Gli orologi di zio Albert td: 60: =

Gli orologi di zio Albert
Antonio Scafuro – Liceo Scientifico “Rescigno” – Roccapiemonte – Sa – [email protected]
http://www.antonioscafuro.it
Sommario:
Costruendo una presentazione per spiegare agli alunni di terzo liceo il moto circolare ed utilizzando
Cabri per simulare situazioni è sorta la necessità di costruire un orologio. Cioè uno strumento che in
ambiente Cabri consentisse di misurare in qualche modo intervalli di tempo tra un evento e l’altro.
È così venuto fuori un modello di orologio analogico. Ma sono anche tornate alla mente le parole:
“Nello sforzo che facciamo per intendere il mondo rassomigliamo all’individuo che cerca di capire
il meccanismo di un orologio chiuso. Egli vede il quadrante e le sfere in moto, ode il tic-tac ma non
ha modo di aprire la cassa. Se è ingegnoso, egli potrà farsi una qualche immagine del meccanismo
responsabile di quanto osserva …” (Einstein e Infeld - L’evoluzione della fisica – Universale
scientifica Boringhieri – Ristampa 1976 – pag. 43). Così l’orologio è diventato di zio Albert. Anche
perché nell’anno internazionale della fisica mi sembra che il meno che si possa fare è ricordare chi
cento anni fa ha sconvolto il mondo scientifico (e per certi aspetti continua ancora a sconvolgerlo)
con le sue idee di tempo, spazio, energia, massa, annessi e connessi.
L’orologio Cabri
Sembra facile (ma non è difficile) costruire un modello che riproduca il movimento delle lancette di
un orologio.
Così sarebbe se l’orologio avesse una sola
lancetta: costruita una circonferenza ed un
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1
11
vettore applicato nel centro e con l’estremo
libero sulla circonferenza, l’animazione
10
2
dell’estremo libero risolverebbe il problema
3
9
8
4
7
5
6
La cosa si complica se le lancette sono due. Perché per ogni giro della prima, la seconda deve
ruotare di sei gradi intorno al centro, in modo tale che quando la prima lancetta avrà fatto sessanta
giri, la piccola ne avrà fatto uno. Ho pensato di risolvere così il problema:
1) rettifico sessanta giri: moltiplicando per sessanta la lunghezza della circonferenza,
riportando il valore su una semiretta e disegnando il vettore V con origine nell’origine della
semiretta e fine nel valore riportato
2) fissando un punto mobile, P, sul vettore V, la distanza di P da O, origine del vettore,
rappresenta, opportunamente proporzionata, il tempo che scorre, a partire da zero. La
proporzione che consente questo passaggio è la seguente:
γ : 60 = d : t ,
dove γ è la lunghezza di un giro, d la distanza percorsa da P su V e t il tempo in secondi
(ovviamente qui il secondo non ha niente a che vedere con la corrispondente unità di misura
del S.I.).
3) moltiplico t per 6 e col risultato ruoto l’apice dell’orologio (il punto più alto) intorno al
centro in senso orario. Ottengo così il punto Q sulla circonferenza che la percorre
all’unisono col moto del punto P su V
4) il vettore che lega il centro C di
la prima lancetta
γ aQè
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1
11
10
2
C
9
3
Q
8
4
7
5
6
5) per la seconda lancetta fisso un punto al
di sotto del 12 e lo ruoto in senso orario
con una rotazione pari ad un
sessantesimo della precedente. Ottengo
così il punto M. Un secondo vettore
applicato in C e diretto in M si muoverà
come la seconda lancetta
12
1
11
M
10
2
C
9
3
8
4
7
5
6
6) a questo punto l’orologio è pronto: l’animazione di P lo mette in funzione. Conviene usare
l’animazione multipla, fissando al minimo la tensione della molla.
Se questo orologio rimane solo non è granché utile. Possiamo però accompagnarlo con il suo
gemello, che decide di volarsene via inseguendo avventure astronomiche a velocità confrontabili
con quella della luce.
L’orologio di zio Albert.
A partire da C tracciamo una semiretta, s, parallela a V. Questa sarà la guida lungo la quale si
muoverà l’avventuriero. Su s fissiamo un punto C’ e col vettore CC’ trasliamo tutto, tranne i punti
v2
Q, M e le lancette. Costruiamo l’espressione t ⋅ 1 − 2 , che ci consentirà di determinare il tempo,
c
v
t’, visto da C su C’. Per costruire il rapporto possiamo fare così: internamente al vettore c
c
costruiamo il vettore v; il rapporto tra la lunghezza di v e quella di c ci fornirà il rapporto cercato.
Pertanto il calcolo di t’ potrà essere fatto applicando l’espressione suddetta al valore di t per t, alla
lunghezza di c per c ed alla lunghezza di v per v.
Ora non resta altro da fare che ripetere i passi compiuti, a partire dal terzo, sul nuovo orologio.
Vien fuori il seguente prodotto:
Animando il punto P, come per magia, i due orologi segneranno tempi diversi: in C si svolgerà il
tempo proprio, mentre in C’ si svolgerà il tempo che l’osservatore in C vede su C’.
È possibile, muovendo l’estremo libero del vettore v, modificare il rapporto
v
e vedere all’istante
c
come cambia il tempo segnato su C’.
Interessanti sono i casi limite:
v=0
v=c
Ma la storia non finisce qui! Perché una mattina, di buon ora, mentre me n’andavo a spigolare, si
presenta zio Albert e mi fa :”E la contrazione dello spazio non ce la metti?” “Hai ragione, zio” gli
rispondo :”Mo’ te la faccio, se ci riesco!”
“Adesso non chiedermi come ho fatto. Forse te lo dico la prossima volta, se ci rivediamo.
Per chi è interessato http://www.antonioscafuro.it/Gaeto.it/Index.htm