Angoli radianti trigonometria

ANGOLO
• Prendiamo due semirette a e b aventi la
stessa origine, il piano resta diviso in due
parti, ciascuna delle quali viene detta
angolo.
1
ANGOLO ORIENTATO
• Verso positivo di rotazione antiorario
b
+
a
a
b
2
ARCO
• La parte di circonferenza compresa tra i lati
dell’angolo.
B
O
A
3
SISTEMI DI MISURA DI
ANGOLI
• SESSAGESIMALE:
grado sessagesimale = la 360a parte
dell’angolo giro. (DEG)
• CENTESIMALE
Grado centesimale = la 400a parte dell’angolo
giro. 1 angolo retto=100 gradi (GRAD)
• RADIANTE (RAD)
4
RADIANTE
• L’angolo al centro che insiste su un arco
che rettificato ha lunghezza pari al raggio.
5
Misura in radianti di un angolo
• È uguale alla misura dell’arco diviso il
raggio:
• Angolo giro = 2r / r = 2
• Angolo piatto = r / r = 
• Angolo retto = 


6
Misura in radianti di un angolo
• Per passare dal sistema sessagesimale a
quello radiante:
360 : 2 = s : r
Ex: 360 : 2 =  : r
r = 
7
Misura in radianti di un angolo
/2


/4
0
/4)


8
Misura in radianti di un angolo




/2

/6
0

  
9
Tabella di conversione degli
angoli più importanti
Gradi
Radianti
30°
45°
60°
90°
180°
360°




6
4
3

2
2
10
Le funzioni trigonometriche:
seno e coseno
y
sin
P
r

O
H
x
cos
11
Le funzioni trigonometriche:
tangente
y
T
tan
P
r

O
H
A
x
tan
sin
cos
12
Le funzioni trigonometriche:
cotangente
y
B
T’
BT ' yT

cot  
r
r
A
cos 
1

cot  
sin  tan 
f(x) = sin (x)
y
/2
y
P

O
H
1
2
x
A=(1,0)
/2)
-/2
0
/2

-1
/2) 
14
x

Funzione seno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
15
y = cos (x)
y
/2
y
P

O
H
2
x
A=(1,0)
-/2
0
/2

/2) x
/2) 
16
Funzione coseno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
17
y = tan (x)
/2
y
T
y
P
2

O
H
A
-/2 0
/2

x
/2)
/2) 
18
Funzione tangente
• Dominio = R \ /2 + k k  Z
• Codominio = R
• Periodica di periodo 
19
Relazione tra seno e coseno
sin2(x) + cos2(x) = 1
sin( x)   1  cos ( x)
2
cos( x)   1  sin ( x)
2
20
Relazione tra seno e coseno
• Esempi:
cos (x) = ½ x  [0, /2]
3
sin( x)  1  1 / 2 
2
2
2
sin( x) 
2

x [ , ]
2
2
2
cos( x)   1   
4
2
21
Relazione tra seno, coseno e
tangente
• sin2(x) + cos2(x) = 1
1
1  tan ( x) 
2
cos ( x)
2
1
cos ( x) 
2
1  tan ( x)
2
1
cos( x)  
1  tan 2 ( x)
22
Valori in archi particolari : /6

1
sin( ) 
6
2

3
cos( ) 
6
2

1
tan( ) 
6
3
23
Valori in archi particolari: /3

3
sin( ) 
3
2

1
cos( ) 
3
2

tan( )  3
3
24
Valori in archi particolari: /4

2
sin( ) 
4
2

2
cos( ) 
4
2

tan( )  1
4
25
Esercizio:


1

cos  3sin   3 sin  cot 
4
3 2
6
2
1 1

3 3    3 
2
2 2
2
3
3
2

3

 3 3 
2
2
2
2
26
Esercizio:

1

3

3

sin  tan 
cos  cos   sin 
2 2
4
2
6
2
4
 1
2
1 1
3 3    3 
2
2 2
1 3
2 3
2
 1  
 
2 4 2
4 2
27