7^ Esercitazione (soluzioni)

7a Esercitazione: soluzione Corso di Microeconomia A‐K, a.a. 2009‐2010 Monica Bonacina ([email protected]) Corso di Microeconomia L‐Z, a.a. 2009‐2010 Stefania Migliavacca ([email protected]) Esercizi da svolgere ad esercitazione Esercizio 1. La funzione di domanda di mercato delle biciclette è QD= 20 – p. Il costo di produzione è dato da TC(Q)= 1 + Q2. Determinare: a) l’equilibrio di mercato se le biciclette fossero tutte prodotte da una impresa monopolista; b) l’equilibrio di mercato se il mercato delle biciclette fosse in concorrenza perfetta; c) la perdita di benessere sociale nel passaggio dall’equilibrio di concorrenza perfetta all’equilibrio di monopolio (con rappresentazione grafica del caso specifico in oggetto). Esercizio 1. Soluzione.
a) L’impresa monopolista massimizza il profitto in corrispondenza della quantità (QM) che rende uguale il ricavo marginale (MR) al costo marginale (MC): MR(Q)= MC(Q) La domanda inversa del mercato è: p (Q) = 20 – Q Il ricavo totale dell’impresa monopolista è: TR(QM) = p(Q)*Q = (20 ‐ Q)Q = 20Q ‐ Q2 Da questo si ottiene ‐ derivando rispetto alla quantità prodotta ‐ il ricavo marginale: MR(Q) = ∂TR(Q)
= 20 ‐ 2Q ∂Q
Da notare che il ricavo marginale ha sempre la medesima intercetta verticale della funzione di domanda (20) e una pendenza doppia rispetto ad essa. In equilibrio il ricavo marginale dovrà essere uguale al costo marginale: MC(Q) =
∂TC(Q)
= 2Q ∂Q
La quantità che massimizza il profitto dell’impresa monopolista (scelta ottima) si ricava dunque da: 20 – 2Q = 2Q cioè QM = 20/4 = 5. Il prezzo di mercato corrispondente è: pM = 20 – QM = 20 – 5 = 15. Il profitto (positivo) dell’impresa monopolista diventa dunque: π(QM) = (pM *QM) ‐ TC(QM) = (15 *5) ‐ (1 + 52) = 75 ‐ (1 + 25) = 49. b) L’impresa perfettamente concorrenziale si comporta come se il prezzo di mercato fosse dato (price‐taker). Il ricavo marginale è costante e uguale al prezzo di mercato, che in equilibrio è uguale al costo marginale MC(Q) = 2Q. Esplicitando rispetto alla quantità prodotta, la condizione di massimo profitto dell’impresa perfettamente concorrenziale è: p = MC(Q) ⇒ 20 – Q = 2 Q ⇒ QCP = 20/3. Il prezzo di mercato si ottiene dalla domanda inversa: pCP = 20 – QCP = 20 – 20/3 = 40/3, c) La quantità prodotta e scambiata in equilibrio nel mercato perfettamente concorrenziale (QCP) è maggiore della quantità prodotta e scambiata in equilibrio nel mercato monopolistico (20/3 > 5). Il prezzo di equilibrio che si stabilisce sul mercato perfettamente concorrenziale (pCP) è inferiore al prezzo di equilibrio che si stabilisce invece sul mercato monopolistico (pM) (infatti, risulta 10 < 40/3). Come è noto, il benessere sociale (indicato con W) è dato dalla somma del surplus del consumatore (aggregato) e del profitto dell’impresa (o delle imprese) operante nel mercato: W = SC + π p
FIG. 1
20
A
MC
H
B
pM=15 pCP=40/3 C
MC(QM) D
MR
Q
QM=5 QCP=20/3 20
p
FIG. 2
I
A
MC
H
A F B
B
M C
10 D
MR
Q
QM=5 QCP=20/3 20
Nel passaggio dalla concorrenza al monopolio il surplus del consumatore diminuisce, passando dall’area del triangolo FAI all’area del triangolo MBI (fig. 2). Il profitto dell’impresa aumenta, passando da πCP = 44,59 a πM = 49. L’aumento del profitto dell’impresa non è in grado, tuttavia, di compensare la diminuzione del surplus del consumatore nel passaggio da CP a M. Si registra una perdita netta di benessere sociale che coincide con l’area del triangolo ABC: -
(pM – 10) rappresenta la base del triangolo, ovvero il segmento AC (QCP – QM) rappresenta l’altezza del triangolo, ovvero il segmento HB ⇒ Perdita = (pM – 10)(QCP – QM)/2 = (15 – 10)(20/3 – 5)/2 = 25/6. (Nota: 10 è il valore in ordinata del costo marginale MC(Q) = 2Q per Q = QM = 5) Esercizio 2. Si consideri un monopolista che fronteggia una curva di domanda di mercato pari a Q(p) = 10 – p. I costi di produzione totali corrispondono alla funzione TC(Q) = 2Q. a) Calcolare prezzo e quantità di equilibrio per il monopolista b) Rappresentare graficamente l’equilibrio di mercato indicando chiaramente le coordinate sugli assi. c) Una associazione di consumatori propone che lo Stato tassi il monopolista con una imposta su ciascuna unità venduta, al fine di ridurre i profitti che egli ottiene “sfruttando” la propria posizione. Questa soluzione porterebbe un miglioramento del benessere collettivo? d) Calcolare il guadagno netto di benessere se questo mercato passasse dall’equilibrio di monopolio all’equilibrio di concorrenza perfetta. Esercizio 2. Soluzione. a) La domanda inversa di mercato è: p (Q) = 10 – Q La retta di ricavo marginale corrisponde alla derivata prima dei ricavi totali. Inoltre ricordiamo che è pari alla domanda inversa con pendenza doppia: MR (Q)= 10 – 2 Q Inoltre il costo marginale è costante e pari a 2 MC(Q) =
∂TC(Q)
= 2 ∂Q
In equilibrio ricavo marginale e costo marginale si eguagliano; la quantità che massimizza il profitto del monopolista è quindi: MR(Q)=MC(Q) ⇒ 10 – 2Q = 2 ⇒ QM = (10 – 2)/2 = 4. Il prezzo di mercato corrispondente è: pM = 10 – QM = 10 – 4 = 6 b) Rappresentazione grafica (per comodità inseriamo già i risultati sull’equilibrio di concorrenza perfetta che calcoliamo al punto c)) p
I=10
A
pM=6 B
pCP=2
MC=2
C
D
MR
Q
QCP=8
QM=4 c) Se il monopolista dovesse pagare un imposta per unità venduta pari a t, la funzione di costo diventerebbe TC’(Q)= 2Q+tQ. Di conseguenza il costo marginale aumenterebbe a MC’=2+t, configurando un nuovo punto di equilibrio (in C) con un nuovo prezzo maggiore del precedente (B>D) e una nuova quantità (Q’M<QM) inferiore a quella calcolata al punto b). p Prima della tassa: SC=AED SP=DEMH Con la tassa: SC=ABC SP=BCNF Gettito=FNLH A
B C
E
D G
F
MC’=2+t
N
t
MC=2
H L
M
I
Q
Q’M QM
Prima della tassa il benessere sociale è dato dalla somma tra surplus del consumatore (SC) e surplus del produttore (SP) ed è pari all’area AEMH. Per effetto della tassazione proposta, il benessere collettivo si ridurrebbe ad un’area pari a ACLH, composta da SC, SP e dal gettito ottenuto attraverso la tassazione (G = (t x Q’M) = FNLH). Di conseguenza la proposta porterebbe un peggioramento del benessere sociale pari al trapezio CEML. d) In concorrenza perfetta, la condizione di massimo profitto è p = MC(Q), di conseguenza: 10 – Q = 2 ⇒ QCP = 10 – 2 = 8. Il prezzo di mercato è: pCP= 10 – QCP = 10 – 8 = 2. Da notare che pM > pCP e QM < QCP. Il surplus del consumatore (SC) nel caso del monopolio era misurabile dall’area del triangolo IApM. Passando alla concorrenza perfetta SC aumenta, diventando pari al triangolo IBpCP. Il guadagno per il consumatore corrisponde al trapezio pMABpCP. Per il produttore invece, si passa dal profitto di monopolio (area del quadrato pMACpCP) al profitto nullo della concorrenza perfetta. Poiché W=SC+π, il bilancio finale del passaggio da monopolio a concorrenza perfetta sarà un guadagno di benessere sociale complessivo pari al triangolo tratteggiato (ABC): W = (qCP + qM )(pM – pCP)/2 = (8 + 4)(6 – 2)/2 = 24. Esercizio 3. L’azienda Geko s.p.a. opera come monopolista sul mercato delle ventose e la sua funzione dei costi totali è pari a TC(Q) = 10 + Q2. Supponete che la domanda di mercato delle ventose sia Q(p) = 30 ‐ p. a) Calcolate la quantità e il prezzo di equilibrio di mercato, il profitto della Geko e il valore della elasticità della domanda al prezzo nel punto di equilibrio. b) Rappresentate graficamente la posizione di equilibrio della Geko sul mercato, indicando i profitti totali. c) Il prezzo di monopolio sarà maggiore o minore del corrispondente prezzo di concorrenza perfetta? d) Possiamo affermare che il mercato delle ventose è un monopolio naturale? Motivate la vostra risposta in modo esauriente, anche attraverso analisi analitica e grafica della configurazione dei costi. Esercizio 3. Soluzione. a) La condizione che massimizza il profitto della Geko (monopolista) è che il costo marginale (MC) eguagli il ricavo marginale (MR). In questo caso: MC(Q) = 2 Q MR(Q) = 30 ‐ 2 Q Risolvendo si ha: Q* = 7,5 Sostituendo nella funzione di domanda si ha: p*= 30 ‐ Q* = 22,7 Il profitto del monopolista sarà pari a: [
]
π(Q) = TR(Q) − TC(Q) = p(Q) * Q − TC(Q) = ( 22 ,7 * 7 ,5) − 10 + (7 ,5) 2 = 102 ,5 (b) La rappresentazione grafica è la seguente. In azzurro è indicato il profitto del monopolista. p
MC
AC
PM=22,7
AC(QM)=12,1 D
MR
Q
QM=7,5
c) In concorrenza perfetta i valori di equilibrio si ricavano dalla condizione MC(Q) = p; questa situazione è compatibile con la seguente quantità QCP = 10 e prezzo pCP= 20. p
MC
AC
PM=22,7
PCP=20
D
MR
Q
QM=7,5
Il prezzo di monopolio è maggiore di quello di concorrenza perfetta e la quantità prodotta in situazione di monopolio è minore rispetto a quella prodotta in situazione di concorrenza perfetta. d) Parliamo di monopolio naturale quando, per motivi “strutturali” (vale a dire la tecnologia disponibile in relazione alla dimensione del mercato), il numero ottimo di imprese operanti sul mercato è uno. In questi casi, la funzione di costo medio ha un andamento monotono decrescente. Nell’esercizio in esame la Geko s.p.a. ha una funzione di costo medio data da AC(Q)=Q+10/Q il cui andamento, come già mostrato nei grafici ai punti b) e c), non è monotono. Di conseguenza, suddividendo la produzione su diverse imprese potrebbe verificarsi una riduzione anziché un aumento del costo medio, il che implicherebbe una diminuzione del costo totale. Dunque possiamo concludere che non si tratta di un monopolio naturale. Esercizio 4. Considerate un monopolista che opera su un mercato nel quale la funzione di domanda è p = 70 ‐ Q. Il monopolista ha la funzione di costo TC(Q) = 10Q + Q2 a) Calcolate il ricavo marginale e il costo marginale. b) Trovate la quantità e il prezzo di equilibrio del monopolista. Date una rappresentazione grafica dellʹequilibrio. c) Calcolate il profitto di monopolio e la perdita di benessere del monopolio, indicandoli nella rappresentazione grafica precedente. Esercizio 4. Soluzione. a) La funzione di ricavo è paria a: TR(Q) = P(Q) ∙ Q = (70 ‐ Q) Q = 70Q ∙ Q2 Derivandola si ottiene la funzione di ricavo marginale: MR(Q) = 70 ‐ 2Q Allo stesso modo, derivando la funzione di costo: TC(Q) = 10Q + Q2 si ottiene la funzione di costo marginale: MC(Q) = 10 + 2Q. b) Nel punto di equilibrio del monopolio il ricavo marginale eguaglia il costo marginale: MR (Q) = MC(Q) 70 ‐ 2Q = 10 + 2 Q da cui si ottiene: Q* = 15 Sostituendo nella funzione di domanda inversa p(Q) = 70 – Q*, si ottiene: P* = 55 Graficamente si ha: p
70
MC
55
40
10
D
MR
Q
15
20
c) La funzione di profitto è: π(Q)=(70 – Q) ∙ Q – (10Q + Q2) = 70 ∙ 15 ‐ 152 ‐ 10 ∙ 15 ‐ 152= 450 Ed è rappresentato dal rettangolo azzurro nel grafico sottostante, mentre in giallo evidenziamo la perdita di benessere, il cui valore sarà quindi pari a: Perdita benessere = (55 ‐ 40)∙(20 ‐ 15) / 2 = 37,5 La rappresentazione grafica è la seguente: p
70
MC
55
AC
40
25
10
D
MR
Q
15
20
Esercizio 5. di costo Considerate il caso di una impresa monopolista con una funzione TC(q) = 6 + q2 che vende il proprio prodotto sul mercato nazionale con la seguente funzione di domanda p(q) = 40 ‐ q. a) Calcolate la quantità, il prezzo di equilibrio di mercato e il profitto del monopolista e rappresentateli graficamente. b) Si calcoli il mark‐up o ricarico sui costi marginali del monopolista. c) Si ricavi, utilizzando il mark‐up, lʹelasticità della domanda rispetto al prezzo in corrispondenza della quantità offerta dal monopolista. d) Dal punto di vista del benessere sociale è preferibile una struttura di mercato di concorrenza perfetta o una monopolistica? Perché? Esercizio 5. Soluzione. La condizione che massimizza il profitto del monopolista è che il costo marginale (MC) eguagli il ricavo marginale (MR). In questo caso: MC(q) = 2q MR(q) = 40 ‐ 2q Risolvendo si ha: q* = 10 Sostituendo la quantità ottima nella funzione di domanda si ricava il prezzo ottimo: p*(q*) = 40 ‐ q* = 30 Il profitto del monopolista sarà pari a: π(q*) = p * q * −TC(q*) = 194 La rappresentazione grafica è la seguente (in azzurro è evidenziato il profitto): p
40
MC
AC
30
10.6
D
MR
Q
10 20 40
b) Il mark‐up del monopolista, o il ricarico sui prezzi, è pari a: p*
30
µ=
=
= 1.5 MC(q*) 20
c) Si può dimostrare che in equilibrio: p = µ × MC(q) =
MC(q)
⎛ 1⎞
⎜1 − ⎟
ε⎠
⎝
dove ε è lʹelasticità della domanda. Dallʹuguaglianza: µ=
1
1⎞
⎛
1
−
⎜
⎟
ε⎠
⎝
si ricava la relazione: µ
1.5
ε=
=
= 3 µ − 1 1.5 − 1
d) Dal punto di vista del benessere sociale è sicuramente preferibile una struttura di mercato perfettamente concorrenziale. Infatti, un mercato in concorrenza perfetta massimizza il surplus del consumatore poiché eguaglia il prezzo al costo marginale di produzione. In monopolio, invece, il prezzo di equilibrio è superiore al costo marginale. Il benessere sociale è dato dalla somma tra surplus del consumatore e profitto del produttore. Passando da monopolio a concorrenza perfetta, sebbene il profitto del produttore si azzeri, il saldo finale sul benessere collettivo è positivo. Esercizio 6. Considerate unʹimpresa che è lʹunica a produrre un servizio di pubblica utilità con la seguente funzione di costo: TC(Q)=12+2Q. a) Ricavate e rappresentate graficamente la funzione del costo medio variabile e del costo medio. Perchè ha senso affermare che questa impresa è un monopolio naturale? b) Supponete che la funzione di domanda inversa del mercato del servizio sia p(Q)=10‐Q. Se lʹimpresa opera come monopolista, quanto produrrà e a che prezzo venderà il suo prodotto? quale sarà il suo profitto? Indicate con QM la quantità della soluzione di monopolio. Rappresentate graficamente la soluzione. c) Con riferimento alla soluzione trovata al punto b), il prezzo è uguale, maggiore o minore del costo marginale? Ci sono consumatori disposti a pagare per unità addizionali del bene (rispetto alla quantità prodotta QM) un ammontare maggiore del costo necessario per produrle? Considerate ad esempio la produzione Q=5, perchè lʹimpresa non produce la quantità Q=5? d) Cosa succede se lʹautorità di regolazione impone allʹimpresa di praticare un prezzo uguale al costo marginale? Motivate la vostra risposta. Esercizio 6. Soluzione. a) Il costo medio variabile si ricava dividendo la componente variabile del costo totale per Q: AVC(Q) =
VC(Q) 2Q
=
=2 Q
Q
Il costo medio si ricava dividendo l’intero costo totale per Q: TC(Q) 12
AC(Q) =
=
+2 Q
Q
La rappresentazione grafica è la seguente: AVC AC AC
12
AVC
Q
Parliamo di monopolio naturale quando, per motivi “strutturali” (vale a dire la tecnologia disponibile in relazione alla dimensione del mercato), il numero ottimo di imprese operanti sul mercato è uno. Il monopolio naturale è una forma di mercato caratterizzata da una funzione di costo medio monotona decrescente. Nel nostro caso, quindi, ha senso affermare che questa impresa è un monopolio naturale. b) Lʹequilibrio del monopolista si ha con MC (Q) = MR (Q). ∂TC(Q)
MC(Q) =
=2
∂Q
∂TR(Q) ∂ 10Q − Q 2
MR(Q) =
=
= 10 − 2Q
∂Q
∂Q
[
]
Risolvendo il sistema otteniamo QM=4, e sostituendolo nella funzione di domanda inversa p (QM)= 10 ‐ 4 = 6. Il profitto è così ottenuto: π(Q) = TR(Q) − TC(Q) = ( p ⋅ Q) − (12 + 2Q) = 6 ⋅ 4 − (12 + 2 ⋅ 4) = 4 La rappresentazione grafica è la seguente: p
6
MC
2
MR
D
Q
4
c) Il prezzo di equilibrio del monopolista è maggiore del costo marginale: PM = 6 > MC = 2. p
6
5
MC
2
MR
D
Q
4 5
Come evidenziato nel grafico, ci sono consumatori disposti ad assorbire la maggiore produzione (Q = 5) ad un prezzo inferiore (P = 10 ‐ 5 = 5). In questo caso però i profitti diminuiscono, quindi lʹimpresa non ha interesse a produrre tale quantità. π(Q = 5) = TR(Q) − TC(Q) = ( p ⋅ Q) − (12 + 2Q) = ( 5 ⋅ 5) − (12 + 2 ⋅ 5) = 3 d) Se fosse imposto un prezzo uguale la costo marginale, avremmo: P = MC ⇒ 10 ‐ Q = 2 ⇒ Q = 8 Il profitto sarebbe: π(Q = 8) = TR(Q) − TC(Q) = ( p ⋅ Q) − (12 + 2Q) = ( 2 ⋅ 8) − (12 + 2 ⋅ 8) = −12 In tal caso, dato il profitto negativo, sarebbero necessarie da parte del regolatore delle politiche aggiuntive (come un sussidio per compensare almeno le perdite).