Determinare le caratteristiche di sollecitazione e la

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA
DISEG – DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE E GEOTECNICA
Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI per Ingegneria Civile, Edile e Navale
ESERCIZIO*: Determinare le caratteristiche di sollecitazione e la deformata
qualitativa della seguente struttura:
SOLUZIONE
Le reazioni vincolari esterne e quelle interne vengono determinate imponendo
l’equilibrio dei singoli tratti in cui può essere pensata suddivisa la travatura
Fig. 1. Equilibrio delle singole parti della trave e reazioni vincolari esterne ed interne.
Note le reazioni vincolari è possibile dedurre direttamente le caratteristiche di
sollecitazione:
Taglio: T ( z ) = ql − qz
z2
Momento: M ( z ) = ∫ T ( z )dz =qlz − q
2
*
Problema posto da alcuni studenti dell’anno accademico 1999/2000.
collaborazione con l’allievo Enrico Sterpi.
Soluzione prodotta in
Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI per Ingegneria Civile, Edile e Navale
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Dai diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si potrebbe dedurre che la
deformata sia del tutto analoga a quella di una trave semplicemente apoggiata.
Tuttavia è opportuno calcolare gli sposamenti di alcuni punti, in particolare la rotazione
della sezione C e la rotazione nonché le traslazioni verticali relative ed assolute nella
sezione D, sede del doppio pendolo.
1
Calcolo della rotazione assoluta della sezione C
Qui di seguito sono riportati i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione
quando viene imposto alla trave un sistema di forze virtuali unitario duale dello
spostamento che si intende calcolare (momento unitario appllicato in C).
Calcolo della rotazione assoluta della sezione C ( ϕ C ):
∫ M(
ϕ C ⋅ δM C = ϕ C ⋅ 1 =
δχ =
carichi effettivi )
struttura
B
M δM
dz + ∫ M δM
∫
EJ
= ∫ 0 ⋅ δM
dz + ∫
EJ
=
A
B
C
A
B
0 ⋅ δM
carichi effettivi )
struttura
EJ
dz + ∫ M δM
EJ
dz + ∫ M ⋅ 0 dz = 0
C
B
∫ M(
E
C
EJ
δM
EJ
=
dz =
E
C
Risulta, quindi, ϕ C = 0 . Questo risultato è del tutto inaspettato in quanto
l’assenza di rotazione assimila l’appoggio C ad un incastro. L’assenza di rotazione
della sezione C evidenzia una netta differenza rispetto alla deformata di un’analoga
trave appoggiata tra le sezioni C ed E.
1
Dal Teorema dei Lavori Virtuali nella forma delle forze virtuali.
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Calcolo della rotazione assoluta della sezione D
Rotazione del punto D ( ϕ D ):
∫ M(
ϕ D ⋅ δM D = ϕ D ⋅ 1 =
δχ =
carichi effettivi )
struttura
= ∫ M δM
EJ
dz + ∫ M δM
EJ
dz + ∫ 0 ⋅ δM
B
A
= ∫ 0 ⋅ δM
B
A
=
1
EJ
C
B
carichi effettivi )
struttura
C
B
∫ M(
dz + ∫ M δM
D
EJ
C
δM
EJ
dz + ∫ M δM
=
E
EJ
D
EJ
dz =
l
E
z2 
dz
dz + ∫  qlz − q (− 1)
+ ∫ M ⋅ 0dz =
EJ
0
D
2
EJ

 l3
l3 
1 ql 3
−
q
+
q
=
−


2
6
3 EJ

La presenza di una rotazione in D (antioraria) rappresenta un’ulteriore differenza
rispetto alla trave appoggiata che, dall’analisi dei diagrammi di taglio e momento
flettente, farebbe prevedere una rotazione nulla.
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Calcolo della traslazione assoluta della sezione a sinistra di D
SN
Spostamento verticale del punto D a sinistra del doppio pendolo ( v D ):
∫ M(
vDSN ⋅ δFDSN = vDSN ⋅ 1 =
δχ =
carichi effettivi )
struttura
= ∫ M δM
B
A
dz + ∫ M δM
B
carichi effettivi )
δM
struttura
C
EJ
∫ M(
dz + ∫ M δM
D
EJ
C
dz + ∫ M δM
EJ
=
EJ
dz =
E
EJ
D
l
E
z2 
dz
+ ∫ M 0 ⋅ dz =
dz + ∫  qlz − q (− l + z )
EJ
EJ
0
A
B
2
EJ D

1  l4
l4
l4
l4 
1 ql 4
=
−
+
+
−
=
−
q
q
q
q


EJ 
2
3
6
8
8 EJ
= ∫ 0 ⋅ δM
B
dz + ∫ 0 ⋅ δM
C
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Calcolo della traslazione assoluta della sezione a destra di D
DX
Spostamento verticale del punto D a destra del doppio pendolo ( v D
):
vDDX ⋅ δFDDX = vDDX ⋅ 1 =
∫ M(
δχ =
carichi effettivi )
struttura
= ∫ M δM
B
A
=∫
EJ
EJ
B
dz + ∫
C
B
0 ⋅ δM
carichi effettivi )
δM
struttura
C
B
A
=
0 ⋅ δM
dz + ∫ M δM
∫ M(
dz + ∫ M δM
D
EJ
C
dz + ∫ M δM
EJ
=
EJ
dz =
E
EJ
D
2l 

z 2  dz
z2 
dz
dz + ∫  qlz − q (l )
+ ∫  qlz − q (l − z )
=
EJ
0
l
2  EJ
2
EJ


l
5 ql 4
24 EJ
A questo punto la traslazione verticale relativa nel doppio pendolo D può essere
determinata per differenza (algebrica) degli spostamenti assoluti:
∆vD = vDDX − vDSN =
5 ql 4 1 ql 4 1 ql 4
+
=
,
24 EJ 8 EJ 3 EJ
la cui rappresentazione grafica è riportata qui di seguito:
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anche di una sola campata, o alterare la distribuzione di carico condurrebbe a risultati
affatto diversi.
Nel caso generale, infatti, la porzione di trave ABC può essere assimilata non ad
un incastro perfetto (che annulla la rotazione assoluta della sezione C), ma ad un
incastro cedevole elasticamente la cui flessibilità f è funzione della deformabilità
flessionale delle travi AB e BC.
f =
MC
ϕC