Matematica e didattica della matematica

Matematica e didattica della matematica
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
a.a. 2008-09
Docente: Ana Millán Gasca
Lezione 6
Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali
SOMMARIO: 6.1 Parti, rapporti, misure. Le origini dei numeri razionali. 6.2 I tre significati di una
frazione. 6. 3. Necessità intrinseca dei numeri razionali: la costruzione di Q come estensione dei
numeri interi. 6.4. L’ordinamento dei numeri razionali. Interpretazione geometrica. 6.5 La scrittura
dei numeri razionali: frazioni e decimali.
Bibliografia: Che cos’è la matematica?, Cap. 2 (§1 e §2), Aritmetica di base, Cap. 4.
In conclusione della lezione 3, I numeri naturali, abbiamo sottolineato l’esigenza intrinseca
di ampliare il sistema dei numeri della matematica oltre i numeri naturali: si tratta di “rimuovere le
restrizioni per la sottrazione e per la divisione”. Per quanto riguarda la sottrazione, nella lezione 4
abbiamo visto che la restrizione scompare nell’insieme dei numeri interi Z (si veda il §3.6). Per
poter rimuovere la restrizione sulla divisione, la matematica considera un insieme di numeri ancora
più ampio, quello dei numeri razionali Q. In questa lezione descriveremo come la matematica
moderna spiega che cosa è un numero razionale usando due strumenti matematici che già
conosciamo: il prodotto cartesiano e la relazione di equivalenza.
Ma l’esigenza di avere a disposizione numeri non interi è emersa storicamente anche da
esigenze non puramente interne alla matematica, quali quelle della misurazione e oppure la
risoluzione di problemi della matematica pratica. Nei primi due paragrafi esamineremo quali sono
le questioni dove diventa palese che i numeri naturali non bastano, e anche i molti significati che si
nascondono sotto la notazione frazionaria.
6.1 Parti, rapporti, misure. Le origini dei numeri razionali.
«Nel dominio dei numeri razionali, le operazioni cosiddette razionali – addizione, sottrazione,
moltiplicazione e divisione – possono essere eseguite senza restrizioni e non conducono mai fuori di
questo dominio. Un tale insieme chiuso di numeri si dice un campo. Incontreremo altri esempi di
campo più avanti […]
Estendere un dominio con l’introduzione di nuovi simboli, in maniera tale che le leggi che
valgono nel dominio originario continuino a valere nel dominio più esteso, è uno degli aspetti del
caratteristico procedimento matematico di generalizzazione. La generalizzazione dai numeri
naturali ai razionali soddisfa sia alla necessità teorica di rimuovere le restrizioni per la sottrazione e
la divisione, sia alla necessità pratica che i numeri esprimano i risultati di certe misure. Il vero
significato dei numeri razionali è nel fatto che essi soddisfano a questa duplice necessità. Come
abbiamo visto, tale estensione del concetto di numero divenne possibile con la creazione di nuovi
3
numeri sotto forma di simboli astratti, come 0, -2 e . Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci
4
riesce difficile credere che fino al secolo XVII non venisse generalmente attribuita loro la stessa
legittimità dei numeri interi positivi, e che fossero usati, se necessario, con una certa dosi di dubbio
!
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Ana Millán Gasca
e di preoccupazione. Responsabile di questa esitazione a compire un passo inevitabile fu la tipica
tendenza umana a tenersi al “concreto” rappresentato dai numeri naturali. Soltanto nel regno
dell’astratto si può creare un sistema aritmetico soddisfacente.»
Richard Courant, Herbert Robbins, Che cos’è la matematica, p. 98
ESEMPIO 6.1 Dobbiamo piantare 6 alberi lungo una strada fra due case lunga 34 m. A quale distanza fra
loro bisogna piantare gli alberi?
Abbiamo condotto in aula una riflessione sulla risoluzione di questo problema con i bambini. Fra i temi
emersi:
aspetti matematici
– l’aspetto geometrico: fare un disegno, geometrizzando la situazione: un segmento, i due estremi;
l’equidistanza come criterio di armonia o di equilibrio nei luoghi creati artificialmente (architettura, giardini).
Schizzo e disegno geometrico
– l’aspetto pratico: dettagli da precisare (un albero davanti a ogni casa?), l’idea di suddivisione,
l’approssimazione necessaria
– le unità di misura di lunghezza
– l’aspetto aritmetico: cercare vicino a 34 un multiplo di 7; è necessario usare i decimali; l’uso dei
sottomultipli evitare di usare i numeri con la virgola
aspetti didattici
– in quale classe risolvere questo problema?
Come proporlo?
– la divisione (si veda § 5.5)
Sia nei conteggi, sia nella misurazione di grandezze, i problemi più semplici possono essere
risolti contando, oppure con semplici addizioni e sottrazioni di numeri interi. Molto spesso, tuttavia,
il problema richiede un confronto moltiplicativo fra quantità (come nell’esempio 6.1) e quindi l’uso
di numeri non interi. Fra i problemi di questo genere vi sono:
– i problemi di ripartizione o di suddivisione
– i problemi di misura, in cui si confronta una grandezza (lunghezza, area, peso, capacità,
tempo) con una certa unità di misura. In generale, quando si conta il numero di volte che tale
unità è contenuta nella grandezza da misurare non sempre si può esprimere il risultato con un
numero naturale, e quindi si fa ricorso ai sottomultipli. Nell’esempio 6.1, la nostra risposta
approssimata era: piantiamo gli alberi a distanza uno dall’altro e dalle case di 4 m, 8 dm e 5
34
cm; altrimenti dobbiamo usare frazioni o decimali, e scrivere:
di metro, oppure all’incirca
7
4,85 m.
– i rapporti, come nel disegno tecnico (tracciare una pianta in scala), nella cartografia, nella
! della bicicletta, o la rapporto fra forza
tecnica (si pensi al rapporto di trasmissione, o al caso
motrice e forza resistente in una carrucola), oppure in musica.
Questi problemi si collegano al problema matematico del confronto moltiplicativo o rapporto fra
numeri naturali. Per venire incontro a queste difficoltà sono state considerati quantità non intere o
frazionare.
2
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!
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Le frazioni
Fin dall’Antichità sono stati usati particolari simboli per rappresentare le frazioni unitarie
1 1 1
(ossia quelle che hanno numeratore uno) come , , che esprimono l’idea della parte frazionaria
2 3 4
che si aggiunge a un numero intero. In Egitto si aveva anche un simbolo particolare per la frazione
2
. I primi a scrivere frazioni indicando due numeri interi positivi collocati uno sopra l’altro
3
!
(numeratore e denominatore, scritti ognuno
di essi usando il sistema di numerazione posizionale
decimale) furono gli indiani, e i primi a scrivere il trattino orizzontale di separazione fra numero in
alto e numero in basso furono gli arabi.
Tuttavia, in molte occasioni, la notazioni frazionaria non è molto efficace: nell’esempio 8.1,
34
la frazione
ci rende poco chiaramente l’idea del numero non intero che indica la distanza fra gli
7
alberi.
I numeri decimali
! notazione decimale (i numeri con la virgola) permette di indicare una quantità non intera usando
La
due idee:
–
esprimere la quantità come somma della parte intera e della parte frazionaria:
29
1
= 7+
4
4
–
esprimere la parte non intera del numero come somma di frazioni decimali, ossia
1 1
1
frazioni unitarie del tipo
,… (l’idea è usare le potenze di 10, che indicano
,
! ,
10 100 1000
decimi, centesimi, millesimi e così via, per analogia con le decine, le centinaia, le
migliaia e così via) e applicare la notazione posizionale:
!1
1
1
= 2" + 5"
#
#$ parte frazionaria 25
4
10
100
–
usare la virgola (o il punto) per separare la parte intera dalla parte frazionaria espressa in
forma posizionale, entrambe espresse in modo posizionale
!
7,25
Tuttavia, i numeri decimali o numeri “con la virgola” è diventata di uso comune soltanto
nell’Europa moderna, soprattutto dal XVII secolo (il punto, usato ancora oggi nei paesi
!
anglossassoni, fu introdotto da Giovanni
Antonio Magini nel 1592; la virgola, nel 1608,
dall’olandese Willebrod Snellius). Essa ha contribuito a far pensare le quantità non intere, ossia
quelle che non possiamo esprimere con i numeri naturali, come veri e propri numeri, poiché con
questa notazione i numeri naturali sono particolari numeri decimali che non hanno cifre
significative dopo la virgola.
8.2 I tre significati di una frazione.
3
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Le frazioni sono state usate fin dall’Antichità. Il simbolo moderno è quello
dell’allineamento verticale di due numeri interi con un trattino orizzontale di separazione:
3
4
Il numero in alto si chiama numeratore e il numero in basso si chiama denominatore.
!
Una frazione è una coppia ordinata di numeri interi di cui il primo è il numeratore e il
secondo è il denominatore, con la condizione che questo secondo numero non può essere zero;
usiamo la notazione:
a
b
Si tratta quindi di un simbolo, di un segno grafico. Nella scuola primaria si introduce questo
! con frazioni, al meno nei casi più semplici. Questi primi
simbolo e si impara a eseguire operazioni
passi, seppur elementari, pongono quindi le basi di un concetto che diventerà nel seguito parte
importante del bagaglio matematico di ognuno.
È importante osservare che il simbolo de frazione viene usato a scuola in contesti diversi
con significati diversi, seppure ovviamente tutti collegati fra di loro:
–
la frazione come parte dell’unità. Nell’esempio, la frazione indica che un’unità (che sia una
torta, o un deposito di acqua, o un’eredità) è stata divisa in quattro parti uguali e se ne
prendono tre. In generale, un tutto è stato diviso in tante parti come indica il denominatore e
si prendono tante come indica il denominatore. Le frazioni unitarie (le sole usate dagli Egizi,
ad esempio) fanno riferimento a questa idea.
5
Tuttavia noi usiamo questo significato in tutta generalità:
di deposito usati sta a indicare
4
un deposito intero e un altro deposito diviso sempre in quattro parti uguali, di cui abbiamo
svuotato una parte. Questo è l’esempio classico della torta con il quale si suole introdurre ai
bambini l’idea di frazione.
!
–
la frazione come quoziente indicato di due numeri. Vediamo alcune volte la frazione come
un numero di nuovo tipo, risultato della divisione di due numeri naturali; se vogliamo
esprimerlo nel sistema di numerazione decimale posizionale eseguiamo una divisione con
decimali e otteniamo un numero naturale (se il numeratore è multiplo del denominatore)
oppure un numero decimale finito o periodico.
–
la frazione come operatore. Una frazione agisce su un numero trasformandolo: essa
raccoglie due istruzioni: moltiplicare per il numeratore e dividere per il denominatore. Ad
1
3
esempio
di una torta di 500 grammi è una porzione di 125 grammi di torta;
di un
4
4
deposito di 20 litri sono 15 litri di acqua.
A questi usi potremmo aggiungere un quarto, ossia la frazione come rapporto fra due
! la scala in una
numeri.!In questo caso però si tende a usare la scrittura a : b , come quando si indica
cartina:
1: 25.000
!
4
!
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Sotto tutti questi usi si nasconde un unico concetto matematico, un nuovo tipo di numeri che
amplia l’insieme dei numeri naturali e anche quello dei numeri interi: il concetto di numero
razionale.
Si osservi il significato della frazione come numero: esso include la comprensione del fatto
1
che scrivere
è come scrivere 0,25. Quindi siamo in presenza di numeri dalle molte forme, a
4
differenza dei numeri interi. Infatti, la situazione è ancor più complicata, perché
!
1 2 35 25
= =
=
= 0,25
4 8 70 100
e oltretutto, il simbolo fra frazione si legge “equivalente”. Inoltre, in certi usi, si usa per designare la
1
frazione intesa come operatore
il simbolo o abbreviazione 25%.
!
4
Infine, quando vengono introdotte le frazioni, anche i numeri interi possono essere scritti in
nuovi modi:
!
12 18 600
= =
2
6 100
"6 6 "30
"3 =
=
=
2 "2 10
6=
Per spiegare bene sia i numeri decimali, sia le frazioni, dobbiamo quindi avere una doppia
!
consapevolezza:
–
dell’unico concetto matematico astratto sottostante, quello di numero razionale di cui non si
parla nella scuola primaria ma che i bambini apprenderanno nella scuola media;
–
della molteplicità di interpretazioni che il bambino deve imparare a maneggiare fin dalla
scuola primaria.
6.3 Necessità intrinseca dei numeri razionali: la costruzione di Q come estensione dei
numeri interi
Abbiamo descritto l’estensione da N a Z in modo informale, anche se essa può essere stabilita
in modo matematicamente rigoroso, usando il concetto di prodotto cartesiano e di relazione di
equivalenza (ci è bastato insistere sul fatto che questa estensione è un artificio matematico).
Per capire in cosa consiste l’estensione da Z a Q, e soprattutto per poter raccontarla ai
bambini, non ci basta dire che “i numeri razionali sono le frazioni”.
«Il mago alzò il bastone e a Roberto apparve una nuova calcolatrice. Era un po’ meno
ranocchiosa dell’altra, ma in compenso gigantesca […]
– Allora, adesso scrivi uno diviso tre, ordinò il vecchio.
5
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1:3
disse Roberto premendo i tasti. Sulla finestrella infinitamente lunga in caratteri verde
chiaro apparve il risultato.
0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333
– Ma non finisce mai? chiese.
– Sì sì, disse il mago. Finisce dove finisce la calcolatrice.
– E poi?
– Poi continua. Solo che non puoi leggerlo.
– Ma è sempre lo stesso, un tre dopo l’altro. Sembra di scivolare.
– Hai ragione.
– Mmm…, bofonchiò Roberto, questa roba non mi piace, preferisco scrivere un terzo.
Ecco:
1
3
È molto meglio.
– Certo, disse il vecchio. Però devi usare i numeri frazionari, e le frazioni, se ricordo bene,
non le sopporti.»
! numeri, “La quarta notte”)
(Hans M. Ensensberger, Il mago dei
!
ESEMPIO 6.2. Ai numeri 1,7, 17, glielo si legge in faccia che non possono essere divisi per 3
senza resto! Possiamo allora considerare i “quozienti” 1:3, 7:3 e 17:3 come dei veri e propri numeri:
1 7 17
in questo caso preferiamo usare la notazione frazionaria. , e
non sono più però numeri
3 3
3
naturali, appartengono a un insieme numerico che denotiamo con la lettera Q. Provi a rappresentare
con i diagrammi di Euler Venn il rapporto di inclusione fra N e Q. Rifletta: i numeri naturali
possono essere considerati anche come quozienti? Collochi nel suo diagramma le tre frazioni e altri
!
numeri.
Le frazioni non esauriscono tutti i numeri della matematica. Provi a trovare una frazione il cui
quadrato sia 2. Come dice il mago dei numeri a Roberto “la rapa di due è un numero irragionevole”
( 2 indica un numero il cui quadrato è 2, come ad esempio la lunghezza della diagonale di un
quadrato di lato 1). Se all’insieme Q aggiungiamo i numeri irrazionali si ottiene l’insieme dei
numeri reali R. Completi allora il suo diagramma di Euler Venn e collochi nel diagramma i numeri
seguenti:
25
4,
, 3
4
!
6
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Una frazione è composta da due numeri interi, disposti però in un certo ordine. Ad esempio
5
6
6
. Il ruolo dei due numeri quindi non è simmetrico, e oltretutto uno dei
5
due non può essere il numero 0.
!
indica una cosa diversa da
I due numeri sono disposti graficamente sopra e sotto oppure a sinistra e a destra di un tratto
!
(rispettivamente orizzontale
od obliquo) in modo tale da permettere di distinguere un primo numero
(il numeratore) e un secondo (il denominatore):
5
6
5
6
56
Consideriamo l’insieme formato da tutte le coppie ordinate di numeri interi (dove però la
! seconda componente è un intero diverso da zero), ossia il prodotto cartesiano
Z " Z * = {( a,b) : a,b # Z $ b % 0}
( Z * indica l’insieme dei numeri interi diversi da zero)
Queste infinite copie non sono però tutte diverse fra loro. Vi sono famiglie di copie ordinate
! “indistinguibili”, ossia quelle che indicano frazioni equivalenti:
che consideriamo “uguali”,
!
5 15 "50
= =
6 18 "60
quindi per noi (5,6) " (15,18) " (#50,#60)
!
Sappiamo bene quando due frazioni sono equivalenti: quando i prodotti incrociati di
numeratore e denominatore sono uguali. Possiamo scrivere quindi che nell’insieme Z " Z *
!
date due coppie ( a,b), (c,d ) " Z # Z *
(a,b) ℜ (c,d) se
a" d = b" c
!
Si dimostra, infatti, applicando le proprietà della moltiplicazione dei numeri interi, che la relazione
binaria ℜ è riflessiva, simmetrica e transitiva.
!
!
!
!
5
“nasconde” non soltanto la coppia ordinata (5,6) , ma un insieme infinito di
6
coppie ordinate equivalenti secondo il criterio appena introdotto. Indichiamo questo insieme o
“classe” di coppie equivalenti racchiudendo una delle coppie ordinate in una parentesi quadra:
!
!
[(5,6)]
ma potremmo anche scrivere
Quindi la frazione
)] = [(15,18)] = [("50,"60)]
[(5,6
!
Ognuna di queste classi di equivalenza è un numero di tipo nuovo, un numero razionale.
!
7
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[
Ana Millán Gasca
]
ESERCIZIO 6.1 Provi a scrivere la classe (5,6) per comprensione. Scriva l’espressione decimale posizionale
di questo numero razionale. Scriva l’espressione sessagesimale posizionale.
! razionale ognuna delle classi di equivalenza:
DEFINIZIONE Si chiama numero
[(a,b)] = {(c,d) " Z # Z * : a $ d = b $ c}
! il numero razionale
ESEMPIO 6.3 Si consideri
[(3,4)] = {(c,d) " Z # Z * : 3$ d = 4 $ c} = {(3,4),(%3,%4),(6,8),(%6,%8),(9,12),...}
Appartengono quindi alla stessa classe di equivalenza le coppie (6,8) oppure (9,12), e quindi ognuna di esse
può essere usate come rappresentante dell’intera classe allo stesso modo di (3,4): tutte queste coppie
!
rappresentano
lo stesso numero razionale. Possiamo usare per designare le coppie usando la notazione
frazionaria:
3 6 9
, , .
4 8 12
L’insieme Q dei numeri razionali è l’insieme delle classi di equivalenza determinate in
*
!
Z " Z dalla relazione di equivalenza ℜ
Q = {[( a,b)] : ( a,b) " Z # Z * }
!
(la lettera Q deriva da quoziente: si dice che Q è l’insieme quoziente di Z " Z * con la relazione di
equivalenza ℜ).
!
Osserviamo quindi che ogni numero razionale è un insieme infinito di coppie ordinate che
verificano la condizione dei “prodotti incrociati”, e quindi una qualsiasi di tali coppie ordinate può
!
essere scelta come rappresentante della classe e quindi del numero razionale. Di solito
rappresentiamo ogni coppia di Z " Z * con la notazione frazionaria (la prima componente della
coppia diventa il numeratore della frazione e la seconda componente il denominatore)
!
(a,b) "$#
a
b
a c
= il segno uguale fa riferimento al fatto che entrambe rappresentano lo
b d
stesso numero razionale, mentre !come frazioni o coppie ordinate di numeri interi esse non sono
uguali ma equivalenti.
e quando scriviamo
!
8
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Ana Millán Gasca
L’immersione di N in Q
ESEMPIO 6.4 Possiamo considerare il numero 6 come un numero razionale collegandolo alla classe di
equivalenza
6"
"#[(6,1)] = {(6,1), (12,2), ($6,$1),...}
Visto come elemento di Q, il numero 6 ha quindi molte notazioni frazionarie:
Allo stesso modo!si possono vedere il numero 1 e il numero 0:
6 "6 12 60
, , , ,...
1 "1 2 10
0"
"#[(0,1)] = {(0,1), (0,$1), (0,2), (0,$2),...}
!
1"
"#[(1,1)] = {(1,1), ($1,$1), (2,2), ($2,$2),...}
!
Visti in questo modo, i numeri 0 e 1 saranno rispettivamente l’elemento neutro per l’addizione e
l’elemento neutro per la moltiplicazione dei razionali che stiamo per definire.
!
I numeri naturali si ritrovano in Q sotto una veste un po’ diversa. Infatti, esiste una
corrispondenza biunivoca fra i numeri naturali e una famiglia di classi di equivalenza, quelle
formate dalle coppie ordinate del tipo ( n,1) :
i:N "
"# Q
n"
"#[( n,1)]
!
Allo stesso modo si ritrovano tutti!i numeri negativi.
!
Le operazioni con i numeri razionali
Dati due numeri razionali v e w, ognuno di essi è una classe di equivalenza di coppie ordinate di
numeri interi. Prendiamo allora un rappresentante in ogni classe:
v = [( a,b)] e w = [(c,d )]
si definisce:
! " d (addizione di numeri razionali)
v + w =![( a " d + b " c,b
)]
v " w = [( a " c,b " d )] (moltiplicazione di numeri razionali)
!
Le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono ben definite, ossia con la definizione
scelta il loro!risultato non dipende dal rappresentante scelto nella classe di equivalenza.
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