G. Festa, Campo magnetico terrestre

Campo magnetico terrestre
lezione 2
Gaetano Festa
Osservazioni su B
• Principalmente dipolare, di origine interna
• Le sorgenti sono (verosimilmente) contenute nel nucleo
terrestre
• Varia nel tempo su scale comprese tra 1 e 108 yr
• Si inverte nel tempo
• Presenta escursioni
• E’ soggetto ad una deriva occidentale
Struttura del nucleo
• Il nucleo è costituito da una parte esterna fluida ed una interna
solida
• La densità del nucleo è prossima a quella del ferro, ma sono
presenti materiali leggeri come Si, O (30 % nella parte esterna)
• Il nucleo esterno è piuttosto omogeneo, con uno strato limite nei
primi 100 km.
• Il nucleo interno presenta un’anisotropia e una rotazione
differenziata
Struttura termica del nucleo
Come per il mantello terrestre possiamo assumere che la
temperatura aumenta lungo un’adiabatica (in sistemi in cui la
convezione è vigorosa, l’entropia è costante)
 dT  αv gT
  =
cP
 dz S
Nucleo interno ed esterno
hanno la stessa composizione
Fowler, 2005
Nucleo esterno è più ricco di
materiale leggero
Possibili sorgenti di B
(1) Raffreddamento secolare della Terra
(2) Energia gravitazionale legata al rilascio di elementi leggeri nel
processo di solidificazione del nucleo interno
(3) Calore latente rilasciato nel processo di solidificazione del
nucleo interno
(4) Rilascio di energia dovuta al decadimento radioattivo (K40)
(esiste ? debole?)
(5) Effetti mareali e precessionali legati all’influenza del sole e
della luna (debole?)
Alla lavagna
Equazione dell’induzione
Correnti in un conduttore ohmico (pre-Maxwell)
j = σ (E + v × B)
Equazione pre-Maxwell di Ampere
∇ × B = µ0 j = µ0σ (E + v × B)
1
µ0σ
∇×B = E + v×B
Diffusività magnetica :
η=
1
µ0σ
Equazione per B
η∇ × B = E + v × B
E = η∇ × B − v × B
Calcoliamo il rotore di questa quantità:
∇ × E = ∇ × (η∇ × B) − ∇ × v × B
Assumiamo la diffusività costante
∂B
−
= η∇(∇ ⋅ B) − η∇ 2 B − ∇ × v × B
∂t
∂B
= η∇ 2 B + ∇ × v × B
∂t
Campo statico ?
Se le sorgenti del campo magnetico fossero statiche, allora
v=0 e l’equazione dell’induzione diventa l’equazione del calore
∂B
= η∇ 2 B
∂t
Tempo caratteristico della diffusione (tempo di Cowling)
tdiff =
L2
πη
4
= 10 yr
Moti attuali del nucleo, possibili nella parte fluida (dinamo)
Effetto del moto su B
∂B
2
= η∇ B + ∇ × v × B
∂t
Sia U una velocità caratteristica del sistema, L una lunghezza
caratteristica e B un valore caratteristico del campo
Rm =
∇× v×B
2
η∇ B
UB / L UL
=
=
2
ηB / L
η
Numero di Raynolds magnetico.
Rm =
UL
η
= ULσµ0 = (310−4 )(3106 )(0.5106 )(4π 10−7 ) ∼ 600
Conduttore perfetto
La dinamo terrestre converte rapidamente energia cinetica in
energia magnetica e viceversa. Essa si auto-sostiene perché
questo processo è più efficiente della dispersione ohmica.
Ipotesi di un conduttore perfetto:
Rm = ∞
∂B
= ∇ × v × B = B ⋅∇v − v ⋅∇B
∂t
∂B
+ v ⋅∇B = B ⋅∇v
∂t
dB
= B ⋅∇v
dt
Flusso congelato (frozen flux)
Considera un elemento di linea dl trasportata dal fluido
dl
r+dl
r
d ( dl )
= v (r + dl ) − v (r ) = dl ⋅∇v
dt
dB
= B ⋅∇v
dt
Le linee del campo magnetico evolvono come gli elementi di
linea, trasportate dal moto delle particelle.
Dinamo
Una dinamo usa il moto di un conduttore elettrico attraverso
un campo magnetico per produrre corrente elettrica
La dinamo terrestre è una dinamo ad autoeccitazione : non necessita di campi esterni per
essere sostenuta, ma viene generata da un
debole campo magnetico iniziale.
Dinamo cinematiche
Teorema di Cowling (anti-dinamo) : Un fluido in rotazione
intorno ad un asse non può produrre una dinamo ad autoeccitazione a simmetria assiale.
Rappresentazione delle linee di
campo : poloidale e toroidale
Poloidale :
meridionale + radiale
Toroidale :
azimuthale
Componente Toroidale
Effetto Alpha
Trasformazione del campo da toroidale a poloidale
Sono causati da flussi poloidali
che posseggono vorticità
Questi meccanismi possono
anche trasformare un campo
toroidale in uno poloidale
Effetto Omega
Trasformazione del campo da poloidale a toroidale
Sono causati da moti toroidali differenziali
Teoria del campo medio
∂B
2
= η∇ B + ∇ × v × B
∂t
Supponiamo che i campi possano separarsi in un contributo
medio ed una perturbazione
v = v0 + v '
B = B0 + B '
Questo è possibile quando i campi sono
caratterizzati da due scale spaziali, una
grande L ed una piccola L’, e stiamo
investigando il comportamento del campo
a lunghezze intermedie : L’ << l << L
< v >= v 0 ;
< v ' >= 0
< B >= B 0 ;
< B ' >= 0
Fluttuazioni casuali
Teoria del campo medio
Sostituiamo e mediamo
∂B 0
∂B '
+<
>= η∇ 2 B 0 + < η∇ 2 B ' > +
∂t
∂t
< ∇ × ( v 0 + v ' ) × (B 0 + B ') >
Semplificando
∂B 0
= η∇ 2 B 0 + ∇ × v 0 × B 0 + ∇× < v '× B ' >
∂t
Forza elettromotrice derivante dai
moti a piccola scala
ε
Teoria della turbolenza
Come rappresentiamo la FEM in funzione del campo medio ?
Sviluppo di Taylor
ε i = α B0i + β ijk
∂B0 j
∂xk
+ ...
Teoria della turbolenza :
ε = α B0 − β ∇ × B0
∂B 0
2
= ∇ × ( v 0 × B 0 + α B 0 ) + (η + β )∇ B 0 +
∂t
α : contributo rigenerativo del campo medio
β : diffusività di turbolenza
Soluzioni di Beltrami
Supponiamo di avere un campo magnetico medio in un fluido
fermo a grande scala (v0=0). Cerchiamo una soluzione di
Beltrami:
∇ × B 0 = KB 0
∂B 0
= α KB 0 + η e ∇ 2 B 0
∂t
Calcoliamo l’espressione per il Laplaciano
2
2
∇ B 0 = −∇ × ∇ × B 0 = − K ∇ × B 0 = − K B 0
Campo crescente
Sostituendo otteniamo:
∂B 0
= K (α − ηe K )B 0
∂t
Per separazione di variabili
B 0 = Ce K (α −ηe K )t
α > ηe K
1
K ∼
L
Il campo cresce esponenzialmente
Il campo cresce se la scala spaziale del
campo medio è sufficientemente grande
Dinamo sperimentali - 1
Dinamo di Riga
• 3 cilindri coassiali di 3 m
• Il sodio liquido è accelerato verso il basso da un propellente, e
produce un flusso con elicità
• Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 con Rm~20
Dinamo sperimentali - 2
Dinamo di Karlsruhe
• 52 array con cilindro interno a flusso verticale ed esterno con elicità
• Il sodio è immesso all’interno dei cilindri
• Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 che riproduce
la teoria del campo medio
Dinamo sperimentali - 3
Dinamo 3m Maryland
• Sfera di sodio liquido
• Ancora in costruzione, ma promette Rm ~ 680!
Dinamo dinamiche
Equazioni del sistema
∂B
= η∇ 2 B + ∇ × v × B
∂t
∂v
+ v ⋅∇v + 2(Ω × v ) + 2Ω × Ω × r =
∂t
∇P
1
−
+ α Tg + J × B + ν ∇ 2 v
ρ0
Eq. dell’induzione
Eq. di Navier-Stokes
ρ0
∇⋅v = 0
Incompressibilità
∇⋅B = 0
Eq. di Maxwell (III)
∂T
+ v ⋅∇T0 = κ∇ 2T
∂t
Eq. di Fourier
Numeri adimensionali
Rν =
VL
ν
≈ 108
Numero di Raynolds
VL
Pe =
≈ 107
kt
Numero di Peclet
VL
Mp =
≈ 1011
Dm
Numero di Massa di
Peclet
Moto del fluido fortemente turbolento
ν ∇2 v
ν
Ec = ≈ 2 ≈ 10−14
ω×v Lω
Numero di Eckman
v ⋅∇v
V
Ro = ≈
≈ 10−8
ω × v Lω
Numero di Rossby
MAC Waves
∂B
= η∇ 2 B + ∇ × v × B
∂t
∂v
∇P
1
+ 2(Ω × v ) = −
+ g + J×B
∂t
ρ
ρ0
Onde MAC (Magnetiche - Archimedeiche – Coriolis)
2
2
τ MAC = 2Ωµ0 ρ L / B ≈ 4000 yr
Dell’ordine di grandezza della deriva occidentale
Modelli numerici
Nel 1995 Glatzmeier e
Roberts produssero il
primo modello numerico
di una dinamo ad autoeccitazione con campo
prevalentemente dipolare
e inversioni
Cilindro tangente
Cartucciere
La dinamo è prodotta dalla convezione nelle colonne di fluido
esterne al nucleo interno
Meccanismi di auto-sostentamento
Simulazioni del campo
Età del nucleo interno…
Un paradosso ?
• Le osservazioni in superficie indicano che il campo magnetico
ha ca 3.5 Gyr. Senza la presenza del nulceo interno, i modelli
attuali non sono in grado di produrre una dinamo ad
autoeccitazione
Età del nucleo interno > 3.5Gyr
• I modelli termici di raffreddamento della Terra indicano che la
nascita del nucleo interno è dell’ordine di 1Gyr, assumendo la
presenza di potassio radioattivo, si arriva al più a 1.5 Gyr
•Età del nucleo interno < 1.5Gyr