PROPOSIZIONI 4, 8 E 14 DEL LIBRO DEI LEMMI

PROPOSIZIONI 4, 8 E 14 DEL LIBRO DEI LEMMI
“L’alba della teoria delle curve si perde nella notte dei tempi: la contemplazione del moto
delle stelle e l’osservazione della caduta dei gravi, i giochi dei raggi luminosi e il volo di un
uccello, questi e numerosi altri fatti naturali devono aver fatto sorgere, nella mente di
chiunque avesse occhi per vedere e cervello per ragionare, il concetto di linea come
traiettoria di un punto mobile o come qualcosa capace di separare l’una dall’altra due
regioni contigue di una medesima superficie”
Gino Loria (Curve piane speciali, algebriche e trascendenti, teoria e storia)
Proposizione 4 - Arbelos
Sia ABC un semicerchio, e si costruiscano sopra il diametro AC due semicerchi,
uno dei quali sia [di diametro] AD, l’ altro [di diametro] DC, e sia DB perpendicolare
[a CA]: la figura generata, che Archimede chiama arbelo (è la superficie compresa
dall’ arco del semicerchio maggiore e dalle due circonferenze dei semicerchi minori)
è uguale al cerchio il cui diametro è la perpendicolare DB.
Dimostrazione:
Vediamo come Archimede determina la superficie dell’arbelo. Con riferimento alla figura
risulta:
(
)
Per il secondo teorema di Euclide, il quale sostiene che in un triangolo rettangolo l’altezza
relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, si ha:
Per cui sostituendo nella relazione sopra scritta si ha:
Il primo membro dell’uguaglianza rappresenta la superficie dell’arbelo, data dalla
differenza tra il semicerchio di diametro AC e i semicerchi di diametri CD e DA:
(
)
(
)
(
)
Il secondo membro dell’uguaglianza rappresenta l’area del cerchio di diametro BD:
(
)
come affermato da Archimede.
Un’altra proprietà dell’arbelo è che la lunghezza del suo contorno è uguale alla
circonferenza di diametro AC.
Dimostrazione:
Calcoliamo la lunghezza LA del contorno dell’arbelo, come somma delle lunghezze delle
semicirconferenze di diametro AC, CD e DA.
(
)
(
)
che è proprio la lunghezza della circonferenza di diametro AC.
Proposizione 8: Trisezione dell’angolo
Se in un cerchio viene prolungata una corda AB e si pone BC uguale al
semidiametro del cerchio, si congiunge C col centro D del cerchio e si prolunga (la
congiungente) fino ad E, l’arco AE sarà triplo dell’arco BF.
Archimede in questa proposizione propone una soluzione al problema della trisezione
dell’angolo, che è uno dei tre problemi dell’antichità, accanto a quello della quadratura del
cerchio e della duplicazione del cubo. Tuttavia nella risoluzione Archimede utilizza una
riga come strumento graduato, proprietà non ammessa nelle costruzioni che si
propongono solo l’utilizzo di “riga e compasso”.
Dimostrazione:
Consideriamo una corda AB, di una circonferenza di centro D, e la prolunghiamo di un
tratto BC pari al raggio della circonferenza data. Nel prendere sulla retta AB un segmento
BC congruente al raggio BD, Archimede ha di fatto misurato e riportato una lunghezza,
ossia ha utilizzato la riga come strumento graduato.
Congiungiamo C con il centro D della circonferenza e prolunghiamo il segmento CD fino
ad incontrare in E la circonferenza stessa. Conduciamo la corda EG parallela alla corda
AB, per cui gli archi AE e BG hanno ugual lunghezza, e congiungiamo il centro della
circonferenza D con B e con G.
̂
Essendo
in quanto raggi, il triangolo EDG è isoscele e quindi ̂
In ogni triangolo, l’angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti
̂
(Euclide ,I, 16); per cui essendo ̂ l’angolo esterno di ̂ , risulta ̂
Essendo le corde EG e AC parallele, l’angolo ̂ ̂
in quanto tali angoli sono
alterni interni formati da due rette parallele tagliate dalla trasversale EC (Euclide I,29).
Essendo
per l’ipotesi fatta, anche il triangolo DCB è isoscele e quindi risulta
̂
̂
̂
̂
Di conseguenza: ̂
̂
Quindi tutto l’angolo ̂ sarà pari a : ̂ ̂ ̂ = ̂ ̂
̂
Abbiamo così risolto il problema della trisezione dell’angolo, essendo ̂
Ne segue che l’arco BG è triplo dell’ arco BF.
Ma poiché l’arco BG è congruente all’arco AE, anche l’arco AE è triplo dell’arco BF.
Proposizione 14 - Salinon
Se AB è un semicerchio, dal suo diametro AB si staccano due segmenti uguali AC e
BD sulle linee AC, CD e DB (come diametri) si costruiscono due semicerchi, se E è il
centro dei due semicerchi di diametri AB e CD e se EF perpendicolare ad AB viene
prolungata fino a G, il cerchio di diametro FG è uguale alla superficie racchiusa dal
semicerchio maggiore di diametro AB, dai due semicerchi tracciati entro ad esso di
diametri AC e DB e dal semicerchio medio di diametro CD che è fuori di esso (e’
questa la figura che Archimede chiama salinon).
Dimostrazione:
Vediamo come Archimede determina la superficie della saliera. Con riferimento alla figura
osserviamo che:
AC=DB per costruzione (sono diametri delle due semicirconferenze tracciate)
CE=ED=EF per costruzione (sono raggi della semicirconferenza di diametro CD)
AE=EB=EG per costruzione (sono raggi della semicirconferenza di diametro AB)
Archimede scrive innanzitutto due uguaglianze:
(
La prima è:
(
)
) . Verifichiamola:
)
(
)
(
(
)
(
)
La seconda è:
Calcoliamo la superficie della saliera facendo la somma dei semicerchi di diametro AB e
CD e sottraendo da tale area la somma dei semicerchi di diametro AC e DB.
Calcoliamo innanzitutto:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
per la prima uguaglianza scritta
(
)
[(
)
[(
)
[(
)
[(
(
)
)
(
(
)
(
(
)]
[(
[
)
)]
(
) ]
) ]
(
]
(
)
)
(
) ]
per la seconda uguaglianza scritta
Ulteriore caratteristica della saliera di Archimede, è che il suo perimetro è pari alla
circonferenza di diametro AB
Dimostrazione:
Calcoliamo il perimetro della saliera sommando le lunghezze delle semicirconferenze di
diametro AB, AC, DB e CD:
(
(
)
(
)
(
)
che è proprio la lunghezza della circonferenza di diametro AB.
(
)
)