I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo

I quadrilateri
Punti notevoli di un triangolo
Capitolo
4
Quadrilateri 1
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quesiti 1.a Vero o falso?
1. La somma degli angoli interni di un ottagono vale 8 180°.
2. Un parallelogramma è anche un trapezio.
3. Un rombo con tutti gli angoli uguali è un quadrato.
4. Un parallelogramma è anche un rettangolo.
5. Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rettangolo.
6. In un rombo gli angoli opposti sono uguali.
7. La somma degli angoli esterni di un pentagono è 5 180°.
8. Un quadrilatero con due coppie di lati congruenti è un
parallelogramma.
9. Un quadrilatero con due coppie di lati paralleli è un parallelogramma.
10. Nel parallelogramma le diagonali sono bisettrici degli
angoli.
11. Un quadrilatero con i lati consecutivi congruenti è un
rombo.
Punti
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
.../...
Simmetrie 2.a Completare la seguente tabella:
Quadrilatero
Assi di simmetria Centri di simmetria
SÌ (n. ...) NO
SÌ
NO
SÌ (n. ...) NO
SÌ
NO
SÌ (n. ...) NO
SÌ
NO
SÌ (n. ...) NO
SÌ
NO
SÌ (n. ...) NO
SÌ
NO
Teorema 3.a Dato il quadrilatero ABCD, considerare i punti E e F simmetrici rispettivamente di A e B rispetto a D, e i punti G e
H simmetrici di A e B rispetto a C.
Dimostrare che FEGH è un parallelogramma.
Per la dimostrazione si possono seguire
i passi qui indicati:
1. Dimostrare che DC è parallelo a EG e che DC è parallelo a FH.
2. Stabilire quale relazione sussiste tra FH e EG oltre alla relazione
di parallelismo.
3. Dedurne che il quadrilatero FHGE è un parallelogramma.
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.../...
.../...
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Capitolo
4
I quadrilateri
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Quadrilateri 2
Verifica per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punti
Trapezio 1.a Definire il trapezio.
.../...
.../...
1.b Dimostrare il seguente teorema:
Se un trapezio ha gli angoli alla base
congruenti, allora è isoscele.
Dopo aver indicato ipotesi e tesi completare la dimostrazione seguente:
Siano H e K le ........................ di D e C sulla ..................... .
Consideriamo i triangoli AHD e KBC: essi sono ....................................
per il .................................. criterio di ...................................... perché:
.......................... ......................... per ................................................
.......................... ......................... perché entrambi ...........................
.......................... ......................... perché ...........................................
Allora avranno ............................ tutti gli elementi corrispondenti, e
in particolare AD ...................., c.v.d.
.../...
Parallelogramma 2.a Definire il parallelogramma.
.../...
2.b Dimostrare il seguente teorema:
Dato un parallelogramma ABCD, si
prolunghi il lato minore AB di un
segmento BE in modo tale che risulti
AE BC. Dimostrare che, preso un
punto P sul segmento DE, la distanza
di P dal lato AD è uguale alla distanza di P dal lato DC.
3.a Definire il rettangolo.
.../...
3.b Quanto sono ampi gli angoli formati dalle diagonali di un rettangolo
che ha un lato pari alla metà delle diagonali stesse?
.../...
4.a Definire il quadrato.
.../...
4.b È dato il quadrato ABCD in cui E, F, G e H sono punti appartenenti
rispettivamente ai lati AD, AB, BC e DC e tali che AF BG HC DE. Che tipo di quadrilatero è EFGH? Perché?
.../...
Rettangolo
Quadrato
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4
Luoghi geometrici - Teorema di Talete Punti notevoli di un triangolo
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Luoghi 1.a Completare:
geometrici
1. Un luogo geometrico è ..................................................................
........................................................................................................... .
2. La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti ...............................
........................................................................................................... .
3. L’asse di un segmento è il luogo dei punti ....................................
........................................................................................................... .
Punti
.../...
1.b Trovare una condizione che permetta di definire una coppia di rette
parallele come luogo geometrico.
.../...
1.c Trovare una condizione che permetta di definire una coppia di rette
perpendicolari come luogo geometrico.
.../...
1.d Considerate due rette incidenti qualsiasi, da quanti punti è costituito il
luogo geometrico dei punti che hanno la stessa distanza d assegnata
dalle due rette? Dove si trovano?
.../...
Talete 2.a Dopo aver esplicitato ipotesi e tesi,
completare la dimostrazione del
seguente teorema:
La retta passante per il vertice B e
per il punto medio P della mediana
del lato AB del triangolo in figura
divide il lato AC in due parti, una doppia dell’altra.
Si costruisce la retta passante per M e parallela al segmento ............ .
Essendo MB MA per ....................................................................... ,
applicando il teorema di Talete alle due rette parallele ......... tagliate
dalle trasversali ........ segue che AO ......... .
Essendo MP PC per ....................................................................... ,
applicando il teorema di Talete alle due rette parallele ......... tagliate
dalle trasversali ......... segue che ON ......... . Dunque .............., c.v.d.
.../...
2.b Completare:
1. In un triangolo, il segmento che ha per estremi i punti medi di due
lati è .................... al terzo lato.
2. In un triangolo, il segmento che ha per estremi i punti medi di due
lati misura .................. del terzo lato.
.../...
Punti 3.a Completare:
notevoli
1. Il circocentro di un triangolo è equidistante ................................... .
2. L’ortocentro di un triangolo è il punto comune alle tre ................. .
3. Il baricentro di un triangolo è il punto comune alle tre ................. .
4. L’incentro di un triangolo è equidistante ........................................ .
.../...
3.b Dimostrare il seguente teorema:
In un triangolo rettangolo baricentro, ortocentro e circocentro sono
allineati.
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Problema. Costruire la retta di Eulero.
1. Costruire il Triangolo
Punti
ABC.
2. Determinare il Punto medio
L, M e N dei tre lati del triangolo.
3. Congiungere i vertici A, B e C del triangolo con i punti L, M e N e chiamare G il loro
punto d’intersezione ottenuto con il comando Intersezione di due oggetti
.
4. Teoria
4.a Come si definisce G?
4.b In generale tre rette del piano si incontrano in tre punti distinti. Dimostrare che
invece i segmenti ottenuti si incontrano sempre in un solo punto.
4.c G divide ciascuno dei tre segmenti in due parti. In quale rapporto si trovano?
.../...
.../...
.../...
5. Costruire le Perpendicolari
ai tre lati del triangolo che passano per i vertici A, B
e C e chiamare H il loro punto d’intersezione.
6. Teoria
6.a Come si definisce H?
6.b Variando il triangolo ABC, come si muove il punto H? È sempre interno al triangolo o può essere anche esterno? Può appartenere a un lato? Quando?
7. Congiungere G con H con lo strumento Retta
.../...
.
8. Con il comando Mostra/Nascondi
nascondere le costruzioni che hanno portato al
punto G e al punto H (mantenendo visibili i punti G e H).
9. Costruire gli Assi
dei lati del triangolo e chiamare O il loro punto d’intersezione.
10. Verifica della costruzione
10.a Come si definisce O?
10.b Come si muove il punto O modificando il triangolo ABC?
10.c Misurare i segmenti AO, BO e CO. Come sono fra loro le misure?
10.d Con lo strumento Allineato?
verificare quali punti sono allineati, anche al
variare del triangolo ABC.
10.e Verificare se gli altri punti notevoli che non sono stati disegnati sono allineati sulla retta.
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.../...
.../...
.../...
.../...
Facoltativo. Disegnare la circonferenza passante per i punti L, M e N. Per quali altri punti
passa? Dove si trova il suo centro?
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I quadrilateri
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Capitolo
4
Quadrilateri
Verifica per la classe prima
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NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Costruire un parallelogramma a partire da un parallelogramma dato.
Punti
1. Costruire il parallelogramma ABCD a partire dai suoi lati AB e AD.
2. Costruire la diagonale AC.
3. Determinare il Punto medio
M.
.
4. Con lo strumento Punto su un oggetto
disegnare un punto P sul lato CD.
5. Con lo strumento Simmetria centrale
rispetto a M.
determinare il punto P simmetrico di P
6. Con lo strumento Poligono
evidenziare il quadrilatero APCP.
7. Teoria
7.a Verificare che P appartiene ad AB con il comando Appartiene a...?
7.b Dimostrare che il quadrilatero APCP è un parallelogramma.
.
.../...
.../...
8. Con lo strumento Punto su un oggetto
disegnare un punto Q sul lato AD.
.../...
9. Con lo strumento Simmetria centrale
rispetto a M.
determinare il punto Q, simmetrico di Q
.../...
evidenziare il quadrilatero QPQP.
.../...
11. Teoria
11.a Dimostrare che il quadrilatero QPQP è un parallelogramma.
.../...
10. Con lo strumento Poligono
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Capitolo
4
I quadrilateri
Punti notevoli di un triangolo
Quadrilateri 1: verifica
Obiettivi
●
●
●
●
Lab.
Cabri
Verifica
Conoscere i teoremi sulla somma degli angoli interni (esterni) di un poligono
Dimostrare/Applicare il teorema di Talete
Definire il trapezio, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il quadrato e conoscerne le proprietà
Dimostrare/Applicare le proprietà del trapezio, del parallelogramma, del rettangolo, del rombo, del quadrato
1.a
3.a
1.a; 2.a; 3.a
★
3.a
★
Soluzioni degli esercizi
Teoria al
paragrafo
§1
§9
§ 3, 4, 5,
6, 7, 8
§ 3, 4, 5,
6, 7, 8
tempo previsto: 60 min
1.a
2.a
1. F; 2. V; 3. V; 4. F; 5. F; 6. V;
7. F; 8. F; 9. V; 10. F; 11. V
assi: no, no, sì (2), sì (2), sì (4)
centri: no, sì, sì, sì, sì
Quadrilateri 2: verifica
Obiettivi
●
●
Lab.
Cabri
Verifica
Definire il trapezio, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il quadrato e conoscerne le proprietà
Dimostrare/Applicare le proprietà del trapezio, del parallelogramma, del rettangolo, del rombo, del quadrato
1.a; 2.a; 3.a;
4.a
1.b; 2.b; 3.b;
4.b
Soluzioni degli esercizi
★
★
Teoria al
paragrafo
§ 3, 4, 5,
6, 7, 8
§ 3, 4, 5,
6, 7, 8
tempo previsto: 60 min
4.b
3.b
60° e 120° quadrato
Luoghi geometrici - Teorema di Talete - Punti notevoli di un triangolo:
verifica e laboratorio di Cabri
Obiettivi
●
●
●
●
Verifica
Definire il luogo geometrico
Riconoscere se una figura è un luogo geometrico
Costruire alcuni luoghi geometrici
Dimostrare/Applicare il teorema di Talete
Definire il baricentro, il circocentro, l’incentro, l’ortocentro di un triangolo
Individuare i punti notevoli di un triangolo
Dimostrare alcuni teoremi sui punti notevoli di un triangolo
1.a; 1.b
1.b; 1.c
1.d
2.a; 2.b
3.a
Lab.
Cabri
§ 10
§ 10
§ 10
§9
§ 11
§ 11
§ 11; cap. 6 § 7
★
★
★
3.b
Soluzioni degli esercizi
tempo previsto: 60 min
1.d
2.b
3.a
quattro punti; sulle bisettrici degli angoli formati dalle due rette
1. parallelo
2. metà
1. dai vertici
2. altezze
3. mediane
4. dai lati
206
Teoria al
paragrafo
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