Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi

Capitolo 5
Flussi di Stokes Re → 0.
Flussi viscosi
5.1
Equazioni di Stokes
Per campi con numeri di Reynolds molto piccoli, le equazioni di Navier
Stokes si possono drasticamente semplificare, eliminando in particolare i
termini convettivi non lineari che danno molte difficoltà per soluzioni sia
analitiche che numeriche. Ricordando la definizione (4.3.5) del numero di
U0 L0
Reynolds Re =
si possono avere valori di Re → 0 sia per basse veν0
locità (U0 ) che per piccole dimensioni caratteristiche (L0 ) o alte viscosità
cinematiche (ν0 ).
Questa approssimazione può essere assunta per lo studio di molte applicazioni tecnologiche (sospensioni, lubrificazione, etc.).
Consideriamo le equazioni di conservazione di massa e di quantità di
moto in forma adimensionale (4.3.3) e (4.3.8) e assumiamo
• flusso incompressibile
• assenza di fenomeni periodici (St = 1)
• forze di massa trascurabili (Fr → ∞)
da cui si ottiene per le due equazioni
∂u∗i
=0
∂x∗i
−
1 ∂p∗
1 ∂ 2 u∗i
+
=0
Ru ∂x∗i
Re ∂x∗j ∂x∗j
(5.1.1)
Dalla seconda delle (5.1.1) si deduce che i numeri di Ru e Re devono
ρ0 U02
essere dello stesso ordine di grandezze e pertanto Ru =
→ 0. Fatte
p0
84
Lubrificazione
5.2
le semplificazioni, le equazioni (5.1.1) si possono riscrivere in forma dimensionale più comoda per la discussione successiva
∂ui
=0
∂xi
µ
∂ 2 u∗i
∂p
−
=0
∗
∗
∂xj ∂xj
∂xi
(5.1.2)
che sono note come equazioni di Stokes.
Come si vede, mancano, rispetto alle equazioni di Navier Stokes, i termini non lineari, mentre sono presenti i termini (viscosi) di ordine massimo
dell’equazione. Le condizioni al contorno rimangono pertanto immutate.
Essendo le equazioni lineari, si potranno adottare, per campi e geometrie
regolari, metodi di soluzione analitica.
5.2
Lubrificazione
Una importante applicazione delle equazioni di Stokes riguarda i canali
(meati) di lubrificazione che, come noto, hanno dimensione trasversale molto
piccola rispetto alla dimensione longitudinale (lungo il flusso). E’ opportuno in questo caso introdurre due lunghezze caratteristiche: H0 ed L0
(come indicato in figura) e introdurre il parametro adimensionale legato
alla geometria
A=
H0
→0
L0
(5.2.1)
H0
u0
L0
nelle equazioni di Stokes in forma adimensionale con
x∗ =
x
L0
y 0∗ =
e
yL0
1
= y∗
H0 L0
A
(5.2.2)
Si ottiene per le componenti (caso 2-D) dell’equazione di conservazione
della quantità di moto
1
Re
∂ 2 u∗
1 ∂ 2 u∗
+
∂x∗2
A2 ∂y 0∗2
−
1 ∂p
Ru ∂x∗
= 0
(5.2.3)
1
Re
∂ 2v∗
∂x∗2
+
∂ 2v∗
1
A2 ∂y 0∗2
85
−
1 1 ∂p
Ru A ∂y 0∗
= 0
5
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
e per l’equazione di conservazione di massa
1 ∂v ∗
∂u∗
+
=0
∂x∗ A ∂y 0∗
(5.2.4)
In quest’ultima equazione i due termini, per equilibrarsi, devono essere dello
stesso ordine di grandezza, per cui è conveniente introdurre una velocità
v∗
v 0∗ =
di ordine unitario. Per A → 0 si possono trascurare i termini di
A
derivata seconda in x, mentre per l’equilibrio della prima delle (5.2.3) deve
essere ora Ru dello stesso ordine di grandezza di A2 Re. Si deduce, dalla
seconda delle (5.2.3), sostituendo il valore di Ru, che
∂p∗
= 0(A2 ) ≈ 0
∂y ∗
(5.2.5)
e quindi è trascurabile, per A −→ 0.
Si ha pertanto p = p̂(x). Se si assume proprio
Ru = A2 Re
cioè
p0 = µ
U0 L0
H02
(5.2.6)
la prima delle (5.2.3) si può scrivere, considerando le variabili adimensionalizzate come sopra indicato
dp0
∂ 2 u0
=
dx0
∂y 02
(5.2.7)
che è l’equazione adottata nella teoria classica della lubrificazione, insieme
con le condizioni al contorno
p0 = pe
per x0 = 0 e x0 = 1
u0 = 0
per y 0 = h(x)0
u0 = 1
per y = 0
(5.2.8)
dove h(x) è lo spessore del meato variabile in x adimensionalizzato rispetto
ad H0 . Per la (5.2.7) con le (5.2.8) si può ottenere la soluzione analitica per
la velocità
u=
y
1−
h(x)
1 dp
(h(x) − y)
2 dx
(5.2.9)
h(x) h3 (x) dp
−
2
12 dx
(5.2.10)
−
e, introducendo la portata
Z
Q=
h(x)
udy =
0
86
Flussi di Poiseuille e di Couette
5.3
per il gradiente di pressione
dp
12
=
dx
h(x)3
h(x)
−Q
2
(5.2.11)
Da questa espressione si deduce facilmente che si può avere una variazione di pressione lungo il meato solo se h non è costante. Scopo del
campo fluidodinamico di lubrificazione è infatti quello di ottenere una forza
di sostentamento, che si può esprimere come
Z
N=
1
p0 (x0 )dx0
(5.2.12)
0
ed è diversa da zero per h = h(x) e positiva per h1 > h2 , dove 1 e 2 indicano
la sezione di entrata e di uscita rispettivamente.
5.3
Flussi di Poiseuille e di Couette
Si possono ottenere soluzioni in forma chiusa anche per le equazioni di Navier
Stokes, con valori di Reynolds piccoli ma non necessariamente tendenti a zero, in geometrie per le quali i termini non lineari sono nulli. In tali condizioni
l’equazione di conservazione della quantità di moto è formalmente la stessa che per i flussi di Stokes, in quanto mette in equilibrio forze viscose con
forze di pressione. Qui i termini inerziali sono identicamente nulli per effetto
della geometria del campo, mentre per i flussi di Stokes sono trascurabili in
quanto Re → 0. In questi flussi i termini viscosi sono importanti in tutto il
campo e non solo, come si vedrà in seguito, nelle zone, dette di strato limite,
confinanti con pareti solide.
Consideriamo il flusso bidimensionale incomprimibile stazionario tra due
lastre piane e parallele infinitamente estese in direzione x. La velocità delle
piastre è imposta e può essere sia nulla che avere valore costante u
u=U
2h
y
x
u=0
In direzione y la distanza fra le due lastre è 2h. Data la lunghezza delle
lastre si considera un flusso pienamente sviluppato in direzione x per il quale
si ha
87
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
5
u = u(x)
v = 0
∂u
∂v
= 0 anche
= 0 e
∂x
∂y
dato che v = 0 alle pareti, la v sarà nulla in tutto il campo.
Le equazioni di Navier Stokes diventano, per Ru = 1:
Infatti per la conservazione della massa se x
1 ∂2u
∂p
+
∂x Re ∂y 2
∂p
0 = −
∂y
0 = −
da cui p = p̂(x). Nella prima equazione il primo termine a secondo membro
è solo funzione di x e il secondo è solo funzione di y, pertanto perché vi sia
equilibrio in tutto il campo devono essere ambedue uguali e costanti. Si ha
quindi in tali flussi
dp
= cost
dx
Integrando la prima equazione in forma dimensionale
dp y 2
+ Ay + B
dx 2
integrando la condizione al contorno u = 0 per y = 0 si ha
µu =
B=0
e la condizione u = U per y = 2h si ottiene
A=−
µU
dp
h+
dx
2h
per cui
u=
y dp y
Uy
−
− h−
2h
µ dx
2
(5.3.1)
La portata in volume per unità di profondità è data da:
Z
Q=
0
2h
2h2 dp
udy = U h 1 −
3µU dx
con valore medio della velocità nella sezione
Q
U
2h2 dp
ū =
=
1−
2h
2
3µU dx
88
(5.3.2)
(5.3.3)
Flussi di Poiseuille e di Couette
5.3
dp
= 0, si ottiene il flusso di Couette con profilo di velocità lindx
eare (fig. a)
Se
U
y
2h
(5.3.4)
du
µU
=
dy
2h
(5.3.5)
u=
e tensione di taglio costante
τ =µ
Se il gradiente di pressione non è nullo
u
u
(a)
u
(b)
(c)
dp
dp
si ha per
< 0 (fig.b) un profilo di velocità convesso e per
> 0 (fig.c)
dx
dx
un profilo concavo.
Se anche alla parete superiore si ha la condizione u = 0 il profilo di
velocità diviene parabolico (fig.d)
u=−
con
y dp y
h−
µ dx
2
(5.3.6)
dp
negativo per mantenere il flusso in x positivo e la tensione di taglio
dx
τ =µ
du
dp
= −(h − y)
dy
dx
per y = 0
τw = −h
dp
dx
(5.3.7)
da cui
y
τ = τw 1 −
h
(5.3.8)
quindi la tensione di taglio ha un andamento lineare tra le due lastre (fig.e)
89
5
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
(d)
(e)
Se si assume l’origine sull’asse medio del canale si ottiene l’espressione
dp (h2 − y 2 )
più semplice u = −
.
dx
2µ
In modo del tutto analogo si può ricavare il flusso di Poiseuille in un
tubo a sezione circolare. Adottando ora coordinate cilindriche (r, ϑ, x) con
origine sull’asse del cilindro si ha in maniera del tutto analoga:
0 = −
dp µ d
+
dx
r dr
r
du
dr
da cui p = p̂(x). Analogamente al caso piano si ottiene che deve essere
dp
= cost. Integrando due volte la prima equazione si
necessariamente
dx
ottiene:
u=
r2 dp
+ A ln r + B
4µ dx
(5.3.9)
Dovendo essere u limitato per r = 0 (in corrispondenza dell’asse del cilindro)
deve necessariamente essere A = 0.
Per la condizione al contorno u = 0 per r = aB=−
a2 dp
4µ dx
quindi la velocità assiale assume il profilo parabolicou=
r2 − a2 dp
4µ dx
(5.3.10)
e la tensione di taglio assume un andamento lineare in r:
τ =µ
du
r dp
=
dr
2 dx
(5.3.11)
a dp
2 dx
(5.3.12)
con valor massimo alla parete
τw =
90
Lastra piana con partenza impulsiva
5.4
la portata in volume e data da
Z
a
u2πrdr = −
Q=
0
πa4 dp
8µ dx
(5.3.13)
e la velocità media sulla sezione
ū =
5.4
Q
a2 dp
=
−
πa2
8µ dx
(5.3.14)
Lastra piana con partenza impulsiva
Analizziamo un altro problema per il quale si può ottenere una soluzione
esatta, con la velocità che dipende non solo da una coordinata spaziale,
ma anche dal tempo. Si consideri una lastra piana in y = 0 con il fluido
incomprimibile inizialmente fermo, nel semispazio superiore y > 0 (primo
problema di Stokes).
Per t = 0 la lastra viene impulsivamente messa in moto con velocità U0 .
Il flusso non ha variazioni in x e quindi dalla equazione di conservazione
dv
= 0 ed essendo v = 0 alla parete, deve necessariamente
di massa si ha
dy
essere v = 0 ovunque. Dalla equazione di conservazione della quantità di
moto si ottiene
∂u
∂2u
=ν 2
∂t
∂y
(5.4.1)
u = u(y, t)
(5.4.2)
dove
rappresenta la componente della velocità del fluido parallela sia alla parete
che alla direzione della velocità con cui la parete si sposta.
y
U0
91
5
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
Le condizioni iniziali per la (5.4.1) sono
u(y, 0) = 0
(5.4.3)
mentre la condizione al contorno
u(0, t) = U0
(5.4.4)
esprime la condizione di adesione del fluido alla parete. È poi necessaria una
condizione per y → ∞ che esprime il fatto che l’effetto del moto della parete
viene risentito sempre meno allontanandosi dalla parete.
lim u(y, t) = 0
(5.4.5)
y→∞
I parametri che definiscono il problema (5.4.1), (5.4.3), (5.4.4), (5.4.5)
sono
y, t, U0 , ν.
(5.4.6)
Come conseguenza la soluzione sarà del tipo
u = U (y, t; U0 , ν)
(5.4.7)
cioè sarà funzione di y e t con la dipendenza parametrica de U0 e ν.
Per la linearità del problema è evidente che deve essere
u = U (y, t; U0 , ν) = U0 u
e(y, t, ν)
(5.4.8)
in cui la funzione u
e soddisfa le stesse equazioni con condizioni al contorno
u
e(0, t) = 1
La soluzione (5.4.8) può essere riscritta nella forma
u
y
u
e=
=u
e √ ; ν, t
U0
2 νt
(5.4.9)
(5.4.10)
in cui il fattore 1/2 è di pura convenienza.
Nella (5.4.10) si è espressa la√u rendendola adimensionale con U0 mentre
y viene adimensionalizzato con νt. La (5.4.10) esprime il fatto che il valore
y
numerico di u
e viene a dipendere dal valore numerico di √ e da quello di ν
2 νt
y
e t . Ora i valori numerici delle quantità adimensionali u
e e di η = √ sono
2 νt
quantità assolute, cioè indipendenti dal sistema di unità di misura adottato
per esprimere lunghezze, tempi e velocità. Sono cioè quantità invarianti
rispetto a scelte arbitrarie effettuate dall’osservatore che decide questa unità
di misura adottata. I valori numerici di ν e t dipendo invece dal sistema di
unità di misura.
92
Lastra piana con partenza impulsiva
5.4
È evidente che essendo possibile variare arbitrariamente i valori numerici
di ν e t semplicemente variando le unità di misura di lunghezza e tempo
dovrà essere:
u
e=u
e(η).
(5.4.11)
La (5.4.11) esprime il fatto che la soluzione del problema è di forma
simile, dipende cioè da y e t solo tramite la variabile di similitudine η. In
altre parole il valore di u
e è lo stesso sulla curva nel piano (y,t) che soddisfa
l’equazione
√
y = η2 νt
(5.4.12)
Sostituendo la struttura generale (5.4.11) nell’equazione differenziali alle
derivate parziali (5.4.1) questa viene ricondotta ad un’equazione differenziale
ordinaria.
Infatti
∂e
u
de
u ∂η
de
u
1 νy
u1
1 de
=
=
−
(5.4.13a)
=− η
∂t
dη ∂t
dη
2 2(νt)3/2
2 dt t
∂e
u
de
u ∂η
de
u 1
√
=
=
∂y
dη ∂y
dη 2 νt
2
∂2u
e
d2 u
e
1
d2 u
e 1
√
=
=
∂y 2
dy 2 2 νt
dy 2 4νt
(5.4.13b)
(5.4.13c)
Sostituendo le (5.4.13) in (5.4.1) si ha
−2η
de
u
d2 u
e
= 2
dη
dη
(5.4.14)
.
Per le condizioni iniziali osserviamo che si ha
lim η = +∞
(5.4.15)
u
e(y, 0) = lim u
e(η) = lim u
e(η) = 0
(5.4.16)
t→0
y>0
da cui otteniamo
η→∞
t→0
y>0
Per le condizioni al contorno infine
u
e(0, t) = lim u
e(η) = u
e(0) = 1
(5.4.17)
lim u
e(y, t) = lim u
e(η) = 0
(5.4.18)
η→0
y→∞
η→∞
93
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
5
.
La coincidenza tra la (5.4.18) e la (5.4.16) non deve stupire : esprime proprio il fatto che l’effetto del moto della parete non può risentirsi all’infinito,
cioè per y → ∞ ci troviamo il valore che era assegnato a t = 0.
Il problema (5.4.14) completato con le condizioni
u
e(0) = 1
(5.4.19)
lim u
e(η) = 0
(5.4.20)
η→∞
può essere risolto in forma analitica.
Poniamo
de
u
ζe = −
dη
(5.4.21)
in modo da ottenere
dζe
dη
−2η ζe =
(5.4.22)
da cui
e = ae−η2 .
ζ(η)
(5.4.23)
Quindi la (5.4.21) si ha
Z
u
e(η) = −a
η
2
e−η + b
(5.4.24)
0
Le costanti a e b sono allora determinate dalle condizioni la contorno
(5.4.19) e (5.4.20):
u
e(0) = 1 = b
(5.4.25)
Z
lim u
e(η) = 0 = −a
η→∞
∞
2
e−η dη + 1
(5.4.26)
0
da cui
a = R∞
0
2
1
=√
π
e−η2 dη
(5.4.27)
In definitiva
2
u
e(η) = 1 − √
π
Z
0
η
2
2
eη dη = √
π
94
Z
η
∞
2
e−η dη
Lastra piana con partenza impulsiva
5.4
La funzione degli errori
2
erf (η) = √
π
∞
Z
2
eηe de
η
(5.4.28)
η
consente di esprimere la (5.4.27) come
u
e(η) = 1 − erf (η) = erfc (η)
(5.4.29)
in cui erfc (η) = 1 − erf (η).
La soluzione del problema in forma dimensionale è dunque:
u(y, t) = U0 1 − erf
y
√
2 νt
(5.4.30)
È interessante studiare il comportamento della vorticità di questo flusso.
L’unica componente non nulla della vorticità è quella ortogonale al piano
del moto
ζ = ζ3 =
∂v
∂u
∂u
−
=− .
∂x ∂y
∂y
(5.4.31)
ζ = −U0
de
u ∂η
1
= U0 ζe √
dη ∂y
2 νt
(5.4.32)
Per la (5.4.30) dunque
in cui si è usata la (5.4.21) e la (5.4.13b). Tenendo conto di (5.4.29) e di
(5.4.28) si ha
y2
2
−
U0 derf (η)
2U0
2U
0
e−η = √
e 4νt =
ζ= √
=√
2 νt dη
4πνt
4πνt
y2
−
2U0
2
=√
e 2σ (t)
2πσ(t)
(5.4.33)
in cui
σ 2 (t) = 2νt
(5.4.34)
In definitiva,√
la distribuzione di velocità ad ogni istante è una Gaussiana
di varianza σ = 2νt
Poichè la Gaussiana ha integrale unitario si ha:
Z
0
∞
√
y2
1
1
e− 2σ2 dy =
2
2πσ
Z
∞
√
−∞
95
y2
1
1
e− 2σ2 dy =
2
2πσ
(5.4.35)
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
5
Ne segue che
∞
Z
ζ(y, t)dy = U0
(5.4.36)
0
In altre parole, l’integrale della vorticità è costante nel tempo, ovvero
tutta la vorticità è generata all’istante t = 0, quando la lastra viene messa
in movimento in modo impulsivo.
Al limite per t → 0 la varianza della Gaussiana tende a zero, quindi,
inizialmente tutta la vorticità è concentrata in prossimità della lastra in uno
strato di ordine di grandezza σ. Al crescere di t la varianza cresce, il massimo
della Gaussiana alla parete diminuisce e uno strato crescente del fluido viene
invaso dalla vorticità che sta diffondendo dalla parete. In termini di velocità
questa corrisponde al fatto che uno strato crescente di fluido è messo in
movimento con velocità u data dalla (5.4.30).
Per la (5.4.33) la vorticità alla parete
U0
ζ(0, t) = √
πνt
(5.4.37)
che tende evidentemente
all’infinito per t → 0 per poi decrescere a zero
√
al crescere di t con 1/ t.
La tensione tangenziale esercitata sul fluido dalla parete vale
tx = µ
∂u
U0
= µ√
∂y
πνt
(5.4.38)
Infatti il tensore delle tensioni ha come unica componente non nulla
T12 = 2µe12 = 2µ
1 ∂u
∂u
=µ
2 ∂y
∂y
(5.4.39)
Tenendo conto che la normale uscente al dominio del fluido è
n = (0, −1, 0)
(5.4.40)
si ha che la componente t1 del vettore tensione è
t1 = −T12 = −µ
∂u
= µζ
∂y
(5.4.41)
che per la (5.4.37) coincide con la (5.4.38).
L’azione sulla parete è:
U0
τw = −tx = −µ √
πνt
96
(5.4.42)
Formulazione in equazioni integrali di contorno
5.5
L’impulso per unità di superficie comunicato al fluido nell’intervallo di
tempo (0, ∞) è
Z
I=
0
5.5
∞
µU0
tx dt = √
πνt
∞
Z
0
dt
2µU √ ∞
√ = √ 0 2 t → ∞
0
t
πνt
(5.4.43)
Formulazione in equazioni integrali di contorno
Introducendo la funzione di Green, si può ottenere una rappresentazione
integrale della soluzione molto utile in particolare per equazioni lineari, quali
le equazioni di Stokes (5.1.2) o le equazioni viste nel paragrafo precedente in
cui i termini non lineari si annullano identicamente. Si considera dapprima
un’equazione scalare più semplice (Poisson)
∇2 f = a
(5.5.1)
per meglio comprendere il metodo nel suo insieme. Introduciamo la funzione
g e definiamo il prodotto interno con la (5.5.1)
Z
g
x
∂2f
dV =
∂xj ∂xj
Z
gadv
(5.5.2)
χ
Integrando per parti il primo membro e associando i termini con la stessa
struttura
Z g
χ
∂2f
∂2g
−f
∂xj ∂xj
∂xj ∂xj
Z
dv =
χ
∂
∂xj
g
∂g
∂f
−f
∂xj
∂xj
Applicando Green-Gauss al secondo integrale si ottiene
Z
Z ∂f
∂g
−f
dS
g∇2 f − f ∇2 g dv =
g
∂n
∂n
χ
∂χ
dv
(5.5.3)
(5.5.4)
Indicando in generale con L l’operatore lineare applicato ad f , e con L̃
l’operatore lineare aggiunto, che risulta dalla integrazione per parti e che
viene applicato a g, la (5.5.4) si può esprimere
Z Z
gLf − f L̃g dV =
P (f · g) · ndS
(5.5.5)
χ
∂χ
In particolare per l’equazione (5.5.1) in esame risulta
L = L̃ = ∇2
(5.5.6)
cioè L̃ è in questo caso auto-aggiunto mentre in generale potrà essere L 6= L̃.
97
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
5
Se ora si specifica la funzione g in modo tale che
L̃g = δ(x − x∗ )
(5.5.7)
con g = 0 per x → ∞ con δ(x − x∗ ) delta di Dirac definito dalla
Z
δ(x − x∗ )f (x)dV = f (x∗ )
(5.5.8)
χ
si ottiene la soluzione fondamentale della equazione o funzione di Green di
spazio libero (per la condizione al contorno di valore nullo per x → ∞).
Combinando la (5.5.7), (5.5.8) e la (5.5.2) con la (5.5.5) si ottiene
Z
agdV − f (x∗ ) =
Z
g
∂χ
χ
∂f
∂g
−f
∂n
∂n
dS
(5.5.9)
che è la formula di Green di rappresentazione integrale della soluzione.
La (5.5.9) esprime infatti il valore di f in x∗ in funzione di un integrale
di volume di quantità note, e di un integrale sul contorno in cui appaiono la
funzione f incognita e la sua derivata normale.
Se ci spostiamo con il punto x∗ verso il contorno del campo, si ha che
l’integrazione (5.5.8) viene estesa solo a mezzo angolo solido e ne risulta,
1
corrispondentemente, un valore di f (x∗ ) invece che f (x∗ ).
2
Sul contorno quindi la (5.5.9) si esprime
1
f (x∗ ) =
2
Z
Z
agdV −
χ
∂χ
∂f
∂g
g
−f
∂n
∂n
dS
(5.5.10)
che è un’equazione integrale di Fredholm di prima o seconda specie a seconda
∂f
rispettivamente.
che sia assegnato sul contorno f o
∂n
In generale le condizioni al contorno possono assegnare per il problema
in esame la funzione o la sua derivata normale sul contorno, o in parte l’una
e in parte l’altra.
Si immagini ad esempio un problema di conduzione interna con temperatura e flusso di calore assegnati su porzioni diverse dal contorno:
∇2 ϑ = Q
con ϑ = ϑ
∂ϑ
= q̄
∂n
su
∂1 χ
su
∂2 χ
(5.5.11)
Nota la funzione di Green g, soluzione della (5.5.7), è possibile ottenere
∂f
dalla (5.5.10) la f e la
sul contorno, e quindi, tramite la (5.5.9) la f in
∂n
tutto il campo.
98
Funzione di Green
5.6
5.6
Funzione di Green
Per quanto detto nel paragrafo precedente, per calcolare la f in tutto il
campo è necessario ricavare la funzione di Green, che nel caso in esame deve
soddisfare la
∇2 g = δ(x − x∗ )
(5.6.1)
con
per x → ∞
g=0
(5.6.2)
Il laplaciano ∇2 è un operatore invariante per una rotazione di coordinate, la sorgente δ(x − x∗ ) è puntuale, pertanto si può ipotizzare che la
soluzione sia dipendente solo dalla distanza r dall’origine dove si considera
localizzato il δ(x − x∗ ). Esprimendo la (5.6.1) in coordinate polari e considerando solamente la parte dell’equazione in r si ha, per il caso 3-D e per
r>0
1 ∂
2 ∂g
r
=0
(5.6.3)
r2 ∂r
∂r
che ha per soluzione, tenendo conto della (5.6.2)
A
(5.6.4)
r
per trovare il valore della costante A, integriamo la (5.6.1) su una piccola
sfera con centro nell’origine
Z
Z
2
∇ gdV =
δdV = 1
(5.6.5)
g=−
χ
χ
e applicando Green-Gauss al primo integrale
Z
Z
∂g
2
∇ gdV =
dS
∂n
χ
∂χ
che per la piccola sfera di raggio ε vale
Z
Z
Z
∂g
A A
A
dS =
dS = 2
dσ = 2 4πε2
2
ε ∂χ
ε
∂χ ∂n
∂χ r ε
(5.6.6)
(5.6.7)
che sostituita in (5.6.5) dà
A=
1
4π
(5.6.8)
1
4π
(5.6.9)
e quindi per la (5.6.4)
g=−
99
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
5
con r = |x − x∗ |.
Nel caso 2D, l’equazione risulta
1 ∂
r ∂r
∂g
r
∂r
=0
(5.6.10)
e seguendo lo stesso procedimento si ottiene
g=
1
ln r + c
2π
(5.6.11)
la costante arbitraria si ricava imponendo che g sia nullo per r = R molto
grande e pertanto
g=
1
r
ln
2π R
(5.6.12)
Le espressioni della funzione di Green e della derivata normale, note in
forma analitica possono essere inserite nella rappresentazione integrale (5.5.10).
5.7
Metodo della funzione di Green
Le equazioni (5.5.9) e (5.5.10) che danno una rappresentazione integrale
della soluzione in un punto x∗ interno o sul contorno, possono essere risolte
numericamente con un procedimento di discretizzazione.
Supponiamo di approssimare il contorno con N elementi rettilinei ed il
dominio interno con M celle, ad esempio triangolari. Si può inoltre assumere
che la variabile f abbia un valore costante per ogni elemento di contorno o
cella interna. Sotto tali ipotesi l’equazione integrale si può scrivere in forma
discretizzata
∗
Cf (x ) =
N
X
N
Z
f (xi )
i=1
σi
X ∂f
∂g
(xi , x∗ )dS −
(xi )
∂n
∂n
i=1
Z
g(xi , x∗ )dS
σi
(5.7.1)
=
+
M
X
j=1
Z
a(xi )
g(xj , x∗ )dV
Vj
1
per x∗ all’interno o sul contorno del dominio rispettivamente.
2
∂g
Si noti che gli integrali di
e g presenti nella (5.7.1) possono essere calcolati
∂n
una volta nota l’espressione analitica della funzione di Green (vedi § 5.4).
Introduciamo pertanto, per semplicità, le seguenti funzioni note
con C = 1 o
100
Metodo della funzione di Green
Z
H(i) =
σi
Z
5.7
∂g
(xi , x∗ )dS
∂n
g(xi , x∗ )dS
G(i) =
(5.7.2)
σi
Z
g(xj , x∗ )dS
B(j) =
Vj
che sostituite in (5.7.1) portano a
Cf (x∗ ) =
N
X
i=1
f (xi )H(i) −
N
X
∂f
i=1
∂n
(xi )G(i) +
M
X
a(xi )B(j)
(5.7.3)
j=1
Se consideriamo punti x∗ del contorno si ottiene un sistema di N equazioni
∂f
presenti
in N incognite, considerando nota una delle due incognite f o
∂n
in (5.7.3), assegnata come condizione al contorno. Il sistema (5.7.3) si può
scrivere in forma vettoriale
1
∂f
I −H f +G
=b
(5.7.4)
2
∂n
con I matrice identità, H e G matrici dei coefficienti e b vettore dei termini
noti. Il sistema (5.7.4) si può mettere anche nella forma ancora più semplice
Ax = d
(5.7.5)
∂f
dove x è il vettore delle grandezze incognite al contorno (siano esse f o
),
∂n
A è la matrice dei coefficienti e d il nuovo vettore dei termini noti, contenente
anche le quantità assegnate mediante le condizioni al contorno. Il calcolo
delle incognite x si riduce pertanto all’inversione della matrice A che risulta
essere piena anche se di dimensione ridotta (N × N ). Note tutte le quantità
∂f
al contorno, si può calcolare in modo esplicito la f all’interno del
f e
∂n
dominio mediante la (5.7.3) con C = 1, che assume quindi la forma
∂f If = Hf |c − G
+b
(5.7.6)
∂n c
∂f dove f |c e
sono i valori al contorno precedentemente calcolati. Questo
∂n c
metodo, illustrato per l’equazione scalare (5.3.1), può essere esteso anche a
equazioni vettoriali come l’equazione di Stokes.
101
Flussi di Stokes Re → 0. Flussi viscosi
5
Bibliografia
1. Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.
2. Acheson, D.J., Elementary Fluid Dynamics, Clarendon Press, Oxford,
1990.
3. Tritton, D.J., Physical Fluid Dynamics, Von Nostrand, 1981.
4. Sobolev, S.L., Partial Differential Equations of Mathematical Physics,
Pergamon Press, Oxford, 1964.
102