CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET

Capitolo 3
CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET
Definizione 1. Sia C = α(I) una curva in E regolare in P = α(t). Il vettore (non nullo) α (t) è
detto vettore tangente a C in P [rispetto ad α]. La retta per P con vettore direttore α (t) è detta
α (t)
retta tangente a C in P ed è denotata tg P (C). Il versore ||α
(t)|| è detto versore tangente a C in P
[rispetto ad α] ed è denotato t(t).
n
Osservazione 1. (i) La retta tangente a C in P è invariante per riparametrizzazione. Se infatti
β = α ◦ h è un’altra parametrizzazione
di C, con P = α(t) = β(s) [e dunque h(s) = t], il vettore
tangente β (s) = α h(s) h (s) è parallelo a α (t) e quindi la retta tangente per P = β(s) con
vettore direttore β (s) coincide con tg P (C).
La retta tg P (C) è geometricamente definita come la posizione limite della corda che unisce i punti
P = α(t) e P = α(t + h), per h → 0. Infatti tale corda ha vettore direttore h1 α(t + h) − α(t) e
per h → 0 tale vettore tende a α (t).
Si noti che può accadere che esista la retta tangente anche in un punto non regolare di C [si verifichi
2
3
ad esempio che l’ asse x è la retta tangente in O alla cubica cuspidata y = x ].
(ii) Per ottenere equazioni cartesiane della retta tangente in P = α(t) ad una curva C = α(I) ⊂ E
basta imporre la condizione
X − α(t)
rg
= 1 [con X = (x1, ... , xn ) ].
α (t)
Se C è una curva differenziabile piana di equazione cartesiana implicita f (x, y) = 0, segue subito
dal teorema del Dini che la tangente in un suo punto P0 = (x0, y0) ha equazione cartesiana
n
fx(P0)(x − x0) + fy(P0)(y − y0) = 0.
(iii) Il versore tangente t(t) a C in P = α(t) è invariante per riparametrizzazioni concordi con
α, ma cambia verso per riparametrizzazioni discordi. Denotato infatti con t̃(s) il versore tangente a
C in P = β(s) [con β = α ◦ h], si ha:
α h(s) h (s)
α h(s)
β (s)
t̃(s) = ||β (s)|| = = |hh (s)
(s)| = ± t h(s) .
||α
h(s) h (s)||
||α
h(s) ||
Dunque t̃ = ± t ◦ h e vale il segno + ⇐⇒ h > 0 ⇐⇒ α, β sono concordi.
Osservazione 2. (i) Sia C = α(I) una curva regolare. Per ogni t ∈ I, consideriamo il vettore
derivato t (t) del versore tangente t(t). Essendo || t(t) ||≡ 1, allora t (t) è ortogonale a t(t), cioè
t (t) è un vettore contenuto nell’iperpiano normale a t(t). Inoltre, poichè
t (t) = lim
∆t→0
t(t+∆t)−t(t)
∆t
,
t (t) misura la velocità di variazione della retta tangente a C in α(t). Si può poi verificare che, se
n = 2 e t (t) = 0, il verso di t (t) è rivolto all’interno della regione convessa localmente individuata
da C intorno ad α(t).
(ii) Il vettore t (t) dipende dalla parametrizzazione di C. Infatti, riparametrizzando C tramite
β = α ◦ h, si ottiene (con le notazioni dell’osservazione precedente):
t̃ (s) = (± t ◦ h) (s) = ± t h(s) h (s) = ± h (s) t (t).
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CAPITOLO 3
Se invece dividiamo t (t) per la norma del suo vettore tangente ||α (t)||, otteniamo un vettore indipendente dalla parametrizzazione (cioè intrinseco per C). Infatti:
± t h(s) h (s)
t h(s)
t h(s)
h (s)
t̃ (s)
= ||αt (t)
= ± |h (s)|
=± ±
||β (s)|| =
(t)||
||α
e dunque
t̃
||β ||
=
t
||α ||
◦
||α
h(s) h (s)||
h(s) ||
||α
h(s) ||
h. Diamo un nome a tale vettore.
Definizione 2. Sia C = α(I) una curva regolare. Si chiama vettore di curvatura di C in α(t) il
||t (t)||
vettore k(t) = ||αt (t)
(t)|| . La sua norma k(t) =||k(t)||= ||α (t)|| è detta curvatura di C in α(t). Un
punto P = α(t) è detto punto di flesso di C se k(t) = 0 [ovvero se k(t) = 0, ovvero se t (t) = 0].
Osservazione 3. Per quanto osservato sopra, il vettore di curvatura k e la curvatura k sono
invarianti per riparametrizzazione di C [cioè k̃ = k ◦ h e k̃ = k ◦ h]. Poichè k e t sono vettori
paralleli e concordemente orientati, k è una misura (intrinseca per C) della velocità di variazione
della retta tangente a C intorno ad un suo punto. Quindi la curvatura in un punto P di C è tanto
più grande quanto più rapidamente C ’curva’ intorno a P .
Invitiamo lo studente a verificare che una retta ha curvatura identicamente nulla mentre una circonferenza di raggio r ha curvatura costante 1r .
Definizione 3. Se P = α(t) è un punto non di flesso della curva regolare C = α(I), è definito il
k(t) versore n(t) = ||tt (t)
(t)|| = k(t) , detto versore normale principale a C in P . La retta per P con
vettore direttore n(t) è detta retta normale principale a C in P ed è denotata norm P (C). Infine, il
piano per P = α(t) con giacitura t(t), n(t) è detto piano osculatore a C in P .
Osservazione 4. (i) È evidente che (come k) anche n è indipendente dalla parametrizzazione di
C [infatti ñ = k̃k̃ ◦◦ hh = k̃k̃ ◦ h = n ◦ h].
3
(ii) Si osservi che, se C ⊂ E , la retta normale principale normP (C) è una particolare retta
2
contenuta nel piano per P ortogonale al versore tangente t(t); se invece C ⊂ E , norm P (C) è l’unica
retta per P ortogonale a tg P (C) .
Per le curve regolari C = α(I) contenute in E è talvolta utile introdurre la ’curvatura con segno’ k̃,
definita
in questo modo: si indichi con ñ(t) il versore ortogonale a t(t) tale che la base (ortonormale)
2
t(t), ñ(t) sia equiversa alla base del riferimento standard di E ; ovviamente ñ e k sono paralleli.
Si chiama curvatura con segno di C in α(t) il coefficiente k̃(t) tale che k(t) = k̃(t) ñ(t), da cui
2
k̃(t) = k(t) · ñ(t).
Ovviamente ñ è definito anche nei flessi di C; inoltre k̃(t) < 0 ⇐⇒ ñ(t) = −n(t).
(iii) Si verifica facilmente che t, n ∈ α , α e dunque che la giacitura del piano osculatore è
α , α .
Anche il piano osculatore (come la retta tangente) ammette una definizione di carattere geometrico:
indicato con π h il piano che contiene la retta tg P (C) e la corda per P e P = α(t + h), il piano
osculatore a C in P è la posizione limite dei piani π h, ottenuta per h → 0 [si utilizzi lo sviluppo
di Taylor fino al secondo ordine di α(t + h) intorno a α(t)]. Si noti che con tale definizione può
esistere il piano osculatore anche in punti di flesso. Si verifichi ad esempio che ogni curva regolare C
contenuta in un piano π ammette π come piano osculatore in ogni suo punto.
Definizione 4. Sia C = α(I) una curva in E , regolare e senza flessi. Per ogni P = α(t) ∈ C è
definito il versore b(t) = t(t) ∧ n(t), detto versore binormale a C in P . [Si tratta di un versore
ortogonale al piano osculatore a C in P ]. La retta per P con vettore direttore
b(t)
è detta retta
binormale a C in P ed è denotata bin P (C). Il piano per P con giacitura n(t), b(t) è detto piano
normale a C in P [ed è ortogonale a t(t)] mentre il piano per P con giacitura t(t), b(t) è detto
piano rettificante a C in P [ed è ortogonale a n(t)].
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CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET
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Infine i tre versori t(t), n(t), b(t) (nell’ordine considerato)
formano una base ortonormale equiversa
3
alla base canonica di R ed il riferimento cartesiano RC α(t); t(t), n(t), b(t) è detto triedro mobile
o triedro di Frenet di C in α(t).
Osservazione 5. (i) Se C = α(I) è una curva (regolare senza flessi) contenuta in E , interpretando
2
3
E come piano z = 0 di E , si ottiene b(t) ≡ ±e3.
2
(ii) Come il versore tangente, anche il versore binormale b è invariante per riparametrizzazioni
concordi con α, ma cambia verso per riparametrizzazioni discordi. Infatti si ha:
b̃ = t̃ ∧ ñ = (± t ◦ h) ∧ (n ◦ h) = ±(t ∧ n) ◦ h = ± b ◦ h.
Dividendo b per ||α ||, otteniamo un vettore invariante per riparametrizzazione. Infatti:
b̃
||β ||
=
±(b ◦ h) h
||α ◦ h|| |h |
=± ±
b ◦ h
||α ◦ h||
b
||α ||
=
◦
h.
[È evidente l’analogia tra tale vettore ed il vettore di curvatura (cfr. Osserv. 2(ii)].
Lemma 1. Se C = α(I) è una curva regolare senza flessi in E , risulta: b (t) n(t), ∀ t ∈ I.
3
Dim. Poichè n = t, b ⊥ = t⊥ ∩ b , basta dimostrare che b ∈ t⊥ ∩ b
⊥
⊥
e cioè che
b · t ≡ 0 e b · b ≡ 0 (in I).
La seconda identità segue immediatamente dal fatto che || b ||≡ 1. Per dimostrare la prima deriviamo
(rispetto a t) la definizione b = t ∧ n. Si ottiene b = (t ∧ n) = t ∧ n + t ∧ n . Poichè t n, allora
b = t ∧ n e dunque b ⊥ t, cioè b · t ≡ 0.
Dal lemma precedente segue che i vettori ||αb (t)
(t)|| e n(t) [entrambi intrinseci per C] sono proporzionali: diamo quindi un nome al coefficiente di proporzionalità.
Definizione 5. Sia C = α(I) una curva regolare senza flessi in E .
P = α(t) il numero reale τ (t) tale che ||αb (t)
(t)|| = τ (t) n(t).
3
Osservazione 6. (i) Da τ n =
b
||α ||
Si chiama torsione di C in
, moltiplicando scalarmente per n si ottiene
τ =τn·n=
b
||α ||
·n=
b ·n
||α ||
.
Ne segue che τ : I → R è una funzione differenziabile (detta torsione di C). Ovviamente tale
funzione è invariante per riparametrizzazione [infatti τ̃ = ||βb̃ || · ñ = ||αb || · n ◦ h = τ ◦ h].
(ii) Alla torsione attribuiamo il seguente significato geometrico: se α è una parametrizzazione
naturale di C [cioè || α ||≡ 1], allora τ = b · n e dunque
|τ | =|| b || || n || cos 0 =|| b ||= lim
∆t→0
||b(t+∆t)−b(t)||
∆t
.
Pertanto |τ | misura la velocità di variazione del versore binormale b, cioè del piano osculatore [in
quanto b è il versore normale del piano osculatore]. Anche il segno di τ ha un significato geometrico,
per il quale rinviamo all’Eserc. 3.12.
(iii) Se C ⊂ E , segue dall’Osserv. 5(i) che b (t) ≡ 0. Pertanto τ (t) ≡ 0. Vedremo nel seguito
(cfr. Cap. 6) che per una curva regolare senza flessi C si ha: C è piana ⇐⇒ τ ≡ 0.
2
Teorema 1. Sia C = α(I) una curva regolare senza flessi in E . In ogni punto P = α(t) ∈ C
valgono le tre seguenti formule, rispettivamente note come prima, seconda e terza formula di Frenet:
F1) t (t) = ||α (t)|| k(t) n(t);
(F
F2) n (t) =||α (t)|| −k(t) t(t) − τ (t) b(t) ;
(F
3
F3) b (t) = ||α (t)|| τ (t) n(t).
(F
F1). Da n =
Dim. (F
k
k
e da k =
t
||α ||
segue: k n =
t
||α ||
e quindi t =|| α || k n.
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CAPITOLO 3
F3). Da b =
(F
t
||α ||
= τ n segue subito che b =|| α || τ n.
F2). Da b = t ∧ n segue che n = b ∧ t. Derivando (rispetto a t) ed usando F1 e F3:
(F
n = b ∧ t + b ∧ t =|| α || τ n ∧ t + b ∧ k n = − || α || τ (t ∧ n) + k(n ∧ b) = − || α || k t + τ b .
Completeremo il capitolo dimostrando alcune formule, utili nel calcolo dell’apparato di Frenet di
3
una curva regolare C = α(I) regolare e senza flessi di E . [Per semplificare le notazioni, scriveremo
|v| anziché || v || per indicare la norma di un vettore v].
(1) t =
1
α · α α
α −
|α |
|α |3
e quindi k =
Dim. Basta derivare (rispetto a t) t =
(2) b =
α
|α |
1
α · α α −
α.
2
|α |
|α |4
. La seconda formula discende subito dalla prima.
α ∧ α
.
|α ∧ α |
Dim. Si ha (utilizzando F1 e (1)):
b=t∧n=
α
|α |
∧
t
|t |
=
α
|α |
∧
t
|α | k
=
1
|α |2 k
α ∧
1
|α |
α ·α
|α |3
α −
α =
1
|α |3 k
α ∧ α .
Poichè |α1|3 k > 0, i due vettori b e α ∧ α sono paralleli e concordemente orientati. Allora b è il
versore di α ∧ α .
(3) Il piano osculatore a C in P = α(t) ha equazione X − α(t), α (t), α (t) = 0, cioè
x − x(t) y − y(t) z − z(t) x (t)
y (t)
z (t) = 0
x (t)
y (t)
z (t) [se α(t) = x(t), y(t), z(t) ].
(4) k =
|α ∧ α |
|α |3
(formula della curvatura).
Dim. Si osservi che la formula vale anche se P = α(t) è un punto di flesso di C [cioè se k = 0].
In tal caso α , α sono linearmente dipendenti [infatti 0 = t = |α1 | α − α|α·α
Ne segue che
|3 α ].
α ∧ α = 0 e quindi
|α ∧α |
|α |3
= 0.
Sia ora P = α(t) un punto non di flesso. Dalla dimostrazione di (2), 1 = | b | =
Ne segue subito la formula richiesta.
1
|α
|α |3 k
∧ α |.
Nota. Un’altra dimostrazione della (4) può essere ottenuta calcolando in due modi diversi il prodotto
vettoriale t ∧ t . Lasciamo allo studente il compito di verificare che:
(a) Utilizzando l’espressione (1) di t , si ottiene: t ∧ t =
F1) e la (2) si ottiene: t ∧ t =
(b) Utilizzando (F
k |α |
|α ∧α |
1
|α |2
α ∧ α .
α ∧ α .
Confrontando i coefficienti di α ∧ α nelle due espressioni ottenute, segue subito la formula cercata.
(5) n =
|α |
α · α
α
α .
−
|α ∧ α |
|α | |α ∧ α |
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Dim. Segue subito dal fatto che n = kk , da (4) e da (1). [Si noti che spesso è più semplice calcolare
n tramite il prodotto vettoriale n = b ∧ t].
(6) τ = −
[α , α , α ]
|α ∧ α |2
(formula della torsione).
Dim. Derivando la (2) si ottiene
α ∧α
|α ∧α |
b =
− (...) α ∧ α .
Tenuto conto della (5) e del fatto che α · (α ∧ α ) = α · (α ∧ α ) = α · (α ∧ α ) = 0, allora
n · b =
Si conclude che τ =
|α |
| α ∧α |
n·b
|α |
α ·
1
| α ∧α |
α ∧ α + 0 + 0 + 0 =
|α |
| α ∧α |2
[α , α , α ].
1
= − | α ∧α
|2 [α , α , α ].
Nota. Un’altra dimostrazione della (6) può essere ottenuta calcolando il prodotto misto [t, t , t ]
in due modi diversi. Lasciamo allo studente il compito di verificare che:
(a) Calcolando t a partire dall’espressione (1) di t , si ottiene: [t, t , t ] =
F1) ed (F
F2): [t, t , t ] = t ∧ |α | k n · |α | k n = −|α |3 k 2 τ .
(b) Utilizzando (F
[α , α , α ]
|α |3
.
Dal confronto delle due espressioni appena ottenute e dalla (4) segue subito la formula cercata.