Serie 28: Elettrodinamica III

FAM
Serie 28: Elettrodinamica III
C. Ferrari
Esercizio 1 Flusso del campo elettrico
Considera la superficie chiusa (= superficie gaussiana) S di un cubo di lato a illustrato qui sotto t che si trova immersa in un campo elettrico parallelo all’asse
x.
z
a
a
a
y
x
Determina il flusso del campo elettrico attraverso la superficie e la carica totale al
suo interno se il campo elettrico è:
1. uniforme Ex = C, con C una costante positiva;
2. della forma Ex = Cx, con C una costante positiva.
Esercizio 2 Teorema di Gauss
In questo esercizio si utilizza il teorema di Gauss per determinare il campo elettrico
in situazioni particolari che possiedono una simmetria, i casi trattati sono ideali, ma
il risultato ottenuto e valido anche in situazioni reali eccetto gli effetti di bordo.
1. Determina il campo elettrico generato da una distribuzione di carica superficiale su di un piano infinitamente grande (sia σ la densità superficiale di
carica). Fai un disegno della situazione.
2. Determina il campo elettrico tra due piani infinitamente grandi, l’uno con una
densità di carica +σ, l’atro con densità di carica −σ (si suppone che i piani
siamo materiali isolati). Fai un disegno della situazione. (Questa configurazione
è quella utilizzata nell’esperimento di Millikan in cui i due piani chiaramente
non sono infinitamente grandi!)
3. Determina il campo elettrico generato da una distribuzione di carica lineare
su di un filo infinitamente lungo (sia λ la densità lineare di carica). Fai un
disegno della situazione.
1
4. Determina il grafico dell’andamento dell’intensità del campo elettrico in funzione del raggio r, per una sfera di raggio R carica elettricamente con una
carica netta q nei seguenti casi:
(a) la carica è ripartita uniformemente sulla superficie della sfera,
(b) la carica è ripartita uniformemente nella della sfera.
Verifica che una distribuzione uniforme a simmetria sferica in una
regione di raggio R si comporta per r > R come una carica puntuale
posta al centro della regione sferica.
Esercizio 3 Fulmini
La parte visibile di un fulmine è preceduta da una fase invisibile in cui una colonna
di elettroni si estende da una nuvola verso terra. Questi elettroni provengono dalla
nuvola e dalle molecole dell’aria ionizzate all’interno della colonna. La densità di
carica lineare lungo la colonna è tipicamente −1 · 10−3 C/m. Quando la colonna raggiunge la terra, gli elettroni contenuti in essa vengono scaricati rapidamente a terra.
Durante la scarica, le collisioni tra gli elettroni e l’aria della colonna danno luogo a
un lampo brillante di luce. Se le molecole dell’aria si spezzano (si ionizzano) quando
l’intensità di campo elettrico supera 3 · 106 N/C, qual è il raggio della colonna?
Indicazione: Fai le ipotesi necessaire per semplificare il problema in modo appropriato.
Esercizio 4 Cavi coassiali
Un cavo coassiale è costituito da un corpo cilindrico conduttore interno C1 ed un
corpo cilindrico conduttore esterno C2 (che non si trovano a contatto).
C2
C1
b
a
Sui due cilindri è presente una carica lineare di stessa intensità ma opposta di segno.
Utilizzando la legge di Gauss dimostra che

 1 λ
se a < r < b
E(r) = 2πε0 r
0
altrimenti; .
Applicazione numerica: a = 1,07 mm e b = 4,8 mm, λ = 5 · 10−6 C/m.
2
Esercizio 5 Piano infinito
Nella figura qui sotto una piccola sfera di massa m∗ = 10−6 kg e carica 2,0 · 10−8 C
distribuita uniformemente, è appesa a un filo isolante e forma un’angolo θ = 30◦ con
un grande piatto isolante carico uniformemente. Considerando il peso della sfera e
assumendo che il piatto si estenda all’infinito in tutte le direzioni, si determini la
densità di carica superficiale σ sul piatto.
σ>0
θ
m, q
Esercizio 6 Circuitazione di E~
1. Calcola la circuitazione del campo elettrico creato da una distribuzione di carica filiforme infinitamente lunga. Scegli come curva C un cerchio che contorna
il filo concentrico con esso.
~ per i due cammini indicati nelle figure (a) e (b) seguenti in
2. Calcola ΓA→B (E)
cui il campo elettrico è uniforme. Commenta.
A
A
C
45◦
d
~
E
~
E
B
B
(b)
(a)
3. Determina il potenziale elettrostatico associato al campo elettrico del punto
2.
4. Nell’esperimento di Millikan un campo elettrico di intensità 1,92 · 105 N/C
viene instaurato tra due piatti posti ad una distanza di 1,50 cm. Determina la
differenza di potenziale tra i due piatti.
3
Esercizio 7 Alcuni potenziali elettrostatici
1. Determina il campo elettrico associato ai seguenti potenziali elettrostatici
~ = −grad ϕ.
utilizzando E
~ · ~x,
(a) ϕ(~x) = −E
Indicazione: In coordinate cartesiane (x, y, z) l’operatore differenziale gradiente si scrive


∂f
 ∂x 
 ∂f  ∂f
∂f
∂f

grad f ≡ ∇f = 
 ∂y  = ∂x ~ex + ∂y ~ey + ∂z ~ez .


∂f
∂z
q
(b) ϕ(~x) = k r , r = k~xk,
Indicazione: In questo caso il potenziale dipende unicamente dalla distanza r dall’origine, questo potenziale è detto centrale e manifesta una
simmetria sferica, è quindi più appropriato utilizzare le coordinate sferiche
(r, θ, φ) invece delle coordinate cartesiane (x, y, z). L’operatore differenziale gradiente in coordinate sferiche possiede la seguente espressione


∂f
∂r
1 ∂f
r ∂θ
1 ∂f
r sin θ ∂φ


grad f ≡ ∇f = 



 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
=
 ∂r ~er + r ∂θ ~eθ + r sin θ ∂φ ~eφ .

2. Utilizzando il risultato del punto precedente dimostra che il potenziale dovuto
ad un dipolo elettrico p~ = q d~ nel punto P di coordinate polari (r, θ) posto ad
una distanza D ≫ d vale
ϕ(r, θ) =
1 p cos θ
4πε0 r 2
P
r−
r+
r
−q
θ
O
+q
d
4
3. La molecola di ammoniaca NH3 ha un momento dipolare elettrico permanente
pari a 1,47 D, dove D è l’unità debye del valore di 3,34 · 10−30 Cm. Determina il
potenziale elettrico associato ad una molecola di ammoniaca in un punto che
si trova a una distanza di 52,0 nm dal centro del dipolo sul suo asse.
4. Determina la componente radiale (secondo ~er ) e angolare (secondo ~eθ ) del campo elettrico associato al dipolo del punto precedente.
Indicazione: Utilizza l’espressione del gradiente in coordinate sferiche eliminando la componente secondo ~eφ .
Esercizio 8 Superfici equipotenziali
Il luogo dei punti nello spazio aventi lo stesso potenziale è chiamato superficie
equipotenziale, essa può essere sia reale sia immaginaria.
1. Disegna alcune superfici equipotenziali per il potenziale coulombiano
ϕ(~x) =
1 q,
4πε0 r
r = k~xk
~ = 1 q ~x, che rappresenta il campo elettrico
e verifica che il vettore E
4πε0 r 3
coulombiano, è perpendicolare alle superfici equipotenziali.
2. Stessa domanda per il potenziale
ϕ(~x) = −E(x + y) .
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