La distribuzione Log

Introduzione alla Programmazione e Applicazioni per la
Finanza M2 (Prodotti Derivati)
Lezione 4
Anno accademico 2006-07
Titolare corso: Prof. Costanza Torricelli
Docente: Dott.ssa Marianna Brunetti
La Distribuzione Log-Normale
La Distribuzione Log-Normale
Binomiale Î 1. Tempo discreto
Black&Scholes Î 1. Tempo continuo
2. Sottostante discreto
2. Sottostante continuo
Per avere una formula di pricing per le opzioni occorre fare delle ipotesi sensate
sulle proprietà statistiche del prezzo del sottostante che forniscano risultati utili
Esempio: In Black&Scholes si assume che il prezzo del sottostante si
distribuisca secondo una Log-Normale
È ragionevole come ipotesi?
La Distribuzione Log-Normale
Assunzioni “ragionevoli” sui prezzi delle azioni
1. Il prezzo futuro è incerto
2. Il prezzo varia continuamente e le variazioni tendono a 0 se gli intervalli di
tempo tendono a 0
3. Il prezzo è sempre ≠ 0
4. Il rendimento medio cresce col tempo
5. Incertezza sui rendimenti futuri cresce col tempo
Esempio di sentiero di prezzi in Excel
La Distribuzione Log-Normale
I rendimenti delle azioni – Esempio in Excel
Calcoliamo i rendimenti
 St 

rt = ln
 St −1 
e utilizziamo la funzione Frequenza
1. Si individuano min e max
2. Si definisce l’ampiezza degli intervalli
3. Si calcola la frequenza
Î I rendimenti dei prezzi (ovvero i ln dei prezzi) ~ Normale
La Distribuzione Log-Normale
La distribuzione Log-Normale
Siano:
• St = prezzo azione in t
St + ∆t = St exp(~
r∆t ∆t )
• ∆t = infinitesimo lasso di tempo
• St+∆t = prezzo azione in t+∆t
•
~
r∆t = rendimento (incerto) in ∆t ~
Se
(
2
~
S t + ∆t ~ log N ⇒ r∆t ~N µ∆t;σ ∆t
)
In alternativa…
[
S t + ∆t
= exp µ∆t + σZ
St
∆t
]
con
La Distribuzione Log-Normale
Z ~ N (0 ;1)
Rappresentazione grafica della Log-Normale in Excel
1. Generare 1000 numeri casuali da una N (0,1)
•
StrumentiÎ Componenti aggiuntivi Î Strumenti di Analisi
•
Strumenti Î Analisi dati Î Genera Numero Casuale
2. Dati µ
= 15%, σ = 30%, ∆t = 1 si calcola la Log-Normale come
[
exp µ∆t + σZ
∆t
]
3. Funzione Frequenza con intervalli di 0.15 (max=3)
La Distribuzione Log-Normale
Simulazione di un sentiero di prezzo Log-Normale
“Il prezzo di un’azione oggi è 25€. Questo prezzo si distribuisce in maniera lognormale, con rendimento medio del 10% e deviazione standard del 20%. Come
potrebbe comportarsi il prezzo di quest’azione su base giornaliera durante il
prossimo anno?”
1. Si generano 360 numeri casuali da una N (0,1)
2. Dati
µ = 10%,σ = 20%, ∆t = 0.0028, S0 = 25€
[
S t + ∆ t = S t exp µ∆t + σZ
La Distribuzione Log-Normale
∆t
]
si calcolano i prezzi
I parametri della Log-Normale
(
)
  S t + ∆t  
  = E µ ∆ t + σ Z ∆ t = µ ∆ t
Media Î E  ln 


S
t

 
  S t + ∆t  
2




Var
ln
=
Var
µ
∆
t
+
σ
Z
∆
t
=
σ
∆t
Varianza Î
  S 
t

 
(
)
I parametri della Log-Normale si possono stimare con:
  S t + ∆t
media  ln 
 St

µ̂ =
∆t

 

  S t + ∆t
Var ln 
St


σˆ =
∆t
In alternativa, si può usare la formula di
Black&Scholes per ricavare la volatilità
implicita, anch’essa utilizzata come stima di σ
La Distribuzione Log-Normale

 
