Ing. Prota - Ordine Ingegneri Napoli

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Rinforzo a flessione
Esempi numerici
1
Rinforzo a flessione
• Il rinforzo a flessione è necessario per elementi
strutturali soggetti a momento flettente di calcolo
maggiore della corrispondente resistenza
• Il rinforzo a flessione mediante materiali compositi
è eseguito mediante applicazione di uno o più
lamine ovvero uno o più strati di tessuto al lembo
teso dell’elemento da rinforzare
2
Rinforzo a flessione:
Calcolo del Momento Resistente
La rottura a flessione si ha per:
•
Raggiungimento della massima deformazione plastica nel
calcestruzzo compresso, εcu
•
raggiungimento di una deformazione massima nel rinforzo
in FRP, εfd, calcolata come:
⎧ ε fu
⎫
ε fd = min ⎨ηa , ε f,max ⎬
⎩ γf
⎭
− ηa : fattore di conversione ambientale
(per varie condizioni di
esposizione e vari sistemi in FRP)
− εfu : deformazione ultima del rinforzo
− γf : coefficienti parziali per materiali e
prodotti
− εf,max : deformazione massima per
delaminazione
3
Deformazione massima nel rinforzo
− ηa : fattore di conversione ambientale (per varie
condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP)
Condizione di esposizione
Tipo di fibra/resina
ηa
Esposizione interna
Carbonio/Epossidica
Vetro/Epossidica
Aramidica/Epossidica
0.95
0.75
0.85
Esposizione esterna (ponti
colonne parcheggi)
Carbonio/Epossidica
Vetro/Epossidica
0.85
0.65
0.75
Ambiente aggressivo (centrali
chimiche e centrali di
trattamento delle acque)
Carbonio/Epossidica
Vetro/Epossidica
0.85
0.50
0.70
4
− γf : coefficienti parziali per materiali e prodotti
MATERIALE/PRODOTTO APPLICAZIONE TIPO A APPLICAZIONE TIPO B
Lamine e tessuti FRP
Applicazione tipo A: sistemi
di rinforzo prefabbricati in
condizioni di controllo di
qualità
ordinario,
applicazione di tessuti a
mano con elevato controllo
di qualità
1.20
1.50
Applicazione tipo B: applicazione di
tessuti a mano in condizione di
qualità ordinario, applicazione di
qualsiasi sistema di rinforzo in
condizioni di difficoltà ambientale
o operativa
5
− εf,max : deformazione massima per delaminazione intermedia
(Modalità 2)
ε f,max
-
f fdd
= kcr ⋅
Ef
kcr : coefficiente pari a 3
Ef : Modulo Elastico FRP
ffdd : tensione di progetto nel rinforzo
f fdd =
1
γ fd ⋅ γ c
2 Ef Γ Fk
tf
6
Tensione di progetto nel rinforzo
− ffdd : tensione di progetto nel rinforzo
f fdd
1
=
γ fd ⋅ γ c
ΓFd : Valore di progetto energia
specifica di frattura
2 Ef Γ Fk
tf
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
[forze in N , lunghezze in mm]
fck : Valore caratteristico resistenza a compressione calcestruzzo
fctm : Valore medio resistenza a trazione del calcestruzzo
γc : coefficiente parziale del calcestruzzo (fornito da Normativa vigente)
7
Tensione di progetto nel rinforzo
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
bf
b ≥ 1 per bf ≥ 0.33
kb =
b
b
1+ f
400 [lunghezze in mm]
2−
kb : Fattore di tipo geometrico
b : larghezza della trave
bf : larghezza rinforzo
se bf/b<0.33 nella formula si usa bf/b = 0.33
8
c0
εco
Αs2
A
εεcu
d2
σσcc
s2
εs2
x =ξξdd
σσs2s2
1
h
d
M
2
Α
As1s1
εs >εεy,d
yd
d1
fyds1
σ
σff
σ
tf
bbf f
b
AAff
εfd εfd
ε0o
Zona 1: Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di
progetto nelle fibre
Zona 2: Rottura per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso
snervato
9
Zona 1:
•
εεcu
d2
h
d
2
Α
As1s1
•
Cls lembo compresso:
x
ε = (ε + ε ) ⋅
≤ε
(h − x)
• Acciaio compresso:
d−x
ε s1 = ( ε fd + ε o ) ⋅
(h− x)
• Acciaio teso:
fd
o
ε = (ε + ε ) ⋅
s2
s2
εs2
xx ==ξξdd
1
FRP:
ε f = ε fd
c
c0
εco
Αs2
A
fd
o
x−d
(h − x)
2
εs >εεy,d
yd
d1
cu
tf
bbf f
b
AAff
εfd εfd
ε0o
E’ superfluo verificare l’entità della
deformazione dell’acciaio teso:
I valori usuali della deformazione limite
delle fibre εfd, e del calcestruzzo, εcu
sono tali da escludere in genere
l’attingimento della deformazione limite
dell’acciaio
10
Zona 2:
FRP:
ε cu
ε f = ⋅ ( h − x ) − ε 0 ≤ ε fd
x
• Cls lembo compresso:
ε c = ε cu
εεcu
d2
s2
εs2
xx ==ξξdd
1
•
Acciaio compresso:
d−x
ε s1 = ε cu ⋅
x
• Acciaio teso:
x − d2
ε s2 = ε cu ⋅
x
c0
εco
Αs2
A
h
d
2
Α
As1s1
εs >εεy,d
yd
d1
tf
bbf f
b
AAff
εfd εfd
ε0o
•
Non viene raggiunta la
deformazione limite nelle fibre
11
In entrambe le zone il momento resistente Mu e x si calcolano:
Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa
M u = ψ ⋅ b ⋅ x⋅ f cd ⋅ ( d − λ ⋅ x) + As2 ⋅ σ s2 ⋅ ( d − d 2 ) + Af ⋅ σ f ⋅ d1
Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave
0 = ψ ⋅ b ⋅ x ⋅ f cd + σ s2 ⋅ As2 − As1 ⋅ f yd − Af ⋅ σ f
εco
c0
Αs2
A
εεcu
d2
σσcc
εs2
s2
xx ==ξξdd
σσs2s2
1
h
d
M
2
Α
As1s1
εs >εεy,d
yd
d1
fσyds1
σff
σ
tf
bbf f
b
AAff
εfd εfd
ε0o
12
•
I coefficienti adimensionali ψ e λ rappresentano, rispettivamente,
l’intensità del risultante degli sforzi di compressione e la distanza
di quest’ultimo dall’estremo lembo compresso, rapportati
nell’ordine a b⋅x⋅fcd ed a x.
•
Nelle zone 1 e 2 l’entità della deformazione esibita dalle barre
d’acciaio in trazione è sempre superiore a quella di progetto, εyd
Le tensioni di lavoro dell’acciaio sono sempre pari a fyd
•
Per evitare che allo stato limite ultimo l’acciaio teso sia in campo
elastico, il coefficiente adimensionale ξ=x/d non deve eccedere il
valore limite ξlim
ξlim
ε cu
=
ε cu + ε yd
13
Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni
8,00
Carichi Permanenti
Travetto
0.4
kN/m
Soletta
0.5
kN/m
Pignatte
0.35
kN/m
Massetto
0.38
kN/m
Intonaco
0.15
kN/m
Impermeabilizzazione
0.15
kN/m
TOT
1.9
kN/m
Sovraccarichi Accidentali
Copertura non praticabile
5,00
0.25
kN/m
5,00
MASSETTO
20
4
IMPERMEABILIZZAZIONE
50
10
40
INTONACO
1.4*Carichi Permanenti
2.70 kNm
1.5*Sovraccarichi Accidentali
0.37kN/m
14
Rinforzo a Flessione: Condizioni di carico
Msd = 7.4 kNm
15
Rinforzo a Flessione
Dati: Sezione non rinforzata
Geometria:
b = 500 mm
h = 200 mm
d = 30 mm
500
40
Acciaio:
fyk = 440 Mpa
Es = 210 Gpa
fyd = 374 Mpa
εyd = 0.00182
160
Calcestruzzo:
Rck = 20 Mpa
fcd = 11.0 Mpa
100
As1 = 1Φ10 =79 mm2
As2 = 2Φ10 =157 mm2
0 = ψ ⋅ b ⋅ x ⋅ f cd + σ s1 ⋅ As1 − σ s2 ⋅ As2
x = 24.6mm
M u = ψ ⋅ b ⋅ x⋅ f cd ⋅ ( d − λ ⋅ x) + As1 ⋅ σ s1 ⋅ ( x − d1 ) + As2 ⋅ σ s2 ⋅ ( d − d 2 ) = 9.7 kNm
16
Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni
8,00
Carichi Permanenti
Travetto
0.4
kN/m
Soletta
0.5
kN/m
Pignatte
0.35
kN/m
Massetto
0.38
kN/m
Intonaco
0.15
kN/m
Pavimento
0.30
kN/m
Impermeabilizzazione
0.15
kN/m
TOT
2.2
kN/m
Sovraccarichi Accidentali
5,00
5,00
Copertura non praticabile
MASSETTO
1.0
kN/m
20
5
PAVIMENTO
50
10
40
INTONACO
1.4*Carichi Permanenti
3.1 kN/m
1.5*Sovraccarichi Accidentali
1.5kN/m
Msd = 11.1 kNm
17
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
160
40
500
50
100
18
Calcolo di kb
b = 100 mm
bf = 50 mm
bf
b = 1.15 > 1 OK
kb =
b
1+ f
400
2−
bf / b = 0.5
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpa
fctm = flessione = 0.27 x (Rck )^(2/3) = 2.0 Mpa
γc = 1.6
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
= 0.2
19
Calcolo di ffdd
kc = 3
γRd = flessione = 1.00
Ef = 170000 Mpa
tf = spessore totale rinforzo = 1 x 1.4 = 1.4 mm
ΓFd = 0.20
f fdd =
1
γ fd ⋅ γ c
2 Ef Γ Fk
= 434 MPa
tf
20
Calcolo di εfd
ηa = 0.95
εfu = 0.018
γf = 1.2 (Applic. Tipo A)
ηa
kcr = 3
ffdd = 434 Mpa
Ef = 170000 Mpa
ε fu
= 0.0144
γf
ε f,max = kcr ⋅
⎧
ε fd = min ⎨ηa
⎩
f fdd
= 0.0026
Ef
⎫
ε fu
, ε f,max ⎬ = 0.0026
γf
⎭
21
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1
Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibre
x = profondità asse neutro = 29.7 mm
ξ = x/h = 0.149
ψ = 0.6745
λ = 0.3765
σs2 = 374 Mpa
σf = 434 Mpa
Mu = 14.9 kN m
22
Rinforzo a Flessione: Travetto Solaio
Sezione originale: Mu = 9.70 kN m
Sezione rinforzata: Mu = 14.90 kN m
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in
termini di capacità di resistenza a flessione pari al 53% della
capacità originaria
23
Rinforzo a Flessione (2): Calcolo del Momento Ultimo
160
40
500
50
100
24
Calcolo di kb
b = 100 mm
bf = 50 mm
bf
b = 1.15 > 1 OK
kb =
b
1+ f
400
2−
bf / b = 0.5
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpa
γc = 1.6
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
= 0.2
25
Calcolo di ffdd
kc = 3
Ef = 230000 Mpa
ΓFd = 0.20
f fdd =
1
γ fd ⋅ γ c
2 Ef Γ Fk
= 1467 MPa
tf
26
Calcolo di εfd
ηa = 0.95
εfu = 0.021
γf = Applic. Tipo A= 1.2
ηa
kcr = 3
ffdd = 1467 Mpa
Ef = 230000 Mpa
ε fu
= 0.0166
γf
ε f,max
⎧
ε fd = min ⎨ηa
⎩
f fdd
= kcr ⋅
= 0.0063
Ef
⎫
ε fu
, ε f,max ⎬ = 0.0063
γf
⎭
27
x = profondità asse neutro = 26.35 mm
ξ = x/h = 0.1317
ψ = 0.6228
λ = 0.3681
σs2 = 374 Mpa
σf = 1467 Mpa
Mu = 11.7 kN m
28
Rinforzo a Flessione (2): Travetto Solaio
29
Rinforzo a Flessione: Trave
Geometria:
b = 300 mm
h = 500 mm
d = 30 mm
300
Acciaio:
fyk = 440 Mpa
Es = 210 Gpa
fyd = 374 Mpa
εyd = 0.00182
2Ø16
500
Calcestruzzo:
Rck = 20 Mpa
fcd = 11.0 Mpa
As1 = 2Φ16 =402 mm2
As2 = 4Φ16 =804 mm2
4Ø16
Msd = 123.08 kNm
0 = ψ ⋅ b ⋅ x ⋅ f cd + σ s2 ⋅ As2
b = 89.40mm
M u = ψ ⋅ b ⋅ x⋅ f cd ⋅ ( d − λ ⋅ x) + As2 ⋅ σ s2 ⋅ ( d − d 2 ) = 132.00kNm
30
Rinforzo a Flessione: Esempi Numerici
Trave
Msd = 184.9 kNm
300
500
2Ø16
4Ø16
2 strati
31
Calcolo di kb
b = 300 mm
bf = 300 mm
bf
b = 0.76 < 1 [1]
kb =
b
1+ f
400
2−
bf / b = 1.0
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpa
γc = 1.6
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
= 0.17
32
Calcolo di ffdd
kc = 3
Ef = 390000 Mpa
ΓFd = 0.17
f fdd =
1
γ fd ⋅ γ c
2 Ef Γ Fk
= 893MPa
tf
33
Calcolo di εfd
ηa = 0.95
εfu = 0.011
γf = 1.2 ( Applic. Tipo A)
ηa
kcr = 3
ffdd = 893 Mpa
Ef = 390000 Mpa
ε fu
= 0.0090
γf
ε f,max
⎧
ε fd = min ⎨ηa
⎩
f fdd
= kcr ⋅
= 0.0023
Ef
⎫
ε fu
, ε f,max ⎬ = 0.0023
γf
⎭
34
x = profondità asse neutro = 181 mm
ξ = x/h = 0.3616
ψ = 0.8095
λ = 0.4160
σs2 = 374 Mpa
σf = 893 Mpa
Mu = 197.8 kN m
35
36
Rinforzo a Taglio
Esempi numerici
37
Rinforzo a Taglio
Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:
Vrd = min { VRd,max ;Vcd +Vwd } =127kN
Resistenza biella compressa
di calcestruzzo:
VRd ,max = 0,30 ⋅ f cd ⋅ bw ⋅ d
Somma contributo calcestruzzo più
contributo armatura a taglio
Vcd = 0, 60 ⋅ f ctd ⋅ bw ⋅ d ⋅ δ
Vwd = Asw ⋅ f ywd ⋅
VRd ,max = 373kN
Vcd = 74kN
0,90d
⋅ ( sin α + cos α )
s
Vwd = 53kN
38
Rinforzo a Taglio: Trave tipo U-Jacket
300
500
300
39
Rinforzo a Taglio
Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:
VRd = min { VRd,ct + VRd,s + VRd,f , VRd,max }
VRd,ct
contributo del calcestruzzo
VRd,s
contributo dell’armatura trasversale di acciaio, “da valutarsi in
accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”
VRd,f
contributo del rinforzo di FRP
VRd,max resistenza della biella compressa di calcestruzzo, “da valutarsi in
accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”.
40
Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket
VRd,f =
γRd
d
hw
tf
β
θ
wf
pf
1
γ Rd
⋅ 0,9 ⋅ d ⋅ f fed ⋅ 2 ⋅ tf ⋅ (cot θ + cot β ) ⋅
wf
pf
coefficiente parziale per modello di resistenza pari a 1,20 (CNR Punto 3.4.1 Tabella 3.3)
altezza utile della sezione
larghezza della membratura resistente a taglio
spessore del rinforzo di FRP
angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse dell’elemento
angolo di inclinazione delle fessure da taglio rispetto all’asse dell’elemento
(in mancanza di determinazione più accurata, si può assumere θ= 45°)
larghezza delle strisce
passo delle strisce
I valori di wf e di pf devono essere misurati ortogonalmente alla direzione delle fibre e, nel caso
di strisce poste in adiacenza o di fogli, il rapporto è pari ad 1,0.
41
Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket
⎡ 1
⎤
le ⋅ sin β
f fed = f fdd ⋅ ⎢1 − ⋅
⎥
⎣ 3 min {0,9 ⋅ d ; hw } ⎦
f fdd =
[tensione di progetto del rinforzo]
1
2 ⋅ Ef ⋅ Γ Fk
⋅
tf
γ f,d ⋅ γ c
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
nel caso di rinforzi continui, bf = b = min{0,9 ⋅ d ; hw } ⋅
Ef ⋅ tf
le =
2 ⋅ f ctm
[lunghezze in mm]
sin(θ + β )
essendo hw l’altezza dell’anima della trave.
sin θ
Punto 4.3.3.3: “Nel caso di disposizione ad U ed in avvolgimento, gli spigoli
della sezione dell’elemento da rinforzare a contatto con il materiale composito
devono essere arrotondati, in modo da evitare il tranciamento del rinforzo. Il
raggio di curvatura,dell’arrotondamento deve essere non minore di 20 mm.”
42
Rinforzo a Taglio
Calcolo di kb
bf = b = min(423;300)=300
bf
b =0.76<1 [1]
kb =
b
1+ f
400
2−
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpa
γc = 1.6
Γ Fk = 0.03 ⋅ kb ⋅ f ck ⋅ f ctm
= 0.17
43
Rinforzo a Taglio
Calcolo di ffdd
kc = 3
γRd = Taglio = 1.20
γfd = (Applic. Tipo A) = 1.20
Ef = 390000 Mpa
ΓFk = 0.17
f fdd =
1
γ fd ⋅ γ c
2 Ef Γ Fk
= 421MPa
tf
44
Rinforzo a Taglio
Ef ⋅ tf
= 185mm
le =
2 ⋅ f ctm
f fed
VRd,f =
f fdd =
2 ⋅ Ef ⋅ Γ Fk
1
⋅
= 421MPa
tf
γ f,d ⋅ γ c
⎡ 1
⎤
le ⋅ sin β
= f fdd ⋅ ⎢1 − ⋅
⎥ = 337 MPa
⋅
3
min
0,9
;
d
h
{
w}⎦
⎣
1
γ Rd
⋅ 0,9 ⋅ d ⋅ f fed ⋅ 2 ⋅ tf ⋅ (cot θ + cot β ) ⋅
wf
= 78kN
pf
VRd = min { VRd,ct + VRd,s + VRd,f , VRd,max }
VRd,ct = 74kN
VRds = 53kN VRd,f = 78kN
VRd,max = 373kN
VRd = min {373; 205} = 205kN
45
Rinforzo a Taglio
Sezione originale: Vrd = 127 kN m
Sezione rinforzata: Vrd= 205 kN m
termini di capacità di resistenza a taglio pari al 62% della
Tale valore è superiore a quello consentito dalla norma che prevede un
valore di incremento massimo di resistenza pari al 60% di quello della
sezione non rinforzata.
46

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