legge di poiseuille
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legge di poiseuille
Viscosità I fluidi, per come sono definiti, non dovrebbero presentare resistenza al moto di scorrimento; invece nei fluidi reali tale resistenza è osservata. Questa resistenza è dovuta ad una forma d’attrito interno, detta viscosità, fra strati adiacenti di fluido, che si oppone allo scorrimento dell’uno sull’altro. Un fluido reale è pertanto caratterizzato da un coefficiente di viscosità (η) definito operativamente come segue. Consideriamo due lastre di vetro, una fissa e l’altra in moto con velocità costante v, al cui interno si trova un fluido reale. y l F v A = area di contatto Si osserva una distribuzione di velocità (gradiente di velocità) Per v = costante, bisogna applicare F= costante e risulta F ∝ proporzionalità η che dipende al fluido interposto. η= Fl ovvero Av FV = η Av o più in generale l vA con una l FV = ηA dv dy dove si assume che η sia indipendente da v. Unita di misura: N ⋅m N ⋅s Kg = = Pa ⋅ s = nel sistema MKS. m2 ⋅ m / s m⋅s m2 (è anche usato il Poise P = 10-1 Kg/ms) Il coefficiente di viscosità (η) dipende fortemente dalla temperatura Ecco alcuni valori tipici: Fluido Acqua Acqua Acqua Glicerina Olio motore Alcool η ( Kg/ms) 1.8 ⋅ 10 –3 1.0 ⋅ 10 –3 0.3 ⋅ 10 –3 830 ⋅ 10 –3 250 ⋅ 10 –3 1.2 ⋅ 10 –3 T (° C) 0 20 100 20 30 20 La viscosità introduce importanti differenze nel moto di un fluido reale rispetto a quello di un fluido ideale. Condiderato un tubo orizzontale a sezione A costante, si ha per: un fluido ideale pA un fluido reale pB pA v costante nella sezione A pA= pB costante pB v variabile nella sezione A pA > pB La portata per un fluido reale non può essere più calcolata come Av; Q≠ Av Moto laminare, stazionario se la distribuzione di velocità non cambia nel tempo Calcolo della portata per un fluido reale in un tubo cilindrico Consideriamo un cilindro di raggio R lungo L, in cui scorre un fluido in moto laminare e stazionario. La velocità in esso ha una distribuzione con v(R)=0, v(0)= Vmax. rR Stazionario ⇒ v(r) = cost ⇒ Fest = 0 Per una porzione di fluido in un cilindro di raggio r < R abbiamo rR r r r Fest = FA + FB + FV = 0 ; essendo tutte le forze parallele (all’asse), diviene: FA − FB − FV = 0 v(R)=0 v(r) r FA fv v(0)=Vmax R fv FA = p A ⋅ πr 2 FB FB = p B ⋅ πr 2 l FV = ηA dv con A = 2πr ⋅ l dr poichè v diminuisce mentre r aumenta dv ed FV sono implicitamente negative dr ( ) dv πr 2 p − p + η2πr ⋅ l = 0 A B dr dv r ( p A − pB ) ( p − pB ) =− ⇒ dv = − A ⋅ rdr dr 2ηl 2ηl pertanto scriviamo : questa espressione ci da la variazione di velocità dv quando il raggio aumenta di dr, il segno meno mette in evidenza che la velocità diminuisce mentre il raggio aumenta. Integrando fra r ed R troviamo la corrispondente differenza di velocità. (ricordiamo che v(R)=0) ∫ v( R) v(r ) ( p A − pB ) R ( p A − pB ) R 2 − r 2 dv = − rdr ⇒ v( R ) − v(r ) = − r 2ηl 2ηl 2 ∫ ( p A − pB ) 2 2 R − r 4ηl v(r) ha un’andamento parabolico con r, con massimo in r = R2. In una corona circolare con raggio r ed r+dr, di area dA=2πr⋅dr, la velocità risulta costante. Possiamo calcolare pertanto la relativa portata come velocità per area ⇒ dQ = v(r)⋅dA ⇒ v(r ) = La portata totale si ottiene sommando tutti i contributi dQ al variare di r da 0 ad R⇒ R r+dr r Q= Q= ∫ R 0 R ∑ dQ =∫ dQ 0 π ( p A − pB ) ( p A − pB ) 2 2 ( R − r ) ⋅ 2πr ⋅ dr = 4ηl 2ηl calcolando ∫ R 0 ( R − r ) rdr = 2 2 ∫ R 0 R rdr − 2 ∫ R 0 ∫ R 0 ( R 2 − r 2 ) rdr R4 R4 R4 − = r dr = 2 4 4 3 πR 4 ( p A − pB ) Infine Q = LEGGE DI POISEUILLE 8ηl Da notare la dipendenza dalla quarta potenza del raggio