Piano Lauree Scientifiche | Università degli studi di Trieste

Getto del Peso [1/4]
PLS/GettPeso.TeX
GETTO del PESO
Problema reale
l’atleta lancia una palla di metallo (con una mano, restando all’interno di una piazzuola); cosa deve fare per lanciarla il più lontano (dalla piazzuola) possibile? Il record
mondiale è di oltre 20 metri.
Osservazioni
dall’istante nel quale la palla si distacca dalla mano, essa si muove sotto l’azione
della forza di gravità, e di altre forze, molto più piccole, come la resistenza dell’aria.
Quindi disegna una traiettoria, determinata dalle leggi della dinamica, che dipende
dalle “condizioni iniziali”, cioè da posizione e velocità (vettoriale) della palla all’istante
del distacco, e sulla quale l’atleta non ha più alcuna influenza. Quindi il punto nel
quale la palla tocca terra, e quindi la lunghezza del lancio, dipende soltanto dalla
posizione del punto di distacco dalla mano e dalla velocità (intesa vettorialmente)
della palla al momento del distacco. Quindi
scomposizione del problema in due parti
1.: quali sono le condizioni iniziali (posizione e velocità) per le quali la distanza ℓ
alla quale arriva la palla (muovendosi libera nell’aria) è massima?
2.: come deve muoversi l’atleta, mentre ha ancora la palla in mano, in modo che,
alla fine del movimento (all’istante del distacco), le condizioni iniziali per il moto
successivo siano quelle ottimali?
Affrontiamo prima il problema 1, indipendentemente da 2 (ma tenendolo presente); poi affrontiamo 2; (troveremo che dobbiamo riconsiderare il problema 1 sulla
base dei risultati del problema 2).
Problema 1: reale → ideale: processo - domanda
(modello di ordine zero)
Approssimazioni: la gravità (costante ed uniforme) è l’unica forza agente [la palla
ha velocità “bassa” e densità “alta” → la resistenza dell’aria è “piccola”, ...], la palla
è un punto materiale [le dimensioni della palla sono piccole; un’eventuale rotazione è
“piccola”]. Quindi il processo ideale è:
moto di un punto materiale
in campo gravitazionale costante ed uniforme,
lanciato da un dato punto, con una data velocità
Getto del Peso [2/4]
PLS/GettPeso.TeX
La domanda è:
per quale punto e a quale velocità si ha la massima gittata
Sappiamo che la traiettoria è determinata dalla legge di Newton per un punto materiale pesante. Quindi come variabile scegliamo il tempo, misurato a partire dal
momento del distacco, e come funzioni incognite scegliamo le coordinate del punto
in un dato sistema di riferimento, che ovviamente sono funzioni del tempo. Saranno
parametri del problema, oltre all’accelerazione di gravità g, la posizione iniziale e la
velocità iniziale V . Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, con
l’asse z verticale orientato verso l’alto (cioè diretto come la forza di gravità, in verso
opposto), l’origine sulla verticale della posizione iniziale, alla stessa quota del terreno, che supponiamo perfettamente orizzontale, e l’asse x nella direzione e nel verso
della componente orizzontale di V , che supponiamo non nulla [discussione delle scelte
e delle ipotesi; in particolare: differente valenza delle due ultime ipotesi]. Sia −x0
la coordinata del limite della piazzuola. Con queste scelte, dando per scontato che
la traiettoria del punto starà nel piano (x, z), tenuto conto della legge di Newton,
il problema matematico che determina le funzioni incognite è un problema differenziale ordinario del secondo ordine, di Cauchy, per le due funzioni incognite x(t) e z(t):
Problema matematico per il processo ideale
ẍ = 0,
x(0) = 0,
z(0) = h,
t > 0;
z̈ = −g,
ẋ(0) = V cos ϑ, ż(0) = V sin ϑ,
.......
...
..
..
....
....
.....
...
.........
...
....
.......
.
.
...
.
.
.
.
.
...
....
.......
.
.
.
.
.
.
.
..
...
.... ............. ...
.
.
.
. ....
.
........
............................................
...
...
...
..
...
........................................................................................................................................................................................................................
z
V
h•
g
ϑ
x
−x0
I parametri sono: x0 , V , ϑ, h e g, tutti positivi (vedi figura). Ovviamente: 0 < ϑ <
π/2; usiamo il sistema di misura MKS, nel quale g ≃ 10; h è dell’ordine di 1.
Soluzione
equazioni parametriche della traiettoria del punto:
x(t) = V t cos ϑ,
g t2
z(t) = −
+ V t sin ϑ + h.
2
Getto del Peso [3/4]
PLS/GettPeso.TeX
Il punto materiale tocca terra quando la sua coordinata z diventa nulla. L’istante T
nel quale tocca terra è quindi determinato dall’equazione z(T ) = 0, cioè dall’equazione
T2 −
2V sin ϑ
2h
T−
= 0,
g
g
la soluzione della quale è [unica accettabile, perchè unica positiva: discussione sul
fatto che nel risolvere il problema matematico bisogna tener presente quello reale]
r
o
V sin ϑ n
2gh
T =
1+ 1+ 2 2
.
g
V sin ϑ
La coordinata x̄ del punto nel quale il punto materiale tocca terra è x(T ), dove T è
quel valore del tempo che rende nullo z, quindi la lunghezza del lancio è
r
o
V 2 sin(2ϑ) n
2gh
,
ℓ = x0 +
1+ 1+ 2 2
2g
V sin ϑ
e da questa vediamo da cosa e come dipende la lunghezza del lancio (nell’ambito del
modello di ordine 0 che stiamo esaminando); per rispondere alla domanda occorre
risolvere il
problema matematico per rispondere alla domanda
trovare per x0 , V, ϑ e h quell’insieme di valori per il quale la funzione ℓ(x0 , V, ϑ, h)
assume il suo valore massimo: molto difficile, e fuorviante: ad esempio è ovvio che x0
e h sono fortemente limitati dalla geometria del processo reale; ma anche V lo è (dalla
fisiologia dell’atleta). Allora approssimiamo trascurando tutto quello che riteniamo
non sia determinante nella determinazione del massimo di ℓ:
risoluzione approssimata
Approssimazioni: h = 0 e x0 = 0; V e ϑ indipendenti tra loro; in questo caso
si ha
V 2 sin(2ϑ)
ℓ=
;
g
vediamo che non c’è massimo relativamente a V ; relativamente a ϑ si ha un massimo,
per ϑ = π/4. Quindi:
risposta al problema reale 1
l’atleta deve muoversi in modo da lanciare il peso alla velocità massima
possibile, con un’angolazione di 45◦ rispetto al terreno.
Getto del Peso [4/4]
PLS/GettPeso.TeX
Ma se le condizioni da realizzare sono due, bisogna stabilire una gerarchia, cioè dire
quale delle due è la più importante. Studiamo quindi la sensibilità del risultato ad
una deviazione dei parametri dai loro valori ottimali. Aiutiamoci con i grafici:
.......
ℓ ........
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
.
..
...
..
....
..
.. ..........
...................................................................................
..
..
1
V /Vmax
.......
ℓ ........
..
..
..
..
..
....................
......
.....
.....
.... .........
.
.
......................................................................................................
ϑ/45
2
Vediamo subito che non raggiungere la velocità massima è deleterio, mentre lanciare
ad un angolo un po’ diverso da quello ottimale influisce poco sulla gittata: ad esempio,
se V varia del 10%, ℓ varia del 20%, in quanto ℓ(V +δV ) ≃ ℓ(V )[1+2 δV /V ]; se ϑ si discosta del 10% dal valore ottimale, ℓ diminuisce dell’1.2%, in quanto sin(π/2 + 2 δϑ) =
cos(2δϑ) ≃ 1 − 2(δϑ)2 , con δϑ = 0.1 π/4. Quindi
risposta più precisa al problema reale 1
l’atleta deve muoversi in modo da lanciare il peso alla velocità massima
possibile, con un’angolazione di circa 45◦ rispetto al terreno; cioè l’atleta deve
curare molto la velocità, e non preoccuparsi se questo va a scapito della precisione.
descrivo e approssimo meglio il problema
(ma il risultato ottenuto non cambierà sostanzialmente)
1. Ritorno alla formula esatta per ℓ, e deduco che, fissato l’angolo di lancio,
mi conviene comunque massimizzare h e x0 ; quindi aggiungo al suggerimento precedente il consiglio di allungarsi il più possibile e sporgersi in avanti il più possibile.
2. Pongo (ragionevole per un atleta adulto e compatibilmente con ϑ ≃ 45◦ ,
h = 2), e trovo (con un calcolo numerico, molto difficilmente con un calcolo analitico)
che l’angolo ottimale è inferiore, circa 40◦ ; correggo il suggerimento precedente.
3. Osservo che, a causa della geometria dell’atleta, h e x0 dipendono da ϑ,
quindi determino le dipendenze e riaffronto il problema della massimizzazione del
lancio sostituendo a h e x0 in ℓ le opportune funzioni di ϑ.
4. Osservo che anche V probabilmente dipende da ϑ: per determinare questa
dipendenza devo fare un modello dell’atleta e del suo movimento (cioè studiare il
Problema 2). Quindi tornare alla formula per ℓ e alla sua massimizzazione.
5. Osservo che, vista la posizione dell’atleta all’istante del distacco del peso
dalla mano, indossare delle scarpe pesanti e allungare all’indietro il piede che non è
di appoggio fa aumentare x0 .
6. ...