Percentuali, sconti, costi, ricavi

LE PERCENTUALI
• Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal
rapporto di due valori e indica l’incidenza
della variabile a numeratore sulla variabile a
denominatore.
• Ad esempio il rapporto tra il numero di
ragazze presenti in una classe e il numero di
studenti della classe esprime la quota di
femmine sul totale degli studenti.
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INCREMENTI PERCENTUALI
• I costi totali di un’impresa sono passati da
75.000€ a 100.000€.
• I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono
aumentati passando da 250.000€ a 400.000€
• Calcolare la variazione percentuale dei costi
e dei ricavi.
• Calcolare l’incidenza percentuale dei costi
sui ricavi nei 2 anni.
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INCREMENTI PERCENTUALI
• La variazione percentuale dei costi è data dal
rapporto tra la variazione dei costi e il costo
iniziale:
100.000−75.000
75.000
= 33,33%
• La variazione percentuale dei ricavi è data dal
rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del
primo anno:
400.000−250.000
250.000
= 60%
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INCREMENTI PERCENTUALI
• L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei
due anni è rappresentata dal rapporto delle due
quantità:
75.000
= 0,30 = 30%
250.000
100.000
= 0,25 = 25%
400.000
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INCREMENTI PERCENTUALI
• L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:
175.000
75.000 + 100.000
=
= 0,269 = 26,9%
250.000 + 400.000 650.000
che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30%
e 25%!!!!!!!!!!!
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QUOTA AZIONARIA
• Si consideri una S.P.A. nella quale ci sono 3
azionisti che detengono rispettivamente
200, 350 e 350 azioni per un totale di 900
azioni emesse. Qual è il peso percentuale di
ogni azionista?
• 1)
200
900
• 2) e 3)
= 0, 22 ≅ 22,2%
350
900
= 0,38 ≅ 38,9%
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COSTI E RICAVI
PERCENTUALI
• In alcuni problemi si conosce il valore di
una quantità e la percentuale dell’altra
quantità rispetto alla prima.
• Per esempio, i ricavi per un’impresa sono
stati di 30 milioni di € e la percentuale dei
costi totali sostenuti sui ricavi totali è
dell’85%. A quanto ammonta il valore dei
costi totali?
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COSTI E RICAVI
PERCENTUALI
𝐶𝑇
𝑅𝑇
= 85% e
𝑅𝑇 = 30𝑀
𝐶𝑇 = 85% ⋅ 𝑅𝑡
𝐶𝑇 = 85% ⋅ 30𝑀
30𝑀 ⋅ 85
𝐶𝑇 =
= 25,5𝑀
100
8
COSTI E RICAVI
PERCENTUALI
Nel caso di problema simmetrico, ovvero si
conosce il valore dei costi (25,5M ) ed è
noto che rappresentano l’85% dei ricavi, i
ricavi sono calcolati come segue:
𝐶𝑇
𝑅𝑇
= 85% e
𝐶𝑇 = 25,5𝑀
𝐶𝑇 = 85% ⋅ 𝑅𝑡
𝐶𝑇
𝐶𝑇 ⋅ 100
𝑅𝑇 =
=
85%
85
25,5𝑀 ⋅ 100
𝑅𝑇 =
= 30𝑀
85
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SCONTI SUCCESSIVI
• Sul prezzo iniziale 𝑝0 = 100€ di un bene
vengono applicati due sconti consecutivi:
𝑠1 = 10% e 𝑠2 = 20%; ovvero:
• uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e
uno sconto del 20% sul prezzo già scontato
del 10%.
• Si vuole determinare lo sconto complessivo.
10
SCONTI SUCCESSIVI
• Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:
𝑝1 = 100€ − 10% ⋅ 100€ = 90€
• Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il
prezzo finale diventa:
𝑝2 = 90€ − 20% ⋅ 90€ = 72€
• Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%
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SCONTI SUCCESSIVI
• Lo sconto complessivo può essere calcolato per
esteso nel seguente modo:
𝑝1 = 100€ − 10% ⋅ 100€ = 90€
• 𝑝2 = 100€ ⋅ 1 − 10% − 20% ⋅ 100€ ⋅ 1 − 10% =
= 100€ ⋅ 1 − 10% 1 − 20% = 72€
• Sconto% =
𝑝0 −𝑝2
𝑝0
=1
𝑝2
−
𝑝0
=
= 1 − 1 − 10% ⋅ 1 − 20% =
= 1 − 0,72 = 0,28 = 28%
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SCONTI SUCCESSIVI
• Nel caso degli sconti successivi 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑘
lo sconto complessivo 𝑆, espresso come
valore percentuale, sul prezzo iniziale 𝑝0
può essere ricavato dalla formula seguente:
S = 1 − (1 − s1 ) * (1 − s2 ) * ... * (1 − sk )
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PUNTO DI PAREGGIO
• Il punto di pareggio (break even point) è
la situazione in cui i costi totali 𝐶𝑇 sono
pari ai ricavi totali 𝑅𝑇
𝑅𝑇 = 𝐶𝑇
• In un’impresa i costi totali si
compongono di costi fissi 𝐶𝐹 e costi
variabili 𝐶𝑉
𝐶𝑇 = 𝐶𝑉 + 𝐶𝐹
• Quindi
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𝑅𝑇 = 𝐶𝑉 + 𝐶𝐹
PUNTO DI PAREGGIO
• Il ricavo totale è composto dal prezzo
unitario di ogni articolo venduto 𝑝𝑢
moltiplicato per il numero di articoli venduti
(o domandati) 𝑄𝑑
𝑅𝑇 = 𝑝𝑢 ⋅ 𝑄𝑑
• I costi variabili 𝐶𝑉 sono il prodotto del costo
variabile unitario 𝐶𝑉𝑢 per la quantita di
articoli prodotti (o offerti) 𝑄𝑜
𝐶𝑇 = 𝐶𝑉𝑢 ⋅ 𝑄𝑜
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PUNTO DI PAREGGIO
Nell’ipotesi che tutti i beni prodotti siano venduti
𝑄𝑑 = 𝑄𝑜 = 𝑄
Il punto di pareggio si può esprimere come:
𝑝𝑢 𝑄 = 𝐶𝑉𝑢 𝑄 + 𝐶𝐹
Da cui 𝐶𝐹 = 𝑝𝑢 𝑄 − 𝐶𝑉𝑢 𝑄 = 𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢 𝑄
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PUNTO DI PAREGGIO
Dalla precedente equazione deriva che la quantità
necessaria perché si raggiunga il punto di pareggio
è:
𝐶𝑓
𝑄=
𝑝𝑢 – 𝐶𝑉𝑢
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MARGINE DI
CONTRIBUZIONE UNITARIO
Si definisce margine di contribuzione unitario la
differenza tra prezzo unitario e costo variabile
unitario
𝑀𝑀𝐶𝑢 = 𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢
La quantità di beni prodotti nel punto di pareggio si
quindi indicare come
𝐶𝑇
𝑄=
𝑀𝑀𝐶𝑢
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MARGINE DI CONTRIBUZIONE
PERCENTUALE
Se i ricavi totali si esprimono come 𝑅𝑇 = 𝑝𝑢 ⋅ 𝑄, nel
punto di pareggio saranno pari a:
𝐶𝐹
𝐶𝐹
𝑅𝑇 = 𝑝𝑢 ⋅
=
𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢
𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢
𝑝𝑢
Si definisce margine di contribuzione percentuale il
rapporto
𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢
𝑀𝑀𝐶% =
𝑝𝑢
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MARGINE DI CONTRIBUZIONE
PERCENTUALE
𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢
𝑀𝑀𝐶% =
𝑝𝑢
𝑀𝑀𝐶𝑢
𝑀𝑀𝐶% =
𝑝𝑢
𝐶𝑉𝑢
𝑀𝑀𝐶% = 1 −
𝑝𝑢
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MARK UP
Si definisce Mark up 𝑀𝑀 il rapporto tra il margine
di contribuzione unitario e i costi variabili unitari
𝑀𝑀𝐶𝑢
𝑀𝑢 =
𝐶𝑉𝑢
𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢
𝑀𝑀 =
𝐶𝑉𝑢
𝑝𝑢
𝑀𝑀 =
−1
𝐶𝑉𝑢
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ESEMPIO
• Un’azienda acquista semilavorati a 100€ e li
rivende finiti a 150€. Quali sono il margine
di contribuzione percentuale e il mark up
realizzati?
•
•
150−100
𝑀𝑀𝐶% =
= 0, 3 = 33, 3%
150
150−100
𝑀𝑀 =
= 0,5 = 50,0%
100
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RELAZIONE TRA 𝑀𝑀 E 𝑀𝑀𝐶%
• Si può verificare tramite semplici passaggi
algebrici che esiste un preciso rapporto tra
𝑀𝑀 e 𝑀𝑀𝐶% :
𝑀𝑀𝐶%
𝑀𝑀 =
1 − 𝑀𝑀𝐶%
𝑀𝑀
𝑀𝑀𝐶% =
1 + 𝑀𝑀
• Quindi dato il mark up si può ricavare il
margine di contribuzione percentuale e
viceversa
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ESEMPIO
• Se un’azienda ha mark up pari all’89% a quanto
ammonta il suo margine di contribuzione
percentuale?
𝑀𝑀 = 0,89
0,89
𝑀𝑀𝐶% =
= 0,4709 = 47,09%
1 + 0,89
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L’IVA
• L’IVA (imposta sul valore aggiunto) è
un’imposta che grava sui consumatori,
solitamente espressa come una percentuale
del prezzo netto di un bene
𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝐼𝐼𝐼 ⋅ 𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (1 + 𝐼𝐼𝐼)
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L’IVA
• Se ad esempio l’iva su un bene è pari al
20% del suo prezzo netto e il prezzo netto è
di 1500€, il calcolo del prezzo “IVAto” è il
seguente:
𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 1500€ + 20% ⋅ 1500€
𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 1500€ (1 + 0,20)
𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 1500€ ⋅ 1,2 = 1800€
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L’IVA
• Se si conosce il prezzo IVAto di un bene,
come si risale al prezzo netto?
𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
=
1 + 𝐼𝐼𝐼
• Nell’esempio precedente:
𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
1800€
1800€
=
=
= 1500€
1 + 20%
1,2
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