10^ Esercitazione (soluzioni). - Università degli studi di Pavia

10a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected]) Responsabile
Esercitazioni del corso di Microeconomia A-K, a.a. 2009-2010
Stefania Migliavacca
([email protected]) Responsabile
Esercitazioni del corso di Microeconomia L-Z, a.a. 2009-2010
Part I
Esercizi da svolgere ad esercitazione
Esercizio 1. Considerate un mercato concorrenziale in cui nel breve periodo opera
un’impresa caratterizzata dalla funzione di costo totale T C(Q) = 2Q. La curva
di domanda inversa per il bene considerato è p = 10 − Q ed il bene è acquistato
esclusivamente dagli abitanti di Pavia. Supponete che l’attività produttiva generi
un danno alla collettività limitrofa, ad esempio dovuto alla necessità di rimuovere i
residui inquinanti della produzione che vengono scaricati nei fiumi, nella misura di
4Q. (1) Si fornisca una rappresentazione grafica della situazione indicando curva di
domanda inversa, costo marginale privato e costo marginale sociale. (2) Si calcoli
l’equilibrio privato (ovvero la quantità di bene Q prodotto dall’impresa supponendo
che non tenga conto del danno causato alla collettività limitrofa) in termini di quantità scambiata, prezzo, profitti, surplus dei consumatori di Pavia e danno sopportato
dalla collettività limitrofa. (3) Si individui il livello Pareto efficiente di output e lo si
rappresenti nel grafico di cui sopra. (4) Supponete che il governo decida di introdurre
una tassa su ogni unità prodotta per un ammontare pari a 3. Si calcoli l’equilibrio
privato in corrispondenza di tale tassa e si dica se si tratta di una tassa pigouviana
(argomentando la risposta).
Esercizio 1. Soluzione. (1) La curva di domanda inversa è
p = 10 − Q
e si caratterizza per una pendenza pari a -1, un’intercetta verticale (0; 10) ed
un’intercetta orizzontale (10; 0). La curva di costo marginale privato è
MC =
dT C(Q)
dQ
=2
ed è dunque una retta orizzontale (parallela all’asse delle ordinate) con intercetta
verticale (0; 2). Dal momento che la produzione genera delle immissioni inquinanti
1
dannose per la collettività limitrofa (con costo pari a 4Q), il costo totale privato (che
include soltanto i costi di produzione e non i danni causati) è inferiore al costo totale
sociale (che invece comprende sia costi di produzione che danni a terzi); in particolare
il costo totale sociale è
T CS(Q) = T C(Q) + 4Q
da cui un costo marginale sociale pari a
M CS(Q) =
dT CS(Q)
dQ
=2+4=6
ed è dunque una retta orizzontale (parallela all’asse delle ordinate) con intercetta
verticale (0; 6). Graficamente
p
10
MCS=MC+4
6
MC
2
D, curva di domanda inversa
10
8
Q
(2) Trattandosi di un’impresa concorrenziale, l’equilibrio privato è ottenuto come
p = M C(Q) da cui p∗ = 2
e, sostituendo nella curva di domanda inversa,
2 = 10 − Q → Q∗ = 8.
Il profitto dell’impresa competitiva è
π∗ = T R − T C = p∗ Q∗ − 2Q∗ = 0;
il surplus dei consumatori di Pavia è
SC ∗ =
(10−p∗ )Q∗
2
=
64
2
= 32
mentre il danno provocato alla collettività limitrofa che deve sostenere costi per
rimuovere i residui inquinanti è
D∗ = 4 × Q∗ = 4 × 8 = 32
Dunque la produzione del bene genera un benessere per gli abitanti di pavia e la
collettività limitrofa nella misura di
W ∗ = π ∗ + SC ∗ + D∗ = 0 + 32 − 32 = 0
Graficamente
2
Beneficio derivante dallo scambio
p
p
10
10
Costo sopportato dalla collettività
limitrofa per rimuovere i residui
inquinanti
Equilibrio privato
Equilibrio privato
MCS=MC+4
6
MCS=MC+4
MC
MC
2
D
D
8
Q
10
8
10
Q
(3) Il livello socialmente efficiente di output è ottenuto come
M CS(Q) = 10 − Q da cui 6 = 10 − Q → Q∗∗ = 4, p∗∗ = 6
Graficamente
p
10
Equilibrio “sociale” – Pareto efficiente
MCS=MC+4
6
Equilibrio privato
MC (curva di offerta)
2
Curva di domanda
10
8
4
Q
Si noti che in corrispondenza del livello Pareto-efficiente di output profitti, surplus
dei consumatori e danno alla collettività limitrofa risultano pari, rispettivamente, a
π ∗∗ = T R − T C = p∗∗ Q∗∗ − 2Q∗∗ = 16;
(10−p∗∗ )Q∗∗
2
∗∗
∗∗
SC ∗∗ =
D
=4×Q
=
16
2
=8
= 16
Dunque in corrispondenza del livello Pareto-efficiente di output si ha un benessere
complessivo di
W ∗∗ = π ∗∗ + SC ∗∗ + D∗∗ = 16 + 8 − 16 = 8
(4) La tassa comporta un aumento dei costi di produzione. I costi con la tassa
diventano
T C(Q, t) = T C(Q) + tQ = 2Q + 3Q = 5Q
da cui un costo marginale privato pari a
M C(Q, t) = 5
3
dal momento che il costo marginale che porta al livello socialmente ottimale di output
è pari a M CS(Q) = 6 > 5, la tassa introdotta non è una tassa di tipo pigouviano. La
contrazione della produzione indotta dalla tassa non è sufficiente a portare l’equilibrio
privato al livello pareto-efficiente. Formalmente il nuovo equilibrio privato è
5 = 10 − Q → Q∗∗∗ = 5, p∗∗∗ = 5
p
Equilibrio “sociale” – Pareto efficiente
10
Equilibrio privato con tassa
MCS=MC+4
6
MC (con tassa)
5
Equilibrio privato iniziale
MC
t
2
Curva di domanda
4
Q
10
8
5
Una tassa pigouviana sarebbe stata di ammontare pari a t=4 e avrebbe portato i costi
marginali privati a coincidere con i costi marginali sociali inducendo la contrazione
ottimale della produzione. Graficamente con t=4 si avrebbe
p
10
Equilibrio “sociale” ed eq. privato con t=4
Equilibrio privato con t=3
MCS=MC+4=MC con tassa t=4
6
5
t=4
2
MC (con tassa t=3)
Equilibrio privato iniziale
MC
t=3
Curva di domanda
4
5
8
10
Q
Esercizio 2. Elisa ama ascoltare musica techno ad altissimo volume a qualsiasi ora
del giorno e della notte. Paola, la sua compagna di appartamento, odia la musica
techno. In particolare l’utilità che Elisa ottiene dall’ascolto di musica techno è
UE (h) = 5 + 8h − h2
(il costo marginale per Elisa derivante dall’ascolto di musica techno è M CE (h) = 0)
mentre il danno per Paola di tale ascolto è
DP (h) = 6h − 5
4
dove h è il numero di ore durante le quali Elisa ascolta musica techno. (1) Definite
il concetto di esternalità. Determinate (2) il numero di ore di musica techno che
Elisa ascolterebbe in assenza di regole che le impongano di smettere; (3) il numero di
ore di musica techno socialmente ottimale. (4) Fornite una rappresentazione grafica
delle curve di beneficio marginale e di danno marginale delle consumatrici indicando
l’ottimo privato (individuato al punto 2) e quello sociale (individuato al punto 3).
(5) Che tipi di interventi potrebbero convincere Elisa a ridurre il numero di ore di
ascolto di musica techno? Argomentate.
Esercizio 2. Soluzione. (1) Le esternalità si verificano quando l’azione di un
soggetto (sia esso produttore o consumatore) causa delle conseguenze (positive o
negative) nella sfera di altri soggetti, senza che a questo corrisponda una compensazione in termini monetari ovvero senza che si verifichi il pagamento di un prezzo
definito attraverso una libera contrattazione di mercato. Esistono:
• esternalità di consumo, presenti nei casi in cui il consumo del bene da parte
di un individuo influenza il livello di utilità di un altro individuo. Possono
essere negative se ad esempio il nostro vicino ascolta musica in piena notte,
così danneggiando la nostra utilità "sonno", positive, se ad esempio la musica
risulta essere di nostro gradimento in quel particolare momento.
• esternalità di produzione, rilevabili quando l’attività di produzione di un’impresa
danneggia o avvantaggia la produzione di un’altra. Un esempio classico di esternalità di produzione positiva può essere l’adiacenza di un frutteto ad un allevamento di api, uno negativo è l’inquinamento di un fiume ad elevata pescosità
da parte di una fabbrica.
(2) Dal momento che Elisa non è costretta a risarcire Paola per la dis-utilità
causata dall’ascolto di musica, deciderà di ascoltare musica techno fintanto che il
beneficio che trae dall’ultima ora di ascolto diventa pari al suo costo marginale
(M BE (h) = M CE (h) dove M CE (h) = 0). Il beneficio marginale di Elisa è
M BE (h) =
d(UE (h))
dh
= 8 − 2h
quindi il numero di ore dedicate all’ascolto di musica techno sono
M BE (h) = 0 → 8 − 2h = 0 → h∗ = 4
dove al solito abbiamo impiegato l’apice ’*’ per indicare la scelta ottima della consumatrice. L’utilità che Elisa trae dall’ascolto di 4 ore musica techno - sostituendo
nella funzione di utilità di Elisa - è
UE (4) = 5 + 8h∗ − (h∗ )2 = 5 + 32 − 16 = 21
mentre Paola subisce un danno pari a
DP (4) = 6h∗ − 5 = 24 − 5 = 19
(3) Il numero di ore di ascolto di musica techno socialmente ottimale è quello
in corrispondenza del quale il beneficio marginale (M B) derivante dall’attività di
ascolto eguaglia il danno marginale (M D) causato. Beneficio marginale e danno
marginale sono
M BE (h) =
d(UE (h))
dh
= 8 − 2h ; M DP (h) =
5
d(DP (h))
dh
=6
dunque
M BE (h) = M DP (h) → 8 − 2h = 6 → h∗∗ = 1
dove l’apice ’**’ indica l’ottimo sociale.
(4) Il grafico relativo alle situazioni sopra calcolate è il seguente
MB,
MD
8
MB E
Ottimo sociale
MDP
6
Ottimo privato
4
1
h
(5) Sarebbe possibile risolvere il problema dell’esternalità o attraverso la creazione
di un mercato dei diritti di ascolto oppure attraverso l’introduzione di una tassa
(pigouviana) sull’ascolto. Nel primo caso potrei creare dei certificati, ciascuno dei
quali contenente il diritto ad ascoltare un’ora di musica techno, e lasciare che le
ragazze se li scambino liberamente. Nel secondo caso potrei tassare Elisa in misura
pari al danno causato a Paola.
Esercizio 3. Siano date due imprese delle quali una produce microprocessori, m, e
l’altra assembla computer, c. L’impresa che produce microprocessori si caratterizza
per un’intensa attività di ricerca e sviluppo e per una continua introduzione di nuove
e migliori qualità di microprocessori. Si supponga che le funzioni di costo delle due
imprese siano date rispettivamente da
T C(m) =
m2
40
e T C(c) =
c2
10
−m
dove m e c indicano le quantità di microprocessori e di computer prodotti. Dal
momento che i costi dell’impresa produttrice di computer dipendono sia dalla sua
scelta di produzione che dalla scelta di produzione della rivale (e non si verificano
compensazioni monetarie tra le due imprese), siamo nell’ambito delle esternalità di
produzione. Si supponga che ambedue le imprese siano price taker e che il prezzo di
mercato dei microprocessori sia pm =18, mentre quello dei computer sia pc =50. (1)
Descrivete brevemente quale forma di interdipendenza sussiste tra le due imprese.
(2) Si determini la quantità di microprocessori e di computer prodotta in equilibrio ed i profitti delle due imprese. (3) Come cambierebbe la risposta data al punto
precedente se l’impresa che produce microprocessori acquistasse l’impresa che produce computer?
6
Esercizio 3. Soluzione. (1) La relazione tecnologica tra le due imprese può essere
interpretata come un caso di esternalità positiva di produzione: un aumento nella
produzione di microprocessori riduce infatti il costo della produzione di computer.
Formalmente
dT C(c)
= −1 mentre dT C(m)
= 0.
dm
dc
(2) Se le imprese concorrenziali agiscono in maniera indipendente, le quantità
offerte sono tali per cui
pm = M C(m) e pc = M C(c)
(1)
i costi marginali delle due imprese sono
M C(m) =
dT C(m)
dm
m
= 2 40
=
m
20
dT C(c)
dc
e M C(c) =
c
= 2 10
=
c
5
dunque sostituendo nella (1), si ottiene
18 =
m
20
→ m∗ = 360 e 50 =
c
5
→ c∗ = 250
(2)
da cui profitti rispettivamente pari a
π(m∗ ) = T R(m∗ ) − T C(m∗ ) = pm m∗ −
e
π(c∗ ) = T R(c∗ ) − T C(c∗ ) = pc c∗ −
(c∗ )2
10
(m∗ )2
40
= 3240
− m∗ = 6610
(3) In questo caso le due imprese opererebbero come un’unica entità internalizzando l’effetto che la produzione di microprocessori ha sui costi del produttore di
computer. In termini analitici, il profitto dell’impresa congiunta che produce sia
microprocessori che computer è
Π(m, c) = pm × m − T C(m) + pc × c − T C(c) = pm × m −
m2
40
+ pc × c −
c2
10
−m
da cui
∂Π(m,c)
∂m
= 0 → pm = M C(m) − 1 → 18 =
m
20
− 1 → m∗∗ = 380 > m∗ = 360
(3)
e,
∂Π(m,c)
∂c
= 0 → pc = M C(c) → 50 =
c
5
→ c∗∗ = 250
L’offerta di microprocessori aumenta per tener conto degli effetti positivi che tale
produzione genera sulla produzione di computer. I profitti aumentano rispetto al
caso i cui le imprese operano individualmente diventando
π(m∗∗ ) + π(c∗∗ ) = T R(m∗∗ ) − T C(m∗∗ ) + T R(c∗∗ ) − T C(c∗∗ ) =
∗∗ 2
∗∗ 2
= pm m∗∗ − (m40 ) + pc c∗∗ − (c10) − m∗∗ = 9860 > 3240 + 6610 = 9850
..
7
Esercizio 4. L’impresa 1, price taker sul mercato delle sardine, adotta un sistema
di produzione che genera inquinamento. La funzione di costo totale della nostra
impresa è
T C1 (q1 , Z) = q12 − 4Z + Z 2
dove q1 indica la quantità di sardine e Z le emissioni inquinanti. L’inquinamento
prodotto dall’impresa 1 causa una riduzione dei profitti dell’impresa 2, i cui costi
totali di produzione sono
T C2 (q2 , Z) = q22 + Zq2
dove q2 indica l’output della seconda impresa. Il prezzo delle sardine è pari a 10 euro
(p1 = 10) mentre il prezzo sul secondo mercato, anch’esso competitivo, è pari a 6 euro
(p2 = 6). Si determini: (1) la produzione e l’inquinamento nel caso in cui la prima
impresa non sia costretta a tener conto dei danni causati alla seconda; (2) i profitti
sui due mercati in assenza di interventi correttivi; (3) la produzione e l’inquinamento
socialmente efficienti; (4) i profitti sui due mercati in corrispondenza della quantità
efficiente di inquinamento; (5) confrontate i risultati ottenuti ed argomentate.
Esercizio 4. Soluzione. (1) Trattandosi di un operatore price taker, l’impresa 1
produrrà fintanto che
p1 = M C1 (q1 ) dove M C1 (q1 ) =
∂T C1 (q1 ,Z)
∂q1
= 2q1
da cui
10 = 2q1 → q1∗ = 5
ed inquinerà fintanto che il beneficio derivante dall’ultima unità inquinante emessa
(M B1 (Z)) eguaglierà il costo di tale emissione (nullo in quanto l’operatore non è
costretto a tener conto dei danni causati dall’inquinamento)
M B1 (Z) = 0 dove M B1 (Z) =
∂T C1 (q1 ,Z)
∂Z
= −4 + 2Z
da cui
−4 + 2Z = 0 → Z ∗ = 2
Tale inquinamento incide sulla funzione di costo totale della seconda impresa che
diventa
T C2 (q2 , Z ∗ ) = q22 + 2q2
e dunque il livello di produzione scelto dalla seconda impresa sarà
p2 = M C2 (q2 ) dove M C2 (q2 ) =
dT C2 (q2 ,Z ∗ )
dq2
= 2q2 + 2
da cui
6 = 2q2 + 2 → q2∗ = 2
(2) I profitti dell’impresa 1 in corrispondenza dei livelli di inquinamento e produzione al punto 1, sono
¡
¢
π ∗1 = T R1 (q1∗ ) − T C1 (q1∗ , Z ∗ ) = 10 × 5 − 52 − 8 + 22 = 29
mentre quelli dell’impresa 2 sono
¡
¢
π ∗2 = T R2 (q2∗ ) − T C2 (q2∗ , Z ∗ ) = 6 × 2 − 22 + 4 = 4
8
(3) Per calcolare produzione ed inquinamento socialmente efficienti supponiamo
che la gestione delle due imprese venga affidata ad un soggetto pubblico (regolatore
benevolente) che massimizzi i profitti congiunti dei due impianti. La funzione di costo
in questo caso diventa
T C(q1 , Z, q2 ) = T C1 (q1 , Z) + T C2 (q2 , Z) = q12 − 4Z + Z 2 + q22 + Zq2
L’equilibrio è ottenuto risolvendo il seguente sistema
⎧
⎨ p1 = M C1 (q1 )
M B(Z) = 0
⎩
p2 = M C2 (q2 )
dove
M C1 (q1 ) =
∂T C(q1 ,Z,q2 )
∂q1
M B(Z) =
quindi
da cui
∂T C(q1 ,Z,q2 )
∂q2
= 2q1 ; M C2 (q2 ) =
∂T C(q1 ,Z,q2 )
∂Z
= 2q2 + Z;
= −4 + 2Z + q2
⎧
⎧
10 = 2q1
⎨ p1 = M C1 (q1 )
⎨
M B(Z) = 0 → −4 + 2Z + q2 = 0
⎩
⎩
p2 = M C2 (q2 )
6 = 2q2 + Z
q1∗∗ = 5; Z ∗∗ =
2
3
q2∗∗ =
8
3
(4) I profitti dell’impresa 1 in corrispondenza dei livelli di inquinamento e produzione al punto 3, sono
h
¡ 2 ¢2 i
∗∗
∗∗
∗∗
2
2
π ∗∗
' 25.22
1 = T R1 (q1 ) − T C1 (q1 , Z ) = 10 × 5 − 5 − 3 + 3
mentre quelli dell’impresa 2 sono
∗∗
∗∗
∗∗
π ∗∗
2 = T R2 (q2 ) − T C2 (q2 , Z ) = 6 ×
8
3
−
h¡ ¢
8 2
3
+
82
33
i
' 7.11
(5) Se l’impresa 1 non è costretta a tener conto del danno causato, inquina più
di quanto è socialmente ottimale (l’inquinamento riduce i suoi costi di produzione):
Z ∗ = 2 > Z ∗∗ = (2/3). Così facendo l’impresa 1 aumenta i suoi profitti a discapito
∗
∗∗
della rivale: π ∗1 = 29 > π ∗∗
1 ' 25.22 mentre π 2 = 4 < π 2 ' 7.11.
Esercizio 5. Considerate un’industria con due imprese, Creazione (C) e Imitazione
(I), che producono lo stesso bene e sono caratterizzate dalle seguenti funzioni di costo
totale:
T Cc (qc ) = qc2 e T Ci (qi ) = qi2 − 4qc
dove qc e qi rappresentano, rispettivamente, le quantità prodotte da Creazione e da
Imitazione. Dal momento che i costi di Imitazione dipendono sia dalla sua scelta
di produzione che dalla scelta di produzione della rivale (e non si verificano compensazioni monetarie tra le due imprese), siamo nell’ambito delle esternalità di produzione. Sul mercato del prodotto le due imprese sono price-taker e il prezzo di
mercato del bene è 100. (1) Quale tipo di interdipendenza sussiste tra le due imprese a livello di produzione? (2) Si calcolino le quantità di bene prodotta da ciascuna impresa nel caso in cui esse agiscano in modo indipendente. (3) Nell’ipotesi
9
in cui Creazione e Imitazione agiscano in modo indipendente, ritenete che la quantità del bene complessivamente prodotta sia maggiore, minore o uguale di quella
socialmente ottimale? Motivare brevemente la vostra risposta. (Non c’è bisogno
di fare calcoli). (4) Se invece Creazione acquistasse Imitazione, quale sarebbe la
quantità complessiva di bene prodotta dalla nuova impresa Creazione&Imitazione?
(5) Calcolate l’ammontare di sussidio (sussidio pigouviano) che il governo dovrebbe
introdurre per indurre Creazione a produrre il livello socialmente efficiente di output.
Esercizio 5. Soluzione. (1) Il costo di Imitazione è decrescente nel livello di
produzione scelto da Creazione. Tanto maggiore è l’output di Creazione, tanto minore
è il costo di produzione di Imitazione; dunque vi è una esternalità positiva causata
da Creazione su Imitazione. Formalmente
dT Ci (qi ,qc )
dqc
= −4 mentre
dT Cc (qc )
dqi
=0
(2) Se le imprese agiscono in modo indipendente ed il mercato è concorrenziale,
sceglieranno il livello di produzione in corrispondenza del quale
p = M Cc e p = M Ci
dove
M Cc =
dT Cc (qc )
dqc
= 2qc e M Ci =
dT Ci (qi )
dqi
= 2qi
quindi sostituendo (e ricordando che il prezzo di mercato è 100), abbiamo
100 = 2qc → qc∗ = 50 e 100 = 2qi → qi∗ = 50
(3) Se Creazione e Imitazione agiscono in modo indipendente verrà prodotta una
quantità del bene inferiore a quella socialmente ottimale. Ciò dipende dal fatto
che Creazione non viene rimborsata per il beneficio che genera. In altri termini il
costo marginale sociale relativo alla produzione di qC è inferiore al costo marginale
privato percepito da Creazione (ed in base al quale vengono effettuate le decisionio
di produzione). Creazione produce fino al livello in cui
prezzo = costo marginale privato
anziché fino al punto in cui
prezzo = costo marginale sociale
, e il suo output è perciò sub-ottimale.
(4) Il costo totale della nuova impresa Imitazione&Creazione è
T C(qc , qi ) = T Cc (qc ) + T Ci (qi ) = qc2 + qi2 − 4qc
ed i profitti dell’impresa risultante dalla fusione diventano
£
¤
Π(qc , qi ) = RT (qc , qi ) − T C(qc , qi ) = p(qc + qi ) − qc2 + qi2 − 4qc
dunque i livelli ottimali di output sono
( ∂Π(q ,q )
½
½
½ ∗∗
c i
=0
p = 2qc − 4
100 = 2qc − 4
qc = 52
∂qc
→
→
→
∗∗
∂Π(qc ,qi )
p
=
2q
100
=
2q
q
i
i
=0
i = 50
∂qi
10
e Creazione aumenta il suo livello di produzione tenendo conto dell’effetto generato
sui costi di Imitazione.
(5) Al fine di indurre Creazione a produrre il livello socialmente efficiente di output, è necessario introdurre un sussidio che porti i costi marginali privati a coincidere
con quelli sociali (in corrispondenza del livello socialmente ottimale qc∗∗ ); dunque è
necessario che
M Cc + s = 2qc + s
sia uguale a
in corrispondenza di
qc∗∗
M C(qc ) = 2qc − 4
2qc∗∗ + s = 2qc∗∗ − 4 ovvero s = −4
Esercizio 6. L’impresa A produce il bene x venduto in un mercato concorrenziale
al prezzo costante di 1000. La funzione di costo totale dell’impresa A è
T CA (x, z) = x2 + (12 − z)2
dove z rappresenta il livello di inquinamento connesso al processo produttivo di
x. L’impresa B produce il bene y, venduto in un mercato concorrenziale al prezzo
costante pari a 400. La funzione di costo totale dell’imopresa B è
T CB (y, z) = y 2 + 12 z 2 .
(1) Si calcoli il livello di inquinamento scelto dall’impresa A quando massimizza i suoi
profitti. (2) Si determino i profitti massimi dell’impresa B dato il comportamento
dell’impresa A. (3) Si calcoli il livello di inquinamento socialmente efficiente. (4) Si
determini il livello di imposta di Pigou che dovrebbe gravare sull’impresa A perchè
si raggiunga la configurazione Pareto efficiente.
Esercizio 6. Soluzione. (1) Guardate bene il costo dell’impresa A: l’inquinamento
non dipende da quanto l’impresa A produce (z non dipenda da x); il significato del
2
termine (12 − z) , che appare nel costo, è semplicemente che l’impresa A può decidere
di inquinare più o meno, e minor inquinamento le costa di più, indipendentemente da
quanto produce, quindi tale termine rappresenta una specie di “costo di disinquinamento”: più aumenta l’inquinamento (almeno sino a 12) e più si riduce il costo. La
scelta ottima, dal punto di vista privato, di questa impresa sarà produrre la quantità
x che massimizza il profitto
π A = T RA − T CA = 1000x − x2 − (12 − z)2
Notate che la scelta della quantità ottima di prodotto x può avvenire senza considerare il costo del disinquinamento, visto che x e z entrano in modo indipendente
nel profitto. Dopo aver scelto quanto produrre, l’impresa A deciderà di fissare il
livello di inquinamento in modo da minimizzare il costo di disinquinamento. Ovviamente, il livello di inquinamento che minimizza il costo di disinquinamento è 12. In
11
termini formali per individuare il livello ottimo delle due variabili, x e z è necessario
annullare entrambe le derivate parziali del profitto:
½ ∂πA
½
½ ∗
1000 − 2x = 0
x = 500
∂x = 0 →
→
∂πA
z ∗ = 12
2
(12
−
z)
(−1)
=
0
=
0
∂z
Si ribadisce che, in questo esempio, la scelta di quanto inquinare è indipendente dalla
scelta di quanto produrre e viceversa: x ottimale rimane sempre 500 anche se cambia
la parte della funzione di costo che dipende da z; e la scelta di quanto inquinare
rimane 12, qualsiasi sia il modo in cui il costo dipende dalla quantità x.
(2) Ora considerate il costo dell’impresa B: l’inquinamento z è deciso dall’impresa
A, e questa non ci può fare nulla, nel senso che il costo da inquinamento non dipende
da quanto B decide di produrre. Quindi è come se fosse un costo fisso per l’impresa
B (che ora sappiamo valere 12 z 2 = 12 122 = 72). L’impresa B, come ogni impresa, non
considera i costi fissi e massimizza il proprio profitto
π B = 400y − y 2 − 72
da cui una derivata prima rispetto alla quantità prodotta pari a
dπ B
dy
= 400 − 2y
che si annulla per
dπ B
dy
= 0 → 400 − 2y = 0 → y ∗ = 200
Si noti che questa impresa sceglie y ∗ = 200 indipendentemente da quello che fa
l’impresa A.
(3) La quantità socialmente efficiente di inquinamento è quella che massimizza
il surplus sociale. In questo esempio il surplus sociale è semplicemente la somma
dei profitti delle due imprese, visto che essendo in concorrenza perfetta esse non
contribuiscono, con le loro scelte, al surplus dei consumatori. Formalmente il profitto
congiunto (che dipende dal livello di produzione delle due imprese e dal livello di
inquinamento) è
£
¤ £
¤
Π(x, y, z) = 1000x − x2 − (12 − z)2 + 400y − y 2 − 12 z 2
Quindi occorre massimizzare il profitto congiunto rispetto alle tre variabili: x, y e
z. Come abbiamo visto prima, la scelta dell’inquinamento da parte dell’impresa A
è indipendente dalla sua scelta di quanto produrre; d’altra parte, il suo profitto,
ma non la decisione di quanto produrre, dipende da quanto inquina. Similmente,
la scelta di quanto produrre da parte dell’impresa B non dipende dall’inquinamento
di A: di nuovo, il suo profitto, ma non la decisione di quanto produrre, dipende
dall’inquinamento di A. Dunque la quantità socialmente efficiente dipende solo da
quanto A decide di inquinare (e non da quanto le due imprese decidono di produrre),
tenendo però conto del fatto che questa scelta influenza anche i profitti di B (ma
non la sua produzione). Detto in altri termini, basta concentrarci sull’effetto che
l’inquinamento ha sui profitti delle due imprese, e non anche sul loro livello di produzione. Ricordando le annotazioni precedenti, ovvero il fatto che sia y che x non
dipendono dal livello di inquinamento, sappiamo già che i livelli ottimali di queste
due variabili saranno x∗ = 500 e y∗ = 200 (come al punto 2). Cambia però il livello
ottimo di inquinamento dal momento che l’impresa A non teneva conto del danno
causato all’impresa B; infatti calcolando la derivata del profitto congiunto rispetto a
z e ponendo questa derivata uguale a zero otteniamo
∂Π
∂z
= 0 → −2(12 − z)(−1) − 12 (2)z = 0 → z ∗∗ = 8
12
L’inquinamento socialmente efficiente è inferiore a quello deciso privatamente
dall’impresa A (z∗ =12>8). Si ripete che questo risultato non dipende da quanto
le due imprese producono, perché la derivata appena calcolata non dipende da tali
decisioni.
(4) L’imposta di Pigou è, in questo caso, un’imposta uniforme per ogni unità di
inquinamento dell’impresa A, che faccia sì che il maggior costo marginale di inquinamento (inclusivo dell’imposta) di tale impresa la induca a inquinare in ammontare
proprio pari alla quantità socialmente efficiente, che abbiamo scoperto appena prima
essere 8. Ora, ricordiamo che il profitto dell’impresa A è originariamente
π A = T RA − T CA = 1000x − x2 − (12 − z)2
Se aggiungiamo un ulteriore costo, dovuto ad un’imposta t per ogni unità di inquinamento, il profitto dell’impresa A diventa
πA (, t) = 1000x − x2 − (12 − z)2 + tz
Allora l’impresa A, per massimizzare il profitto rispetto all’inquinamento, sceglierà
il livello di z in modo da annullarne la derivata parziale, cioè
∂π A
∂z
= 0 → −2(12 − z)(−1) − t = 0 → z =
24−t
2
Siccome l’inquinamento socialmente ottimale z∗∗ = 8, sostituendo si ottiene
8=
24−t
2
→ t∗ = 8
Esercizio 7. Considerate un mercato concorrenziale in cui nel breve periodo opera
un’impresa caratterizzata dalla funzione di costo totale T C(Q) = 10Q. (1) Si calcoli l’equilibrio (in termini di quantità scambiata, prezzo, profitti e surplus dei consumatori) supponendo che la domanda inversa di mercato sia p = 100 − Q. (2) Si
supponga che l’attività produttiva generi un danno, ad esempio dovuto ad emissioni
inquinanti, a soggetti terzi nella misura di Q2 − 45Q. Si calcoli il danno in corrispondenza dell’equilibrio privato. (3) Se invece di un’impresa competitiva il mercato fosse
stato dominato da un monopolista, quale sarebbe stato il livello di output prodotto
e quale il danno causato ai terzi? (4) Confrontate (anche graficamente) l’equilibrio
competitivo con quello monopolistico in presenza dell’esternalità e calcolate il livello
di imposta pigouviana che dovrebbe gravare sull’impresa nei due casi.
Esercizio 7. Soluzioni. (1) Trattandosi di un’impresa concorrenziale,
p = M C(Q) → p = 10
dove M C(Q) = [dT C(Q)/dQ]. Stante la forma della curva di domanda inversa,
l’equilibrio sul mercato è
10 = 100 − Q → Q∗ = 90, p∗ = 10, π ∗ = T R − T C = p∗ Q∗ − 10Q∗ = 0
ed il surplus dei consumatori è
SC =
(100−p∗ )Q∗
2
13
=
8100
2
= 4050
Graficamente
p
100
Surplus dei
consumatori
Equilibrio
10
MC (costo marginale privato)
Curva di domanda
90
100
Q
(2) Dal momento che l’impresa competitiva produce 90 unità, il danno causato ai
terzi è
(Q∗ )2 − 45 × Q∗ = 8100 − 45 × 90 = 4050
.
(3) Un monopolista produrrebbe in corrispondenza del livello
M R = M C → 100 − 2Q = 10 → Q∗∗ = 45
il prezzo di mercato sarebbe
p∗∗ = 100 − 45 = 55
i profitti
π ∗∗ = p∗∗ Q∗∗ − 10Q∗∗ = (45)2
ed il danno subito dai terzi in questo caso sarebbe pari a
(Q∗∗ )2 − 45 × Q∗∗ = 45 × 45 − 45 × 45 = 0
(4) Nel caso in esame il monopolista, a differenza dell’impresa competitiva, produce
il livello socialmente ottimale di output; dunque con il monopolista non è necessaria
l’introduzione di un’imposta pigouviana per correggere l’esternalità.
Per quanto concerne invece il caso dell’impresa competitiva. Dal momento che il
costo sociale collegato alla produzione del bene Q è
T CS = T C + Q2 − 45Q = 10Q + Q2 − 45Q = Q2 − 35Q,
da cui un costo marginale sociale
M CS =
dT CS
dQ
= 2Q − 35
In presenza di un’impresa competitiva lo Stato dovrebbe introdurre una tassa, t = 45,
per portare i costi marginali privati a coincidere con quelli sociali in corrispondenza
del livello socialmente ottimale di output (Q∗∗ = 45); infatti
M C(Q) + t = M CS(Q∗∗ ) → 10 + t = 2Q∗∗ − 35 → t = 45
14
Graficamente
p
MCS=2Q-35 (costo marginale sociale)
100
Equilibrio monopolistico ed equilibrio pareto-efficiente
Tassa
pigouviana in
concorrenza
MC+t (costo marginale privato con tassa)
55
Equilibrio competitivo
MC (costo marginale privato)
10
MR
45
Curva di domanda
90
100
Q
Esercizio 8. A causa di una recente frana è necessario ricostruire il ponte che collega il Comune A al Comune B. Gli abitanti dei due comuni possono decidere di
cooperare (C) e contribuire in equal misura alla realizzazione del nuovo ponte oppure
di non cooperare (NC) sperando che gli abitanti dell’altro Comune provvedano autonomamente a stanziare l’intera somma. La scelta viene effettuata simultaneamente
e comporta i seguenti esiti.
1. Se i due comuni cooperano, ciascuno ottiene un beneficio pari a y.
2. Se i due comuni non cooperano il ponte non viene realizzato e, a causa dell’impossibilità
di effettuare scambi, ciascuno ottiene un benessere pari a 1.
3. Infine, se un solo Comune decide di farsi carico integralmente degli oneri della
ricostruzione, questi otterrà un beneficio a y/2 (mentre il comune che non
partecipa alla spesa ma beneficia comunque della ricostruzione del ponte otterrà
2 + y).
(a) Si rappresenti il gioco in forma di matrice indicando in alto il Comune A.
(b) Per quali valori di y, cooperare è una strategia dominante? (c) Per quali valori
di y non cooperare è una strategia dominante? (d) Per quali valori di y si ha un
atteggiamento opportunistico da parte di uno dei due Comuni e le coppie di strategie
{C, N C} e {N C, C} sono equilibri di Nash del gioco?
Esercizio 8. Soluzione. (a) I due Comuni hanno a disposizione le medesime
strategie: C (cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in
15
forma di matrice è
Impresa a
C
NC
Impresa b
C
y
y
y
2
2+y
NC
2+y
y
2
1
1
(b) Cooperare è una strategia dominante per il Comune A (analogamente per il
Comune B) se il beneficio che tale Comune ottiene scegliendo di cooperare è superiore
a quello che otterrebbe scegliendo di non cooperare alla ricostruzione del ponte,
qualsiasi sia la scelta del Comune B. Analiticamente è necessario che
y >2+ye
y
2
> 1 ovvero se 0 > 2 ⇔ y > 2
dal momento che la prima condizione non potrà mai essere verificata, stanti i payoff
del gioco, C non sarà mai una strategia dominante.
(c) Non cooperare è una strategia dominante per il Comune A (analogamente per
il Comune B) se il profitto che la stessa ottiene scegliendo NC è superiore a quello che
otterrebbe scegliendo C, qualsiasi sia la scelta del Comune limitrofo. Analiticamente
è necessario che
y < 2 + y e y2 < 1 ovvero se 0 < 2 ⇔ y < 2
da cui y < 2. Se il beneficio della ricostriuzione è non superiore a 2, allora i due
Comuni decideranno di non provvedere alla ricostruzione del ponte.
(d) Nei casi sopra non elencati (e quindi per valori di y>2), uno dei due Comuni
adotterà un comportamento opportunistico e gli equilibri di Nash del gioco saranno
{C, N C} ed {N C, C}.
Esercizio 9. Il sindaco di Musicopoli vuole organizzare un concero nel parco cittadino. (1) Supponendo che la popolazione si componga di 100 consumatori identici
e che il sindaco sappia che il beneficio marginale che ciascun cittadino ricaverebbe
dall’evento è
M Bi = 11 − 15 h
dove h è il numero di minuti di musica, costruite e rappresentate graficamente il
beneficio marginale sociale (ovvero l’aggregato dei benefici marginali dei singoli consumatori) connesso all’evento. (2) Supponendo che il costo totale dell’evento sia
T C(h) = h2
e supponendo che il sindaco disponga dell’autorità necessaria ad imporre a tutti i
cittadini di pagare per l’evento, inividuate la durata ottimale del concerto ed il contributo richiesto a ciascuno.
Esercizio 9. Soluzione. (1) La curva di beneficio marginale di ciascun abitante
di musicopoli si caratterizza per una pendenza pari a - 15 , per un’intercetta verticale
(0; 11) e per un’intercetta orizzontale pari a (55; 0). Graficamente
16
MB
11
MBi
55
h
dal momento che il bene è non rivale e non escludibile, per ottenere la curva di
beneficio marginale sociale di tutti i 100 contribuenti devo sommare le loro curve
di beneficio marginale individuali verticalmente. Formalmente il beneficio marginale
sociale (MBS) per gli abitanti di Musicopoli è
¡
¢
100 × M Bi = 100 × 11 − 15 h = 1100 − 20h → M BS = 1100 − 20h
ovvero
MBS,
MBi
Beneficio marginale sociale
33
Beneficio marginale di 3 consumatori
22
Beneficio marginale di 2 consumatori
11
Beneficio marginale di 1
consumatore
55
h
(2) Data la disponibilità a pagare dei consumatori ed il costo marginale dell’evento
M C(h) = 2h
la condizione MBS=MC implica
1100 − 20h = 2h → h∗ =
1100
22
= 50
per un prezzo complessivo pagato dalla cittadinanza pari a
M BS ∗ = 1100 − 20 × h∗ = 100
ed un contributo procapite di uno
M Bi∗ =
MBS ∗
100
Graficamente
17
=1
MB
Beneficio marginale
sociale
MC=2m
100
Contributo della collettività nel
suo complesso alla fornitura del
bene pubblico
11
Contributo di
ciascun
consumatore
Beneficio marginale
individuale
1
55
50
h
.
Esercizio 10. Un Governo deve decidere quale ammontare di bene pubblico fornire.
Ci sono solo due cittadini interessati a tale bene (A e B). Le curve della disponibilità
a pagare (ovvero le curve di beneficio marginale) di ognuno dei due cittadini sono
M BA = 2 − 16 Q e M BB = 4 − 13 Q
La produzione del bene ha un costo
T C(Q) =
Q2
4
+9
(1) Individuate (anche graficamente) la quantità ottimale di bene pubblico specificando il contributo complessivo, quello individuale e l’introito pubblico (supponendo
che il Governo abbia la facoltà di imporre ai contribuenti di partecipare al finanziamento della spesa per la produzione del bene pubblico). (2) Se il Governo dovesse
imporre ad entrambi i cittadini un contributo alla produzione del bene pubblico nella
stessa misura, ritenete che il bene sarebbe prodotto? Argomentate la risposta.
Esercizio 10. Soluzione. (1) La curva del beneficio marginale di A si caratterizza per una pendenza pari a -(1/6); un’intercetta verticale (0; 2) ed un’intercetta
orizzontale (12; 0). La curva del beneficio marginale di B si caratterizza per una
pendenza pari a -(1/3); un’intercetta verticale (0; 4) ed un’intercetta orizzontale (12;
0). Dunque graficamente
18
MB,
MC
4
Beneficio marginale di B
2
Beneficio marginale di A
12
Q
da cui un beneficio marginale sociale pari a
M BS = M BA + M BB = 2 − 16 Q + 4 − 13 Q = 6 − 12 Q
MB,
MC
6
Beneficio marginale di A+B
4
Beneficio marginale di B
2
Beneficio marginale di A
12
Q
La curva di costo marginale è
M C(Q) =
Q
2
da cui
M BS = M C(Q) → 6 − 12 Q =
Q
2
→ Q∗ = 6,
un contributo complessivo alla realizzazione del bene pubblico pari a
M BS ∗ = 6 − 3 = 3,
un contributo individuale di
∗
∗
M BA
= 2 − 16 Q∗ = 1 e M BB
= 4 − 13 Q∗ = 2
ed un introito pubblico di
M BS ∗ × Q∗ − T C(Q∗ ) = 18 − 9 − 9 = 0
Graficamente
19
MB,
MC
6
MC
Beneficio marginale di A+B
4
Beneficio marginale di B
3
2
Beneficio marginale di A
1
6
12
Q
(2) Se ad entrambi i contribuienti venisse richiesto di versare un analogo contributo, e quindi se
∗
∗∗
∗∗
M BA
= M BB
= MBS
= 32
2
il primo consumatore si dichiarerebbe non più interessato al bene pubblico (il beneficio derivante dal consumo in questo caso sarebbe nullo). Sul mercato resterebbe solo
il consumatore B. Stante il costo di produzione e la disponibilità a pagare dell’unico
interessato avremmo che
M BS = M C(Q) → M BB = M C → 4 − 13 Q =
Q
2
→ Q∗∗ =
24
5
, M BS ∗∗ = 4 −
1 24
3 5
=
Dal momento che in questo caso il governo subirebbe una perdita, il bene pubblico
non sarebbe fornito:
M BS ∗∗ × Q∗∗ − T C(Q∗∗ ) = −9
Esercizio 11. Nel mercato italiano dei gelati confezionati sono presenti due grandi
imprese, la Algida (A), la Sammontana (B), che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre (à la Cournot). La loro struttura dei costi è la
seguente
T C(yA ) = yA e T C(yB ) = yB
Supponete che la domanda di mercato sia data da: Y = 10−P , dove Y = yA +yB .
(1) Determinate l’espressione delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate quali saranno la quantità totale, il prezzo di equilibrio nel mercato e i profitti
delle due imprese. (3) Supponete ora che l’impresa A diventi uno Stackelberg leader
e che quindi faccia la prima mossa scegliendo il proprio volume di produzione prima
dell’impresa B. Vi aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente il
mercato? Perché? (Si risponda senza fare calcoli). (4) Calcolate quali saranno le
quantità prodotte da ciascuna impresa, la quantità totale prodotta nel mercato, il
prezzo di equilibrio ed i profitti delle due imprese. (5) Quale tipo di concorrenza
preferiranno i consumatori? Spiegate brevemente.
20
12
5
Esercizio 11. Soluzione. (1) E’ necessario innanzitutto calcolare le funzioni di
risposta ottima (usiamo BR per indicare tali funzioni) dei duopolisti. Trattandosi di
una concorrenza simultanea in quantità esse risultano date da
e
BRA → M RA = M CA
(4)
BRB → M RB = M CB
(5)
Dal momento che la domanda inversa è P = 10 − Y = 10 − yB − yA , abbiamo che i
ricavi totali delle due imprese sono
2
2
T RA = P × yA = 10yA − yB × yA − yA
e T RB = P × yB = 10yB − yA × yB − yB
da cui i seguenti ricavi marginali
M RA = 10 − yB − 2yA e M RB = 10 − yA − 2yB
Similmente i costi marginali sono
M CA = 1 e M CB = 1
quindi sostituendo nella (??) e nella (5) otteniamo
BRA → 10 − yB − 2yA = 1 → yA =
9
2
− 12 yB
(6)
BRB → 10 − yA − 2yB = 1 → yB =
9
2
− 12 yA
(7)
e
(2) Mettendo a sistema le BR trovate sopra otteniamo
½
½ ∗
½
yA = 92 − 12 yB
yA = 3
BRA
→
→
∗
yB
BRB
=3
yB = 92 − 12 yA
da cui una quantità complessivamente prodotta pari a
∗
∗
+ yB
=6
Y ∗ = yA
un prezzo di equilibrio di
P ∗ = 10 − Y ∗ = 4
e profitti per ciascun duopolista pari a
π ∗A = π∗B = T R∗ − T C ∗ = 9
(3) Pur avendo una struttura identica di costi, le due imprese non continueranno a
spartirsi equamente il mercato in quanto l’impresa A cercherà di sfruttare il vantaggio
che le deriva dalla possibilità di "fare la prima mossa" e produrrà più dell’impresa B.
(4) Se l’impresa A diventa uno Stackelberg leader, sceglie il proprio livello di
output anticipando la scelta dell’impresa rivale ovvero anticipando il fatto che
BRB → 10 − yA − 2yB = 1 → yB =
9
2
− 12 yA
(8)
dunque inserendo nella funzione di profitto di A la scelta ottima dell’impresa B
contenuta nella BRB , otteniamo
π A = P × yA − yA = (10 − yA − yB ) × yA − yA =
£
¡
¢¤
= 10 − yA − 92 − 12 yA × yA − yA =
2
2
− 92 yA + 12 yA
− yA =
= 10yA − yA
2
= 92 yA − 12 yA
21
nel momento in cui ad yB sostituisco il valore della risposta ottima di B, ottengo
un profitto per l’impresa A che è funzione esclusivamente di yA . Per trovare quanto
produce l’impresa A, Stackelberg leader, devo semplicemente calcolare la derivata del
profitto risptto a yA e porla uguale a zero
dπ A
dyA
= 0→
9
2
∗∗
− 2 12 yA = 0 → yA
=
9
2
∗
> 3 = yA
Sostituendo il valore ottenuto nella funzione di risposta ottima dell’impresa B ottengo
quanto produce l’impresa B
∗∗
yB
=
9
2
∗∗
− 12 yA
=
9
4
∗
< yB
Dunque la quantità di bene complessivamente prodotta è
∗∗
∗∗
Y ∗∗ = yA
+ yB
=
27
4
>6
13
4
<4
ed il prezzo a cui è venduta è
P ∗∗ = 10 − Y ∗∗ =
I profitti dello stackelberg leader (ovvero dell’impresa A) sono
π ∗∗
A =
81
8
π ∗∗
B =
81
16
mentre quelli dell’impresa B sono
(5) Dal momento che nel caso di concorrenza à la Cournot i gelati complessivamente venduti ed il prezzo di vendita sono rispettivamente pari a
∗
∗
Y ∗ = yA
+ yB
= 6 e P ∗ = 10 − Y ∗ = 4
mentre in caso di leadership alla Stackelberg si ha
∗∗
∗∗
Y ∗∗ = yA
+ yB
=
27
4
> 6 e P ∗∗ = 10 − Y ∗∗ =
13
4
<4
i consumatori preferiranno sicuramente una concorrenza à la Stackelberg in quanto
acquisteranno più gelato ad un minor prezzo. Il guadagno di surplus per i consumatori dovuto al passaggio da una concorrenza simultanea - à la Cournot - ad
una sequenziale - à la Stackelberg - è rappresentato dall’area azzurra nel grafico sottostante.
p
10
Equilibrio di Cournot
Equilibrio di Stackelberg
4
13/4
MC
1
D, curva di domanda inversa
6
9
27/4
22
10
Y