Teaching_files/2 modelli di comportamento bancario

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Modelli di comportamento delle banche
INTRODUZIONE
Modelli del comportamento delle banche che tengano conto delle
peculiarità dell’attività bancaria
Occorre incorporare l’incertezza sui rendimenti delle attività
finanziarie utilizzando la teoria di portafoglio
Assumendo avversione al rischio si troverà che esiste un premio
per il rischio nel margine di intermediazione, che spiega il ruolo
della diversificazione nella gestione delle attività bancarie
1. 2. 3. 4. 5. Economia della gestione delle attività e delle passività
Gestione della liquidità
Tasso attivo dei prestiti (Pricing)
Gestione dell’attivo
Modello delle risorse reali nel management delle attività e
passività
6. Gestione delle passività e determinazione del tasso di
interesse
GESTIONE DELLE ATTIVITA’ E PASSIVITA’
L’attività della banca è in buona sostanza semplicemente la
gestione delle attività e della passività. Cioè la trasformazione di
depositi liquidi e convertibili su richiesta in prestiti a medio e lungo
termine
La gestione del rischio è quindi parte fondamentale della gestione
delle attività e passività
Rischi principali del bilancio bancario:
1. Rischio di bancarotta
2. Rischio di prelievo
L’allocazione delle passività della banca in attività fruttifere in
modo da minimizzare il rischio di bancarotta e il mantenimento di
una sufficiente liquidità per ridurre il rischio di prelievo riguarda
entrambi i lati del bilancio bancario. Iniziamo dal lato delle attività.
GESTIONE DELLA LIQUIDITA’ (1)
Si tratta di gestire le riserve per fronteggiare il deflusso prevedibile
dei depositi.
La banca può utilizzare:
-RISERVE
-ENTRATE dalla RESTITUZIONE DEI PRESTITI
-PRESTITI INTERBANCARI
-SCONTO DALLA BANCA CENTRALE
Processo decisionale in due stadi:
PRIMO STADIO: decidere l’ammontare di riserve per far fronte ai
prelievi giornalieri
SECONDO STADIO: ciò che resta sono attività fruttifere, la banca
deve decidere come allocarle tra titoli a reddito fisso (basso
rischio- rendimento) e prestiti rischiosi (alto rischio-rendimento)
Si tratta di trovare un equilibrio tra il costo opportunità di detenere
riserve piuttosto che attività fruttifere e il costo di aggiustamento di
dover fronteggiare prelievi imprevisti mediante prestiti
(interbancario o risconto presso la banca centrale).
Il bilancio della banca: L+R=D
(prestiti più riserve = depositi)
Se il flusso dei prelievi è inferiore alla riserve non si ha nessuna
crisi di liquidità, mentre se avviene il contrario la banca deve
ricorrere ai prestiti sull’interbancario.
Si ipotizzi che x sia una variabile stocastica che descriva il
deflusso di depositi e f(x) è la funzione di distribuzione della
probabilità di x. Si avrà insufficienza delle riserve se:
(R-x)<0
Il costo di aggiustamento per raccogliere fondi e coprire la carenza di
riserve è proporzionale alla carenza per un fattore di proporzionalità p.
Si dimostra che la banca sceglierà il livello di riserve liquide tale che la
probabilità di avere riserve carenti sia uguale al rapporto tra il tasso di
interesse su attività fruttifere e il costo di coprire la carenza di riserve:
∞
r = p ∫ f (x)dx
R
Ovvero la banca sceglie il livello di riserve tale per cui i benefici
marginali (non dover sostenere costi per avere liquidità) sono uguali ai
costi marginali (costo opportunità dell’interesse su attività fruttifere).
€
Il modello descrive il flusso di riserve in un certo periodo, ipotizzando
che il processo stocastico dei prelievi segua una distribuzione normale.
Alla fine del periodo i prelievi attesi sono E(x)
Lo stock ottimo di riserve detenute dalle banche è descritto dal
grafico della distribuzione cumulativa del deflusso dei depositi:
r/p
Se il costo marginale di ottenere liquidità
cresce, r/p diminuisce e la banca detiene
più riserve. r/p può diminuire anche
perché diminuisce il costo opportunità di
detenere riserve (r). Se invece r aumenta
detenere riserve è più costoso e quindi R
si riduce.
Il modello è valido anche nel caso la
banca centrale imponga riserve
obbligatorie.
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
10
20
30
40
50
60
R
Se gli aggiustamenti delle riserve carenti fossero senza costi la
banca sceglierebbe in ogni periodo il livello ottimo di riserve,
indipendentemente dal livello di riserve ereditate dal periodo
precedente.
Se esistono costi aggiustamento per raggiungere il livello ottimo di
riserve R*, allora sarebbe profittevole adeguarsi solo se i benefici
superano i costi di aggiustamento.
Se il costo di aggiustamento è C= v |R-R0| dove R0 sono le riserve
all’inizio del periodo prima dell’aggiustamento, R le riserve all’inizio
del periodo dopo l’aggiustamento e v il fattore di proporzionalità.
Si può dimostrare che nel modello le riserve possono fluttuare nel
periodo tra un massimo e un minimo. L’aggiustamento si realizza
solo se il livello delle riserve va oltre i limiti superiore ed inferiore.
Se R<R* un incremento di R diminuisce i costi:
Quando è profittevole fare un aggiustamento?
il beneficio marginale di un aggiustamento > costo marginale v
Se invece ogni ulteriore aggiustamento di R non è profittevole, nel
senso che anche se C diminuisce, si riduce comunque di un
ammontare minore di v.
Ugualmente quando R>R*. Una riduzione di R è profittevole
perché riduce il costo sino a che
.
Andamento delle riserve totali al variare del tasso sui prestiti delle
banche (costo opportunità di detenere riserve). Dati: bilanci bancari
OCSE
Riserve totali rispetto al tasso sui prestiti
300000
250000
200000
150000
RT
Lineare(RT)
100000
50000
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
TASSO ATTIVO SUI PRESTITI (PRICING)
Il pricing di un prestito è uno degli elementi fondamentali che
determinano il margine di intermediazione, cioè la differenza tra il
tasso attivo sui prestiti e quello passivo sui depositi.
Dipende da: caratteristiche degli affidati e dal premio richiesto per il
rischio di default in base alla avversione al rischio delle banche.
Si ipotizzi che la banca detenga due attività, una priva di rischio ed
una con un rendimento incerto (prestiti) a fronte di depositi, anch’essi
dal rendimento incerto. Naturalmente i depositi possono essere visti
come una attività negativa per cui il bilancio della banca sarà:
L+M=D
e la funzione di profitto è:
π= rL L + rM M – rD D
dove M è lo stock di titoli privi di rischio, L quello dei prestiti e D dei
depositi.
PRICING (1)
Ipotizziamo che la funzione di utilità attesa della banca sia descritta
da:
1
E {U(π )} = E(π ) − βσπ2
2
(1)
E(π ) = E(rL )L + rM M − E(rD )D
Dove:
(2)
€
e
E(rL ) = E(rL + ε L ); ε L dst N(0,σ L2 ), E(rD ) = E(rD + ε D ); ε D dst N(0,σ D2 )
€
€
mentre β è il coefficiente di avversione al rischio della banca.
Ricordiamo che cov(rL ,rD ) = ρ r r σ r σ r , dove ρ r r è il coefficiente di
correlazione dei rendimenti stocastici dei prestiti e dei depositi.
Sostituendo la (2) nella (1) e calcolando la varianza dei profitti
otteniamo:
€
€
L D
L
D
L D
1
(3) E {U(π )} = E(rL )L + rM M − E(rD )D − β σ r2L L2 + σ r2D D2 − 2 ρrL rD σ rL σ rD (L)(D)
2
{
}
PRICING (2)
Sostituendo a M=D-L otteniamo le seguenti condizioni per la
massimizzazione dell’utilità della banca:
(4)
E {U(π )}
1
= E(rL )L − rM − β 2σ r2L L − 2 ρrL rD σ rL σ rD D = 0
∂L
2
(5)
E {U(π )}
1
= rM − E(rD ) − β 2σ r2D D − 2 ρ rL rD σ rL σ rD L = 0
∂D
2
[
]
[
]
€
[
= − βσ [σ
]
L]
E(rL ) − rM = βσ rL σ rL L − ρrL rD σ rD D
(6)
€
E(rD ) − rM
(7)
€
rD
rD
D − ρrL rD σ rL
Se i rendimenti dei prestiti e dei depositi fossero indipendenti cioè
allora ρ r r = 0 e la (6) sarebbe sicuramente >0 e la
E(rD ,rL ) =€0
(7)<0 rendendo possibile l’intermediazione
L D
€
PRICING (3)
2
2
(8) E(rL ) − E(rD ) = β(σ rL L − σ rD D)
Lo spread dipende dalla volatilità dei tassi e dall’avversione al
rischio.
€
Con ρ r r = 1 , ovvero con perfetta correlazione dei tassi, non si
avrebbe intermediazione perché i termini tra parentesi della (6) e
della (7) non potrebbero essere entrambi positivi.
L D
€
Con ρ r r < 0 si creano ancora una volta le condizione per
l’intermediazione.
L D
€ Che i tassi attivi e passivi debbano essere necessariamente non
correlati o con correlazione negativa è una condizione troppo
restrittiva. Normalmente ci aspettiamo che ci sia una correlazione
positiva.
PRICING (4)
Ma quanto può essere grande ρ r r affinchè si abbiano spread
positivi?
L D
Sottraendo la (7) dalla (6)
€ otteniamo:
] { [
[
2
E(rL ) − E(rD ) = β σ rL2 L − ρrL rD σ rL σ rD D − − β σ rD
D − ρrL rD σ rL σ rD L
[
] [
]}
]
2
β σ rL2 L − ρrL rD σ rL σ rD D + β σ rD
D − ρrL rD σ rL σ rD L > 0
€
[
]
2
β σ rL2 L + σ rD
D − ρrL rD σ rL σ rD (D + L) > 0
€
[
]
2
β (σ rL2 L + σ rD
D) − βρrL rD σ rL σ rD (D + L) > 0
€
(9) ρr r
L D
2
σ rL2 L + σ rD
D
<
σ rL σ rD (D + L)
€
Il coefficiente
di correlazione può essere positivo ma piccolo, ovvero
i tassi non devono essere molto correlati affinchè ci sia un margine
di intermediazione
positivo.
€
GESTIONE DELLE ATTIVITA’ (1)
Il modello di banca avversa al rischio è utile per mostrare come il
prezzo dei prestiti rappresenti un premio per il rischio, ovvero un
mark-up sul tasso privo di rischio (rM). Tuttavia non spiega come
mai una banca è in grado di sopportare rischi superiori a quelli degli
individui privati.
Due domande:
1. In che modo la banca alloca le sue attività tra prestiti ad altorischio e alto-rendimento e attività a basso-rischio e bassorendimento?
2. In che modo la banca alloca le sue attività tra attività prive di
rischio e attività rischiose?
Per rispondere si può utilizzare la teoria di portafoglio
Secondo la teoria di portafoglio la decisione dell’allocazione delle
attività può essere separata in due momenti.
Primo stadio: costruzione di una attività composita, cioè una
combinazione ottima di attività rischiose.
Secondo stadio: comparazione tra attività composita e una attività
priva di rischio.
A è una attività con minor rischio
e minor rendimento rispetto a B.
Come scegliere se non
conosciamo le preferenze della
banca?
Rendimento
atteso
C
B
A
Rischio
L’ a t t i v i t à c o m p o s i t a C è
sicuramente preferita. Come
combinare A e B in modo da
generare la posizione C che è
superiore ad entrambe?
B
Rendimento
atteso
Attività ad alto-rischio
ρ=-1
-1<ρ<1
ρ=1
A
Attività a basso-rischio
Rischio
In nero è rappresentata la frontiera efficiente che descrive la
combinazione di attività che minimizzano il rischio per varie
combinazioni di rendimenti attesi e rischio, espresso in termini di
varianza. L’attività composita è fatta dalla combinazione di prestiti
che minimizzano il rischio associato ai rendimenti stocastici.
Il rendimento atteso del portafoglio totale include l’attività composita
e l’attività priva di rischio.
Rendimento atteso totale del portafoglio:
≈
E(R) = ωE(R) + (1 − ω )rT
(2)
dove ω è la propozione di attività
con rischio della banca , mentre rT è il rendimento dell’attività priva
di rischio.
€
2
2 2
σ
≈ = ω σR
La varianza dei rendimenti del portafoglio è: R
(3)
La (2) può essere riscritta nel seguente modo:
⎛ E(R) − rT ⎞ 2
E(R) = ⎜
⎟ω + rT
⎝
⎠
ω
(4)
per ω/ω
≈
€
moltiplicando il primo termine
Ricavando ω2 dalla (3) e sostituendolo nella (4) otteniamo:
€
⎛ E(R) − rT ⎞ 2
2
E(R) = ⎜
σ
+
r
=
θ
σ
⎟
≈
≈ + rT
T
2
R
⎝ ωσ R ⎠ R
≈
(5)
€
La (5) rappresenta l’insieme dei punti che costituisce un trade-off
tra rendimento atteso e rischio per il portafoglio che comprende una
attività priva di rischio e l’attività composita.
La scelta della banca tra
E(R)
attività rischiosa e quella priva
di rischio, cioè il valore di ω,
Attività composita
dipenderà dalle preferenze
della banca rispetto al rischio.
rT
Queste sono rappresentate
come una funzione di utilità
tangente alla linea delle
opportunità di investimento.
Linea delle
opportunità di
investimento
σ 2R
Incremento della rischiosità della
attività composita.
U(R, σ2R )
E(R)
C
B
B’
A
rT
Linea delle opportunità di
investimento
C’
L’allocazione iniziale delle
attività in attività rischiose è data
da AB/AC, mentre la
proporzione detenuta in attività
prive di rischio è data da BC/AC.
L’incremento della rischiosità è
rappresentato dallo spostamento
di AC in AC’.
Il punto C’ a destra di C ha lo
stesso rendimento di C ma
σ
maggior
rischio
2
R
Il nuovo equilibrio è in B’. La quota di attività composita rischiosa è
diminuita a AB’/AC’ e la quota di attività priva di rischio è aumentata a B’C’/
AC’.
GESTIONE DELLE
ATTIVITA’
(7)
C’
U(R, σ2R )
E(R)
C
B’
B
Incremento del tasso dell’attività
priva di rischio.
Spostamento della linea delle
opportunità di investimento da
AC in A’C.
A’
Quota attività non rischiose: B’C/
A’C (aumenta)
A
rT
Linea delle opportunità di
investimento
Quota attività rischiose: A’B’/A’C
(diminuisce)
σ 2R
Anche se questo appare sensato non è realistico perchè un incremento del
tasso delle attività prive di rischio accresce tutti i tassi, con uno
spostamento di AC parallelamente a sinistra
Risultati del modello:
1. La banca cerca di diversificare i suoi prestiti tra attività ad altorischio e alto-rendimento (nuove imprese, PMI, settori
tecnologici, etc.) e quelle a basso-rischio e basso-rendimento
(grandi imprese, imprese quotate, mutui fondiari con garanzie
reali, etc.)
2. La banca detiene parte delle proprie attività in investimenti privi
di rischio a basso rendimento e prontamente liquidabili
3. A parità di altre condizioni un incremento della rischiosità del
portafoglio fa spostare le banche verso le attività liquide prive di
rischio
4. Un incremento del rendimento dei prestiti fa ridurre la quota di
attività liquide
5. Un incremento del rendimento delle attività prive di rischio fa
aumentare la quota detenuta in portafoglio dalle banche.
Limiti del modello:
1. I risultati dipendono dalla specificazione della funzione di utilità,
che è stata ipotizzata quadratica o esponenziale negativa, con
il vantaggio di poter esprimere l’utilità in termini di media e
varianza della distribuzione dei rendimenti delle attività. Ciò
implica anche che i rendimenti delle attività siano distribuiti
come una normale.
I portafogli dei prestiti non hanno di solito rendimenti distribuiti
secondo una normale.
I contratti di prestito prevedono una restituzione con una quota
capitale ed una quota interessi.
Gli interessi non sono distribuiti normalmente.
Gli affidati possono restituire meno o non restituire affatto, ma non
pagano di più di quanto è stabilito nel contratto. In questo senso il
prestito prevede un rischio negativo (fallimento) che non è
compensato da un rischio positivo.
2. Il modello non tiene conto della relazione banca-impresa e delle
relazioni di lungo periodo che si possono instaurare tra banca e
suoi affidati.
L’esigenza di instaurare e mantenere relazioni di lungo periodo
può indurre la banca a prestare ad un cliente meno affidabile (es.
uno studente) per costruire un rapporto di lungo periodo.
3. Le caratteristiche del contratto di mutuo riguardano anche altre
dimensioni oltre il rendimento e il rischio, come ad esempio, la
scadenza del prestito (maturity), la concessione di garanzie reali
(collateral), il merito di credito (rating).
IL MODELLO DELLE RISORSE REALI PER LA
GESTIONE DELL’ATTIVO E DEL PASSIVO
Si può immaginare l’attività bancaria come un attività produttiva con
input (i depositi e altri fattori) e un output (i prestiti). In questo
modello si spiega l’allocazione e la gestione delle risorse e la scala
produttiva in termini di acquisizione di depositi per far fronte ad una
certa offerta di prestiti.
Il bilancio della banca è:
L+R=D
prestiti+riserve= depositi
Le riserve sono una frazione k, mentre i fattori della produzione
sono il lavoro, il capitale fisico etc. indicati con I.
La funzione di produzione descrive la combinazione di input I per
produrre prestiti L e depositi :
f(L,D, I)=0
In tal modo è possibile calcolare il margine di intermediazione con
una funzione dei costi operativi.
MARGINE DI INTERMEDIAZIONE FUNZIONE DEI COSTI
OPERATIVI (1)
Dato che il tasso di riserve è pari a k, il bilancio della banca
diventa:
L= (1-k)D
(1)
Si supponga che ci sia un solo input e cioè il lavoro N. Il lavoro è
utilizzato per produrre i depositi:
D=f(N) f’>0, f’’<0
(2)
L’obiettivo della banca è massimizzare il profitto. Il lavoro è
retribuito al salario w. Il profitto della banca è:
π=rLL-rDD-wN
(3)
Sostituendo la (1) e la (2) nella (3) otteniamo:
π=rL(1-k)f(N)-rDf(N)-wN
rL(1-k)f’-rDf’-w=0
derivando rispetto al fattore lavoro:
che rappresenta la condizione di
massimizzazione del profitto.
MARGINE DI INTERMEDIAZIONE FUNZIONE DEI COSTI
OPERATIVI (2)
rLf’-krLf’-rDf’-w=0
(rL-rD)f’= krLf’+w
rL-rD= krL+w/f’
L’elasticità dei depositi rispetto al fattore lavoro è: εN=f’ (N/D) da
cui:
f’=εN(D/N) sostituendo otteniamo il margine di intermediazione in
termini di elasticità e costi operativi della banca:
rL-rD= krL+(1/εN)(wN/D)
Data l’elasticità il margine di intermediazione aumenta al crescere
del rapporto tra costi operativi e valore dei depositi.
Bilanci delle banche. Andamento del margine di
intermediazione e dei costi operativi sul totale attivo
ITALIA-Anni 1999-2009
0,03
0,025
0,02
0,015
costi operativi
margine intermediazione
0,01
0,005
0
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Fonte:OECD (http://
stats.oecd.org/Index.aspx)
intermediazione e dei costi operativi sul totale attivo
GERMANIA-Anni 1999-2009
0,016
0,014
0,012
0,01
0,008
costi operativi
0,006
0,004
0,002
0
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Fonte:OECD (http://
intermediazione, dei costi operativi sul totale attivo
USA-Anni 1999-2009
0,06
0,05
0,04
costi operativi
0,03
reddito da interessi e non interessi
0,02
0,01
0
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Fonte:OECD (http://
intermediazione, dei costi operativi, del reddito da interessi e
del reddito totale sul totale attivo
ITALIA-Anni 1999-2009
0,04
0,035
0,03
0,025
costi operativi
0,02
reddito da interessi e non interessi
reddito non da interessi
0,015
0,01
0,005
0
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Fonte:OECD (http://
GESTIONE DEL PASSIVO E DETERMINAZIONE DEL
TASSO (1)
La gestione del passivo si riferisce alla ricerca di depositi per
fronteggiare la domanda di prestiti.
Dall’incontro tra offerta e domanda di depositi (che è parte della
domanda di moneta) si determina il tasso.
Tuttavia, il tasso sui prestiti e quello sui depositi non sono
indipendenti.
La funzione di costo della produzione di prestiti e quella dei depositi
non sono separabili.
E’ verosimile ipotizzare che l’incremento del costo marginale dei
prestiti aumenta quello dei depositi: la banca (in monopolio)
richiede un incremento del margine di intermediazione per far
fronte all’incremento marginale dei depositi.
TASSO (2)
Cosa succede alla banca in concorrenza?
Un incremento delle domanda di prestiti viene finanziata con un
prestito sul mercato interbancario.
La banca è price-taker, la funzione del profitto è:
π=rLL+rTT-rDD-rII
dove, rT è il tasso delle attività prive di rischio T, mentre rI è il tasso
di interesse interbancario e I lo stock di prestiti interbancari.
La copertura di un incremento dei prestiti avviene interamente
attraverso un prestito sull’interbancario:
dL + dT=dI.
TASSO (3)
Se la quota di attività liquide (T) rispetto a L (α) è data dai tassi
relativi attuali, T=αL, il profitto marginale di un incremento dei
prestiti è:
∂π
= r + αrT − (1+ α )rI > 0
∂L L
Se i redimenti combinati delle attività (prestiti e liquidità) sono
maggiori del
€ costo del prestito interbancario, allora la banca ricorre
al prestito interbancario per finanziare l’incremento della domanda
di prestiti.
Cosa succede se si ha un incremento della domanda di prestiti per
tutte le banche?
Se tutte le banche hanno deficit di fondi e non ci sono banche con
surplus allora si determina un eccesso di domanda di prestiti.
Quali sono le implicazioni di questa situazione?
TASSO (4)
Niehans (1978) e De Grauwe (1982)
L’offerta di depositi dipende positivamente dal margine di
intermediazione:
Ds= h(rL-rD) h’>0
Il vincolo dell’equilibrio di bilancio per la banca è: L+T+R=D
Sostituendo l’offerta di depositi nell’equilibrio di bilancio si ottiene
l’offerta di prestiti:
Ls=g(rL-rD,k,rT) g’1>0, g2’<0, g’3<0
La domanda di depositi è data da: Dd=D(rD, X) . Quella di prestiti
da:
Ld=L(rL, Z), dove X e Z sono i vettori delle altre variabili che
influenzano i depositi e i prestiti rispettivamente.
TASSO (5)
L’equilibrio nel mercato dei prestiti:
L(rL,Z)=g(rL-rD,k,rT)
e in quello dei depositi: D(rD,X)= h(rL-rD)
rL
DD
LL’
LL
r1L
r*L
r*D r2D
rD
DD rappresenta l’equilibrio nel
mercato dei depositi mentre LL in
quello dei prestiti. L’incrocio
definisce i tassi attivi e passivi di
equilibrio.
Un incremento esogeno nella
domanda
prestitiaumenta
fa slittaree la
LL
Il tasso suidiprestiti
quindi
in
LL’ di prestiti e depositi. Il tasso
l’offerta
sui depositi aumenta per attrarre
fondi, ma l’incremento di rL ha
aumentato il costo marginale dei
depositi: rL cresce più di rD per
compensare la banca assicurando
un maggior margine di
intermediazione

Teaching_files/2 modelli di comportamento bancario

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