzo.
(b) esiste una relazione inversa tra tasso d’interesse nominale e prezzo.
(c) esiste una relazione diretta tra tasso d’interesse reale e prezzo.
(c) esiste una relazione inversa tra tasso d’interesse reale e prezzo.
3
Soluzioni suggerite
1.1:
Punto (a): La curva dei contratti è il luogo dei punti di tangenza delle curve
di indifferenza dei due consumatori. Per trovare l’equazione della curva dei
contratti si risolve il seguente sistema in tre equazioni:


SM SA = SM Sb
xa + xb = X


ya + yb = Y
La prima equazione impone che le curve di indifferenza dei due consumatori
siano tangenti tra loro. Le altre due equazioni assicurano che le quantità totali dei beni disponibili nell’economia siano uguali alla somma delle dotazioni
dei due individui. Risolvendo il sistema per i nostri dati si ha:
y


yb
ya xb
a



 xa = xb
ya xb = yb xa
yb = xa
xa + xb = 24 → xa + xb = 24 → xa + xb = 24






ya + yb = 20
ya + yb = 20
ya + yb = 20
(
xa + xb = 24
ya + yxa xa b = 20
(
xb = 24 − xa
→
ya xa + ya xb = 20xa
ya xa + ya (24 − xa ) = 20xa → ya =
→
20
24 xa
La curva dei contratti é quindi:
ya = 0.83̄xa
Si osservi che l’allocazione iniziale dei beni dei due individui non giace sulla
curva dei contratti. Infatti, per l’individuo A, si ha che: 4 6= 0.83̄ · 20 .
Punto (b): Un vettore di prezzi per il mercato concorreziale (walrasiano)
deve assicurare l’equilibrio su tutti i mercati. Secondo la legge di Walras, se
tutti i mercati sono in equilibrio tranne uno, anche questo ultimo mercato
deve essere in equilibrio. Poichè in questo caso ci sono solo due mercati,
quello del bene X e quello del bene Y , è sufficiente cercare i prezzi di equilibrio per un solo mercato. Affinché un mercato, ad esempio quello di X,
sia in equilibrio, la somma delle domande dei due consumatori deve essere
uguale alla somma delle loro dotazioni del bene stesso (eccesso di domanda
nullo). Ricaviamo, quindi, la domanda di ciascun consumatore per il bene
X. Per il consumatore A si ha:
4
(
SM Sa =
px
py
px xa + py ya = Ra
Dove il reddito di A è uguale al valore della sua dotazione iniziale (Ra =
20px + 4py ) . Per cui, risolvendo il sistema, si ottiene la domanda di A:
(
px
ya
20px +4py
xa = py
→xda = 2p
x
px xa + py ya = 20px + 4py
Nella stessa maniera si ricava la domanda di B:
(
px
yb
4p +16p
xb = py
→xdb = x2px y
px xb + py yb = 4px + 16py
La quantità di X disponibile sul mercato è pari alla somma delle dotazioni
iniziali dei due consumatori:
X = 20 + 4 = 24
La somma delle domande di A e B deve uguagliare la diponibilità totale di
X sul mercato:
xda + xdb = X
Quindi abbiamo che:
20px + 4py
4px + 16py
+
= 24
2px
2px
24px + 20py = 48px
20
5
px
=
=
py
24
6
Un vettore di prezzi capace di assicurare l’equilibrio walrasiano è, quindi:
px = 5; py = 6
Punto (b): Per ottenere le scelte ottime di A e B è sufficiente sostituire
i prezzi di equilibrio nelle rispettive funzioni del bene X e ricavare1 quelle
del bene Y:
xda =
20px + 4py
20px + 4py
→ x∗a =
= 12.4
2px
2px
1
Nel caso della funzione di utilità Cobb-Douglas é possibile sfruttare le sue proprietà
per ricavare direttamente le funzioni di domanda di x e y. Per la generica funzione di
β
α R
R
utilitá U = xα y β , le rispettive funzioni di domanda sono: xd = α+β
e y d = α+β
,
px
py
dove R é il reddito del consumatore. Infatti α e β rappresentano la quota relativa di
reddito che il consumatore utilizza per acquistare ciascun bene.
5
xdb =
4px + 16py
4px + 16py
→ x∗b =
= 11.6
2px
2px
yad =
20px + 4py
20px + 4py
→ ya∗ =
= 10.3̄
2py
2py
ybd =
4px + 16py
4px + 16py
→ yb∗ =
= 9.6̄
2py
2py
L’utilità di A per il paniere di scelta ottima é 256.2667 e quella di B é 112.13,
ovviamente entrambi superiori a quelle delle dotazioni iniziali.
1.2:
Le allocazioni sono efficienti.
1.3:
Punto (a): Le dotazioni iniziali non sono pareto efficienti.
7yb
Punto (b): La curva dei contratti é xb = 10−y
b
1.4:
Domande a risposta multipla: (b), (a), (b).
6