Lenti sottili

Sistemi ottici - Lenti sottili
Immagine di un oggetto puntiforme
data da un sistema stigmatico:
puntiforme reale o virtuale
Lente semplice: materiale trasparente
delimitato da due superfici sferiche
Se , distanza tra i vertici delle due superfici, è piccola
la lente si dice sottile, altrimenti si ha una lente spessa
n1
O
P
V1
o1
n2
P'
n1
C1 C2
V2
I

Equazione del primo diottro
n1 n 2 n 2 − n1
+
=
o1 i1
R1
i1
i2
I1
o2
(1)
Equazione del secondo diottro
n 2 n1 n1 − n 2
n 2 − n1
+ =
=−
o2 i 2
R2
R2
Poiché
(2 )
o 2 =  − i1 dal sistema si ricava i2, nota o1
Per una lente sottile,  = 0, la (2) diventa
n 2 n1
n 2 − n1
− + =−
i1 i 2
R2
Sommandola membro a membro con la (1) ⇒
n1 n1
1 ⎞
⎛ 1
+ = (n 2 − n1 ) ⎜ −
⎟
o1 i 2
⎝ R1 R 2 ⎠
C
Nella lente sottile V1 = V2 ≅ C
o
o, i
I
O
i
distanze dell’oggetto e dell’immagine da C
⎛ 1
n1 n1
1 ⎞
+ = (n 2 − n1 ) ⎜ −
⎟
o
i
⎝ R1 R 2 ⎠
Proprietà di C:
ogni raggio che, rifratto dalla prima superficie
passa per C, viene rifratto dal secondo diottro
in direzione parallela a quella incidente
un raggio passante per C non viene deviato
Posizione dei fuochi
P'
P
C
C2
C1
F1 primo fuoco = posizione di un oggetto
la cui immagine si formi all’infinito (i =
∞
)
F2 secondo fuoco = punto immagine
di un oggetto posto all’infinito (o = ∞)
Da
n1 n1
1 ⎞
⎛ 1
+ = (n 2 − n1 ) ⎜ −
⎟
o
i
⎝ R1 R 2 ⎠
ponendo o = ∞ ed i = ∞
F1
1 1 1 (n 2 − n1 ) ⎛ 1
1 ⎞
= = =
⎜ −
⎟
f1 f 2 f
n1
⎝ R1 R 2 ⎠
f1
F2
1 1 1
+ =
o i f
equazione degli ottici
f2
1
D = = potere diottrico della lente
f
D si misura in diottrie se f è espressa in metri
f >0
lente convergente
f <0
lente divergente
Lente convergente biconvessa
F1
F2
f1
f2
L’immagine di un oggetto reale
è reale o virtuale a seconda che
o > f oppure o < f
Lente divergente biconcava
L’immagine di un oggetto reale
è sempre virtuale
F2
F1
In aria
lente piano-convessa
convergente
lente piano-concava
divergente
Lenti convergenti più spesse al centro che al bordo
Lenti divergenti più sottili al centro che ai bordi
Per n1 > n2
la situazione si inverte
Immagine di un oggetto esteso
o>f
P
immagine reale
capovolta
O
F1
Q
C
o
F2
P'
i
P'
o<f
immagine virtuale,
diritta ed ingrandita
P
I F1O
C
I
F2
immagine virtuale
diritta e rimpicciolita
y'
m=
y
P
P'
O F2 I
Ingrandimento trasversale
Lente = sistema costituito da due diottri ⇒
y' y' y1 y1 y'
m= =
=
= m1m2
y y1 y y y1
m1 ed m2 ingrandimenti dei due diottri
F1
⎛ i1 n1 ⎞ ⎛ i n 2 ⎞
m = m1m 2 = ⎜ −
⎟ ⎜ −
⎟ =
⎝ o n 2 ⎠ ⎝ o2 n1 ⎠
⎛ i1 n1 ⎞ ⎛ i n 2 ⎞
= ⎜ −
⎟ ⎜
⎟
⎝ o n 2 ⎠ ⎝ i1 n1 ⎠
Graficamente
Triangoli OPC e IPC
y' = −i ⋅ tgα
y = o ⋅ tgα
i
m=−
o
P
α
O
F1
o
y'
i
m= =−
y
o
Q
C
F2
α
i
I
P'
π1 primo piano focale
Ο ∈ π1
i raggi provenienti da un oggetto O emergono
lungo direzioni parallele al raggio OC
S fronte d’onda piano
O
I cammini ottici che vanno da O
ai punti di S sono uguali fra loro
π2 secondo piano focale
F1
C
S
F2
π1
O posto a distanza infinita fuori dall’asse S'
I immagine si trova sul piano π2
F1
S’ fronte d’onda piano
I cammini ottici che vanno dai punti di S’
ad I sono uguali fra loro
C
F2
I
π2
Aberrazione sferica, coma
O oggetto puntiforme lontano, posto sull’asse ottico
raggi rossi parassiali convergono in F2
raggio nero non parassiale interseca
l’asse ottico in A e π2 in B
F1
A
F2
B
Lunghezza di AF2 = aberrazione sferica longitudinale
Lunghezza di BF2 = aberrazione sferica trasversale
L’immagine è una macchia luminosa circondata da un
alone
Se l’oggetto non è posto sull’asse ottico l’immagine è
allungata come una cometa (coma)
Occhio umano =
sistema ottico complesso
cristallino muscolo
ciliare
cornea
pupilla
umor acqueo
iride
retina
nervo ottico
umor vitreo
cornea membrana trasparente ≅
superficie rifrangente sferica (R ≅ 8mm )
che separa l’aria dall’umor acqueo (n1=1.34)
cristallino ≅ lente biconvessa (n2=1.44 )
cristallino muscolo
ciliare
cornea
retina
pupilla
umor acqueo
iride
nervo ottico
umor vitreo
umor vitreo ≅ regione oltre il cristallino
retina = pellicola formata da cellule sensibili alla luce
trasmette le sensazioni al cervello tramite il nervo ottico
cornea + umor acqueo + cristallino + umor vitreo =
sistema ottico
Sulla retina si formano le immagini reali degli oggetti
Al variare della distanza dell’oggetto
i muscoli ciliari fanno variare la curvatura del cristallino
per ottenere l’immagine sempre sulla retina
(processo di accomodamento)
L’occhio normale mette a fuoco sulla retina
le immagini di oggetti che si trovano
tra l’infinito (punto remoto) e il punto prossimo
d0 ≈ 25 cm = distanza del punto prossimo
dall’occhio
θ0, massimo angolo di visione, è dato da
y
tgθ0 =
d0
Lente di ingrandimento o microscopio semplice
Lente sottile convergente avente distanza focale f < d0
o<f
y'
y dimensione
dell’oggetto
y' dimensione dell’immagine
virtuale, diritta ed ingrandita
Se o ≅ f ⇒ i ≅ ∞
y
tgθ' =
f
θ'
y
F1 o
f
θ' y
f
angolo sotto il quale è visto l’oggetto
tgθ' y d 0 d 0 25 cm
M=
=
=
=
tgθ0 f y
f
f
ingrandimento
angolare
Microscopio composto
sistema ottico costituito da due lenti convergenti
Serve per osservare oggetti vicini di piccole dimensioni
L’obiettivo ha una distanza focale f1 piccola
O oggetto: o > f1
I' immagine reale, capovolta ed ingrandita
oculare
I′ oggetto per l’oculare:
obiettivo
oculare lente di ingrandimento
s
I' posto tra l’oculare ed F'1
y
I' θ
F2
I
F'1 y'
O F1
I immagine finale deve essere >> I'
I' deve essere posto tra l’oculare ed F'1
Ingrandimento angolare del microscopio
tgθ
M=
tgθ0
θ angolo sotto cui è vista l’immagine finale I′
θ0 angolo sotto cui è visto ad occhio nudo
l’oggetto posto nel punto prossimo (o =d0)
tgθ ⎛ y' ⎞⎛ d0 ⎞ ⎛ y' ⎞⎛ d0 ⎞
M=
= ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜
⎟ = mobMoc
tgθ0 ⎝ foc ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠⎝ foc ⎠
Telescopio astronomico o Kepleriano
Consente di osservare oggetti lontani,
visti sotto angoli molto piccoli
obiettivo
oculare
F1
θ
F2 ≡ F'1
θ y'
fob
F'2
foc
L’obiettivo, lente con una grande distanza focale,
dà una immagine reale e capovolta
che si forma in
F2 ≡ F'1
oob = ∞ ⇒ iob = f
ooc = iob = foc ⇒ ioc= ∞
θ'
Poiché ooc = iob = foc ⇒ ioc= ∞
L’immagine finale è virtuale,
capovolta e si forma all’infinito
M ingrandimento angolare del telescopio
tgθ'
M=
tgθ
θ' angolo sotto cui è vista l’immagine finale
θ angolo sotto cui è visto l’oggetto lontano
y' dimensione dell’immagine data dall’obiettivo
y'
tgθ =
f ob
y'
tgθ' = −
f oc
f ob
M=−
f oc
Affinché si abbia un buon ingrandimento
fob deve essere molto grande
foc deve essere molto piccola
L’immagine finale è capovolta
Per ottenere un’immagine diritta si può utilizzare
una terza lente convergente tra l’obiettivo e l’oculare,
tale da capovolgere l’immagine I’ intermedia
senza alterarne le dimensioni
Per osservare oggetti celesti poco luminosi occorre
utilizzare telescopi con obiettivi di grandi dimensioni
per raccogliere energia luminosa sufficiente
La difficoltà di costruire lenti di grandi dimensioni
si supera con i telescopi a riflessione che utilizzano
come obiettivo uno specchio concavo, eliminando
l’aberrazione cromatica
Prisma
Si utilizza per deviare un fascio di luce
C
α = θ r' + θ'i
α
senθi = n senθ r '
n senθ'i = senθ'r '
θi
A
γ1 γ2
θr' θ'
i
δ
B
θ'r'
α
δ = γ1 + γ 2 = (θi − θ r' ) + (θ'r ' −θ'i ) = θi + θ'r ' −α
È possibile calcolare per via numerica
i valori di n, θr', θ'i e θ'r' in funzione di α, δ e θi