Cliccate qui per le soluzioni ragionate del test proposto

1° quesito.
In un salvadanaio vi sono monete da 1 e da 2 euro. Quelle da 1 euro sono l'80%. Qual è la probabilità
che, estraendo casualmente 7 monete, si totalizzi la somma di 10 euro.
Soluzione:
Il problema si risolve considerando una distribuzione binomiale di parametri n=7 e p=0,8.
L’unica combinazione che consente di ottenere 10 euro è di 4 monete da 1 euro e 3 da due. La
probabilità di ottenere tale combinazione si ottiene mediante il seguente calcolo:
7
P( X = 4 ) =   ⋅ 0,8 4 ⋅ 0,2 3 = 0,114688 ≅ 11,5%
 4
2° quesito.
Da un gruppo di 150 persone occorre selezionare una giuria popolare di 15 membri per giudicare un
imputato di omicidio. Considerando che, dei componenti del gruppo iniziale, 83 sono colpevolisti e i
rimanenti sono innocentisti, qual è la probabilità che l'imputato venga assolto?
Soluzione:
Il problema si risolve considerando una distribuzione binomiale di parametri n=15 e p=83/150.
Affinché l’imputato venga assolto occorre che non più di 7 membri della giuria siano colpevolisti. La
probabilità di tale evento si ottiene mediante il seguente calcolo:
k
15− k
7
15   83  
83 
P( X ≤ 7 ) = ∑   ⋅ 
⋅
1
−
= 0,336781 ≅ 33,7%
 

 150 
k = 0  k   150 
3° quesito.
Un aranceto è stato attaccato da una mosca che ha deposto le proprie uova nel 30% dei frutti. Quante
arance è necessario raccogliere per averne almeno 10 sane con una probabilità non inferiore al 95%?
Soluzione:
Il problema si risolve considerando una distribuzione binomiale con parametro n indeterminato (che
rappresenta l’incognita del problema, ovvero il numero di arance da raccogliere) e p=0,3.
Poiché delle n arance almeno 10 devono essere sane, quelle guaste non possono superare il numero nn −10 n
 
10. La condizione risolutiva risulta pertanto P( X ≤ n − 10) = ∑   ⋅ 0,3 k ⋅ 0,7 n −k ≥ 0,95 .
k =0  k 
In alternativa si può considerare la distribuzione binomiale con p=0,7 con la condizione risolutiva
9
9
n
n
P( X ≥ 10 ) = 1 − P( X < 10 ) = 1 − P( X ≤ 9 ) = 1 − ∑   ⋅ 0,7 k ⋅ 0,3 n − k ≥ 0,95 ⇒ ∑   ⋅ 0,7 k ⋅ 0,3 n − k ≤ 0,05
k =0  k 
k =0  k 
La soluzione può essere individuata per tentativi sostituendo ad n le soluzioni proposte. Si ottengono i
9
9
18 
19 
seguenti risultati: ∑   ⋅ 0,7 k ⋅ 0,318− k = 0,059586; ∑   ⋅ 0,7 k ⋅ 0,319− k = 0,032553. A questo
k =0  k 
k =0  k 
punto non occorre fare altre prove: è evidente che raccogliendo 19 arance la probabilità di averne meno
di 10 sane è inferiore al 5%, quindi la probabilità dell’evento complementare (averne almeno 10 sane) è
superiore al 95%.
4° quesito.
In un appezzamento di terreno di 10 ha si calcola che vi siano 25 tartufi. Qual è la probabilità che in 1
ara vi sia almeno un tartufo?
Soluzione:
Tenendo presente che 1ha=100a, quindi 10ha=100a, il problema si risolve considerando una
distribuzione di Poisson con parametro λ=0,025 (risultante dalla proporzione 25:1000=x:1). L’evento
“avere almeno un tartufo” è complementare a “non avere alcun tartufo”, pertanto la soluzione si ottiene
mediante il seguente calcolo:
P( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − e −0, 025 = 0,02469
La risposta corretta risulta dunque “Poco più del 2,45%”.
5°quesito.
La caduta sulla terra di meteoriti di peso superiore a 10t è un fenomeno che si registra mediamente 5
volte ogni secolo. Qual è la probabilità che nei prossimi 50 anni non cadano più di due meteoriti di
peso superiore a 10t?
Soluzione:
Il problema si risolve considerando una distribuzione di Poisson con parametro λ=2,5 (risultante dalla
2
2,5 k − 2,5
proporzione 5:100=x:50) e svolgendo il seguente calcolo: P( X ≤ 2) = ∑
e
= 0,543813
k = 0 k!
6°quesito.
Da un'indagine condotta su un campione di cinquecento supporters londinesi è risultato che 128
sostenevano l'Arsenal, 113 il Chelsea, 97 il Tottenham, 56 il QPR, 45 il Christal Palace e i rimanenti
altre squadre. Di essi ne risultavano sobri, rispettivamente, 14, 13, 11, 7, 4 e 8. Avendo beccato un
supporter ubriaco ad Highbury durante il derby contro il Tottenham, qual è la probabilità che si tratti di
un sostenitore della squadra di casa?
Soluzione:
Premesso che è l’Arsenal la squadra che gioca ad Highbury1, il problema si risolve applicando il
teorema di Bayes.
Preliminarmente occorre definire i seguenti eventi:
A=”selezionare un tifoso dell’Arsenal”;
T=”selezionare un tifoso del Tottenham”;
U=”selezionare un tifoso ubriaco”.
Ovviamente per poter risolvere il problema è necessario supporre che al derby assistano soltanto tifosi
delle due squadre in campo e che la proporzione delle due tifoserie rispecchi esattamente quella rilevata
nell’indagine. Quindi P(A)=128/(128+97) e P(T)=97/(128+97), inoltre P(U|A)=(128-14)/128 e
P(U|T)=(97-11)/97.
Risulta pertanto P(U)=P(U|A)P(A)+P(U|T)P(T)=114/225+86/225=200/225.
La soluzione si ottiene mediante il seguente calcolo:
114 128
⋅
P(U | A) ⋅ P( A) 128 225 114
P( A | U ) =
=
=
= 0,57
200
P (U )
200
225
7°quesito.
Da un indagine su 200 studenti di ingegneria che hanno sostenuto l'esame di Analisi 1 è risultato
quanto segue:
- 40 avevano seguito almeno l'80% delle lezioni ed hanno tutti superato l'esame;
- 90 avevano seguito fra il 50% e l'80% delle lezioni e di essi 15 non hanno superato l'esame;
- 70 avevano seguito meno del 50% delle lezioni e di essi 40 non hanno superato l'esame.
Sapendo che uno studente scelto a caso ha superato l'esame, qual è la probabilità che abbia seguito più
dell'80% delle lezioni?
1
Per la precisione, Highbury è il nome del quartiere dove era ubicato il vecchio impianto (l’Arsenal Stadium) demolito nel
2006. Il nuovo impianto (l’Emirates Stadium) sorge comunque a breve distanza dal precedente.
Soluzione:
Il problema si risolve applicando il teorema di Bayes. Preliminarmente occorre definire i seguenti
eventi:
E1=”selezionare uno studente che ha seguito almeno l’80% delle lezioni”;
E2=”selezionare uno studente che ha seguito fra il 50% e l’80% delle lezioni”;
E3=”selezionare uno studente che ha seguito meno del 50% delle lezioni”;
A=”selezionare uno studente che ha superato l’esame”.
Quindi P(E1)=40/200, P(E2)=90/200, P(E3)=70/200,
P(A|E1)=1, P(A|E2)=(90-15)/90, P(A|E3)=(40-70)/70,
P(A)=P(A|E1)P(E1)+P(A|E2)P(E2)+P(A|E3)P(E3)=40/200+75/200+30/200=145/200
e la soluzione si ottiene effettuando il seguente calcolo:
40
1⋅
P( A | E1 ) ⋅ P(E1 )
40
P(E1 | A) =
= 200 =
= 0,275862
145
P ( A)
145
200
8°quesito.
La registrazione dei tempi nella gara dei 100m in un meeting di atletica, risulta soggetta ad un errore
sistematico distribuito normalmente con media 0,007" e deviazione standard 0,005". Calcolare la
probabilità che un atleta che ha registrato un tempo di 10,58" abbia in realtà impiegato un tempo non
inferiore a 10,59".
Soluzione:
L’evento “aver impiegato un tempo non inferiore a 10,59"” equivale all’evento “aver commesso un
errore di misurazione non inferiore a 0,01"”. Considerando la distribuzione dell’errore di misurazione,
0,01 − 0,007
si può determinare il corrispondente valore standardizzato: z =
= 0,6 , quindi la soluzione
0,005
si ottiene mediante il seguente calcolo: P( Z ≥ 0,6) = 1 − P(Z < 0,6 ) = 1 − 0,725747 = 0,274253
9°quesito.
Il logaritmo decimale della velocità del vento (in nodi) registrata alla stazione meteo di Gioia del Colle,
segue una distribuzione normale con media 1,0 e deviazione standard 0,4. Qual è la probabilità di
registrare un vento di velocità compresa fra 5 e 10 nodi?
Soluzione:
Considerando che log 5 = 0,69897 e log 10 = 1 , i corrispondenti valori standardizzati risultano:
0,69897 − 1
z1 =
= -0,75257 e z 2 = 0 , quindi la soluzione si ottiene effettuando il seguente calcolo:
0,4
P(− 0,75257 ≤ Z ≤ 0 ) = P(Z ≤ 0) − P(Z < −0,75257 ) = 0,5 − 0,225853 = 0,274147
10°quesito.
I primi cinque classificati in una gara di triathlon hanno riportato i seguenti tempi (in mm.ss) alle prime
due frazioni (corsa 2700 m e MTB 5000 m):
5.29 e 26.55, 5.33 e 25.26, 5.06 e 29.47, 5.05 e 28.51, 5.06 e 30.19.
Cosa si può affermare circa la correlazione fra le due variabili?
Soluzione:
Preliminarmente conviene esprimere i tempi in secondi, quindi si imposta la seguente tabella:
X
Y
X^2
Y^2
XY
329
1.615
108.241
2.608.225
531.335
333
1.526
110.889
2.328.676
508.158
306
1.787
93.636
3.193.369
546.822
305
1.731
93.025
2.996.361
527.955
306
1.819
93.636
3.308.761
556.614
Totali
1.579
8.478
499.427
Medie
316
1.696
99.885
14.435.392 2.670.884
2.887.078
534.177
Il coefficiente di correlazione si può calcolare nel modo seguente:
n
r=
Codev( XY )
Dev( X ) ⋅ Dev(Y )
=
∑x y
i =1
i
i
− nx y
=
(
2670884 − 5 ⋅ 316 ⋅ 1696
)(
n
499427 − 5 ⋅ 316 2 ⋅ 14435392 − 5 ⋅ 1696 2
 n 2
2 
2
2
 ∑ x i − nx  ⋅  ∑ y i − ny 
 i =1
  i =1

Il valore di tale espressione risulta circa uguale a -0,94551, pertanto la risposta corretta è “Vi è una
forte correlazione negativa, poiché il coefficiente di correlazione è minore di -0,9”.
)