Esercizio 16. Due ruote dentate di raggi r1 = 0.3 m, r2 = 0.5 me

Esercizio 16.
Due ruote dentate di raggi r1 = 0.3 m, r2 = 0.5 m e masse m1 = 2 Kg, m2 = 3 Kg,
possono ruotare senza attrito attorno ai loro assi orizzontali e perpendicolari al piano della
pagina come in figura. Le due ruote siano in contatto puntiforme fra di loro. A centro della
ruota 2 e’ saldato un disco di massa m3 = 1 Kg e raggio r3 = 0.2 m attorno a cui sia avvolta
una fune inestensibile alla cui estremita’ e’ appesa una nassa m = 2 Kg. Calcolare:
1) Le accelerazioni angolari delle due ruote;
2) L’accelerazione della massa m;
3) La tensione della fune.
Soluzione.
Indichiamo con T la tensione della fune e con F la forza di contatto fra le due ruote
dentate.
Applichiamo la II legge di Newton al corpo di massa m:
mg − T = ma
(1)
Applichiamo la II equazione cardinale alle due ruote dentate:
Ruota di raggio r2 :
T r3 − F r2 = Iα
(2)
dove I e’ il momento d’inerzia totale delle due ruote di raggi r2 e r3 :
I = I2 + I3 = 21 m2 r22 + 12 m3 r32 = 0.5 · 3 · 0.52 + 0.5 · 1 · 0.22 = 0.375 + 0.02 = 0.395 Kgm2
I1 invece vale:
I1 = 21 m1 r12 = 0.5 · 2 · 0.32 = 0.09 Kgm2
Inoltre, l’accelerazione angolare e’ legata all’accelerazione a dalla relazione:
a = r3 α
per cui la (1) diviene:
mg − T = mαr3
(3)
1
Per la ruota dentata di raggio r1 :
F r1 = I1 α1
(4)
L’accelerazione del punto di contatto e’ in comune fra la ruota di raggio r2 e quella di
raggio r1 , quindi:
αr2 = α1 r1
Sostituendo nella (4):
F r1 = I1 α rr12
Otteniamo quindi:
F = I1 α rr22
1
che possiamo sostituire nella (2):
r2
T r3 − I1 α r22 = Iα
(5)
1
Moltiplichiamo la (3) per r3 :
mgr3 − T r3 = mαr32
(6)
Sommando la (5) e la (6) otteniamo:
r2
mgr3 − I1 α r22 = Iα + mαr32
1
Ovvero:
r2
mgr3 = α(I1 r22 + I + mr32 )
1
Da questa otteniamo α:
α=
mgr3
r2
2
I1 2 +I+mr32
r
1
=
2·9.8·0.2
0.09·2.78+0.395+2·0.04
= 3.920.725 = 5.4 rad/sec2
L’accelerazione α1 vale quindi:
α1 = α rr12 = 5.4 · 1.7 = 9.2 rad/sec2
L’accelerazione:
2
a = αr3 = 5.4 · 0.2 = 1.08 m/sec2
La tensione della fune si ricava dalla (1):
T = m(g − a) = 2 · (9.8 − 1.08) = 17.4 N
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